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第１章
Mathematica の基本操作
- 3 -
１．Mathematica の基本操作（１）
1-1
基本計算／代数
Mathematica とは
1-1-1 Mathematica の特徴
Mathematica(マセマティカ）は，数値計算と数式処理のエンジン，グラフィックスのシステム，プログラ
ミング言語，ドキュメントシステム，他のアプリケーションとの高度な接続性をシームレスに統合したソフ
トウェアです。
主な特徴としては，次の点があげられます。
・数学，科学，工学用の広範な関数を標準で装備
・関数やデータの，２Ｄや３Ｄのインパクトの強い動的可
視化を自動作成
・グラフィックス，数式などを操作できる動的なインター
フェースをすばやく簡単に作成
・一貫した高レベルの言語で手続き型，関数型，ルールベ
ースなどのプログラミングに対応
・何百もの標準データ形式の自動統合と，オンデマンドで
提供されるリアルタイムデータ
・論文やレポートの作成にも適した，統合された技術的ワ
ードプロセッサ
1-1-2 Mathematica の起動
「スタートメニュー」→「プログラム」→「数学ソフト」→「Mathematica」
起動すると右のような画面が現れる。
この画面は Mathematica の入出力を行う編集画面で，
「ノートブック」
と呼ばれている。数式は，通常ノートブックのエリ
アにキーボードから入力するが，右側に現れる「パ
レット」から記号を選んで入力することもできる。
1-1-3 入力の仕方
まず最初に，9+9 と入力して，[Shift]＋[Enter]
を押してみよう。
計算式を入力したあとには，[Shift]＋[Enter]（ま
たは，テンキー側の[Enter]）を押して，計算式を実
行させる。[Enter]（英文字キー側）だけを押した場
合は，入力式が改行される。
なお，起動後最初の計算のときだけ少し時間を要
するが，これはカーネルと呼ばれる実行処理を行う
プログラム部分を起動しているためである。
In[1]:= 9+9
Out[1]:=18
というように表示されればＯＫである。
また，In[1]，Out[1]のように[ ]内に記される番号は，計算の順番
を意味し，同じ番号は input と output の対応を表す。
- 4 -
1-1-4 セルとセルブラケット
ノートブックの右端に］がつけられているが，これをセルブラケットと呼び，ブラケットで分別されて
いる行をセルと呼ぶ。
例えば右の例で，In[1]，Out[1]の２つのセルが大きなセルブラケットで囲まれているが，これはこの２つ
が同じグループに属していることを示している。
また，Out[1]のセルの下に横線が引かれているのは，次の入力が可能であることを示している。
範囲指定印刷の場合やセルをコピーする場合などは，このブラケットをクリックして範囲指定する。複数
のセルを選択するときは，[Ctrl]（または，[Shift]）を押しながらクリックする。
1-1-5 ノートブック（ファイル）の保存
① メニューバーの「ファイル」から「Save」を選択する。
② 初めて保存する場合は，保存する場所やファイル名を聞
いてくるので，保存する場所を各自のネットワークドラ
イブ（Ｚドライブ）に，ファイル名を英数字８文字以内
（例：math01）でつけて「保存」をクリックする。
③ ノートブックを編集または修正して再度上書き保存し
たいときには，「ファイル」メニューから「Save」を選
ぶ。
1-1-6 印刷
① 印刷したいセルのセルブラケットを選んで反転表示さ
せる。
② 「ファイルメニュー」から「Print」を選ぶ。
③ 印刷のダイアログの「選択した部分」のボタンを選ぶ。
（これを怠ると，ノートブックの全部が印刷されてしま
う。）
④ 印刷のダイアログの「OK」をクリック。
1-2
基本的な計算と操作
1-2-1 四則演算とベキ乗，階乗
演算
記号
演算
記号
加算
減算
乗算
＋
－
＊（または半角ｽﾍﾟｰｽ）
除算
ベキ乗
階乗
／
＾
！
［例題１］次の計算を実行せよ。
① 1+2
② 3-4
④ 7÷8
⑤ 910
③ 5×6
⑥ 11!
［練習問題１］次の計算を実行し，結果を記入せよ。
① 2005－5002
② 2005×5002
③ 10001÷73
④ 1÷2+1÷3
⑥ 12!
