情報科学入門

2回目講義内容

情報科学入門

計算機の仕組み (1.1,4.1,4.2,4.3)
プログラムとプログラム言語 (1.2,4.5, 5.1)
ソフトウェアとハードウェアの階層性 (1.3)
アルゴリズムの重要性 (1.4)
土屋担当分
1
2
2進法
計算機の仕組み
p.164
例．4ビットの補数表現
I/O Devices
CPU
1000
1001
…
1111
0000
…
0111
Memory
(Storage)
-8
-7
-1
0
7
3
2値の演算
p.161
NOT（￢）
4
トランジスタによる演算の実現
AND（∧）
OR （∨）
トランジスタ
入力出力
0
1
1
0
入力
出力
入力出力
00
0
01
0
10
0
11
1
x
y
入力出力
00
0
01
1
10
1
11
1
x
y
大きい
例
5V
出力
入力
電圧
小さい
ドモルガンの法則
• ￢(A ∧ B) = ￢ A ∨￢ B
• ￢(A ∨ B) = ￢ A ∧￢ B
入力
5
0V
出力
6
1
加算
フリップフロップによる値の記憶
p.169, 図4.11
(b) 同じ桁
入力出力
00
0
01
1
10
1
11
0
(a) 桁上がり
入力出力
00
0
01
0
10
0
11
1
p.163, 図4.6
入力信号
出力
制御信号
7
8
1.2 プログラムとプログラム言語
実行可能な操作

プログラム言語

I/O Devices
CPU
Memory
(Storage)

プログラムを書くための言葉
機械語に変換されて実行
高水準言語（c, Java, … 理解しやすい）
変換系
+,*
変換
機械語（最も原始的，理解しにくい (p.182)）
フリップフロップ

どの操作を行うかを指定する命令の列（プログラム）は
メモリに保存
変換系(p.212)

コンパイラ

インタプリタ

(例．cc, gcc: C言語のコンパイラ，C言語はコンパイラ型言語)
9
1.3 ソフトウェアとハードウェアの
階層
10
1.4 アルゴリズムの重要性
アルゴリズムの良さ
直感的な評価

応用ソフトウェア

システムソフトウェア
速さ
使用するメモリ量
理論的，数学的分析

アルゴリズムの存在性

問題の難しさ，アルゴリズムの複雑さ
ハードウェア

11
計算可能性(computability) (3.1節)
計算量(complexity) (3.2節)
12
2
3回目講義内容

アルゴリズム，プログラム，言語 (2.1)

アルゴリズム，プログラム

アルゴリズム，プログラム
プログラムとプログラム言語 (Programming
Language)
構文 (2.2, 5.3)
意味 (2.2)
アルゴリズム(algorithm)

プロセッサが処理(プロセス)をどのように行うかを記
述したもの

入力(input)を受け取り出力(output)を行う．
停止する(terminate)．

プログラム

アルゴリズムを計算機が理解・実行できる形で記述し
たもの．
13
14
COBOL
プログラムとプログラム言語
事務処理用の言語

日付と時間の表示プログラム
IDENTIFICATION
DIVISION.
PROGRAM-ID.
TEST010.
AUTHOR.
K-NISHIYAMA.
ENVIRONMENT
DIVISION.
CONFIGURATION
SECTION.
SOURCE-COMPUTER. PC-9800.
OBJECT-COMPUTER. PC-9800.
DATA
DIVISION.
WORKING-STORAGE SECTION.
01 W-INPUTYMD
PIC 9(6).
01 W-INPUTHMS
PIC 9(8).
PROCEDURE
DIVISION.
ACCEPT W-INPUTYMD FROM DATE.
ACCEPT W-INPUTHMS FROM TIME.
DISPLAY "DATE = " W-INPUTYMD UPON CONSOLE.
DISPLAY "TIME = " W-INPUTHMS UPON CONSOLE.
STOP RUN.
様々な言語が存在
例．Pascal, Basic, COBOL, FORTRAN, C, C++,
Java, Perl, Ada, Lisp, ML, …
その理由(p.18)

