戦略的マーケティングのためのゲーム理論 付 録A 練習問題解答 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 30 録A 付 練習問題解答 (-1, -1) Government leave Bank negligent (1, 1) help diligent (0, 2) 図 A.1: 金融政策ゲーム：解答 Player 1 Player 2 Player 1 Player 2 Player 1 Player 2 Player 1 Player 2 (100, 100) (1, 0) (0, 2) (4, 1) (2, 8) (16, 4) (8, 32) (64, 16) (32, 128) 図 A.2: ローゼンタールのムカデ：解答 A.1 A.1.1 交互手番のゲーム 完全情報ゲーム 解答 15. 金融政策ゲーム 図 A.1 のとおり、銀行は negligent をとり、政府は help をとるのが唯一の 部分ゲーム完全均衡となる。leave するという政府の脅しは信憑性を持たな い。このメカニズムは経済紙などで「モラルハザード（倫理の欠如）」と呼ば れていることがあるが、契約理論におけるモラルハザード（情報の非対称性 の章で扱う）とは関係ないので注意。 解答 16. ローゼンタールのムカデ AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 A.1. 交互手番のゲーム 大臣1 31 大臣2 (死亡,君主) 暗殺する 暗殺する 暗殺しない 暗殺しない (大臣,大臣) (君主,大臣) 大臣1 大臣2 大臣3 (死亡,死亡,君主) 暗殺する 暗殺する 暗殺する 暗殺しない 暗殺しない 暗殺しない (大臣,大臣,大臣) (君主,大臣,大臣) (死亡,君主,大臣) 図 A.3: 優雅なる冷酷：解答 １回目のプレイで下を選ぶのが唯一の部分ゲーム完全均衡である（図 A.2）。 このゲームは囚人のジレンマと同様の構造を持つ。 解答 17. 優雅なる冷酷 (1) 大臣１は暗殺を行わない。君主は安泰である（図 A.3 上）。 (2) 大臣１は暗殺を行い、大臣２は暗殺を行わない。結果として大臣１が君 主となる（図 A.3 下）。 (3) N が偶数の場合は、大臣１は暗殺を行わず、君主は安泰である。奇数の 場合は、大臣１は暗殺を行うが、大臣２は暗殺を行わず、結果として大 臣１が君主となる。 解答 18. シュタッケルベルク競争・価格モデル（商品差別化あり） 第２ステージ 企業２の直面する最適化問題を考える。相手の価格 p1 を所与 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 32 録A 付 練習問題解答 とすると、価格を p2 と設定したときの利潤は、 π2 (p1 , p2 ) = (p2 − c2 )(α − βp2 + γp1 ) となる。企業２はこれを最大にするように p2 を決定する。満たされる べき一階条件は、 ∂π2 = α − 2βp2 + γp1 + βc2 = 0 ∂p2 これを整理すると p2 = α + βc2 + γp1 2β となる。 第１ステージ 企業１の直面する最適化問題を考える。自分が p1 を設定し たとき、相手の価格は p2 = α+βc2 +γp1 2β となることが前の分析からわ かっていることに注意する。そのときの利潤は、 π1 (p1 , p2 (p1 )) = (p1 − c1 )(α − βp1 + γp2 ) α + βc2 + γp1 ) = (p1 − c1 )(α − βp1 + γ 2β 一階条件は、 ∂π1 1 2αβ − 4β 2 p1 + γα + γβc2 + 2γ 2 p1 + 2c1 β 2 − c1 γ 2 =0 (p1 , p2 (p1 )) = ∂p1 2 β これを解いて、 p∗1 = γβ α(2β + γ) 1 c1 + 2 c2 + 2 2 4β − 2γ 2 4β − 2γ 2 このときの相手の価格は p∗2 = γ 4β 2 − γ 2 α(4β 2 − γ 2 + 2γβ) c1 + c + 2 4β 4(2β 2 − γ 2 ) 2β (4β 2 − 2γ 2 ) となる。これが部分ゲーム完全均衡価格である。 解答 19. 二重の限界化 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 A.1. 交互手番のゲーム (1) 第２ステージ 小売店の利潤は、 π(p, w) = (p − w)q = (p − w)(100 − 4p) 利潤最大化の一階条件は、 ∂π ∂p = −8p + 4w + 100 = 0 p∗ (w) = ∴ 4w + 100 8 第１ステージ メーカーの利潤は、 µ ¶ 4w + 100 Π(w) = wq = w(100 − 4p) = w 100 − 4 · 8 利潤最大化の一階条件は、 ∂Π ∂w = −4w + 50 = 0 ∴ w∗ = 12.5 このとき、均衡における小売価格・数量はそれぞれ、 p∗ = 18.75 q∗ = 25 また小売店・メーカーの利潤はそれぞれ、 π∗ = Π∗ = 12.5 × 25 = 312.5 (18.75 − 12.5) × 25 = 156.25 となる。 (2) 小売価格が p であるときの, メーカー・小売店の合計利潤は、 U (p) = pq = p(100 − 4p) 利潤最大化の一階条件は、 ∂U = −8p + 100 = 0 ∂p AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 33 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 34 録A 付 練習問題解答 このとき、均衡における小売価格・数量はそれぞれ、 p∗ = 12.5 ∗ = 50 q 小売店・メーカーの合計利潤は、 U ∗ = 12.5 × 50 = 625 となる1) 。 (3) (1) から、卸価格が w のときの販売数量は、 q(w) = 100 − 4p(w) = 100 − 4 · = 50 − 2w 4w + 100 8 これが (2) の場合に等しくなるのは、 w=0 のときである2) 。 (4) 第２ステージ (1) と同様、小売店の利潤は、 π(p, w, F ) = (p − w)q − F = (p − w)(100 − 4p) − F 利潤最大化の一階条件は、 ∂π ∂p = −8p + 4w + 100 = 0 ∴ p∗ (w) = 4w + 100 8 1) (1)(2) を比較すると、(1) では小売店が卸価格を所与として利潤最大化を図る結果、合計利潤を最大化す る理想的な数量よりも少ない量しか商品が売れず、合計利潤が低下してしまう。また、独占生産量よりもさらに 生産が過小になるため、消費者はますます損害を被る。この弊害は二重の限界化（double marginalization） として知られている。 2) 生産費用が一個あたり c（一定）であれば、メーカー・小売店の合計利潤を最大化する卸価格は ∗ w =c となる。 つまり、二重の限界化による売上減少・利潤損失を避けるためには、卸価格を限界生産費用に一致させる必 要がある。しかし、そうするとメーカーの利潤がゼロになってしまう。 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 A.1. 交互手番のゲーム 35 第１ステージ F は小売店の戦略決定には影響しないことが分かったので、 小売店が拒絶しない最大限まで、メーカーは F を上げることができ る。小売店が受諾しても拒絶しても利潤が等しくなる（ゼロになる） ような F の値は、 F (p, q, w) = (p − w)q である。このとき、メーカーの利潤は、 Π(w) = wq + F = wq + (p − w)q = pq = p(100 − 4p) µ ¶ 4w + 100 4w + 100 = 100 − 4 · 8 8 利潤最大化の一階条件は、 ∂Π ∂w = −2w = 0 w∗ = 0 ∴ このとき、均衡における小売価格・数量はそれぞれ、 p∗ = q∗ = 50 12.5 小売店・メーカーの利潤はそれぞれ、 π∗ = 0 Π∗ = 625 となる3) 。 解答 20. ホールドアップ問題（holdup problem） このゲームは次の３ステージからなる。 3) このような二部料金型の契約などを用いれば、売上を落とすことなく、メーカーは利益を確保することが できる。小売店の価格設定は限界費用（仕入れ値）にのみ依存し、固定負担額（F ）には依存しないので、仕 入れ値を限界生産費用に一致させておいて、固定負担で利益の移転を行うのである。小売店にも利潤を確保し たい場合は、F を小さくすればよい。 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 36 付 録A 練習問題解答 第１ステージ プレイヤー１が、製品に改造を施すか（コスト c）標準の仕 様にするか（コスト 0) を決定する。 第２ステージ プレイヤー２が、製品の品質（改造品 x + v 、または標準品 x） を見た上で、支払価格 p を提示する 第３ステージ プレイヤー１が、提示された価格 p で販売するか、市場で価 格 x で販売するかを決定する。 後ろ向き帰納法でこのゲームを解く。 第３ステージ プレイヤー１は、p ≥ x よりならばプレイヤー２と取引し、 p < x ならば取引しない。 第２ステージ p ≥ x なる p を提示した場合の利得は、 製品の品質 − p p < x とした場合はプレイヤー１に取引を拒否されるので、利得は 0 となる。製品の品質（x + v または x）≥ x であることに注意する。プ レイヤー２の最適戦略は、製品の品質にかかわらず p=x とすることである。 第１ステージ プレイヤー１がコストをかけてもかけなくても、プレイヤー ２の提示する価格 p は変化しないので、プレイヤー１はコストをかけ ないのが最適戦略となる。 