目 次
i
はじめに
第I部
測度と積分
第 1 章 測 度
1
3
1.1
零集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Lebesgue 外測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
可測集合と測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4
単調族定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.5
測度とその性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.6
Lebesgue 測度と Borel 集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.7
完備化と測度の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.8
確率測度と独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
第 2 章 可測関数と積分
2.1
可測関数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
2.2
可測関数の単調族定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3
積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.4
積分の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.5
収束定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.6
数直線上の測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.7
Radon-Nikodym の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.8
条件付き期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
vi
はじめに
第 3 章 関数空間と直積測度空間
65
3.1
L 空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.2
Hilbert 空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.3
確率変数の本質的上限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.4
直積測度と Fubini の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
p
第 4 章 収束概念と中心極限定理
83
4.1
収束概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.2
大数の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.3
積率母関数と特性関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.4
法則収束と弱収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.5
中心極限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
第 II 部
確率積分
第 5 章 確率過程と Brown 運動
115
117
5.1
確率過程と Brown 運動の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2
Gauss 過程としての Brown 運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3
Brown 運動の見本路の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4
Brown 運動のマルチンゲール性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.5
Brown 運動の Markov 性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
第 6 章 マルチンゲールの諸性質
145
6.1
一様可積分性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2
離散時間マルチンゲール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3
連続時間マルチンゲール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4
最適停止問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
第 7 章 Brown 運動の解析
175
7.1
単純過程の伊藤積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.2
発展的可測過程の伊藤積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.3
伊藤公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.4
伊藤過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
vii
第 8 章 確率微分方程式
193
8.1
確率微分方程式と解の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.2
解の存在と一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3
強解の Markov 性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.4
拡散過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.5
Dynkin 公式と Feynman-Kac 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
第 9 章 半マルチンゲールの解析（その 1）
215
9.1
可予測過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2
有限変分過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.3
マルチンゲールによる確率積分の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.4
連続な半マルチンゲールによる確率積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.5
伊藤公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.6
時間変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.7
確率指数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.8
マルチンゲール表現定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.9
確率測度の変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
第 10 章
半マルチンゲールの解析（その 2）
251
10.1 オプショナル過程と可予測過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.2 Meyer 分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10.3 確率積分の一般化と伊藤公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
第 11 章
点過程
287
11.1 点過程の定義とその性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.2 点過程の測度変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.3 点過程マルチンゲール表現定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
第 III 部
第 12 章
ファイナンス
Black-Scholes モデル
307
309
12.1 Black-Scholes 式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.2 アメリカン・オプションの評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
viii
はじめに
第 13 章
最適消費・ポートフォリオ選択問題
331
13.1 市場モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
13.2 ポートフォリオと消費ルール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
13.3 完備性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
13.4 マルチンゲール法による最適化問題の解法 . . . . . . . . . . . . . . . 340
第 14 章
均 衡
345
14.1 市場モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
14.2 各経済主体の最適化問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
14.3 均 衡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
14.4 代表的経済主体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
14.5 均衡の存在と唯一性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
14.6 均衡価格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
14.7 例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
第 15 章
保険料計算原理
361
15.1 市場モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
15.2 均衡と保険料計算原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
15.3 例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
付 録 A
初等解析学からの準備
377
A.1 集合と関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
A.2 開集合と閉集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
A.3 実数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
A.4 連続関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
A.5 関数の変分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
付 録 B
問の解答例
397
付 録 C
記号の定義
431
参考文献
435
索 引
439