目 次
i
まえがき
第 2 巻 まえがき
ii
vi
記号の索引
1
序章
. . . . . . . . . . . . .
数学の諸分野
2
4
数理論理学
命題と結合
. . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . .
6
. . . . . . . . . . . .
8
命題論理と述語論理
述語論理の拡張
証明と定義の形式
. . . . . . . . . . . 10
12
集合論
60
代数学
概説 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
群論 I . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
群論 II
. . . . . . . . . . . . . . . . 64
群論 III . . . . . . . . . . . . . . . . 66
群論 IV . . . . . . . . . . . . . . . . 68
環と体 I . . . . . . . . . . . . . . . . 70
環と体 II
. . . . . . . . . . . . . . . 72
加群とベクトル空間 I . . . . . . . . . . 74
加群とベクトル空間 II . . . . . . . . . 76
線形写像，行列，行列式 I
. . . . . . . 78
線形写像，行列，行列式 II . . . . . . . 80
方程式，方程式系
. . . . . . . . . . . 82
多項式環 I . . . . . . . . . . . . . . . 84
基礎概念
. . . . . . . . . . . . . . . 12
多項式環 II
集合代数
. . . . . . . . . . . . . . . 14
多項式環 III . . . . . . . . . . . . . . 87
束論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
体の拡大 I . . . . . . . . . . . . . . . 88
集合論における問題点
. . . . . . . . . 18
20
関係と構造
関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
写像と関数
. . . . . . . . . . . . . . 22
濃度，可算
. . . . . . . . . . . . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . 26
構造理論
代数構造 I . . . . . . . . . . . . . . . 28
代数構造 II
. . . . . . . . . . . . . . 30
順序構造 I . . . . . . . . . . . . . . . 32
順序構造 II
. . . . . . . . . . . . . . 86
体の拡大 II
. . . . . . . . . . . . . . 90
体の拡大 III . . . . . . . . . . . . . . 92
素体，有限体
. . . . . . . . . . . . . 94
ガロア理論 I . . . . . . . . . . . . . . 96
ガロア理論 II
. . . . . . . . . . . . . 98
ガロア理論の応用 I . . . . . . . . . . . 100
ガロア理論の応用 II/1 . . . . . . . . . 102
ガロア理論の応用 II/2 . . . . . . . . . 104
106
数論
. . . . . . . . . . . . . . 34
整域での整除理論 I . . . . . . . . . . . 106
順序数 I . . . . . . . . . . . . . . . . 36
整域での整除理論 II . . . . . . . . . . 108
順序数 II
. . . . . . . . . . . . . . . 38
整域での整除理論 III . . . . . . . . . . 109
位相構造
. . . . . . . . . . . . . . . 40
ディオファントス方程式，ベキ剰余 . . . 110
42
数系の構成
自然数のなす半群
. . . . . . . . . . . 42
整数環 . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
有理数体
. . . . . . . . . . . . . . . 46
実数 I . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
実数 II
. . . . . . . . . . . . . . . . 50
付値論 I . . . . . . . . . . . . . . . . 112
付値論 II
. . . . . . . . . . . . . . . 113
付値論 III . . . . . . . . . . . . . . . 114
素数理論
. . . . . . . . . . . . . . . 116
118
幾何学
概観 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
実数 III . . . . . . . . . . . . . . . . 52
幾何学的基本概念
複素数 I . . . . . . . . . . . . . . . . 54
絶対幾何学 I . . . . . . . . . . . . . . 122
複素数 II
絶対幾何学 II
. . . . . . . . . . . . . . . 56
まとめと一般化
. . . . . . . . . . . . 58
. . . . . . . . . . . 120
. . . . . . . . . . . . . 124
計量的ユークリッド幾何学，計量的非ユー
クリッド幾何学 . . . . . . . . . . 126
アフィン平面と射影平面 . . . . . . . . 128
iv 目 次
共線変換と相反変換
理想平面，座標の導入
. . . . . . . . . . 130
. . . . . . . . . 132
. . . . . . . . . . . . . . 134
射影的計量
配置と向き付け
. . . . . . . . . . . . 136
. . . . . . . . . . . . . 138
角と角の測定
合同変換 I . . . . . . . . . . . . . . . 140
合同変換 II
. . . . . . . . . . . . . . 142
合同変換 III . . . . . . . . . . . . . . 144
相似変換 I . . . . . . . . . . . . . . . 146
相似変換 II
. . . . . . . . . . . . . . 148