分野の新しさ
目的の多様性
再発明への傾向
15
FORTRAN
C
数値処理用の言語
システム開発等
int main(void)
{
int cn, cnn, i, m, max, min, n, nn;
int *data_i, *ip, *work;
max = 3;
min = 1;
0010 C ----- EXAMPLE 1 ----0020
REAL VELO, ALPHA, RAD, TIME, PAI, GRAV, X, H
0030
PAI = 3.14159
0040
GRAV = 9.8
0050
READ(*,*)VELO, ALPHA, TIME
0060
RAD = ALPHA*PAI / 180.
0070
X = VELO*TIME*COS(RAD)
0080
H = -GRAV*TIME**2*0.5 + VELO*TIME*SIN(RAD)
0090
WRITE(*,*)'V0=', VELO, ' A=', ALPHA, ' T=', TIME
0100
WRITE(*,*)'X=', X, ' H=', H
0110
STOP
0120
END
16
data_i = mkdata_i(n, 1, 99);
data_c = mkdata_c(cn, 'A', 'z');
if(data_i == NULL || data_c == NULL || data_d == NULL || data_s ==
NULL ||
work == NULL)
{
fprintf(stderr, "Error : out of memory¥n");
exit(-1);
}
}
17
18
3
構文と意味

構文の例
プログラムは計算機が正しく解釈できるように書
かれていなければならない．
文 → 主語動詞目的語
主語 → 冠詞名詞
冠詞 → the
名詞 → elephant | peanut
動詞 → eats | ate
目的語 → 冠詞名詞

３種類の正しさ

構文(syntax)の正しさ
意味(semantics)の正しさ
論理(logic)の正しさ

文
A | B は，AかBの何れかを選ぶことを表す
構文上正しい文の例

p.68, p.227, p.228
the elephant ate the peanut
他には？
主語
動詞
冠詞名詞
目的語
冠詞名詞
the elephant ate the peanut
19
Backus-Naur形式（BNF)

20
例．数式
生成規則(production rule)の集合により構文を
定義（p.219~）

選択

A → B|C|D

AはBかCかD

S → ( S ) | 符号 S | S 演算子 S | 非負整数
演算子 → + | - | * | /
符号 → + | 非負整数 → 0 | 正整数
正整数 → 数字１{数字２}
数字１ → 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
数字２ → 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
0回以上の繰り返し
A → {B}

Aはε（空文），B, BB, BBB, …
プログラムの構文誤りは，コンパイル（プログラ
ムを機械語に翻訳すること）時に検出される．
21
意味に関する正しさ

論理の正しさ
意味誤り

構文上は正しいが意味的に正しくない場合

22
例．the elephant ate the peanut
論理的な誤り

プログラムでは構文誤りと異なり，実行時にしか
検出できない場合が多い．

間違ったアルゴリズム．
間違ったアルゴリズムの実装（プログラム化）．
例．
int a[5]; /* a[0], a[1], .., a[4]という変数を用意 */
int b = 10;
printf(“%d¥n”, a[b]);

プログラム実行前に発見できる意味誤り
例．宣言されていない変数の参照
23
24
4
4回目講義内容

復習：Backus-Naur形式（BNF)

前回の復習 … Backus-Naur 形式 (5.3)
アルゴリズムの洗練 (2.3)
連続，選択，繰返し (2.4, 2.5, 2.6)

p.219~

選択
A → B|C|D

アルゴリズムの基本構造

AはBかCかD
0回以上の繰り返し
A → {B}

Aはε（空文），B, BB, BBB, …
25
2.3 アルゴリズムの洗練 (1)

2.3 アルゴリズムの洗練 (2)
アルゴリズムはあらゆる場合に対応できるように
設計されなければならない．

プログラムは基本的な操作（命令）の集合

設計に関する厳密な方法論が必要．
アルゴリズムの設計においてもある程度の詳細化が
必要．

例．時刻表から飛行機の飛行時間を調べるアルゴリ
ズム(p.24)

段階的洗練，トップダウン設計
プログラムの作成においては，その言語で指定できる
命令のレベルまで，詳細化しなければならない．

例1．ロボットに対するコーヒーを入れるためのアルゴリズム
(pp.25~27)
27
例2
28
注釈
二つの整数の値を入れかえるプログラム

main()
{
int a, b, c;
a = 10; b= 20;
理解を助けるためのコメントで，実行されない部分
【 PASCAL】
{ コメント }
注1．教科書で使用
【 C】
?
/* コメント */
注2．「//コメント」も利用できる場合が多い
printf(“a:%d, b:%d¥n”, a, b);
【UNIXシェルスクリプト】
# コメント
}
結果 a:20, b:10
29
30
5
2.4 連続（列，sequence）
アルゴリズムの（制御に関する）基本構
造

2.4 連続（列，sequence）
2.5 選択 (selection)
2.6 繰返し (iteration)