⑤ 200510
- 5 -
<参考>
・パレットを使うと，×や÷の記号や，累乗の小さな文字も使えます。
・ ④の答えが分数（有理数）になることに注目しよう。
Mathematica では，分数を近似値に直さないで有理数のまま正確に扱っています。
1-2-2 パレットの使い方
［例題２］パレットを使って 200510 を入力し計算をせよ。（練習問題１の⑤）
（手順）
① 2005 を入力する。
② マウスで 2005 を選択し反転表示させる。
③ パレット上のボタン「■□」を選ぶ。
④ 10 を入力する。
⑤ [Shift]＋[Enter] を押す。
<参考>
・分数や累乗，πやΣの数学記号など，日頃使っている形式で表現できることは，自分だけでなく人に
見せるときにもわかりやすくて便利です。レポートや教材を作成する場合には，この形式を使うよう
にしよう。
・ ■□ のように複数の入力ポイントがあるとき，入力ポイント間の移動は，Tab キーで行うか，マウス
でクリックします。
・このような形式は，パレット以外に，キーボードからも入力が可能です。
たとえば，「π」は，[Esc]→pi→[Esc]，「÷」は，[Esc]→div→[Esc]，など。
・ √記号の入力は，[Ctrl]+2 で，累乗の上付数字の入力は，[Ctrl]+^ で，行える。また，分数の入力
は，[Ctrl]+/ で行うことができる。
・入力した数式のセルを選択して，メニューバーの「セル」→「変換形式」→「TraditionalForm」を
クリックすることにより，数学的な表現に変換する方法もある。
［練習問題２］パレットを使って次の通りに入力し計算をせよ。結果を記入せよ。
①
②
③
④
1-2-3 直前の値の利用
Mathematica では，直前またはそれ以上前の計算結果がメモリに記憶されているので，結果の値を再利用
することができる。
直前の値は，「%」を使って表す。
［例題３］次の計算を実行してみよ。
①3*4+5
②%^2
③%1^2
［練習問題３］次の計算を実行してみよ。結果を記入せよ。
① 3+4＊5
② %^2
- 6 -
③
%^2
<参考>
上のような場合，②の「%」は，①の値すなわち 17 を表し，%^2 は 17 の２乗を意味している。
・一般に，直前の結果を利用する場合は「%」を用い，２つ前の結果に対しては「%%」を用いる。
・「%」が相対的な指定を行うのに対して，Out[k]（k 番目の結果）の内容を利用したいときは，
「%k」
とすれば絶対指定が可能となる。
・
1-2-4 基本的な組み込み関数（分数と近似値）
Mathematica にはいろいろな関数が組み込まれている。また，組み込み関数は大文字で始まり，括弧は［］
を使うことになっている。
関数の書式
N[x]
意味
関数の書式
近似値
N[x,n]
〃
Rationalize[x]
Abs[x]
（n は有効桁数)
分数表示
絶対値
意味
Sqrt[x]
平方根
Floor[x]
x 以下の最大の整数
（ガウスの記号）
Mod[a,b]
a を b で割った余り
［例題４］次の計算を実行せよ。
① N[1/13]
② N[1/13,20]
④ Sqrt[2]
⑤ Floor[13/5]
③ Rationalize[1.234]
⑥ Mod[31,4]
［練習問題４］次の計算を実行し，結果を記入せよ。
① N[65/3]
② N[1/17,10]
③ Rationalize[3.1416]
④ Abs[-23.4]
⑤ Sqrt[3]
⑥ Floor[10/3]
1-2-5 慣用定数
数学でよく使われる定数も組み込まれています。
数学記号
Mathematica で使う記号
ｅ（自然対数の底）
（e＝2.71828･･･）
E （または，
）
ｉ（虚数単位）
（i2＝－1）
I （または，
）
π（円周率）
（π＝3.14159･･･）
Pi （または，
）
なお，大文字小文字を区別するので注意すること。
［例題５］次の計算を実行してみよ。
①
N[Pi,30]
② N[E,100]
③
［練習問題５］次の計算を実行し，結果を記入せよ。
① N[Pi,100]
② N[E,1000]
③
④
- 7 -
1-2-6 いろいろな組み込み関数
関数の書式
意味
x
関数の書式
意味
Exp[x]
指数関数（e ）
Cos[x]
三角関数
Log[x]
自然対数
Tan[x]
三角関数
Log[b,x]
b を底とする対数
GCD[a,b]
a と b の最大公約数
Sin[x]
三角関数
LCM[a,b]
a と b の最小公倍数
［例題６］次の計算を実行してみよ。
① Exp[3]
② Log[E^2]
④ Sin[Pi/3]
⑤ GCD[12,18]
③ Log[2,8]
⑥ LCM[12,8]
［練習問題６］次の値の近似値を調べ，結果を記入せよ。
① Exp[2]
② Log[10,2]
③ Cos[Pi/4]
④ Tan[Pi/6]
1-3
整式の計算
1-3-1 文字式の計算
数値の計算と同じように文字式による計算が可能である。
［例題７］次の計算を実行せよ。
① a+a
③ Sqrt[4a]
［練習問題７］次の計算を実行せよ。
① 3x*5x
③ Sqrt[4(a + b)^2]
② x*x
④ (a+c)*(b+c)/(a+c)
②
④
2a+5b+4a+3b
