ミクロ経済学 II １９９７年度冬学期 インストラクター 西條辰義
１．パレート効率性（１）
（入門 6 章 1 節）
定義１．１: An alternative A is Pareto superior to B if and only if ui ( A) ≥ ui ( B) for all
i = 1,..., I and u j ( A) > u j ( B) for some j.
例１．１： {A,B,C,D,E,F} を吹田市における廃棄物処理施設の候補地し，{１，２} を吹田
市の二つの地域とする．二つの地域の選好は以下のとおり．
u1( A) > u1( B) > u1(E) > u1( F ) > u1( D) > u1(C )
u2 ( D) > u2 (E) > u2 ( A) > u2 ( B) > u2 (C ) > u2 ( F )
(1) A と B を比較してみる．
u1( A) > u1( B)
u2 ( A) > u2 ( B)
なので，A is Pareto superior to B. よって，B は選ばれるべきではない．
(2) A と D を比較してみる．
u1( A) > u1( D)
u2 ( D) > u2 ( A)
なので，A と D はパレートの意味で比較不能．
注意１．１： 以下で "feasible" という言葉を用いるが，この意味は考察する問題に応じ
て決まる．
(1) {A,B,C,D,E,F}をある地区の２０才以上の住民とし，地区長の選挙を考える．地区長に
立候補できるのは２５才以上で，２５才以上の住民は，{A,C,E,F}とする．ここで地区長の
"feasible"な候補者は，{A,B,C,D,E,F}ではなく，{A,C,E,F}である．
(2) ある夫婦が今度のお正月に遊びにいく候補地として{A,B,C,D,E,F}をあげた．ただ，金
銭的な制約があり，予算の範囲内でいけるのは{B,C,D}だとするなら"feasible"な候補地は
{B,C,D}である．
(3) 実現可能な配分(feasible allocation)は後で定義する．
定義１．２: A feasible alternative A is Pareto efficient if and only if there is no other feasible
alternative B that is Pareto superior to A.
注意１．２： パレート効率性の定義そのものは，後に述べる経済的環境のみならず，上
記のように一般的な環境で定義された概念であることに注意されたい．初心者はパレート
効率性の定義の中に価格が入っていると誤解しがちだが，上述の定義の中に価格という概
念は入っていないことに注目しておこう．
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ミクロ経済学 II １９９７年度冬学期 インストラクター 西條辰義
性質１．１： A feasible alternative that is the unique best alternative for some agent i is Pareto
efficient.
証明：ある主体 i にとって最も好ましくかつユニークな選択肢を A としよう．A がパレー
ト効率でないとし，矛盾を導けばよい．A がパレート効率でないのだから，A よりもパレ
ート優位で実現可能な選択肢 B がある．パレート優位性の定義により， ui ( B) > ui ( A) ない
しは ui ( B) = ui ( A) ． ui ( B) > ui ( A) とするなら，A が i にとって最も好ましい選択肢であ
ることに反する． ui ( B) = ui ( A) なら，A が i にとって唯一の最も好ましい選択肢であるこ
とに反する．■
参考１．１： 「○ならば□」を証明するためには，「○」かつ「□でない」ことが成立
していなければよい（ベン図を書いて見よ）．それゆえ背理法では，
「○ならば□」を証明
するのに「○」かつ「□でない」と想定し矛盾を導きだす．たとえば，○を「母」とし，
□を「女性」とする．「□でない」ことは「男性」であるので，母かつ男性はあり得ない．
それゆえ，母ならば女性なのである．
「○ならば□」を証明するのに「○ならば□でない」
と想定する学生諸君がいるが，これは間違い．経済学を学習するのに記号論理学の本を読
まねばならない，と感じる学生諸君もいるかもしれない．残念ながら，記号論理学の本を
読んでいては，経済学の学習ができない．少し古い本になるが，
石谷茂著『現代数学入門序説』現代数学社 1975 年
の「第２篇第１章記号論理」（pp.136-180）を読めば，経済学で用いる記号論理の話はほ
ぼすべて完了する．高校生にも読める程度の本である．一日もかからずに読める．西條が
この章のコピーを一部供給するので，興味のある諸君は一度読んでみるとよい．演習をし
てみたい方にすすめたいのが，
ドラブキナ著『記号論理学の演習』東京図書 1968 年
の１章，２章である．中学生程度の知識で楽しく読める．
注意１．３： 各政党が異なった政策を掲げ，各々の政党の選好は自身の主張する政策が
唯一の最適政策であるとすると，性質１．１によりすべての政策がパレート効率となって
しまう．このように社会選択的な状況においては，パレート効率のみでは選択肢の中から
いくつかの望ましい選択肢を選ぶ作業が意味を持たなくなる．例１．４も参照せよ．なお，
セクション２で，経済環境におけるパレート効率性を導入するが，経済環境においては，
実現可能な配分に比してパレート効率な配分の大きさは格段に小さい．通常，パレート効
率な配分の集合の測度は，実現可能な配分全体で考えると，測度ゼロである．しかしなが
ら，パレート効率な配分は通常無限濃度だけあり，そこでの選択が重要な問題となる．
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ミクロ経済学 II １９９７年度冬学期 インストラクター 西條辰義
例１．２： 例１．１を考えてみよう．{A,B,C,D,E,F}のすべてが実現可能であるとしよう．
性質１．１より A,D はパレート効率．E もパレート効率．パレート効率でない選択肢は，
B,C,F. 「パレート効率な選択肢はパレート非効率な選択肢よりもパレート優位である」
という命題は偽．選択肢 F と D を比較せよ．
例１．３： 注意１．１の(2)の夫婦の選択肢に対する選好が例１．１のようであったとし
よう．このとき，パレート効率な選択肢は B,D となる．例１．２では B はパレート非効率．
このように実現可能は選択肢が何であるかに依存して同じ選択肢がパレート効率になった
りならなかったりする．
例１．４： 再び例１．１を考えてみよう．{A,B,C,D,E,F}のすべてが実現可能であるとしよ
う．地域１の選好はそのままで，地域２の選好は
u2 (C ) > u2 ( D) > u2 ( F ) > u2 (E) > u2 ( B) > u2 ( A)
であるとしよう．このとき，パレート効率な選択肢は実現可能な選択肢のすべてになって
しまう．
練習問題１．１： ３人で２つの選択肢 A, B の場合，無差別な場合をのぞき，ありうる選
好の組み合わせを求めその各々の選好に対しパレート効率な選択肢を見つけよ．さらに，
パレート効率な選択肢の平均個数を求めよ．
練習問題１．２： 定義１．１とは少し異なるパレート優越性の定義として
定義１．１’: An alternative A is Pareto superior to B if and only if ui ( A) > ui ( B) for all
i = 1,..., I .
を考えてみよう．定義１．１’を用いて定義したパレート効率性を「パレート効率性’」
と呼ぶことにしよう．このとき，「ある選択肢がパレート効率ならば，その選択肢はパレ
ート効率’である」ことを示し，パレート効率な選択肢の集合がパレート効率’な選択肢
の集合に厳密に含まれる例を示せ．
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