順次ステップを実行していくという構造

すべてのアルゴリズムの基本

例．半径xの円の面積を表示するアルゴリズム

xの二乗x2を求める
x2 に円周率をかける
結果を表示する
x
31
2.5 選択(selection) (if-then)
連続の問題点

32
if 条件
then ステップ
例．x/yを表示するアルゴリズム

x/yを求める
結果を表示する
例．x/yを表示するアルゴリズム

if y≠0
then x/y を計算
結果を表示
何が問題か？
y が0なら単
に停止．
33
2.5 選択(selection) (if-then-else)
例
if 条件
then ステップ１
else ステップ２
実際のプロ
グラム言語
34

最も大きい数を選択するアルゴリズム (p.32)
if a > b
then
aを表示
else
bを表示
【PASCAL】
if 条件
then 条件が成り立っている場合の処理
else そうでない場合の処理

【C】
if (条件)
{条件が成り立っている場合の処理}
else {そうでない場合の処理}
a,b,c の3変数の場合は？

35
入れ子(nesting)を利用
36
6
最も大きい数を選択するアルゴリズム２

もし入力の変数(x1, x2, …)の数が予め決めら
れていなかったら？
2.6 繰返し(iteration) (repeat-until)

repeat
ループの本体(body)
until 条件
if x1 > x2
then if x1 > x3
then if x1 > x4
then if x1 > x5
then if x1 > x6
then if …

条件が成り立つまでループ本体を繰返し実行
実際のプロ
グラム言語
何が問題？何が必要？
【PASCAL】
repeat
処理
until 条件
ループ (loop)
【C】
do
{ 処理 }
while (!条件)
37
38
繰返し(iteration) (while)
最大値を持つ変数の選択
1番目の値を現在の最大値とする
repeat
if 次の値 > 現在の最大値
then 最大値を更新
until すべての変数を調べる

while 条件 do
ループの本体(body)
max = x[0]; i = 1;
do {
if (x[i] > max)
max = x[i];
i = i + 1;
} while (!(i > n))
•C言語のプログラム
n変数(x[0]~x[n-1])の場合
条件が成り立っている間ループ本体を繰返し実
行
実際のプロ
グラム言語
【C】
【PASCAL】
while (条件)
while 条件 do
{ 処理 }
処理
39
5回目講義内容
まとめ

連続 (Sequence)
選択 (Selection)
if condition
then step

40
if condition
then step 1
else step 2

前回の復習 … 連続，選択，繰返し (2.4, 2.5,
2.6)

連続，選択，繰返しのまとめ (2.7)
繰返し (iteration)
repeat
loop body
until condition
while condition do
loop body
41
42
7
選択(selection) (if-then-else)
例:最大値を持つ変数の選択
• a,bの2変数の場合
if 条件
then ステップ１
else ステップ２
実際のプロ
グラム言語
if a > b
then
aを表示
else
bを表示
【PASCAL】
if 条件
then 条件が成り立っている場合の処理
else そうでない場合の処理
【C】
if (条件)
{条件が成り立っている場合の処理}
else {そうでない場合の処理}
• a,b,cの3変数の場合
if a > b
then
if a > c
then
aを表示
else
cを表示
else
if b > c
then
bを表示
else
cを表示
43
繰返し
repeat
ループの本体(body)
until 条件
事後検査(post-tested)
【C】
do
{ 処理 }
while (!条件)
44
最大値を持つ変数の選択
1番目の値を現在の最大値とする
repeat
if 次の値 > 現在の最大値
then 最大値を更新
until すべての変数を調べる
while 条件 do
ループの本体(body)
事前検査(pre-tested)
n=1の場合でもうまく行くか？
【C】
while (条件)
{ 処理 }
45
繰返し (その他)
無限回の繰返し
repeat
ループの本体(body)
forever
【C】
while (1)
{ 処理 }
46
応用
N回の繰返し(Nは定数)
repeat N回
ループの本体(body)
【C】
for (i=0; i<N; i++)
{ 処理 }
47

素数の判定

最大公約数の計算

ソーティング(Sorting, 並び換え)
48
8
素数の判定１

素数の判定２
Naïveなアルゴリズム (p.36の上)