したがって、プレイヤー１は標準品を作り、それを見たプレイヤー２は価格 p（ + ²）を提示し、プレイヤー１は承諾するというのがこのゲームの唯一の 部分ゲーム完全均衡となる4) 。 4) プレイヤー１がプレイヤー２のために有用な（v > c）改造を施し、プレイヤー２はその対価を支払うと いう効率的な状態は均衡として実現されない。改造の内容を詳細に契約に盛り込むことができない場合に、こ のような非効率が生じることが知られている。この問題はホールド・アップ問題（hold-up problem）と呼 ばれる。上流がコストをかけて改造を施しても、下流の企業から安値でしか買い取らないという主張をつきつ けられたら（”Hold up!”）、上流は泣く泣く損を甘受するしかない、ということから。 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 A.1. 交互手番のゲーム A.1.2 37 不完全情報ゲーム 解答 21. 銀行取付け (1) 第２期：プレイヤー２は、 • プレイヤー１が預金を引き出すと信じるならば（信念 A）、預金を 引き出す。 • プレイヤー１が預金を引き出さないと信じるならば（信念 B）、預金 を引き出さない。 なお、プレイヤー１は、プレイヤー２が信念 A を抱いていると信じるな らば預金を引き出し、また信念 B を抱いていると信じるならば預金を引 き出さない。したがってこれらの信念は整合的である。 第１期：プレイヤー２は、 • 信念 A のもとでは、（第１期のプレイヤー１の行動に関する信念に 関わらず）預金を引き出す（図 A.4 上）。 • 信念 B のもとでは、 – プレイヤー１が預金を引き出すと信じるならば（信念 B1）、預 金を引き出す（図 A.4 中）。 – プレイヤー１が預金を引き出さないと信じるならば（信念 B2）、 預金を引き出さない（図 A.4 下）。 以上３つが部分ゲーム完全均衡となる。同じ条件の下でも、プレイヤー の抱く信念によって、 • １期目で両者とも預金を引き出す • ２期目終了時まで両者とも預金を引き出さない ２つの状態が生じるのである。 (2) 早期解約者が違約金 a を支払い、これを他の出資者が受け取る場合、ゲー ムは次のようになる。a > 1 であれば、両者とも預金を引き出さないの が唯一の均衡となる5) 。 5) このとき、違約金の定めは実際には発動されないことに注意する。 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 38 付 録A 練習問題解答 (3, 3) 引き出す 引き出さない Player 1 100% (4, 2) 引き出す Player 2 引き出さない (2, 4) 0% (3, 3) 引き出す 引き出す 引き出さない 100% 引き出さない Player 2 (4, 2) 引き出す 引き出さない Player 1 (2, 4) 0% 引き出す 引き出さない (5, 5) (3, 3) 引き出す 引き出さない Player 1 100% (4, 2) 引き出す Player 2 引き出さない (2, 4) 0% (3, 3) 引き出す 引き出す 引き出さない 0% 引き出さない Player 2 (4, 2) 引き出す 引き出さない Player 1 (2, 4) 100% 引き出す 引き出さない (5, 5) (3, 3) 引き出す 引き出さない Player 1 0% (4, 2) 引き出す Player 2 引き出さない (2, 4) 100% (3, 3) 引き出す 引き出す 引き出さない 0% 引き出さない Player 2 (4, 2) 引き出す 引き出さない Player 1 (2, 4) 100% 引き出す 引き出さない (5, 5) 図 A.4: 銀行取付け：解答 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 A.1. 交互手番のゲーム 39 (3, 3) 引き出す 引き出さない Player 1 0% (4-a, 2+a) 引き出す Player 2 引き出さない (3, 3) (2+a, 4-a) 100% 引き出す 引き出す 引き出さない 0% 引き出さない (4-a, 2+a) 引き出す Player 2 引き出さない Player 1 (2+a, 4-a) 100% 引き出す 引き出さない (5, 5) 図 A.5: 解答 22. 部分ゲームに複数のナッシュ均衡がある場合 (1) 図 A.6 参照。部分ゲーム完全均衡は２つある。 (2) (参入しない, 参入してきたら Large Niche）という均衡は合理的な推論か らは支持されないとする意見がある。プレイヤー１はもし Small Niche に参入するくらいなら参入しない方がマシなのだから、参入してきたか らには Large Niche に違いない、というのである。