数 学 公 式
三角関数の公式
弧度法
1.
(1)
ラジアン 半径 r の円周上にとった長さ r の円弧に対する中心角を 1 ラジアンとする．
1 ラジアン = 180° / π = 57°17′45′′ （すなわち，180° は π ラジアン）
(2)
2.
α ° は 何 ラジアン(θ )か : θ =
π
180
α
l
扇形
r
弧の長さ： l = rθ ，
3.
面積： S =
S
1 2
r θ
2
θ
三角関数の定義
sin θ =
y
y
x
y
, cosθ = , tan θ =
r
r
x
P (x, y)
y
r
θ
角度 θ が 30°, 45°, 60° の場合の各辺の長さの関係
0
x
x
30°
2
30°
2
45°1
45°90°
60°1
90°
sin θ
,
cos θ
cot θ =
cos θ
,
sin θ
cos ecθ =
sin 2 θ + cos 2 θ = 1, 1 + tan 2 θ =
5.
1
,
sin θ
sec θ =
1
,
cos θ
cot θ =
1
tan θ
1
cos 2 θ
角度の関係
sin(−θ ) = − sin θ ,
cos(−θ ) = cos θ ,
tan(−θ ) = − tan θ
⎛π
⎞
sin ⎜ ± θ ⎟ = cos θ ,
⎝2
⎠
⎛π
⎞
cos⎜ ± θ ⎟ = m sin θ ,
⎝2
⎠
1
⎛π
⎞
tan⎜ ± θ ⎟ = m
tan θ
⎝2
⎠
sin(π ± θ ) = m sin θ ,
cos(π ± θ ) = − cos θ ,
tan(π ± θ ) = ± tan θ
sin(2nπ + θ ) = sin θ ,
6.
90°
1
三角関数の相互関係
tan θ =
3
60°
1
3
4.
2
cos(2nπ + θ ) = cos θ ,
加法定理
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β
tan(α ± β ) =
tan α ± tan β
1 m tan α tan β
tan(nπ + θ ) = tan θ
（n は任意の整数）
倍角公式
7.
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2 α =
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α
tan 2α =
1 + cos 2α
1 − cos 2α
, sin 2 α =
2
2
2 tan α
1 − tan 2 α
半角公式
8.
sin 2
α
2
=
1 − cos α
,
2
cos 2
α
2
=
1 + cos α
,
2
tan 2
α
2
=
1 − cos α
1 + cos α
和→積
9.
sin A + sin B = 2 sin
A+ B
A− B
cos
,
2
2
cos A + cos B = 2 cos
sin A − sin B = 2 cos
A+ B
A−B
cos
,
2
2
A+ B
A− B
sin
2
2
cos A − cos B = −2 sin
A+ B
A−B
sin
2
2
10. 積→和
sin α cos β =
1
{sin(α + β ) + sin(α − β )},
2
cos α cos β =
1
{cos(α + β ) + cos(α − β )}, sin α sin β = − 1 {cos(α + β ) − cos(α − β )}
2
2
cos α sin β =
1
{sin(α + β ) − sin(α − β )}
2
11. 三角関数の合成
a sin θ + b cos θ = a 2 + b 2 sin(θ + α )
b
ここに， sin α =
, cos α =
2
a + b2
a2 + b2
b
α
a
a2 + b2
a
12. 三角形
A
S=面積，r=内接円半径，R=外接円半径
(1)
c
a
b
c
=
=
= 2R （ 正 弦 の 法 則 ）
sin A sin B sin C
(2)
a = b cos C + c cos B
（第一余弦の法則）
(3)
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
（第二余弦の法則）
(4)
S=
A
b
C
B
B
a
a 2 sin B sin C
1
= s ( s − a )( s − b)( s − c)
ab sin C =
2
2 sin A
abc
A
B
C
= rs =
= 2 R 2 sin A sin B sin C = s 2 tan tan tan , ただし， s = (a + b + c) / 2
4R
2
2
2
13. 三角関数と指数関数
cos θ =
e iθ + e − iθ
,
2
sin θ =
e iθ − e − iθ
2i
（オイラーの公式）
(cosθ + isinθ ) n = cosnθ + isinnθ (n : 実数)
cosθ + isinθ = e iθ ,
cosθ − isinθ = e − iθ
（ド・モアブルの公式）
C
14. 双曲線関数と逆双曲線関数
sinh x =
e x − e −x
= −i sin ix,
2
cosechx =
cosh x =
e x + e−x
= cos ix,
2
sechx =
tanh x =
sinh x e x − e − x
=
= −i tan ix,
cosh x e x − e − x
cosh 2 x = 1 + sinh 2 x,
1
sinh x
1
cosh x
coth x =
sec h 2 x = 1 − tanh 2 x,
sinh( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,
sinh 2 x = 2 sinh x cosh x,
sinh 2 x =
cosh 2 x − 1
,
2
1
tanh x
cosech 2 x = coth 2 x − 1
cosh( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
cosh 2 x = cosh 2 x + sinh 2 x
cosh 2 x =
cosh 2 x + 1
2
sinh −1 x = cosh −1 x 2 + 1 = log( x + x 2 + 1),
cosech −1 x = sinh −1
cosh −1 x = sinh −1 x 2 − 1 = log( x + x 2 − 1) ( x > 1),
tanh −1 x =
1
1+ x
log
( x < 1),
2
1− x
coth −1 x = tanh −1
1
x
sech −1 x = cosh −1
1
( x > 1)
x
1
(0 < x < 1)
x
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