素数の候補を１とそれ自身の間のすべての数で割る
if どの数でも割り切れない
then 素数である
i = 2; divisible = 0;
else 素数ではない
while ( i < n ) {
if ( n % i == 0) {
divisible = 1;}
i = i + 1;
}
if (divisible == 0)
{ printf(“%dは素数¥n”, n);}
else
{ printf(“%dは素数ではない¥n”, n);}
よりsmartなアルゴリズム (p.36 (2.10))
約数の候補を2とする
repeat
素数の候補を約数の候補で割る
約数の候補を１増やす
until 割り切れた，あるいは
約数の候補＞（素数の候補）1/2
if どの数でも割り切れない
then 素数である
else 素数ではない
i = 2; divisible = 0;
sq = sqrt(n);
do {
if ( n % i == 0)
{ divisible = 1;}
i = i + 1;}
while (!((divisible == 1) |
(i > sq)));
if (divisible == 0)
{ printf(“%dは素数¥n”, n);}
else
{printf
(“%dは素数ではない¥n”, n);}
49
最大公約数の計算
50
ソーティング（並び換え）
•Euclidのアルゴリズム (p.39)
y > 0 ならば，GCD(x, y) = GCD(y, x/yの余り)
y = 0 ならば，GCD(x, y) = x
a[0] = 10
a[1] = 8
a[2] = 2
a[3] = 12
a[4] = 9
例．GCD(24, 9) = GCD(9, 6) = GCD(6, 3) = GCD(3, 0) = 3
while ( y != 0 ) {
mod = x % y;
x = y;
y = mod;
}
printf(“答え %d¥n”, x);
while y≠0 do
x/yの余りを求める
xをyで置き換える
yを余りで置き換える
答えxを書く
a[0] = 2
a[1] = 8
a[2] = 9
a[3] = 10
a[4] = 12
配列の大きさ n = 5
51
バブルソート(bubble sort)
52
6回目講義内容
最も単純なソーティングアルゴリズムの一つ

配列の大きさ n = 5
a[0] = 10
a[1] = 8
a[2] = 2
a[3] = 12
a[4] = 9
8
10
2
12
9
前回の復習 … 連続，選択，繰返し (2.7)

8
2
10
12
9
8
2
10
12
9
8
2
10
9
12

バブルソートを例として．
モジュール性 (2.8)
a[i] と a[i+1]を比較し，a[i]の方が大きければ交換
この処理を入れ替えが起こらなくなるまで繰り返す．
53
54
9
バブルソート(bubble sort)

バブルソート(bubble sort)
ソーティング（並び替え）アルゴリズムの一種
元のリスト
sun
dogma
dogma
sun
typical
typical
body
body
dog
dog
dogma
sun
typical
body
dog
dogma
sun
body
typical
dog
１回目終了
dogma
sun
body
dog
typical
１回目終了
時のリスト
dogma
sun
body
dog
typical
dogma
sun
body
dog
typical
dogma
body
sun
dog
typical
パス1
dogma
body
dog
sun
typical
パス 2
•各パスにおいて,
•先頭から順に，各要素を次の要素と比較
•順序が逆なら交換
•順序が逆の要素対が無くなるまでパスを繰り返す
55
バブルソート(bubble sort)
３回目終了
body
dogma
dog
sun
typical
body
dog
dogma
sun
typical
56
最初のアルゴリズム
２回目終了
時のリスト
dogma
body
dog
sun
typical
body
dog
dogma
sun
typical
body
dog
dogma
sun
typical
sun
dogma
typical
body
dog
dogma
sun
typical
body
dog
dogma
sun
typical
body
dog
dogma
sun
body
typical
dog
dogma
sun
body
dog
typical
N: 要素の数
各パスで N-1回の比較が必要
while リストが順に並んでいない do
リストの先頭から始める
順に並んでいるか１ステップ
では判断できない！
repeat N – 1 回
if その要素と次の要素が逆順
then その要素と次の要素を交換
次の要素を考える
パス３
57
リストが順に並んでいるか否かの判定

sun
dogma
typical
body
dog
各パスで交換があったか記憶しておく
元のリスト
１回目
２回目
３回目
４回目
sun
dogma
typical
body
dog
dogma
sun
body
dog
typical
dogma
body
dog
sun
typical
body
dog
dogma
sun
typical
body
dog
dogma
sun
typical
Yes
Yes
交換があった? Yes
58
最終的なアルゴリズム
キーアイデア

２回目終了
dogma
body
dog
sun
typical
No
整列済み !
59
dogma
sun
typical
body
dog
dogma
sun
typical
body
dog
dogma
sun
body
typical
dog
dogma
sun
body
dog
typical
repeat
リストの先頭から始める
repeat N – 1 回
if その要素と次の要素が逆順
then その要素と次の要素を交換
交換したことを覚えておく
次の要素を考える
until このパスで交換が行われなかった
60
10
Ｃ言語のプログラム
モジュール
do {
flag = 0;
for (i=0; i< n-1; i++) {
if (a[i] > a[i+1]) {
tmp = a[i]; a[i] = a[i+1];a[i+1] = tmp;
flag = 1;
}
}
} while (!(flag == 0));
repeat
リストの先頭から始める
repeat N – 1 回
if その要素と次の要素が逆順
then その要素と次の要素を交換
交換したことを覚えておく
次の要素を考える
until このパスで交換が行われなかった
do-whileを
whileに変更
したもの

