Title Author(s) Citation Issue Date 離散時間制御(発展編,<特集>初学者のための図解でわかる制御工学II) 永原, 正章システム/制御/情報 : システム制御情報学会誌 (2012), 56(6): 298-301 2012-06-15 URL http://hdl.handle.net/2433/173754 Right システム制御情報学会 Type Journal Article Textversion author Kyoto University 298 システム/制御/情報，Vol. 56, No. 6, pp. 298–301, 2012 |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 「『初学者のための図解でわかる制御工学 II』特集号」発展編離散時間制御永原正章* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 1. y はじめに u G(s) 倒立振子の制御では，通常，D/A 変換，A/D 変換を介して，ディジタル機器によるコントローラの実装が行われる [3]．このように，連続時間で動作する制御対象を離散時間で動作するコントローラで制御する系をサンプル値制御系と呼ぶ． Sh 大学学部もしくは大学院で学ぶ標準的な制御理論の講義では，連続時間コントローラの設計を対象としている yd 第1図ことが多い．また，本号（および 4 月号）の「図解でわかる」特集号の解説でも，そのほとんどは連続時間系を Kd : 想定している．それらの知識にもとづいて，コントロー Kd (z) ud Hh サンプル値制御系 σξ = AK ξ + BK yd u d = CK ξ + DK yd AK BK ⇐⇒ Kd (z) = . CK DK ラを連続時間系で設計したとしよう．その連続時間コントローラをコンピュータに実装する場合，なんらかの方法でコントローラを離散化する必要がある．このとき， (2) ただし，σ はシフト作用素，すなわち連続時間系ではうまく動作するはずの制御系が，離散化されたコントローラでも同じように動作するかどうかは，それを実際に動かしてみればある程度はわかるが，場合 (σξ)[k] := ξ[k + 1], k = 0,1,2,... によっては系が不安定となることもあり，最悪の場合，である．第 1 図の Sh および Hh はそれぞれ，サンプル機器を破損してしまう．周期 h > 0 の理想サンプラ，およびゼロ次ホールドであ本稿では，上記の問題を解決する方法として，サンプり，次式で定義される：ル値制御系の安定性を確保するための制御器の設計方 Sh : u → ud , ud [k] = u(kh), 法と，サンプル点間応答を考慮した離散時間最適レギュ Hh : yd → y, y(kh + θ) = yd [k], レータの設計方法を紹介する．これらは，90 年代初めよ k = 0,1,2,..., θ ∈ [0,h). り理論的な発展を遂げたサンプル値制御理論 [1,6] の基礎となる考え方であり，ディジタル化が当たり前の現在理想サンプラ Sh とゼロ次ホールド Hh はそれぞれ，では，必須の設計方法である． A/D 変換器および D/A 変換器のモデルである．このなお，信号の値の離散化（量子化）に関する話題は，本特集号の東俊一氏の解説を参照いただきたい． 2. プル値制御系と呼ぶ．サンプル値制御系 3. 本稿では，制御対象として次の状態空間表現を持つ線形時不変系を考える： G: ẋ = Ax + Bu y = Cx ⇐⇒ G(s) = A B C 0 して，連続時間の制御対象 G に対する連続時間コントローラ Kc をまず設計したのち，それを何らかの方法で (1) 離散化したものをコントローラ Kd として使用するという方法があり，ディジタル再設計と呼ばれる．【例題 1】台車型倒立振子モデル [3] の台車のモデルを構成する．Kd は離散時間のコントローラであり，次は以下で与えられる [4]．