(2x^2+3x)/x
1-3-2 代入
変数に値や式を代入するには次のように等号を使う。
また，変数の値をリセットするには Clear[ ]関数を使う。
書式
意味
変数名＝値
代入
Clear[変数名]
代入値を消す
［例題８］番号の順番に入力したときの出力結果を確認せよ。
① a=5
② 2a
③ Clear[a]
④ a
- 8 -
［練習問題８］次の計算を実行せよ。
１）番号の順番に入力したときの出力結果を確認せよ。
① a=5
② a^3
③ Clear[a]
④ 2a+a
２）また，変数に式を代入することもできる。
① z=a+2
② z^3
③ Clear[z]
④ z^3
1-3-3 整式の因数分解
書式
Factor[式]
意味
因数分解
［例題９］次の整式の因数分解を実行せよ。
（）内は Mathematica の入力方式。
2
（ Factor[x^2 - 2x] ）
① x -2x
（ Factor[2x^2 - 3x y - 2y^2 + x + 3y - 1]）
② 2x2-3xy-2y2+x+3y-1
<参考>
例題９②で，xy と x y では意味が違うことに注意。xy は 1 つの変数を表し，x y は x*y を表す。
降べきの順に並べたいときは，Output セルを選択して，メニューバーの「セル」→「形式変換」→
「TraditionalForm」を選ぶとよい。または，[Ctrl] + [Shift] + T でもよい。
・ Factor や Expand などの代数計算のコマンドは，メニューバーの「ファイル」→「パレット」→
「AlgebraicManiputlation」を選択することで，代数パレットを使うことが可能になる。
・
・
［練習問題９］次の整式の因数分解を実行し，結果を余白に記録せよ。
① x2-16
② 2x3-7x2+9
③ x4- 4x + 3
④ x4 - 1
⑤ x7 - 1
1-3-4 整式の展開
書式
Expand[式]
意味
式の展開
［例題１０］次の整式を展開せよ。（）内は Mathematica の入力方式。
（ Expand[(x+1)^2] ）
① (x + 1)2
3
（ Expand[(x+2y)^3] ）
② (x + 2y)
［練習問題１０］次の整式を展開せよ。
① (x+1)(x+2)(x-3)
② (x+y)5
- 9 -
1-3-5 整式の簡素化
書式
意味
因数分解やさまざまな変形を試み，その都度最も簡単な形が得
られるようにする。
Simplify[式]
［例題１１］次の整式を簡素化せよ。
① Simplify[x^2 + 2 x + 1]
② Simplify[1/(x+1)-1/(x-1)]
［練習問題１１］次の整式を簡素化せよ。
① Simplify[1/(1 + 2x) - 1/(1 - 2x)]
② Simplify[1/(Sqrt[3]-1)+2/(Sqrt[3]+2)]
1-3-6 整式の割り算
書式
意味
PolynomialQuotient[式 1,式 2,変数]
式 1÷式 2 の商
PolynomialRemainder[式 1,式 2,変数]
式 1÷式 2 の余り
［例題１２］次の整式の割り算を行い，商と余りを求めよ。
① PolynomialQuotient[x^2-4,x-2,x]
② PolynomialRemainder[x^2-4,x-2,x]
［練習問題１２］次の整式の割り算を行い，商と余りを求めよ。
① PolynomialQuotient[x^3-4x+1,x-2,x]
② PolynomialRemainder[x^3-4x+1,x-2,x]
③ Expand[(x-2)(2x+x^2)+1]
1-3-7 分数式の計算
書式
意味
Apart[分数式,変数]
分子の次数を分母より小さくする
Cancel[分数式]
分数式を約分する
Togeher[分数式]
2 つの分数式を通分する
［例題１３］次の分数式の計算を実行せよ。
① Apart[(2x-1)/(x+1)]
② Cancel[(x^2-1)/(x-1)]
③ Together[1/x + 1/y]
［練習問題１３］次の分数式の計算を実行せよ。
① Apart[1/(3+x)/(1+x)^3]
② Cancel[(x^3-1)/(x-1)]
③ Together[1/(x+1)+1/(x-1)]
④ Simplify[1/(x+1)+1/(x-1)]
- 10 -
<参考>
・ Apart[]は，分数関数のグラフを描くときに便利である。
・ Simplify で簡素化しても通分されるが，分母の式が展開される。
1-3-8 方程式の解法
書式
Solve[方程式,変数]
意味
方程式の解
［例題１４］次の方程式を解け。（）内は Mathematica の入力方式。
（ Solve[x^2==9,x]）
① x2 = 9
②
⎧2 x + y = 5
⎨
⎩x + 2 y = 4
（ Solve[{2 x+y==5,x+2 y==4},{x,y}] ）
［練習問題１４］次の方程式を解け。
① Solve[x(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-2)x==0,x]
② Solve[{x^2+y^2==89,x y+x+y==-37},{x,y}]
③ Solve[a x^2+b x+c==0,x]