何度も利用するようなアルゴリズムの一部の機
能をまとめ，アルゴリズムの一つの構成要素とし
たもの．
別の呼び方

flag = 1;
while (flag) {
flag = 0;
for (i=0; i< n-1; i++) {
if (a[i] > a[i+1]) {
tmp = a[i]; a[i] = a[i+1]; a[i+1] = tmp;
flag = 1;
}
}
}

手続き procedure
ルーチン routine
サブルーチン subroutine
関数 function
61
例: 二つの三角形を書くというプロセス
例: 二つの三角形を書くアルゴリズム
仮定: 同時に引ける線は一本
(x1, y1)
仮定: 同時に引ける線は一本
(x2, y2)
draw a line from (x1, y1) to (x2, y2)
draw a line from (x2, y2) to (x3, y3)
draw a line from (x3, y3) to (x1, y1)
(x4, y4)
(x5, y5)
(x3, y3)
62
(x6, y6)
draw a line from (x4, y4) to (x5, y5)
draw a line from (x5, y5) to (x6, y6)
draw a line from (x6, y6) to (x4, y4)
頂点の座標
以外同じ
63
64
仮引数と実引数
モジュール化の例
三角形を描くモジュール
module triangle (a1, b1, a2, b2, a3, b3)
draw a line from (a1, b1) to (a2, b2)
draw a line from (a2, b2) to (a3, b3)
draw a line from (a3, b3) to (a1, b1)
Module
module モジュール名 (p1,p2, …, pn)
… body of the module
(a1, b1)
(a3, b3)
Call
(a2, b2)
上のモジュールを用いたアルゴリズム
仮引数
モジュール名 (x1,x2, …, xn)
実引数
triangle(x1,y1,x2,y2,x3,y3)
triangle(x4,y4,x5,y5,x6,y6)
•仮引数を実引数に置き換えて，モジュールは実行される．
•仮引数と実引数の数や，種類が一致していなければ，意味誤り
となる．
65
66
11
モジュール化の意義

教科書の例
モジュールの仕様を厳密に定めておくことで，モ
ジュール自体の設計と，それを用いるプログラム
の設計を分離することができる．

二つの正方形を描くアルゴリズム
B
A
段階的なトップダウン設計に有用．
設計の容易化．
アルゴリズムの理解の容易化．
再利用性．
使える命令
•move(x)
•left(x)
•right(x)
•raise
•lower
67
68
モジュール化なし
モジュール化した場合
二つの正方形を描くアルゴリズム
B
二つの正方形を描くアルゴリズム
B
module
A
square(size)
lower
repeat 4回
move(size)
left(90)
raise
A
left(45)
move(501/2)
left(135)
lower
repeat 4回
move(10)
left(90)
raise
right(135)
move(501/2)
left(135)
lower
repeat 4回
move(20)
left(90)
raise
left(45)
move(501/2)
left(135)
square(10)
right(135)
move(501/2)
left(135)
square(20)
引数の一致だけでなく，前提となっている約束事（仕様）
に注意すること（例．終了時にペンがどうなっているか）．
69
7回目講義内容
モジュール化の実際(Cの関数)
int a, b, c, d, mod;
a = 30; b = 21; c = 42; d = 12;
while ( b != 0 ) {
mod = a % b; a = b;
b = mod;
}
printf(“答え %d¥n”, a);
void GCD(int x, int y) {
int mod;
while ( y != 0 ) {
mod = x % y; x = y;
y = mod;
}
printf(“答え %d¥n”, x);
}
while ( d != 0 ) {
mod = c % d; c = d;
d = mod;
}
printf(“答え %d¥n”, c);
main{
int a, b, c, d;
a = 30; b = 21; c = 42; d = 12;
GCD(a,b); GCD(c,d);
}
70

71
再帰性 (2.9)
72
12
再帰性(2.9)

再帰(recursion)

再帰の例．階乗の計算

アルゴリズムで，自分自身を呼び出すような処理のこ
と
1, 2, 3, …, N の積
fN = 1 × 2 × … × N-2 × N-1 × N

再帰的アルゴリズム(recursive algorithm)
自然数 N の階乗 (N!)
繰返しを用いたアルゴリズム
product を1とする
i を1とする
repeat N 回
product に iをかける
i に1足す
再帰を用いたアルゴリズムのこと
73
漸化式(recurrence)

74
それ自身を呼ぶアルゴリズム
自然数 N の階乗 (N!)
fN = 1 × 2 × … × N-2 × N-1 × N
fN-1
fN = N × fN-1 (N > 1)
fN = 1
(N = 1)
自然数 N の階乗 (N!)
fN = 1 × 2 × … × N-2 × N-1 × N
fN-1