そこでこのような均 衡を前向き帰納法（forward induction）を用いて排除する議論がある。 ただしその推論の妥当性については意見が分かれている。 解答 23. 同時手番ゲームと交互手番ゲームの比較 (1) 数量競争 (1) 同時手番の場合、(中, 中) が唯一のナッシュ均衡である。このときの両企 業の利潤は (160, 160) となる。 １＼２ 多 中 少 多 0, 0 120, 80 180, 90 中 80, 120 160, 160 200, 150 少 90, 180 150, 200 180, 180 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 40 付 録A 練習問題解答 Player 2 (-3, -3) L S Player 1 (3, 1) L Player 1 S in (1, 3) L S out (-6, -6) (2, 0) Player 2 (-3, -3) L S Player 1 (3, 1) L Player 1 S in (1, 3) L out S (-6, -6) (2, 0) 図 A.6: Large niche or small niche : 解答 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 A.1. 交互手番のゲーム 41 (0, 0) player 2 (120, 80) 多 (180, 90) 多 player 1 中 (80, 120) 中 少 少 (160, 160) (200, 150) (90, 180) (150, 200) (180, 180) 図 A.7: 同時手番ゲームと交互手番ゲームの比較 (1) 数量競争 (2) 図 A.7 を参照。交互手番の場合、(多, 少) が唯一の部分ゲーム完全均衡 である。このときの両企業の利得は (180, 90) となる。同時手番の場合に 比べて、先手の利得が増える一方、後手の利得は減ることになる。つま り、このゲームは先手に有利である6) 。 解答 24. 同時手番ゲームと交互手番ゲームの比較 (2) 価格競争 (1) 同時手番の場合、(安, 安) が唯一のナッシュ均衡である。このときの両店 の利潤は (440, 440) となる。 １＼２ 高 中 安 高 990, 990 450, 1020 0, 880 中 1020, 450 660, 660 300, 680 安 880, 0 680, 300 440, 440 6) 一般に数量競争では、相手が生産量を増やすと自分は生産量を減らすのが最適反応となる。このように、 相手の戦略の変化に対して、自分の戦略を反対の方向に変化させるのが互いに最適反応になるような構造を戦 略的代替（strategic substitute）という。一般に、戦略的代替性のあるゲームを交互手番でプレイする場合 には、先手が有利になる。 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved. 戦略的マーケティングのためのゲーム理論 42 付 録A 練習問題解答 (990, 990) player 2 (450, 1020) 高 player 1 (0, 880) 高 中 安 安 (1020, 450) 中 (660, 660) (300, 680) (880, 0) (680, 300) (440, 440) 図 A.8: 同時手番ゲームと交互手番ゲームの比較 (2) 価格競争 (2) 図 A.8 を参照。交互手番の場合、(高, 中) が唯一の部分ゲーム完全均衡 である。このときの両企業の利得は (450, 1020) となる。同時手番の場合 に比べると、先手・後手とも利得が増えている。しかし、同時手番では 利得の値は等しかったのに対して、交互手番では後手の方が利得が大き くなっている。つまり、このゲームは後手に有利である7) 。 7) 一般に価格競争では、相手が価格を下げると自分も価格を下げるのが最適反応となる。このように、相 手の戦略の変化に対して、自分の戦略を同じ方向に変化させるのが互いに最適反応になるような構造を戦略的 補完（strategic complement）という。一般に、戦略的補完性のあるゲームを交互手番でプレイする場合に は、後手が有利になる。ただし、先手はいかなるゲームにおいても、同時手番の場合のナッシュ均衡における 利得は最低限確保することができる（ナッシュ均衡の定義より、先手のナッシュ均衡戦略に対する後手の最適 反応は当該ナッシュ均衡戦略であるから）。したがって、先手の利得が同時手番の場合よりも減るということ はない。 AKANE Mitsuyuki,"a textbook of game theory",2004 Copyright©2004 Japan Consumer Marketing Research Institute. All rights reserved.
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