解答概要
離散構造 3,4 クラス 演習 8
出題：2011 年 2 月 4 日（金）
(1) 日本に住んでいる人の集合を A とおいたとき、以下の問に答えよ。
(a) A 上の二項関係 R が、xRy ⇔ (x と y がつくば市に住んでいる) と定義されるとする。
この R は、同値関係であるか否か、理由と共に示せ。
(解答)
(反射律) つくば市に住んでいる人 x については、x と x がつくば市に住んでい
るといえるが、つくば市に住んでいない人については、この関係は成立しない。
よって、反射律は成り立たない。
(対称律) x と y がつくば市に住んでいるならば、y と x がつくば市に住んでいる
と表現できるため、対称律は成り立つ。
(推移律) x と y がつくば市に住んでいて、y と z がつくば市に住んでいるならば、
x と z がつくば市に住んでいることになる。よって、推移律は成り立つ。
(同値関係) 対称律と推移律が成り立つが、反射律が成り立たないため、同値関
係ではない。
(b) A 上の二項関係 S が、xSy ⇔ (x は y が小学生であるときの先生である) と定義され
るとする。このとき、合成関係 R ◦ S と合成関係 S ◦ R において、違いがでてくるか
否か、理由と共に示せ。
(解答)
以下のような違いが出てくる。
x(R ◦ S)y において、x はつくば市民であり、y はつくば市民である小学校の先生
にとっての生徒となる。一方、x(S ◦ R)y において、x はつくば市民が小学生の
ときの先生であり、y はつくば市民となる。
後者では、先生である x がつくば市以外に住みながら、つくば市で小学校の先
生をしていることもありえる。このため、前者での x が必ずつくば市民である
のに対して、後者での x はつくば市民とは限らない。なお、前者での先生は、
xRz ∧ zSy を満たす z ∈ A であり、この先生 z はつくば市に住んでいる。
(2) 無向グラフ G = ⟨V, E⟩ が
V = {x ∈ N|0 ≤ x ≤ 5},
E = {{x, y}|y = ax + b ∧ a, b ∈ {1, 2} ∧ x ∈ V ∧ x ̸= y}
と定義されるとき、以下の問いに答えよ。但し、自然数の集合を N とし、0 を含むとする。
(a) G を描画した上で、頂点 2 の次数と G のサイズをそれぞれ示せ
(解答)
x ∈ V と y ∈ V が y = x + 1, y = x + 2, y = 2x + 1, y = 2x + 2 の何れかを満た
すときに x と y の間に辺を引くことにより、G が
5
0
4
1
3
2
というグラフであることが分かる。
頂点 2 に接続している辺の数は 5 であるため、頂点 2 の次数は 5 である。
G のサイズは G の辺の総数であり、11 である。
(b) 頂点 5 から頂点 0 へ単純道の中で最も長いものの長さを示せ。
(解答)
以下の理由により、長さは 10 である。
まず、頂点 5 を始点、頂点 0 を終点とする全ての辺を通る単純道 P が存在しな
いことを示す。
次数が奇数となる G の頂点は 5 と 2 の 2 つのみである。一般に、次数が偶数であ
る頂点が単純道の終点（もしくは始点）であるすると、その頂点自体が始点（も
しくは終点）でないと、その単純道は全ての辺を通る単純道とはならない。P に
おいて終点となる頂点 0 は次数が偶数であるが、頂点 0 が始点にもなっている訳
ではない。よって、P を描くことはできない。
次に、全ての辺の数は 11 であるから、頂点 5 を始点、頂点 0 を終点とする長さ
10 の単純道 P を探してみると、
⟨5, 4⟩, ⟨4, 3⟩, ⟨3, 5⟩, ⟨5, 2⟩, ⟨2, 4⟩, ⟨4, 1⟩, ⟨1, 3⟩, ⟨3, 2⟩, ⟨2, 1⟩, ⟨1, 0⟩
が存在する。よって、頂点 5 を始点、頂点 0 を終点とする単純道のうち、長さが
10 のものがもっとも長い単純道となる。
一般に、与えられたグラフにおいて、次数が奇数となる頂点の個数が 2 以下である
ならば、そのグラフの全ての辺を通る単純道が存在する。次数が奇数となる G の頂
点は 5 と 2 の 2 つのみであるため、G の全ての辺を通る単純道 P が存在する。G に
おいて全ての辺を通る単純道 P を描いた場合、P における頂点 5 の出次数の方が頂
点 5 の入次数より多ければ、P における頂点 2 の入次数の方が頂点 2 の出次数より多
くなる。もしくは、P における頂点 2 の出次数の方が頂点 2 の入次数より多ければ、
P における頂点 5 の入次数の方が頂点 5 の出次数より多くなる。つまり、頂点 5 と頂
点 2 が P の始点と終点、もしくは、終点と始点となっている。この問題では、始点
が頂点 5 であるが、終点が頂点 2 ではないため、この始点と終点の間を結ぶ全ての辺
を通る単純道は存在しない。
(3) 無向グラフ G が以下の 2 つの条件を満たすとき、木であることを証明せよ
• G は連結である (グラフ G が連結とは、どの 2 つの頂点の間にも道があることをいう)。
• G から、どの辺を取り除いても (頂点は除去しない)、連結でないグラフができる。
(解答)
無向グラフ G が連結であり、どの辺を取り除いても連結でないグラフができるに
も係わらず、木でないと仮定する。
G の頂点の中で根となる特別な頂点が存在しないために、木でなくなることがな
いように、G の任意の頂点 a を G が木であった場合の根として指定する。すると、G
が木でないことは、根 a への道が唯一存在するとは言えない頂点 v が存在すること
を意味する。これは、頂点 v から根 a への道が存在しないか、2 つ以上の道が存在す
るかのどちらかである。この内、前者が成り立っている場合、G は連結であるとい
う条件と矛盾する。後者が成り立っている場合、G の任意の辺を取り除くと連結で
なくなるという条件と矛盾する。よって、いずれの場合も、矛盾が導ける。つまり、
仮定が誤りであり、G は木である。
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