別の表現
fN = N × fN-1 (N > 1)
fN = 1
(N = 1)

module factorial(N)
if N = 1
then 答えは 1
else N と factorial (N - 1)の積を求める
漸化式 (Recurrence, Recurrence relation)

fn を i < n であるようなfi の組合せで表したもの
75
N=3の場合の実行
factorial(3):
非再帰アルゴリズム vs. 再帰アルゴ
リズム
module
module factorial(N)
factorial(N)
ififNN==11
then
答えは
then 答えは11
else
elseNNととfactorial
factorial(N
(N--1)の積を求める
1)の積を求める
if 3 = 1
then
else 3 と factorial(2)の積を求める
76
6
if 2 = 1
then
else 2 と factorial(1)の積を求める 2
if 1 = 1
1
then 答えは 1
else …
product を1とする
i を1とする
repeat N 回
product に iをかける
i に1足す

77
module factorial(N)
if N = 1
then 答えは 1
else N と factorial(N-1)の積を求める
どの再帰アルゴリズムにも同じプロセスを行う非再
帰アルゴリズムが存在
再帰アルゴリズムは理解・設計が容易なことが多い
非再帰アルゴリズムの方が計算機では高速に実行
できることが多い
78
13
Euclidのアルゴリズム（最大公約数の計
算）
再帰の例．文字列の反転
例．Factorial → lairotcaF
reverse(c1 c2 c3 … cn) = reverse(c2 c3
reverse(c1) = c1
… cn) c1
GCD(x, y) = GCD(y, x/yの余り)
if y > 0
GCD(x, y) = x
if y = 0
x y
例:
GCD(24, 9) = GCD(9, 6)
(24 = 9 × 2 + 6)
GCD(9, 6) = GCD(6, 3)
(9 = 6 × 1 + 3)
GCD(6, 3) = GCD(3, 0)
(6 = 3 × 2 + 0)
GCD(3, 0) = 3
while y≠0 do
x/yの余りを求める
xをyで置き換える
yを余りで置き換える
答えxを書く
(２文字以上)
(１文字)
module reverse(s)
if sの長さが1
then その文字を書く
else 最初の文字をとる
reverse(sの残り)
取っていた文字を加える
x/yの余り
24 = 23 × 3
9 = 32
79
80
再帰的なEuclidのアルゴリズムの実行
再帰的なEuclidのアルゴリズム
GCD(24, 9)を計算
GCD(x, y) = GCD(y, x/yの余り)
GCD(x, y) = x
if y > 0
if y = 0
if 9 = 0
then
else GCD(9, 6)を計算
module
module GCD(x,
GCD(x, y)
y)
ifif yy == 00
then
答えは xx
then答えは
else
else GCD(y,
GCD(y, x/y
x/yの余り
の余り))
3
if 6 = 0
then
else GCD(6, 3)を計算
module GCD(x, y)
if y = 0
then 答えは x
else GCD(y, x/y の余り)
if 3 = 0
then
else GCD(3, 0)を計算
if 0 = 0
then answer is 3
else …
3
3
3
81
再帰を用いた場合とそうでない場合
の比較
82
再帰アルゴリズムの他の例

while y≠0 do
x/yの余りを求める
xをyで置き換える
yを余りで置き換える
答えxを書く

module GCD(x, y)
if y = 0
then 答えは x
else GCD(y, x/y の余り)
83
ハノイの塔
マージソート
84
14
ハノイの塔

一番下の円盤をBに動かす
には，上のN-1枚の円盤を
Cに動かさなければならな
い．
A
目的

必ず経なければならない状態
B
C
塔全てを別の棒に移
動すること
規則

同時に動かせるのは
１つの円盤のみ
円盤を小さい円盤の
上に置いてはいけな
い
いずれは必ず一番下の円盤を
Bに動かさなければならない.
86
85
再帰性 (N > 1)
アルゴリズム
C
A
A
B
movetower(N-1, A, C, B)
B (1) movetower(N-1, A, C, B)
C
movetower(N, A, B, C)
•N: 円盤の数
•A: source
•B: target
•C: workspace
(2) AからBへ残った1枚を移動
module movetower(N, x, y, z)
if N = 1
then 円盤をxからyに移動
else movetower(N-1, x, z, y)
xに残った1枚をyに移動
movetower(N-1, z, y, x)
movetower(N-1, C, B, A)
(3) movetower(N-1, C, B, A)
87
アルゴリズムの実行 (N=3)
movetower(3, a, b, c):
a
88
ハノイの塔アルゴリズムについて
b
c
module movetower(N, source, target, workspace)
if N = 1
then円盤を source から target に移動
else movetower(N-1, source, workspace, target)
円盤を source から target に移動
movetower(N-1, workspace, target, source)
if 3 = 1
then
else movetower(2, a, c, b)
if 2 = 1
then
else movetower(1, a, b, c)
if 1 = 1
then move 1 disk from a to b
else
move 1 disk from a to c
movetower(1, b, c, a)