アフィン変換 I . . . . . . . . . . . . . 150
アフィン変換 II . . . . . . . . . . . . 152
射影変換 I . . . . . . . . . . . . . . . 154
射影変換 II
. . . . . . . . . . . . . . 156
変換方程式
. . . . . . . . . . . . . . 158
特別な面と立体 I . . . . . . . . . . . . 160
特別な面と立体 II . . . . . . . . . . . 162
画法幾何学 I . . . . . . . . . . . . . . 164
画法幾何学 II
. . . . . . . . . . . . . 166
三角法 I . . . . . . . . . . . . . . . . 168
三角法 II
. . . . . . . . . . . . . . . 170
双曲幾何学 I . . . . . . . . . . . . . . 172
双曲幾何学 II
. . . . . . . . . . . . . 174
楕円幾何学 I . . . . . . . . . . . . . . 176
楕円幾何学 II
. . . . . . . . . . . . . 178
180
解析幾何学
ベクトル空間 V 3 . . . . . . . . . . . . 180
スカラー積，ベクトル積，立体積 . . . . 182
直線と平面の方程式
. . . . . . . . . . 184
球，円錐，円錐の切り口 . . . . . . . . 186
. . . . . . . . . . . . . 218
コンパクト性
. . . . . . . . . . . . 220
距離付け可能性
次元理論
. . . . . . . . . . . . . . . 222
曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
226
代数的位相幾何学
ホモトピー I . . . . . . . . . . . . . . 226
ホモトピー II
. . . . . . . . . . . . . 228
多面体 I . . . . . . . . . . . . . . . . 230
多面体 II
. . . . . . . . . . . . . . . 232
. . . . . . . . . . . . 234
多面体の基本群
曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
. . . . . . . . . . . . 238
ホモロジー理論
240
グラフ理論
グラフ理論 I . . . . . . . . . . . . . . 240
グラフ理論 II
. . . . . . . . . . . . . 242
グラフ理論 III . . . . . . . . . . . . . 244
246
実解析学の基礎
R の構造
. . . . . . . . . . . . . . . 246
数列と級数 I . . . . . . . . . . . . . . 248
数列と級数 II
. . . . . . . . . . . . . 250
数列と級数 III . . . . . . . . . . . . . 252
実関数 I . . . . . . . . . . . . . . . . 254
実関数 II
. . . . . . . . . . . . . . . 256
実関数 III . . . . . . . . . . . . . . . 258
実関数 IV . . . . . . . . . . . . . . . 260
262
微分法
概観 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
実関数の微分 I . . . . . . . . . . . . . 264
R3 のアフィン写像，運動 . . . . . . . . 188
実関数の微分 II . . . . . . . . . . . . 266
2 次曲面 I . . . . . . . . . . . . . . . 190
平均値の定理
2 次曲面 II
. . . . . . . . . . . . . . 192
Rn の幾何学 I . . . . . . . . . . . . . 194
n
R の幾何学 II . . . . . . . . . . . . . 195
196
位相空間論
概説 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
同相写像の直観的意味
. . . . . . . . . 198
位相空間論における基礎概念の直観的意味 I200
位相空間論における基礎概念の直観的意
味 II . . . . . . . . . . . . . . . 202
位相空間の定義
. . . . . . . . . . . . 204
距離空間，基，部分基，基本近傍系 . . . 206
位相空間における写像と部分空間 . . . . 208
商空間，積空間，和空間 . . . . . . . . 210
連結，弧状連結
. . . . . . . . . . . . 212
点列の収束とフィルター基の収束 . . . . 214
分離公理
. . . . . . . . . . . . . . . 216
. . . . . . . . . . . . . 268
級数展開 I . . . . . . . . . . . . . . . 270
級数展開 II
. . . . . . . . . . . . . . 272
有理関数 I . . . . . . . . . . . . . . . 274
有理関数 II
代数関数
. . . . . . . . . . . . . . 276
. . . . . . . . . . . . . . . 278
超越関数 I . . . . . . . . . . . . . . . 280
超越関数 II
. . . . . . . . . . . . . . 282
近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
補間法 . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
方程式の数値解法
. . . . . . . . . . . 288
Rn での微分法 I . . . . . . . . . . . . 290
Rn での微分法 II . . . . . . . . . . . 292
Rn での微分法 III . . . . . . . . . . . 294
Rn での微分法 IV . . . . . . . . . . . 296
Rn での微分法 V
積分法
. . . . . . . . . . . 298
300
概観 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
目 次 v
リーマン積分