<参考>
・ ②は連立方程式。また， x y（間に半角スペース）は x と y の積を表しており，xy とは違うものを指
すので注意。
・ ③についても，a と x の間，b と x の間に半角スペースが必要。
1-4
整数の性質を調べる関数
1-4-1 偶数・奇数・素数の判断など
関数の書式
意味
関数の書式
意味
EvenQ[x]
x が偶数であるか判断
Prime[x]
x 番目の素数を表示
OddQ[x]
x が奇数であるか判断
IntegerQ[x]
x が整数であるか判断
PrimeQ[x]
x が素数であるか判断
［例題１５］次の計算を実行せよ。
① EvenQ[7]
② OddQ[7]
④ Prime[10]
⑤ IntegerQ[Sqrt[25]]
［練習問題１５］次の計算を実行せよ。
① PrimeQ[10001]
② FactorInteger[10001]
③ Prime[{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}]
- 11 -
③ PrimeQ[10001]
1-4-2 素因数分解・約数・倍数など
関数の書式
意味
関数の書式
意味
FactorInteger[x]
x を素因数分解
DivisorSigma[1,x]
x の約数の和
Divisors[x]
x の約数を表示
GCD[x,y]
x と y の最大公約数
DivisorSigma[0,x]
x の約数の個数
LCM[x,y]
x と y の最小公倍数
［例題１６］次の計算を実行せよ。
① FactorInteger[60]
③ DivisorSigma[0,6]
⑤ GCD[36,54,108]
② Divisors[6]
④ DivisorSigma[1,6]
⑥ LCM[7,8,21]
［練習問題１６］次の計算を実行せよ。
① FactorInteger[400]
② Divisors[400]
③ DivisorSigma[0,400]
④ DivisorSigma[1,400]
⑤ (4+1)(2+1)
⑥ (1+2+2^2+2^3+2^4)(1+5+5^2)
1-5
ヘルプについて（付録）
1-5-1 関数の使い方のヘルプ
「関数」の使い方を簡単に説明してくれる便利なヘ
ルプがある。関数の意味を知りたいときは，右図のよ
うに，関数名の頭に？をつけて，[Shift]＋[Enter] を
押す。
さらに詳しい説明が必要なときは，??をつけて関数
名を記述する。
右図は例として Log[ ]と Solve[ ]について調べた結
果である。
1-5-2 ヘルプブラウザ
メニューバーの「ヘルプ」→「ヘルプ」で，右のよ
うなヘルプブラウザが現れる。
キーワード入力欄に調べたいコマンド名などを入力
するか，下のメニュータグから，必要な項目を探すこ
とができる。
関数の使用例などが下のエリアに表示され，コピー
＆ペーストを行うことも可能だ。
- 12 -
２．Mathematica の基本操作（その２）
2-1
2-1-1
リスト／集合／統計
リストとは
リストの基本
数や式を「，
（コンマ）
」で区切って横に並べ，
｛｝でくくったものをリストという。集合や統計的なデー
タ，ベクトルや行列などは，すべてリスト処理で扱うことができ，数学の様々な分野に広く応用できる。
たとえば，{1,2,3,4,5}や{x,2x,x^2}や{{1,2},{2,3}}はすべてリストである。
2-1-2 リストをつくる便利な関数
Range[ ]または Table[ ]という関数を使って，リストを構成することができる。
書式
意味
Range[a,b,刻み幅]
A から b まで刻み幅で構成するリスト
刻み幅を省略すると 1 刻みとなる
Table[f[j],{j,最小値,最大値}]
集合の要素 f[j]で構成するリスト
［例題１７］次のリストを作成せよ。
（）内は Mathematica の入力方式。
① 1 から 10 までの整数のリスト。
（Range[1,10]）
② 1 から 10 までの平方数のリスト。
（Table[j^2,{j,1,10}]）
［練習問題１７］次のリストを作成せよ。
① 10 から 20 までの偶数のリスト。
② 10 から 20 までの 3 の倍数のリスト。
③ 0 からπまで，π/6 刻みのサイン関数の値のリスト。
④ 1/k! の第 0～n 項までの数列の和を f[n]として，f[n]の第 0～12 項までのリスト。
f[n_]:=N[Sum[1/k!,{k,0,n}]]
Table[{n,f[n]},{n,0,12}]
<参考>
・ ④では関数を定義しています。x_のアンダースコア(_)と:=に注意。
・ ④で出力するリストが 2 つの数値の組になっているのに注意。
2-1-3 リストを縦に並べる
横に並んで見にくいときには，TableForm[ ]を使うと見やすくなる。
書式
TableForm[リスト]
意味
リストの要素を長方形の配列にして出力する
［例題１８］次のリストを作成せよ。
（）内は Mathematica の入力方式。
1 から 20 までの整数とその階乗のリスト。
（TableForm[Table[{n,n!},{n,1,20}]]）
［練習問題１８］練習問題１７④を縦型のリストに変えよ。
- 13 -
2-2
集合
