2003 年度 卒 業 論 文 ジャンプする物体の経路プラニング 指導教員：渡辺 大地講師 メディア学部 3D アプリケーション構築プロジェクト 学籍番号 99P355 原川 和泰 2003 年度 卒 業 論 文 概 要 論文題目 ジャンプする物体の経路プラニング メディア学部 学籍番号 : 99P355 キーワード 氏 名 原川 和泰 指導 教員 渡辺 大地講師 経路探索，A*，弾道計算，幅優先探索アルゴリズム 近年、リアルタイム 3DCG 技術の発展に伴い、インタラクティブコンテンツにおいて もリアルタイム 3DCG 技術を用いたものが増えている。3DCG 技術を用いたコンテンツ の中にはユーザーが動かすオブジェクトや、自動的に動き回るオブジェクトがジャンプを しながら高低のある複雑な形状の地形を移動するものがある。このようなコンテンツを作 成する際、地形上のある地点から別の地点までオブジェクトが到達できる経路の存在の有 無を確認できるような手段があれば有用である。 本研究ではジャンプを行うオブジェクトの経路プラニング手法について研究した。具体 的には従来の地形を連続的に移動する場合の経路プラニング法に、ジャンプによって移動 する場合を組み合わせた手法を提案する。 目次 第 1 章 研究の背景と目的 1 第2章 2.1 2.2 2.3 空間探索グラフの作成 オブジェクトが地平にそって平行移動する場合 . . . . . . . . . . . . オブジェクトが落下して移動する場合 . . . . . . . . . . . . . . . . オブジェクトがジャンプして移動する場合 . . . . . . . . . . . . . . 4 5 6 6 第3章 3.1 3.2 3.3 探索アルゴリズムを用いた経路プラニング 13 幅優先探索アルゴリズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 セルのグループ化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 セルのグループ化を利用した経路探索の手順 . . . . . . . . . . . . . 19 第 4 章 評価 21 第 5 章 おわりに 28 謝辞 30 参考文献 31 I 第1章 研究の背景と目的 近年、リアルタイム 3DCG 技術の発展に伴い、インタラクティブコンテンツにお いてもリアルタイム 3DCG 技術を用いたものが増えてきている。とくにコンピュー ターゲームはそのような傾向が顕著な分野であるといえる。リアルタイム 3DCG 技術を用いたコンテンツの中にはユーザーが動かすオブジェクトや、自動的に動き 回るオブジェクトがジャンプをしながら高低のある複雑な形状の地形を移動する ものがある。代表的な例として 1996 年に発売された任天堂のスーパーマリオ 64[1] が挙げられる。このようなジャンプで移動するオブジェクトが存在する複雑な地形 を舞台とするコンテンツを作成する際、地形上のある地点から別の地点までオブ ジェクトが到達できる経路が存在するか、また逆に制作者が意図しない経路などが 存在しないかという事を確認するのは手間がかかる作業である。このような作業 を軽減するために、オブジェクトがマップ上である地点からある地点までにあたら ないように辿りつくための移動経路を自動的に発見することができれば有用であ る。これまでにも障害物を回避しながら地形上のある位置から別の位置まで移動 する経路を探すことができる経路プラニングに関する研究はあった [2][3][4][5][6]。 ３次元空間を対象とした経路プラニングに関する研究もある [7][8][9][10]。しかし、 ジャンプして移動することのできるオブジェクトのための経路プラニングに関す る研究は行われていない。従来の経路プラニングは地形を連続的に移動する経路 を探索するものが多く、ジャンプのようにある地形から別の離れた地形へ移動す 1 るためのものではなかった。 そこで、本研究では、段差がある３次元空間のマップ上において、ジャンプで 移動できるオブジェクトがある地点から目的地まで移動する経路プラニングの手 法を確立することを目標とする。具体的には、まずオブジェクトの移動の最小単 位を基準に探索対象の空間をメッシュ分割する。メッシュによって分割された空 間の最小単位をセルとする。次に、あるセルの内部から別のセルへ移動できるか どうかの関係からグラフを作成し、そのグラフから探索アルゴリズムを用いて経 路を探しだす。