情報数値解析
第８回
無限次元問題に対する精度保証
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 1 / 25
第８回・無限次元問題に対する精度保証
✔
この講義の目的:
✘
✘
✔
無限次元問題に対する精度保証法のひとつである Nakao の方法の
概要を紹介します．
偏微分方程式についても簡単に触れます．
Nakao の方法は偏微分方程式に対する精度保証法として開発され
ました．流体力学，電気，磁気，力学，光学，熱流など，いずれ
の領域における多くの物理現象は偏微分方程式で記述することが
できます．
参考文献:
✘
中尾 充宏, 山本 野人:
『精度保証付き数値計算』日本評論社, 1998.
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 2 / 25
講義のポイント
✔
無限次元問題に対処するためには，適切な関数空間を設定する必要
があること
✔
Banach 空間における不動点定理が有効であること
✔
有限次元と無限次元を結ぶ何らかの「架け橋」が必要なこと
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 3 / 25
第８回・無限次元問
題に対する精度保証
講義のポイント
偏微分方程式入門
偏微分方程式とは
偏微分方程式の例
偏微分方程式はなぜ
役に立つのか
偏微分方程式の種類
偏微分方程式に対す
る精度保証
偏微分方程式入門
検証例の紹介
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 4 / 25
偏微分方程式とは
✔
偏導関数を含む方程式のことであり，未知関数が複数個の独立変数
によっているものを指します．
✘
✔
例) 温度 u(x, t) は位置 x と時間 t による場合．
未知関数が 1 個の独立変数だけによる方程式を常微分方程式と呼び
ます．
以下，簡単のため
∂u
ut =
,
∂t
∂u
ux =
,
∂x
uxx
∂ 2u
=
,...
2
∂x
などと標記することがあります．
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 5 / 25
偏微分方程式の例
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✔
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✔
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ut = uxx
1 次元熱伝導方程式
ut = uxx + uyy
2 次元熱伝導方程式
urr + ur /r + uθθ /r2 = 0
極座標表示の Laplace 方程式
utt = uxx + uyy + uzz
3 次元波動方程式
utt = uxx + αut + βu
電信方程式
上の例で未知関数 u はつねに 2 個以上の変数の関数です．微分される方
の変数 u を従属変数と呼び，微分する方の変数を独立変数と呼びます．
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情報数値解析 – 6 / 25
偏微分方程式はなぜ役に立つのか
物理現象を空間微分と時間微分の間の関係（方程式）として記述すると
きに，これらの方程式に導関数が自然な概念（速度，加速度，力，摩擦，
磁束，電流, etc.）を表現するから．
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✔
✔
✔
Maxwell 方程式
Schrödinger 方程式
Newton の運動方程式
Navier-Stokes 方程式
⎧
∂u
1
⎪
⎪
⎪
⎨ ∂t + (u · ∇)u = − ρ0 (∇p + g ρ ez ) + νΔu,
div u = 0,
⎪
⎪
⎪
⎩ ∂θ + (u · ∇)θ = κΔθ.
∂t
第８回・無限次元問題に対する精度保証
conservation of momentum
conservation of mass
conservation of heat
情報数値解析 – 7 / 25
偏微分方程式の種類
偏微分方程式は線形か非線形かのどちらか
線形偏微分方程式というのは，従属変数 u とその導関数が方程式の中に
すべて線形で現れるもののことである．
《線形の例》
✔
✔
utt = e−t uxx + sin t
uxx + yuyy = 0
《非線形の例》
✔
✔
uuxx + ut = 0
xux + yuy + u2 = 0
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 8 / 25
第８回・無限次元問
題に対する精度保証
講義のポイント
偏微分方程式入門
偏微分方程式に対す
る精度保証
紹介する手法
問題と関数空間
不動点定式化
不動点定理
近似空間と誤差評価
不動点問題の分解
Newton 法の適用
不動点定式化 II
不動点定理の適用
代表的な U の取り方
具体的な計算部分
偏微分方程式に対する精度保証
検証例の紹介
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情報数値解析 – 9 / 25
紹介する手法
偏微分方程式に対する精度保証法のひとつである Nakao の方法の概要を
紹介します．
✔
1988 年に発表
M.T. Nakao, A numerical approach to the proof of existence of solutions
for elliptic problems, Japan J. Appl. Math., 5 (1988), 313–332.