2-2-1 和集合・共通部分・補集合の計算
書式
意味
Union[集合 1,集合 2]
2 つの集合の和集合（結び）
Intersection[集合 1,集合 2]
2 つの集合の共通部分（交わり）
Complement[全体集合,集合 1]
集合 1 の補集合
Length[リスト]
成分の個数（リストの長さ）
Sort[リスト]
要素を小さい順に並べる
Reverse[リスト]
要素を逆順に並べる
［例題１９］次のような集合 A,B,U に対して，以下のものを求めよ。（）内は Mathematica の入力方式。
A={b,c,a,g,e,f}
B={a,h,d,f,c}
U={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}
① 集合 A の成分の個数
（Length[A]）
② A∪B
（Union[A,B]）
③ A∩B
（Intersection[A,B]）
④ 全体集合 U における B
（Complement[U,B]）
⑤ A∩B
（Intersection[Complement[U,A],Complement[U,B]]）
⑥ A∪B
（Complement[U,Union[A,B]]）
⑦ 集合 A のアルファベット順
（Sort[A]）
⑧ 集合 U の逆アルファベット順（Reverse[U]）
［練習問題１９］ 1～10000 までの整数を全体集合 U とし，そのうち，3 の倍数の集合 A，４の倍数の集合 B，
5 の倍数の集合を C とするとき，次の問いに答えよ。
① Table を使って集合 A を作れ。
② Table を使って集合 A を作れ。
③ Table を使って集合 A を作れ。
④ A∩B の個数を求めよ。
⑤ B∩C の個数を求めよ。
⑥ C∩A の個数を求めよ。
⑦ A∩B∩C の個数を求めよ。
⑧ A∪B∪C の個数は，A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C の個数であることを使って，A∪B∪C の個数を
求めよ。
2-2-2 集合の要素の追加など
書式
意味
Append[リスト,a]
AppendTo[リスト,a]
リストに要素 a を追加
リストに要素 a を追加（リストを変更）
Join[ﾘｽﾄ 1,ﾘｽﾄ 2]
リスト１とリスト２を合成
Apply[Plus,リスト]
成分の総和
Apply[Times,リスト]
成分の積
Map[f,リスト]
各成分に関数 f を適用する
- 14 -
［例題２０］次のように入力，実行して，リストの処理を確認せよ。
① A={a,b,c}
② Append[A,d]
③ A
④ AppendTo[A,d]
⑤ A
⑥ B={e,f}
⑦ Join[A,B]
［練習問題２０］次のように入力，実行して，リストの処理を確認せよ。
① A={1,2,3,4}
② Append[A,5]
③ A
④ AppendTo[A,5]
⑤ A
⑥ B={3,4,5,6}
⑦ Apply[Plus,A]
⑧ Apply[Plus,B]
⑨ Map[Sqrt,A]
⑩ Apply[Times,A]
⑪ 2B+1
（各要素に対して２倍して１を加える）
⑫ A^2
（各要素に対して２乗する）
⑬ A.A
（内積する）
2-2-3 集合の要素の取り出しなど
書式
意味
Take[リスト,番号]
リストの先頭から n 個の要素を取り出す
Select[リスト,条件]
リストの中から条件を満たすものを取り出す
Delete[リスト,番号]
リストから指定番号の要素を取り除く
First[リスト]
先頭の要素を取り出す
Last[リスト]
末尾の要素を取り出す
MemberQ[リスト,指定要素]
指定した要素が含まれているかどうかを判定
［例題２１］次のように入力，実行して，結果を確認せよ。
① Take[{a,b,c,d},2]
② Seloct{0,1,2,3},EvenQ]
③ Delete[{a,b,c,d},2]
④ First[{a,b,c,d}]
⑤ Last[{a,b,c,d}]
⑥ MemberQ[{a,b,c},d]
［練習問題２１］次のように入力，実行して，結果を確認せよ。
① A = {a, b, c, d, e}
② Take[A, -2]
③ Take[A, {2, 4}]
④ Select[{8Pi, aa, α, 30.5, 23/5}, NumericQ]
<参考>
・ Take[リスト, -n]は，リストの末尾から n 個の要素を与える。
・ Take[リスト, {m, n}]は，リストの m から n 番目の要素を抽出する。
・ EvenQ[式]は，式が偶数である場合に，NumericQ[式]は，式が数値的な量を表す場合に，True を返し，
そうでなければ False を返す。
- 15 -
2-3
場合の数と確率
2-3-1 順列
書式
意味
Permutations[リスト]
リストの要素すべての並べ方
Permutations[リスト,個数]
要素の一部を取出して並べる
n! （n には整数が入る）
n の階乗（n 個の順列）
［例題２２］次のように入力，実行して，結果を確認せよ。
① A = {さ, な, え}
② Permutations[A]
③ Permutations[A,2]
④ 5!