if 1 = 1
then move 1 disk from b to c
else
…
簡潔で明快な解．
繰返しによるアルゴリズムも存在するが，簡潔では
なく，導出にはかなりの洞察力が必要.
再帰はアルゴリズムの設計において強力な道具となる．
…
move 1 disk from a to b
movetower(2, c, b, a)

89
90
15
マージソート(2)
マージソート
sort(0~4)
sort(0~2)
module sort(配列a)
if aの大きさが1
then その値を返す
else aを半分に分け，bとcとする．
sort(b)を計算しb’とする
sort(c)を計算しc’とする
b’とc’をマージ（併合）する
a[0] = 10
a[1] = 8
a[2] = 2
a[3] = 12
a[4] = 9
10
8
2
12
9
10
8
2
12
9
10
8
sort(0~1)
sort(0)
sort(1)
sort(2)
sort(3~4)
sort(3)
sort(4)
8
10
2
8
10
9
12
2
8
9
10
12
a[0] = 10
a[1] = 8
a[2] = 2
a[3] = 12
a[4] = 9
10
8
2
12
9
10
10
8
2
12
8
2
8
10
9
12
8
10
9
91
92
8回目講義内容
マージソートの実行
sort([10, 8, 2, 12, 9])
if 5 > 1
then sort([10, 8, 2])
if 3 > 1
then sort([10, 8])
if 2 > 1
then sort([10])
sort([ 8])
merge two halves [8, 10]
sort([2])
merge two halves
sort([12, 9])
if 2 > 1
then sort([12])
sort([9])
[9, 12]
merge two halves
merge two halves

再帰性(2.9)

データ構造(2.11)

ハノイの塔
[2, 8, 10]
[2, 8, 9, 10, 12]
93
ハノイの塔

a
N
塔全てを別の棒に移
動すること
規則

94
アルゴリズム
目的

2
8
9
10
12
N-1
同時に動かせるのは
１つの円盤のみ
円盤を小さい円盤の
上に置いてはいけな
い
b
c
module movetower(N, a, b, c)
if N = 1
then 円盤をaからbに移動
else movetower(N-1, a, c, b)
xに残った1枚をyに移動
movetower(N-1, c, b, a)
•
N-1
95
•
いずれは必ず一番下の円盤
をbに動かさなければならな
い.
一番下の円盤をbに動かす
には，上のN-1枚の円盤をc
に動かさなければならない．
96
16
伝説
実行時間
module movetower(N, x, y, z)
if N = 1
then 円盤をxからyに移動
else movetower(N-1, x, z, y)
xに残った1枚をyに移動
movetower(N-1, z, y, x)
1
TN-1
1
TN-1
TN = 2TN-1 + 1
T1 = 1

TN = ?
TN = 2 N - 1
TNN = 2NN - 1
B
A
僧が64個の円盤を移動．完了した時，世界が
終わる．
世界が終わるまであと何日？

N = 64
TN=64 = 264 -1 = 18446744073709551615
C
1秒に一回移動した場合 584942417355 years
97
列 (Sequence)
データ構造(2.11)

データ構造(data structure)

個々のデータを関係付け，管理や操作を行うための
構造

列

列を実現するデータ構造

列 (sequence)

配列(array)とリスト(list)
スタック(stack)とキュー(queue)

配列
リスト（参考まで）
列におけるデータの挿入や削除といった処理に
制限を置いた抽象化されたデータ構造
グラフ(graph)

データが一列にならんだもの

木(tree)

スタック
キュー（行列）
99
配列(Array)とリスト(List)
- 参照（アクセス）

配列(Array)とリスト(List)
- 削除と挿入
配列

100

位置（添字）によって識別
a[1]=10, a[2] = 2, a[3] = 8, …
配列

削除や挿入に手間がかかる
a[1]=10, a[2] = 2, a[3] = 8, a[4] = 7…
削除
ランダムにアクセスできる
リスト（参考）

a[1]=2, a[2] = 8, a[3] = 7, … … …
各要素はデータと次の要素へのポインタ

リスト

2
削除や挿入が容易
削除
8
ランダムアクセスはできない．
10
2
8
データ構造の大切さ
101
102
17
スタック(stack)とキュー(queue)

