Newton の運動方程式
∂V
∂x
∂V
m ÿ = −
∂y
m ẍ = −
例 2 次元極座標
(
x =
√
x
y
)
(
=
r cos θ
r sin θ
)
,
x2 + y 2 ,
y
θ = arctan
x
により Newton の運動方程式の両辺を書き直す (座標変換).
r =
左辺: 加速度
ẋ
ẏ
ẍ
ÿ
=
=
=
=
ṙ cos θ − rθ̇ sin θ
ṙ sin θ + rθ̇ cos θ
r̈ cos θ − 2ṙθ̇ sin θ − rθ̈ sin θ − rθ̇2 cos θ
r̈ sin θ + 2ṙθ̇ cos θ + rθ̈ cos θ − rθ̇2 sin θ.
右辺: 力（ポテンシャルの微分）
∂V
∂r ∂V
∂θ ∂V
=
+
∂x
∂x ∂r
∂x ∂θ
∂V
x
∂V
y
∂V
sin θ ∂V
= √ 2
− 2
= cos θ
−
,
2
2
x + y ∂θ
∂r
r ∂θ
x + y ∂r
∂V
cos θ ∂V
∂V
= sin θ
+
.
∂y
∂r
r ∂θ
運動方程式
(
)
∂V
tan θ ∂V
+
,
∂r
r ∂θ
(
)
∂V
cot θ ∂V
m r̈ − rθ̇2 + cot θ(2ṙθ̇ + rθ̈) = −
−
.
∂r
r ∂θ
和と差をとって
∂V
mr̈ = −
+ mrθ̇2 , (見かけの力”遠心力”が現れる)
∂r
)·
(
∂V
2
= −
mr θ̇
. (中心力 V = V (r) ならば角運動量保存)
∂θ
m r̈ − rθ̇2 − tan θ(2ṙθ̇ + rθ̈)
= −
Lagrange 形式
ẋ = ṙ cos θ − rθ̇ sin θ
ẏ = ṙ sin θ + rθ̇ cos θ
Lagrangian
1
m(ẋ2 + ẏ 2 ) − V (x, y)
2
1
m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) − V (r, θ).
=
2
L =
Euler-Lagrange 方程式
d ∂L ∂L
∂V
−
= mr̈ − mrθ̇2 +
=0
dt ∂ ṙ
∂r
∂r
)·
(
d ∂L ∂L
∂V
−
= mr2 θ̇ +
=0
dt ∂ θ̇
∂θ
∂θ
直交座標
極座標
Lagrangian
Lagrangian
1
L(x,y, x˙, y˙ ) = m( x˙ 2 + y˙ 2 ) " V (x,y)
2
=
1
L(r," ,r˙,"˙) = m(r˙2 + r 2"˙ 2 ) # V (r," )
2
易
E-L 方程式
E-L 方程式
!
•
# "L & "L
% ( ) =0
$ "x˙ ' "x
# "L & "L
% ( ) =0
$ "y˙ ' "y
•
# "L & "L
% ( ) =0
$ "r˙ ' "r
# "L & "L
% ˙( ) = 0
$"* ' "*
•
!
•
!
Newton 運動方程式
#V
#x
#V
m y˙˙ = "
#y
#V
+ m r$˙ 2
#r
#V
m r$˙˙ = "
" 2m rr˙$˙
#$
m x˙˙ = "
!
運動方程式
m r˙˙ = "
難
!
q-座標系
Q -座標系
Lagrangian
!
Lagrangian
L({q},{q˙})
=
!
L({Q},{Q˙ })
易
!
!
E-L 方程式
•
•
# "L & "L
=0
% ()
˙
"
q
"
q
$ i'
i
!
E-L 方程式
# "L & "L
=0
% ˙ ()
"
Q
"
Q
$ i'
i
!
運動方程式
難
運動方程式

Processing サンプルプログラム 3 2 枚の画像の平均 左右反転

倒立振子の制御 運動方程式 (Newton-Euler) 運動方程式 その1 運動