＜復習＞
・異なる n 個のものをすべて１列に並べる順列は，n! 通り。
・異なる n 個のものから r 個を取り出して１列に並べる順列は，n P r 通り。
・ n P r の計算については，組み込み関数は存在しないので，次のように定義して問題を解いてみましょ
う。
［練習問題２２］次のように入力，実行して，結果を確認せよ。
① P[n_,r_]:=n!/(n-r)!
② P[10,3]
③ Permutations［{さ,な,え}］ ← 自分の名前でやってみてください
2-3-2 組合せ
書式
意味
Binomial[n,r]
n 個から r 個を取り出す組合せ
KSubsets[リスト,個数]
要素の一部を取出す組合せ
［例題２３］次のように入力，実行して，結果を確認せよ。
① Binomial[10,3]
② KSubsets[{a,b,c,d},2]
［練習問題２３］
① C[n_,r_]:=Binomial[n,r]
② C[10,3]
③ <<DiscreteMath`Combinatorica`
KSubsets[{さ,な,え},2]
← 先にこれを実行すること！
← これも自分の名前でやってみてください
<参考>
・ DiscreteMath`Combinatorica` は，組み合わせ論とグラフ理論を拡張するパッケージ。
・ KSubsets[リスト, a]は，リストの中の部分集合でちょうど a 個の要素を含むものを辞書式順序で与え
るものである。
- 16 -
2-4
統計処理（データ処理とその図式化）
2-4-1 利用する関数
書式
意味
ListPlot[リスト]
リストをグラフにプロットする
Fit[リスト,{1,x},x]]
１次関数で近似する
Fit[リスト,{1,x,x^2},x]]
２次関数で近似する
Plot[x の式,{x の定義域}]
y=f(x)（x の式）をグラフに表示
Needs["Graphics`Graphics`"]
BarChart 関数を使うときに必要
BarChart[リスト]
棒グラフを表示
PieChart[リスト]
円グラフを表示
［例題２４］次のように入力，実行して，結果を確認せよ。
① ListPlot[{1,2,4,8,16}]
② Fit[{1,2,4,8,16},{1,x},x]
③ Fit[{1,2,4,8,16},{1,x,x^2},x]
④ Plot[2^x,{x,0,4}]
⑤ Needs["Graphics`Graphics`"]
⑥ BarChart[{1,2,4,8,16}]
⑦ PieChart[{1,2,4,8,16}]
［練習問題２４］次のように入力，実行して，結果を確認せよ。
① ListPlot[{1, 2, 4, 8, 16}, PlotStyle -> PointSize[0.02]]
② Plot[Sin[x], {x, 0, 2Pi}]
③ p = Table[Prime[n], {n, 10}]
④ PieChart[p]
<参考>
・ PlotStyle -> スタイルは，線や点の属性を指定する。PointSize[半径] で点の大きさを指定する。
（デフォルトは 0.01）
2-4-2 リストの作図と近似曲線
［例題２５］バネばかりの実験（１次関数での近似）
長さ 10cm のバネにおもりをつるしてその長さを測ったら，次のような結果を得た。
おもりの重さ(g)
0
20
40
60
80
100
バネの長さ(cm)
10.0
12.8
16.2
18.5
21.8
25.0
① Excel からの数値データの読み込みをする。Excel で，右図のように入力する。
② D ドライブに「Book1.txt」の名前で保存する。ファイルの種類で，
「テキスト（タブ区切り）
」
- 17 -
③
Mathematica で，次のようなコマンドを入力する。
ReadList["D:Book1.txt",Number,RecordLists->True]
④
これを「data1」という名前でリストとして代入しておくため，次の式を入力。
data1=% （%は，直前の結果のことで，これを data1 に格納している。）
これをグラフ上にプロットしてみよう。またこれに「ten1」という名前をつける。
ten1 = ListPlot[data1, PlotStyle -> PointSize[0.02]]
（ListPlot は，データをグラフ化する。）
実験データの点がおよそ直線上にのることを予測して１次関数で表すことを考える。
Fit[data1,{1,x},x]
（「Fit[data1,{1,x},x]」は，data1 というデータに対して，y=ax+b という１次関数（直線）で近似
をするという意味。
）
これにより，近似した直線（回帰直線）の式を得る。→ 式（
）
それをグラフに表して「sen1」という名前をつけておく。
sen1=Plot[%,{x,0,100}]
（Plot は，与えた直線（曲線）の式をグラフ化する。）
上で表した直線(sen1)とデータの点(ten1)の両方をグラフに表すには次のようにする。
