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木村のきまぐれ UP http://toitemita.sakura.ne.jp 1 問題 面積 1 の正

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木村のきまぐれ UP
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問題
面積 1 の正三角形 A0 からはじめて,図のように図形 A1 , A2 ,  を作る。
ここで, An は An -1 の各辺の三等分点を頂点にもつ正三角形を An -1 の外側につけ加えてで
きる図形である。
このとき,次の問いに答えよ。
(1) 図形 An の辺の数を求めよ。
(2) 図形 An の面積を S n とするとき, lim S n を求めよ。
n®¥
(香川大学)結構有名な問題
A0
A1
A2
1
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解
(1)
図形 An +1 は,
図形 An の各辺上に,その 3 等分点を頂点とする正三角形を 1 個追加した図形である。
図形 An の辺の数を a n とすると,各辺の数が 4 倍になるから,
a n +1 = 4a n
よって, a n は初項 a 0 = 3 ,公比 4 の等比数列である。
ゆえに, a n = 3 × 4 n
1 辺が 4 辺になる。
(2)
1
正三角形がつけ加えられるたびに,つけ加えられる正三角形の辺の長さが 倍になるから,
3
2
1
æ1ö
正三角形がつけ加えられるたびに,つけ加えられる正三角形の面積は ç ÷ = 倍になる。
3
9
è ø
図形 An の面積を S n とすると,
1
図形 A1 ができるとき,つけ加えられる正三角形 1 個の面積は, S 0
9
2
1 1
æ1ö
図形 A2 ができるとき,つけ加えられる正三角形 1 個の面積は, ´ S 0 = ç ÷ S 0
9 9
è9ø
2
3
1 æ1ö
æ1ö
図形 A3 ができるとき,つけ加えられる正三角形 1 個の面積は, ´ ç ÷ S 0 = ç ÷ S 0
9 è9ø
è9ø

n
æ1ö
図形 An ができるとき,つけ加えられる正三角形 1 個の面積は, ç ÷ S 0
è9ø
2
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よって,
図形 An +1 ができるとき,
æ1ö
図形 An につけ加えられる正三角形 1 個の面積= ç ÷
è9ø
n+1
S0
図形 An につけ加えられる正三角形の個数=図形 An の辺の数= a n = 3 × 4 n
また,条件より S 0 = 1
よって,
S n +1
æ1ö
= Sn + ç ÷
è9ø
= Sn +
n +1
S0 ´ 3 × 4n
1 æ4ö
×ç ÷
3 è9ø
n
ここで,
n
bn = S n +1 - S n =
Sn = S0 +
1 æ4ö
× ç ÷ ( n = 0,1,2,  )とおくと, bn は S n の階差数列だから,
3 è9ø
n -1
åb
k
k =0
= S0 +
n
åb
k -1
k =1
n
1 æ4ö
×ç ÷
3 è9ø
k =1
= S0 +
å
= S0 +
1
3
n
æ 4ö
ç ÷
9
k =1 è ø
å
k -1
k -1
n
æ4ö
1- ç ÷
1
è9ø
=1+ ×
4
3
19
n
3 ìï æ 4 ö üï
= 1 + í1 - ç ÷ ý
5 îï è 9 ø þï
ゆえに,
lim S n = 1 +
n ®¥
3 8
=
5 5
補足
実際に問題を解くときは数字を代入し,問題を具体化して考え進めること。
これはすべての問題について言える。
3
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