. . . . . . . . . . . . . 302
積分法則，R-可積分関数 . . . . . . . . 304
. . . . . . . . . . 306
原始関数，不定積分
. . . . . . . . . . . . . . . 388
基本定理
テンソル I . . . . . . . . . . . . . . . 390
テンソル II
. . . . . . . . . . . . . . 391
積分の手法，級数の積分 . . . . . . . . 308
多様体，リーマン幾何 I . . . . . . . . . 392
積分公式集 I . . . . . . . . . . . . . . 310
多様体，リーマン幾何 II . . . . . . . . 394
積分公式集 II
. . . . . . . . . . . . . 311
. . . . . . . . . . 312
近似方法，広義積分
多変数関数のリーマン積分 . . . . . . . 314
累次積分，体積計算，変数変換 . . . . . 316
リーマン和とその応用 I . . . . . . . . . 318
リーマン和とその応用 II . . . . . . . . 320
線積分，面積分 I . . . . . . . . . . . . 322
線積分，面積分 II . . . . . . . . . . . 324
積分定理
. . . . . . . . . . . . . . . 326
ジョルダン面積，ルベーグ測度 I
. . . . 328
ジョルダン面積，ルベーグ測度 II . . . . 330
可測関数，ルベーグ積分 I
. . . . . . . 332
可測関数，ルベーグ積分 II . . . . . . . 334
336
関数解析学
396
複素関数論
概観 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
複素数，コンパクト化
. . . . . . . . . 398
. . . . . . . . . . 400
複素数列と複素関数
正則性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
コーシーの積分定理と積分公式 . . . . . 404
ベキ級数
. . . . . . . . . . . . . . . 406
解析接続
. . . . . . . . . . . . . . . 408
特異点，ローラン級数
有理型，留数
. . . . . . . . . 410
. . . . . . . . . . . . . 412
リーマン面 I . . . . . . . . . . . . . . 414
リーマン面 II
. . . . . . . . . . . . . 416
整関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
C 上の有理型関数
. . . . . . . . . . . 420
抽象ベクトル空間 I . . . . . . . . . . . 336
周期関数
. . . . . . . . . . . . . . . 422
抽象ベクトル空間 II . . . . . . . . . . 338
代数関数
. . . . . . . . . . . . . . . 424
微分可能な作用素
. . . . . . . . . . . 339
変分法 . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
. . . . . . . . . . . . . . 342
積分方程式
344
微分方程式論
. . . . . . . . . . 344
常微分方程式の概念
等角写像 I . . . . . . . . . . . . . . . 426
等角写像 II
. . . . . . . . . . . . . . 428
多変数関数 I . . . . . . . . . . . . . . 430
多変数関数 II
. . . . . . . . . . . . . 432
434
組合せ論
1 階微分方程式 I . . . . . . . . . . . . 346
問題と方法 I . . . . . . . . . . . . . . 434
1 階微分方程式 II
問題と方法 II
. . . . . . . . . . . 348
1 階微分方程式 III . . . . . . . . . . . 350
2 階微分方程式 . . . . . . . . . . . . . 352
n 階 1 次微分方程式 . . . . . . . . . . 354
微分方程式系 I . . . . . . . . . . . . . 356
微分方程式系 II . . . . . . . . . . . . 358
存在定理と一意性定理
数値解法
. . . . . . . . . 360
. . . . . . . . . . . . . . . 362
364
微分幾何学
R3 の曲線 I . . . . . . . . . . . . . . 364
3
R の曲線 II . . . . . . . . . . . . . . 366
R3 の曲線 III . . . . . . . . . . . . . 368
3
R の曲線 IV
. . . . . . . . . . . . . 370
3
R の曲線 V . . . . . . . . . . . . . . 372
. . . . . . . . . . . . . 436
438
確率論と統計学
事象と確率 I . . . . . . . . . . . . . . 438
事象と確率 II
. . . . . . . . . . . . . 440
分布 I . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
分布 II
. . . . . . . . . . . . . . . . 444
統計的方法 I . . . . . . . . . . . . . . 446
統計的方法 II
線形計画法
問題提起
. . . . . . . . . . . . . 448
450
. . . . . . . . . . . . . . . 450
シンプレックス法 I . . . . . . . . . . . 452
シンプレックス法 II . . . . . . . . . . 454
参考文献
456
曲面片，曲面 I . . . . . . . . . . . . . 376
索 引
459
曲面片，曲面 II . . . . . . . . . . . . 378
著者紹介
492
訳者あとがき
493
訳者紹介
494
平面曲線
. . . . . . . . . . . . . . . 374
第 1 基本形式
. . . . . . . . . . . . . 380
第 2 基本形式，曲率 I
. . . . . . . . . 382
第 2 基本形式，曲率 II . . . . . . . . . 384
第 2 基本形式，曲率 III . . . . . . . . . 386