Show[ten1,sen1]
（右図参照）
※グラフを少し大きめに拡大して，点と直線のズレを確認しておこう。
⑤
⑥
⑦
⑧
［練習問題２５］落下の実験（２次関数での近似）
ボールを投げ上げたときの水平方向の距離(x m)と，垂直方向(y m)の位置関係を表にしたところ，次
のようになった。
水平方向(m)
垂直方向(m)
0
0.0
1
15.0
2
20.5
3
16.0
4
1.6
5
-22.3
6
-56.2
① Mathematica で，次のようなコマンドを入力する。（Excel を使わないで直接入力）
data2={{0,0},{1,14.7},{2,20.9},{3,16.1},{4,1.7},{5,-22.3},{6,-56.2}}
② これをグラフ上にプロットしてみよう。これに「ten2」という名前をつけておく。
ten2=ListPlot[data2, PlotStyle -> PointSize[0.02]]
③ 実験データの点がおよそ放物線上にのることを予測して，２次関数で表すことを考える。
また，それをグラフに表して「sen2」という名前をつけておくことにする。
Fit[data2,{1,x,x^2},x]
sen2=Plot[%,{x,0,6}]
（%は直前の値，すなわち，近似曲線の式のこと。
）
2
※「Fit[data2,{1,x,x^2},x]」は，data2 というデータに対して，y=ax +bx+c という２次関数（放物線）
で近似するという意味。
④ 上で表した直線とデータの点の両方をグラフに表すには，次のようにする。
Show[ten2,sen2] （右図参照）
- 18 -
2-4-3 棒グラフと円グラフ
［例題２６］棒グラフの作成
6 人の数学テストの点数が 10 点，20 点，45 点，25 点，32 点，18 点であったとする。
①
リストの作成。
data3={10,20,45,25,32,18}
② これを棒グラフに表すには，次のようにパッケージを読み込
んだあと，BarChart[ ]を使う。
Needs["Graphics`Graphics`"]
BarChart[data3]
［練習問題２６］円グラフの作成
例題２６のデータを用いて，次の手順で円グラフを作成せよ。
① ６人の点数の割合を見やすくするために円グラフで表すとすれば，
PieChart[ ]を使う。
PieChart[data3]
② １人目の 10 点の部分を強調するために，次のようにすることもで
きる。
PieChart[data3,PieExploded->{{1,.2}}]
（右図参照）
３．Mathematica の基本操作（その３）
3-1
関数／数列
関数の定義
3-1-1 関数の定義
自分で考えた関数を定義することもできる。
書式
関数名[x_]:=式
意味
式の定義
［例題２７］次のように入力，実行して，結果を確認せよ。
① sanae[x_] := x^3
② sanae[3]
［練習問題２７］
１）次の関数を定義して，計算およびグラフ化せよ。
① f[x_]:=Exp[x]/x
② f[5]
③ Plot[f[x],{x,-2,5}]
- 19 -
④ g[x_]:=Sin[x]/x
⑤ g[2 Pi]
⑥ Plot[g[x],{x,-2 Pi,2 Pi}]
２）次の数列について，第 5 項と第 100 項を以下のようにして求めよ。
① a[1]=3
a[n_]:=a[n-1]+2
② a[5]
③ a[100]
3-2
数列
［例題２８］
①初項 3，公差 2 の等差数列を第１項～第 20 項まで表示させるには，次のようにする。
a[1]=3
a[n_]:=a[n-1]+2
Table[a[n],{n,1,20}]
②次に，数列の各項を棒グラフで表してみる。
<<Graphics`Graphics`
（BarChart[ ]を使うには，パッケージ「Needs["Graphics`Graphics`"]」を実行しておく必要が
ある。
）
p=Table[a[n],{n,1,20}]
BarChart[p]
③これらを分散図で表してみよう。
ListPlot[p]
④点をつないで折れ線グラフで表す。
ListPlot[p,PlotJoined->True]
⑤上記の数列について，その和を求めるには，Sum[ ]を用いる。
Sum[a[n],{n,1,200}]
Sum[a[n],{n,50,100}]
Sum[a[n],{n,1,k}]
⑥第 k 項までの和といったような，k という文字を用いた一般式で求めるには，漸化式の形のままでは
計算ができない。そこで，次のように，一般項の形（ここでは，初項 3，公差 2 の等差数列であるか
ら，「2n+1」と表せる）に直してから計算させることになる。
Sum[2n+1,{n,1,k}]
⑦求めた式をできるだけ簡単な形に整理するには，Simplify を用いる。
Simplify[%]
［練習問題２８］
次の数列について，第１項～第 20 項を求め，さらに棒グラフに表せ。