✔
楕円型偏微分方程式に対する解の存在検証手法として発展
✔
偏微分方程式だけでなく，常微分方程式，積分方程式への応用例も
報告されている
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 10 / 25
問題と関数空間
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✔
✔
✔
X, X̂, Y を Hilbert 空間
埋め込み X̂ → X は compact
L : X̂ → Y を（楕円型）作用素
f : X → Y : (Fréchet) 微分可能な有界連続関数
適当な領域，境界条件のもと以下の問題を考える．
Lu = f (u)
《例》
−Δu = f (x, u, ∇u), x ∈ Ω,
u = 0,
x ∈ ∂Ω,
(1)
(2)
Ω は Rn (n = 1, 2, 3) の有界領域で区分的に滑らかな境界 ∂Ω を持つ．
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不動点定式化
問題 (1) の線形化問題:
Lv = g
は，任意の g ∈ Y に対して一意の解 v ∈ X̂ を持つと仮定する．
このとき，解 v ∈ X̂ を X に埋め込むまでの対応を作用素 v ≡ Ag で表
わすと，A : Y → X は compact，さらに，非線形作用素:
F u := Af (u)
も X 上の compact 作用素となり，問題 (1) は F に対する不動点問題:
u = F u.
(3)
に書き直すことができる．例 (2) では，次のような関数空間を選べばよ
い．X = H01 (Ω), X̂ = H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) and Y = L2 (Ω).
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不動点定理
《Schauder の不動点定理》
M を Banach 空間 X の空でない有界凸閉集合として T : M → M
を compact 作用素とする．このとき，T は不動点を持つ．
したがって，X の空でない有界凸閉集合 U に対し
F U = {F u | u ∈ U } ⊂ U,
が確認できれば，Schauder の不動点定理より u = F u をみたす u ∈ F U
が存在する．また，この u ∈ X は 問題 (1) の解でもある．
問題は，U の作り方．
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近似空間と誤差評価
Nakao の方法では，射影 (projection) と無限次元の射影誤差評価が中心的
な役割を果たします．
✔
✔
✔
Xh : X の有限次元部分空間
有限要素法の場合 h は，たとえば三角形の辺の長さになる．
Ph : X → Xh を射影として，次の近似性を仮定する．
v − Ph vX ≤ C(h)LvY ,
∀v ∈ X̂.
(4)
ここで C(h) > 0 は h に応じて具体的な値が決定できる定数．例 (2) で
Ph を H01 -projection として定義するとき．
C(h) = h/π
双一次矩形要素
C(h) = h/(2π) 双二次矩形要素
C(h) = 0.494h 三角形要素
∗
ともに R2 領域の一様分割時
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情報数値解析 – 14 / 25
不動点問題の分解
Xh は X の閉部分空間であるので，X の任意の要素は Xh の要素と X に
おける Xh の直交補空間 X∗ の直和の形に一意に分解することができる．
したがって，X の不動点方程式
u = Fu
も有限次元部分 (Xh ) と無限次元部分 (X∗ ) に次のように一意に分解さ
れる．
Ph u = Ph F u,
(5)
(I − Ph )u = (I − Ph )F u.
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 15 / 25
Newton 法の適用
方程式 (5) の有限次元部分の解を得るため，以下の手法を用いる．
(1) の近似解 uh ∈ Xh に対し，Nh : X −→ Xh を
Nh u := Ph u − [I − Ph F [uh ]]−1
h Ph (u − F u),
で定義する．ここで F [uh ] は F の uh での (Fréchet) 微分，
[I − Ph F [uh ]]−1
:
X
→
X
は
P
(I
−
P
F
[uh ]) の定義域を Xh に制限し
h
h
h
h
h
た作用素 Ph (I − Ph F [uh ])|Xh の逆作用素．
ここで，実際の [I − Ph F [uh ]]−1
h の存在と具体的な計算は，対応する行
列を精度保証付きで計算することによって求まる！
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 16 / 25
不動点定式化 II
Ph u = Ph F u
⇔
Ph u = Nh u
よって X 上の作用素 T を
T u := Nh u + (I − Ph )F u,
とすれば
u = Tu
第８回・無限次元問題に対する精度保証
⇔
(6)
u = Fu
情報数値解析 – 17 / 25
不動点定理の適用
T は X で compact であるので，再び Schauder の不動点定理より，空で
ない有界凸閉集合 ⊂ X に対して
TU ⊂ U
となれば，T の不動点の存在がいえる．
具体的な U は
U := uh + Uh + U∗ ,
U h ⊂ Xh ,
U ∗ ⊂ X∗ ,
(7)
で定める．このとき
Nh U − uh ⊂ Uh ,
(I − Ph )F U ⊂ U∗ .