の状態空間表現を持つとする： G(s) = 京都大学情報学研究科 Key Words : サンプル値制御系の安定性第 1 図のサンプル値制御系を設計する一つの手段とこの制御対象 G に対して，第 1 図のフィードバック系 ∗ ように連続時間系と離散時間系が混在する制御系をサン state space representation, stability –1– b , a = 8.5879, b = 36.081 s(s + a) 299 永原：離散時間制御 r e Kr (s) − y G(s) 3 Continuous−time control Control by bilinear transform Reference 2.5 2 Ky (s) y(t) 1.5 第2図 r Sh 連続時間 I-PD 制御系 Kdr(z) Hh 1 0.5 G(s) 0 y −0.5 −1 0 Kdy(z) Sh 第4図 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Time t [s] 0.7 0.8 0.9 1 I-PD 制御系のステップ応答: 連続時間制御（実線），双一次変換による制御（破線）第3図 Gd サンプル値 I-PD 制御系この制御対象に対して，次の I-PD コントローラを設計 Sh ：する（第 2 図を参照） u(s) = Kr (s)r(s) − Ky (s)y(s), kI kI Kr (s) := , Ky (s) := kP + + kD s. s s y yd モデルマッチング法により，I-PD コントローラのパラ u G(s) Kd (z) Hh ud メータを求めると， kI = ωn3 α1 ωn2 α 2 ωn − a , kP = , kD = b b b 第5図離散時間系への変換これに対処するためには，サンプラとホールドの影響となることが知られている [4]．ここで，ωn = 30, α1 = を設計に陽に含めなければならない．以下，第 1 図のサ α2 = 3 とする．このコントローラをサンプル値制御系でンプル値制御系を安定化するための離散時間コントロー使うために，双一次変換ラ Kd の設計法を示す．まず，第 1 図を第 5 図のよう 2 z −1 s= · h z +1 に変形する．すなわち，理想サンプラ Sh とゼロ次ホールド Hh を制御対象 G の側へ移動し，によってコントローラを離散化する．すなわち，離散時 Gd := Sh GHh =: c2d(G,h). 間コントローラとして 2 z −1 hkI z + 1 · · , = h z +1 2 z −1 2 z −1 Kdy (z) := Ky · h z +1 hkI z + 1 2kD z − 1 · + · = kP + 2 z −1 h z +1 とおく．この Gd は入出力ともに離散時間信号であるの Kdr (z) := Kr で，入出力関係だけを見ると離散時間系であるように見える．実際，Gd は有限次元の線形時不変離散時間系で記述される ([1] の Theorem 3.1.1): 【定理 1】 Gd は下記の状態空間実現を持つ：を用いて制御する．参照信号 r を単位ステップ信号とし，サンプル周期が h = 0.02 のときの制御対象の出力（台車の位置）y(t) を第 4 図に示す．この図からわかるように，連続時間系では，所望の応答（ステップへの追従） Gd (z) = Ad Bd , C 0 Ad := eAh , (3) h Bd := eAt Bdt. 0 が得られているが，双一次変換により離散化した I-PD 離散時間系 Gd を連続時間系 G のステップ不変離散化制御器を使用すると，フィードバック系は不安定になる (step-invariant discretization) と呼ぶことがある．これは，Gd の（離散時間系としての）単位ステップ応答が， G の（連続時間系としての）単位ステップ応答を理想サンプラ Sh でサンプルしたものに等しいという性質に由（すなわち，台車は激しく左右に振れて，いずれ破損してしまう）ことがわかる． 2 双一次変換によるディジタル再設計では，一般に上記のような問題が生じ得るので，サンプル周期が十分小さ来する．くとれるような状況でないと使えない． (3) 式の Gd の公式を導出してみよう．任意の t1 ,t2 ∈ [0,∞), t1 < t2 に対して，線形微分方程式の解の公式よ –2– 300 システム/制御/情報第 56 巻第 6 号 (2012) v(t) P v(t) ∞ り，(1) 式の状態 x(t) は下記を満たす： x(t2 ) = eA(t2 −t1 ) x(t1 ) + t2 t1 eA(t2 −τ ) Bu(τ )dτ. (4) 0 v(t) P v(t)dt = ➀+➁+➂+··· これに，t1 = kh, t2 = kh+h, k = 0,1,2,... を代入し，制御入力 u(t) はサンプル点間 [kh,kh + h) で一定値 ud [k] ➀ ➁ ➂ ➃ をとるという性質を使って整理すると， x(kh + h) = eAh x(kh) + h eAt Bdt ud [k] h 0 0 J = が得られる．