列におけるデータの挿入や削除といった処理に
制限を置いた抽象化されたデータ構造
下位のデータ構造は捨象してある（配列でもリストで
もよい）．

要素の追加，削除がLIFO(Last-in-first-out，後入れ先出
し）に従うようなデータ構造
応用例１．逆ポーランド記法の数式計算（HP社の電卓）

スタック
元の数式
4 * 7 - (5 + 3)
逆ポーランド記法 4 7 * 5 3 + a = pop
b = pop
push(4) push(7) push (a*b)
要素の追加，削除がLIFO(Last-in-first-out，後入れ
先出し）に従うようなデータ構造

スタック(stack)
追加：push
取出し：pop
キュー
要素の追加，削除がFIFO(First-in-first-out，先入れ
先出し）に従うようなデータ構造

7
4
4
4
7
28
*
3
5
28
5
28
5
3
8
28
20
+
-
103
スタック(stack)

キュー(queue)
応用例2．ウェブブラウザー

ページBでリンクAをクリック

ページBで戻るボタン

104

要素の追加，削除がFIFO(First-in-first-out，先
入れ先出し）に従うようなデータ構造
スタック1で push(B), スタック2を破棄，Ａに進む
追加：enqueue
取出し：dequeue
スタック1で A = pop, スタック2で push(B), Aに進む
ページBで進むボタン

28 5
スタック1でpush(B),スタック2で A = pop, Aに進む
www.1.com
リンクをクリック
www.2.com
リンクをクリック
1
戻る
1
3
進む
enqueue(3)
28 5 3
www.3.com
2
1
a = dequeue
5 3
2
1
105
木 (Tree)

106
データ構造としての木
グラフの一種
根 (root)
節 (node)

枝(branch)
(一般には辺
(edge))

データを節に関連付ける.
階層的な関係の表現に適する．
Japan
…
Osaka
Kyoto
葉 (leaf)
…
葉 (leaf)
Suita
…
Ibraki Toyonaka
107
108
18
2分木 (Binary Tree)

整列２分木
各節点から出る枝が高々２本であるような木

T
順序を持つデータの管理方法
各節にデータを次のように割り当てる

Tの左部分木=T’

Tの右部分木
左部分木のどのデータよりも順番が後
右部分木のどのデータよりも順番が前
8
4
T’の左部分
木
T’の右部分木
10
15
6
3
12
109
110
outputtree module --- 小さい値から順に出
力するアルゴリズム
２分木を用いたソーティング
ツリーソート
２分木を中間的なデータ構造として使用
入力
8
buildtree(L, T)
10
15
4
3
3
6
12
8
4
出力
outputtree(T) 3
10
6
module outputtree(T)
if Tが空でない
then outputtree(Tの左の部分木)
3, 4, 6
Tの根の値を書く
outputtree(Tの右の部分木)
15
4
6
8
10
12
15

各節のデータ

整列２分木
8
8
10, 12, 15
4
6
3
左部分木のどのデータより
も順番が後
右部分木のどのデータより
も順番が前
112
buildtree module
２分木を用いたソーティング
ツリーソート
module buildtree(L, T)
表 L の最初から始める
while L が尽きていない do
add (次の値, T)
２分木を中間的なデータ構造として使用
8
buildtree(L, T)
10
15
4
3
3
6
12
8
4
出力
outputtree(T) 3
10
6
15
15
12
111
入力
10
4
6
8
10
12
15
8
10
15
4
3
6
12
12
整列２分木
113
8
Input
4
3
10
6
15
12
114
19
整列２分木へのデータの追加
ツリーソート
module add (data, T)
if T が空である
then data が根にあるような新しい部分木をつくる
else if data が T の根にある値よりも前のものである
then add(data, Tの左部分木)
else add(data, Tの右部分木)
add(6, T’)
3
8
8
outputtree(T)
buildtree(L, T)
10
4
10
15
module sort(L)
4
空の Tで始める
3
3 buildtree(L,
6
T) 15
6
12
outputtree(T)
12
8 T
add(6, T)
add(6, T)
２分木を中間的なデータ構造として使用
入力
4 T’
10
6
15
出力
3
4
6
8
10
12
15
整列部分木
115
116
試験予定，講義のURL等

１２月１５日試験持ちこみ可

講義で配った資料，過去問

ホームページからダウンロード可
http://www-kiku.ics.es.osaka-u.ac.jp/~t-tutiya
質問など t-tutiya＠ist.osaka-u.ac.jp
117
20

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