従来の経路プラニングでは、オブジェクトはある分割されたセル から隣接する別のセルに移動するのみであったが、今回はオブジェクトがジャン プで隣接しないセルまで移動する場合を考慮してグラフを作成した。また本研究 を行うに際し、問題の条件を次のように限定した。オブジェクトの大きさは考慮 せず、オブジェクトは空間上の点として表現した。オブジェクトは落下、ジャン プ、地平にそった平行移動の三種類の移動ができることとし、オブジェクトのジャ ンプは、任意の仰角からの一定の初速度を持った放物運動とし、空気抵抗は考慮 しない。マップは全て正方形のメッシュで区切られたものとし、マップ上の高低 は全て水平な段差に限定した。また、図 1.1 のように空中に浮いている障害物や、 せり出しのある地形も除外した。 図 1.1: 空中に浮いている障害物や、せり出しのある地形 2 本論文は本章を含め全 5 章で構成されている。第 2 章では空間から経路探索の ための空間探索グラフを作る手順を述べ、第 3 章では空間探索グラフから経路を 探索するための手順を具体的に述べる。第 4 章では実際に本論文で述べた経路プ ラニングでさまざまな地形で経路を探索し、評価を行う。最後に第 5 章にて研究 全体の総括を述べる。 3 第2章 空間探索グラフの作成 経路プラニング法については様々な研究があるが、今回の研究では一般的なグラ フ理論を利用した方法 [2][4] を応用した。本章ではオブジェクトの移動の仕方と、 それを基にした空間探索グラフを作成する手法について述べる。 グラフ理論とはコンピュータネットワークなどの分野でも応用されている数学 の一分野である。グラフ理論では点の集合とそれをつなぐ線の集合で構成された ものをグラフと呼び、点は節点や頂点、線は辺や枝などと呼ばれる。経路プラニ ング問題においては、経路を探索したい対象の空間を可視マップやメッシュ分割 といった方法を用いてグラフに抽象化し、その中のグラフとして経路を導く手法 をよく用いる。 既存の経路プラニング法では、まず対象空間をオブジェクトがその内部を自由 に動きまわれるセルを単位としてメッシュ分割する。そしてセル、もしくは内部 の点を頂点とし、オブジェクトが分割されたある空間の内部から別の空間へ移動 できるかどうかの関係を辺として空間探索グラフを作成する。本研究ではオブジェ クトが自由に動ける空間を正方形のセルにメッシュ分割する。さらにセルを頂点 とし、あるセルからオブジェクトが別のセルへ直接移動できる場合、セル同士の 間を有向成分をもった辺で連結する。そして空間上の全てのセル同士の関係を調 べて空間を網羅する空間探索グラフを作成する。以下に空間探索グラフを作成す る手順について述べる。 4 まず空間探索グラフに空間上のすべてのセルを頂点として加える。そしてセル ごとにそのセル内からオブジェクトが直接移動できるセルを辺で連結していく。本 研究で扱うオブジェクトは以下の三種類の方法で移動ができる。 • 地平にそった平行移動 • 落下 • ジャンプ オブジェクトの移動の仕方により移動可能なセルは変わる。以下に移動方法ごと に空間探索グラフに追加する辺について述べる。 2.1 オブジェクトが地平にそって平行移動する場合 メッシュ分割でできたセルにおいて頂点を共有するセルを隣接するセルと呼ぶ とする。オブジェクトは並行移動で隣接するセルの方向へ移動する。図 2.1にオブ ジェクトが平行移動によって移動できる 8 方向を示す。 図 2.1: オブジェクトが平行移動する方向 この図 2.1のようにオブジェクトが移動できる場合、空間探索グラフに中央のセ ルから隣接する 8 つのセルの間に矢印の方向の有向辺を追加する。 5 2.2 オブジェクトが落下して移動する場合 オブジェクトが存在しているセルに隣接したセルが、現在オブジェクトがいる セルよりも低いセルの場合は、オブジェクトは落下することによって移動するこ とができる。落下して移動する場合もオブジェクトがいるセルと落下して移動す るセルとの間に有向辺を追加する。 2.3 オブジェクトがジャンプして移動する場合 オブジェクトが存在しているセルから、図 2.2のようにジャンプをすることによっ て、オブジェクトがいるセルより離れたセルや、高いところにあるセルへ移動す ることができる。 図 2.2: ジャンプで移動できるセル 以下にマップ上のセル O の内部にオブジェクトがあると仮定したとき、空間上 の他のセル S へオブジェクトがジャンプによって移動できるかどうかを判定する方 法を述べる。まずセル O からジャンプして移動できる空間上の座標の範囲につい て述べる。一方、セル O とセル S 以外のセルの影響によってセル O からセル S へ のジャンプができなくなる場合が考えられる。