また，離散時間出力 yd はでの状態とすれば，状態空間実現 (3) 式が得られることがわかる． (5) このような制御は最適レギュレータと呼ばれ，この最小第 5 図のフィードバック系を離散時間系の Gd と Kd 値を達成する状態フィードバックゲイン K は，Riccati のフィードバック結合とみなすと，閉ループ系の状態方方程式により容易に求まる [5]．しかし，いま我々が考え程式はている第 1 図のサンプル値制御系では，状態はサンプル Ad + DK C Bd CK xd xd = σ ξ BK C AK ξ 点上でしか観測されず，また制御入力 u はゼロ次ホールドの出力，すなわち u(t) = Kx(kh) = Kxd [k], =:Acl で与えられる．このとき，以下の興味深い結果が得られ kh ≤ t < kh + h となるという前提がある．このような前提のもとで，(5) る [1] (Theorem 11.1.1): 式の評価関数を最小化する状態フィードバックゲイン K 【定理 2】第 1 図のサンプル値制御系が内部安定，すを求めよう．なわち制御対象 G の状態 x とコントローラ Kd の状態この目的のために，(5) 式の評価関数を次のように変 ξ がそれぞれ形する： x(t) = 0, lim k→∞,k∈Z ξ[k] = 0 J= を満たすための必要十分条件は，行列 Acl の固有値の絶対値が 1 未満であることである． = この定理より，第 5 図の離散時間フィードバック系に系の安定化は，サンプル点上の振る舞いだけを考えれば kh+h k=0 kh ∞ h v(t) P v(t)dt v(kh + θ) P v(kh + θ)dθ. これは評価関数 J の離散化であり，区間 [0,∞) での第 1 図のフィードバック系はサンプル値制御系の意味で内部安定となるのである．したがって，サンプル値制御 ∞ k=0 0 おいて，サンプル点上だけを見て安定化すれば，もとの積分が小区間ごとの積分の和で書けることを示している（第 6 図を見よ）．ここで，(4) 式に，t1 = kh, t2 = kh+θ, k = 0,1,2,..., θ ∈ [0,h) を代入して整理すれば， θ x(kh + θ) = eAθ x(kh) + eA(θ−η) Bu(kh + η)dη よく，従来の離散時間制御理論にもとづき (3) 式の離散時間制御対象を安定化する離散時間コントローラをそのまま用いればよい． 0 が得られる．また，プラントへの制御入力 u(t) は，サしかし，制御性能まで考えると，サンプル点上だけでンプル点間 [kh,kh + h) で一定値 ud [k] を取る：なくサンプル点間の応答をも考える必要がある．次節以降，サンプル点間の制御性能を考慮した離散時間制御器 u(kh + θ) = ud [k], の設計方法について述べる． 4. 0 ∞ x(t) Qx(t) + u(t) Ru(t) dt = となる．以上より，xd [k] := x(kh) を Gd のステップ k t→∞,t∈R ∞ 3h 評価関数 J の離散化 v(t) P v(t)dt, 0 x(t) Q 0 v(t) := , P := u(t) 0 R yd [k] = y(kh) = Cx(kh),k = 0,1,2,... lim 2h 第6図 t 4h ··· k = 0,1,2,..., θ ∈ [0,h). これより，サンプル値最適レギュレータ (1) 式の制御対象において，C = I （状態フィードバッ x(kh + θ) = e Aθ θ x(kh) + eAτ Bdτ · ud [k] 0 ク）を仮定し，次の評価関数を最小化する状態フィードバックゲイン K を求める問題を考えよう：となることがわかる．したがって， –3– 301 永原：離散時間制御 θ xd [k] eAθ 0 eAτ Bdτ v(kh + θ) = ud [k] 0 I AB xd [k] = exp θ 0 0 ud [k] 1.5 =:vd [k] = eM θ vd [k]. 