(8)
であれば T U ⊂ U が成立する．
第８回・無限次元問題に対する精度保証
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代表的な U の取り方
✔
Uh は Xh の基底 {φj }N
j=1 と区間係数との一次結合として
Uh =
N
[Aj , Aj ] φj ,
j=1
✔
半径 γ > 0 のボールとして
Uh = {vh ∈ Xh | vh X ≤ γ},
✔
無限次元部分は α > 0 のボールとして
U∗ = {v∗ ∈ X∗ | v∗ X ≤ α}.
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 19 / 25
具体的な計算部分
Nh U − uh ⊂ Uh
連立 1 次方程式，Cholesky 分解，最大/最小特異値問題，最大/最小
固有値問題などの有限次元の精度保証付き問題に帰着される．
✔ (I − Ph )F U
射影の性質を用いて
✔
C(h) sup f (u)Y ≤ α
u∈U
✔
が確認できればよい．
局所一意性のためには更に次が必要: ∃k < 1 such that
T u1 − T u2 ≤ ku1 − u2 ,
第８回・無限次元問題に対する精度保証
∀u1 , u2 ∈ U.
(9)
情報数値解析 – 20 / 25
第８回・無限次元問
題に対する精度保証
講義のポイント
偏微分方程式入門
偏微分方程式に対す
る精度保証
検証例の紹介
A: 反応拡散方程式
B: MHD 均衡問題
C: 対称性破壊分岐点
D: Bénard cell
検証例の紹介
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 21 / 25
A: 反応拡散方程式
FitzHugh-Nagumo type
⎧
⎨ −ε2 u =
−v =
⎩
u =
model problem:
u(1 − u)(u − a) − δv for −1 ≤ x ≤ 1,
u − γv
for −1 ≤ x ≤ 1,
v = 0,
for x ∈ {−1, 1},
0.8
0.8
0.6
0.6
S1
0.4
S2
S1
0.2
-1
S2
0
AS1
0.8
1
x
-1
0.2
0
AS3
1
x
対称解 [u, v]
x
非対称解 [u, v]
0.8
0.6
AS2
0.5
0.4
AS3
0.2
AS1
AS2
-1
0
1
x
-1
0
δ = 0.2, ε = 0.1, γ = −0.05, a = 1/2
第８回・無限次元問題に対する精度保証
1
情報数値解析 – 22 / 25
B: MHD 均衡問題
−Δv = λ max {v, 0}, x ∈ Ω,
v = −1,
x ∈ ∂Ω
4
2
0.8
0.6
0
0.2
0.4
0.4
0.2
0.6
0.8
近似解の形状
λ = 30
第８回・無限次元問題に対する精度保証
v = 0 (自由境界) の包み込み
情報数値解析 – 23 / 25
C: 対称性破壊分岐点
2 次元 (x-z 座標) Oberbeck-Boussinesq 方程式:
⎧
ut + uux + ωuz = px + PΔu,
⎪
⎪
⎨
ωt + uωx + ωωz = pz − PR θ + PΔω,
ux + ωz = 0,
⎪
⎪
⎩
θt + ω + uθx + ωθz = Δθ
25
20
15
10
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−→ R/RC
第８回・無限次元問題に対する精度保証
情報数値解析 – 24 / 25
D: Bénard cell
⎧
1
⎪
⎪
⎨ −Δu + (u · ∇)u + ∇p − Rθez = 0,
P
∇·u = 0,
⎪
⎪
⎩
−Δθ + (u · ∇)θ − w = 0.
Bénard による実験結果 (1900)
第８回・無限次元問題に対する精度保証
精度保証された Bénard cell (2006)
情報数値解析 – 25 / 25
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