また，第 1 項～第 20 項までの和と，第 1 項～第 k 項までの和を求めよ。
① {bn = 15n - 3}
② {cn = 2n}
3
⎧
⎫
③ ⎨d1 = 3, d n = d n −1 + 1⎬
2
⎩
⎭
<参考>
・第 k 項までの和を求めるには，手計算で，漸化式から一般項を求めなくてはならない。
・一般項を求めたら，
「Sum[一般項の式,{n,1,k}]」の形で k 項までの和を求める。
- 20 -
課題研究
次の課題を Mathematica を用いて行い，プログラムリスト，出力結果などを印刷して提出しなさい。最初
に番号，氏名を忘れずに入力すること。
［課題１］素数の表れ方（素数列）について，次の手順で近似曲線（直線）を求めよ。
①
Table を用いて n 番目までの素数を表示させる。
②
N=30 として，素数を 30 個表示させる。
③
ListPlot を用いて，素数列をグラフにプロットする。
④
Fit を用いて，１次関数および２次関数で近似する。
⑤
素数列の点と近似曲線２つを同時に表示する。
［課題２］数列 {an} = {1, 2, 8, 22, 47, 86, ･･･} の一般項を次の手順で求めよ。
①
{1, 2, 8, 22, 47, 86, ･･･} をリストに格納する。
②
ListPlot を用いて，グラフにプロットする。
③
BarChart を用いて，棒グラフで表示する。
④
Fit を用いて，３次関数で近似する。
⑤
ぴったりと点が重なっていることを確かめたら，その曲線の表す式が数列の一般項になる。そこで元
の点列と近似曲線を表示する。
⑥
Rationalize を用いて，Fit で求めた曲線の式を分数の係数で再度求める。
［課題３］素数の表れ方（分布）について，回帰直線（近似曲線）を求める。
①
Table を用いて，100 までの素数の個数，200 までの素数の個数というように，100 刻みに 10000 まで
の素数の個数をリストで表す。
②
ListPlot を用いて，グラフにプロットする。
③
Fit を用いて，回帰直線の式を求める。
（自分で近似式を考える）
④
ガウスは少年時代に自然数 n までの素数の個数は
この関数のグラフを重ねてみる。
- 21 -
x
で近似されると予想した。上のグラフに，
log x
［課題４］８元の連立方程式を解くことで，次の魔方陣を解け。
(1) 右の正方形のマス目に 1～9 の異なる数字を並べ，縦横斜めのどの方向に合計しても
１
同じ数になるようにせよ。ただし，1 の位置はすでに決めている。
(2) 右の正方形のマス目に 36 の約数を全て当てはめ，縦横斜めのどの方向に合計しても
同じ数になるようにせよ。ただし，1 の位置はすでに決めている。
［課題５］次の因数分解を行い，その結果について考察されることを NoteBook に記入せよ。
(1) xn - 1
(2) xn - yn
(3) xn + yn
［課題６］次の問に答えよ。
(1) ある金貸し屋では「1 万円を借りたら 1 年後には 1 万円の利息をつけて返す」という約束で商売をし
ていた。ところが「利息は 50％以下に制限せよ」とのお達しがあり，この金貸しは「1 万円を借りたら
半年後には 5 千円の利息をつけて返す」という仕組みを考えた。利息は一見安くなったように思えたが
実際には違っていた。1 年後にはいくらになっただろうか。
※
金利を半年で 50％の複利として計算する。
(2) しばらくして「利息は 25％以下に制限せよ」との決まりが設けられたが，金貸し屋はまた考えて「1
万円を借りたら 3 ヶ月で 2500 円の利息」という約束で商売を始めた。利息は安くなったように思えたが
やはり実際にはそうではなかった。1 年後にはいくらになっただろうか。
※
金利を 3 ヶ月で 25％の複利として計算する。
(3) このあとは，同じ繰り返しを続け，利息の制限をすり抜けて，1 年間を n 回に分割して，
をつけて商売をした。では，1 年を 12 回に分割して
1
の利息
n
1
の利息をつけたとすると，1 年後にはいくらにな
12
るだろうか。
(4) このようにして 1 年間を n 回に分割して，
1
の利息をつける，という金貸しのやり方は，分割の回
n
数が増えれば増えるほど 1 年後の利息もまた増加を続けていく。
では n をどんどん大きくしていったとき，借金の額はどこまで大きくなるのであろうか。あるいはある
値に近づいていくのであろうか。次の手順でこの値を求めていこう。
①
②
③
④
Table を用いて n = 1 から n = 50 までの利息をリストにする。
ListPlot を用いてグラフにする。
Limit を用いてこの値の極限を求めてみる。
N を用いてその値の近似値を求めてみよう。
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第２章
数学を分析する
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