1 0.5 が得られる．なお，途中の行列指数関数に関する等式は，参考文献 [1] の Lemma 10.5.1 を参照せよ．上の等式よ 0 0 り，連続時間の評価関数は J = = Pd := ∞ h vd [k] eM Sampled−data design Discretization of Kc Ideal response 2 |x(t)| =:M 2.5 θ 第7図 P eM θ vd [k]dθ k=0 0 ∞ vd [k] Pd vd [k] =: Jd , 0.5 1 1.5 Time t [s] 2 2.5 3 最適レギュレータにおける応答 |x(t)|: サンプル点間を考慮した設計（実線），連続時間コントローラ Kc を離散化（破線），理想的な応答（細線）本節で述べた考え方を拡張すれば，サンプル値制御系 k=0 h e M θ Pe Mθ に対する H 2 最適制御の定式化が可能となる．詳しくは， dθ. 参考文献 [1,6] などを参照いただきたい． 0 と離散時間の評価関数 Jd に等価的に変形される．以上 5. より，離散時間プラント Gd に対して，離散時間評価関おわりに数 Jd を最小化する状態フィードバックゲイン K を離本稿では，サンプル値制御系における安定化と最適散時間 Riccati 方程式にもとづいて求めればよいことがレギュレータに話題を限って，離散時間制御の基礎事わかる．以上の方法によって得られた最適レギュレータ項を説明した．本稿で述べた内容に関する理論の詳細をサンプル値最適レギュレータと呼ぶ．は，参考文献 [2] 等を参考にされたい．ここで学んだ【例題 2】例題 1 と同じ台車のモデルを用い，台車の内容は，現代的なサンプル値制御理論への橋渡しとな 2 つの状態，すなわち，台車の位置 y(t) と台車の速度 ẏ(t) は両方とも計測できるとして，最適レギュレータをる．ここで学んだ知識をもとに，例えば参考文献 [1, 設計する．制御対象の状態方程式は下記となる．制御などの発展した話題に進んで欲しい． 0 1 0 ẋ(t) = x+ u, 0 −a b x(t) := y(t) ẏ(t) 6] などを読んで，サンプル値 H 2 制御やサンプル値 H ∞ 参考文献 [1] T. Chen and B. Francis, Optimal Sampled-Data Control Systems, Springer (1995) http://www.control.utoronto.ca/~francis/ sd_book.pdf にてダウンロード可能． [2] 萩原，ディジタル制御入門，コロナ社，1999. [3] 川田，制御への道しるべ，システム/制御/情報，56-4 (2012) [4] 南，PID 制御，システム/制御/情報，56-4 (2012) [5] 浦久保，可制御性と状態フィードバック，システム/制御/ 情報，56-4 (2012) [6] 山本，原，藤岡，サンプル値制御理論 I–VI，システム/ 制御/情報，43-8, 10, 12 (1999), 44-2, 4, 6 (2000) ただし，a と b は例題 1 で用いたものと同じとする．(5) 式の評価関数 J の重みは， 10 Q= , R=1 01 とした．サンプル周期を h = 0.06 [s] として，サンプル値最適レギュレータのゲインを求めると，Kd = [0.5375,0.3466] となった．一方，(5) 式の評価関数に対して，連続時間の最適レギュレータを設計すると Kc = [1.0000,0.8165] が得られた．この Kc を第 1 図の Kd としてそのまま使って制御を行い，上のサンプル値最適レギュレータと比較する（第 7 図）．サンプル点間著者略歴ながまさあき永原正章 (正会員) 2003 年 3 月京都大学大学院情報学研究科博士課程修了．同年 4 月同大学助手，2007 年 4 月同大学助教となり現在に至る．ディを考慮した設計では，理想的な連続時間応答（連続時間コントローラが使えたと仮定したときの応答）とほぼ同じ制御性能が得られているが，連続時間で設計したゲインをそのままサンプル値制御系に使うと，非常に性能がジタル信号処理，サンプル値制御，ネットワーク化制御などの研究に従事．IEEE, SICE, IEICE などの会員．悪くなる．なお，サンプル周期 h をもう少し大きくすると，連続時間設計のゲインを使った場合は系が不安定となる．はら 2 –4–