例えばセル O からセル S へのジャン プの軌道を遮るようなセルが存在する場合である。ここではまずセル O からジャ ンプして移動できる空間上の座標の範囲について述べ、その後障害物の影響を考 6 慮してセル O からセル S まで移動できるかどうかを判定する方法について述べる。 まず対象空間が三次元空間であること、セル O が正方形のセルであることなど を考慮せずに、オブジェクトが高さを y とする２次元の x − y 空間上の原点から ジャンプすると仮定して、そこからからジャンプで到達できる位置の範囲につい て述べる。 オブジェクトがジャンプを始める位置を原点 O として、v をジャンプする時の初 速度、θ をジャンプする時の仰角、g を重力加速度、オブジェクトが原点からジャ ンプしてから経った時間を t とする。t におけるオブジェクトの座標を (x, y) とす ると、 x = vt cos θ (2.1) 1 y = vt sin θ − gt2 2 (2.2) 1 y + gt2 = vt sin θ 2 (2.3) である。 式 (2.2) を変形して 式 (2.1) と式 (2.3) をそれぞれ二乗して和を求めると、 1 x2 + (y + gt2 )2 = (vt)2 (sin2 θ + cos2 θ) 2 (2.4) sin2 θ + cos2 θ = 1 より 1 x2 + (y + gt2 )2 = (vt)2 2 (2.5) この式 (2.5) を展開して t についてまとめると 1 24 g t + (gy − v 2 )t2 + x2 + y 2 = 0 4 7 (2.6) この式 (2.6) を t2 についての二次方程式と見るとその実根条件が、すなわち原点Ｏ から x,y までジャンプできるかどうかの条件である。 判別式は D = −2gv 2 y − g 2 x2 + v 4 ≥ 0 (2.7) となり、これを y についてまとめると y≤− g 2 v2 x + 2v 2 2g (2.8) となる。 式 (2.8) の条件を満たす座標 (x, y) は、原点を中心とした凸放物線の内部になり、 原点から初速度 v でジャンプした時に到達できる座標である。図 2.3でこの範囲を 示す。 図 2.3: 方物線の内部が実根条件 8 図 2.3中のグレーで塗られた部分が原点 O からオブジェクトがジャンプしたとし た場合、オブジェクトが移動可能な範囲である。 実際に求めなければならないのは３次元空間上の正方形のセル O 内部からの移 動範囲であるので移動可能な範囲は正方形の底をもつ伏せたおわん型の放物面の 内部となる。この内部にセル S が一部分でも入っていれば、セル O からセル S へ は移動できるということである。図 2.4はセル O 内部からの射程範囲を俯瞰した図 である。 図 2.4: セル O 内部からの射程範囲 中央の太枠で囲まれたセルがセル O である。図 3.2 中の太線の内部にセル S が ある場合、セル O からセル S へは移動できる。 また、セル O からセル S の間にあるセルがセル O からセル S へのジャンプに対 する障害物となる場合がある。そのようなセルがある場合について述べる。 まず、どのようなセルがセル O とセル S の障害物になる可能性があるかについ て述べる。セル O からのジャンプで移動可能な範囲にセル S があるとする。セル O の内部のどこかからセル S の内部のどこかへジャンプで移動するとした場合、そ のジャンプの軌道を遮る可能性があるセルは、セル S とセル A の頂点同士を結び 合ってできる図形の内部にあるセルである。図 2.5は障害物になる可能性があるセ 9 ルの範囲を太枠で示した図である。 図 2.5: 太枠で囲まれたセルが障害物となる可能性のあるセル 障害物になるセルを高さによって二つの種類に分ける。セル O からのジャンプ では移動できないセルと、移動できるセルの二つである。 セル O からジャンプで移動できない障害物とは高すぎてセル O からジャンプし て移動可能な範囲に入らないセルのことである。 セル O からのジャンプでは移動できない障害物がある場合はセル O の内部から 見て、その障害物によって見えなくなる部分へはジャンプで移動することはでき ない。セル O からジャンプでは移動できない障害物に隠されてセル S が見えなく なってしまう場合は、セル O からセル S へはジャンプで移動できない。図 2.6にそ の様子の例を示す。 10 図 2.6: セル O からセル S へのジャンプを斜線が引かれたセルが遮る また、飛び越えられるセルが障害物になっている場合でもセル O からセル S へ ジャンプで直接到達できなくなる場合がある。障害物によってセル S までの距離を 飛ぶことのできるジャンプが遮られてしまう場合である。図 2.7にその例を示す。 図 2.7: 障害物がジャンプできる距離を縮めてしまう場合 しかし、セル O から飛び越えられるセルとはジャンプで移動できるセルのこと であり、一旦、障害物のセルに移動してからセル S へジャンプすることでセル O からセル S へは必ず移動することができる。図 2.8にその例を示す。 11 図 2.8: 間にある障害物を中継してセル O からセル S までジャンプする よってジャンプで移動できる障害物によってセル O からセル S までジャンプで 移動する経路が遮られている場合も、ジャンプで移動できない障害物の場合と同 様に、障害物を飛び越えてセル O からセル S へジャンプで移動できる可能性は考 慮せず、セル O からセル S までは直接ジャンプで移動できないとする。 ここまででのべたジャンプで移動可能な範囲と障害物に対する対処法を用いる ことにより、セル O からセル S までジャンプすることができるかどうか確認する ことができる。セル O からセル S までジャンプできる場合は、セル O からセル S の間を連結する有向辺を空間探索グラフに加える。ところでセル O とセル S が隣 接した場所にあって、セル O とセル S の高さが同じ、またはセル S が低い場合は、 平行移動や落下でもセル S へ移動できる場合がある。セル O からセル S へ移動す る方法を平行移動で行う場合とジャンプで移動する場合の両方を探索グラフに辺 として追加すると空間探索グラフに同じ向きで頂点を結ぶ有向辺が二つできるこ とになる。このような経路の重複を回避するため平行移動や落下で移動できるセ ルへはジャンプで移動する辺は空間探索グラフに追加しないということにする。 12 第3章 探索アルゴリズムを用いた経路プラニ ング 本章では、経路探索アルゴリズムを用いて空間探索グラフから経路を求める手 順について述べる。まず幅優先アルゴリズムについて述べ、その後、セルのグルー プ分けを利用して空間探索グラフを作成するメリットと方法についてのべ、最後 に本研究におけるグラフ作成から経路探索までの手順について述べる。 3.1 幅優先探索アルゴリズム ジャンプで到達できる高さには限界があるのに対し、落下して移動できる高さ には限界がない。よって落下してあるセルの内部からあるセルへは移動できるが、 その逆へはジャンプでは直接移動できない一方通行の場合がある。図 3.1はその一 例である。この図の地形をセル４からセル３までの高さであるならジャンプでき るが、セル６からセル２までの高さはジャンプできないオブジェクトが動き回る とする。セル２はセル３の 2 倍、セル 1 はセル 3 の三倍の高さである。 13 図 3.1: 対象空間となる地形 この場合オブジェクトは 1 から 5 へは落下して移動できるが 5 から 1 へはジャン プで直接移動することはできない。図 3.1の空間をオブジェクトが動く時、セルを 頂点として、セルの内部から内部へオブジェクトが移動できる関係を辺とした空 間探索グラフが図 3.2である。 図 3.2: 図 3.1のセル同士の移動可能の関係をグラフ化した図 図 3.2の円部分が頂点、矢印が辺である。図 3.1中のセルの番号と同じ番号のつ いている図 3.2の頂点が対応するセルと頂点である。辺の矢印はそれが引いている 14 方向にのみ移動できることを表しており、1 から 6 へは移動できないが、6 から 1 へは移動することができる。 あるセルを出発点とし別のセルを目的地とする経路を導くためには、出発点の セルと対応するグラフの頂点から目的地のセルと対応する空間探索グラフの頂点 への経路を求める。例えば図 3.1のセル１からセル 6 への経路を求めるためには図 3.2のグラフの 1 から 6 までの経路を求めればよい。確実にこの経路をグラフから 求めるアルゴリズムとして、幅優先探索アルゴリズムを利用する。この探索アル ゴリズムの特徴を挙げると、 • 経路が存在する限り見つけ出す。 • もっとも頂点の少ない経路を見つけ出す事ができる。 • 有向グラフにおいては、求められる経路は必ずしも逆に辿れることは保証さ れない。 である。 具体的に幅優先探索アルゴリズムの動作について述べる。幅優先探索アルゴリ ズムは出発地点から同じ辺の数で到達できる節点を探索し、目的地までの経路を 探すアルゴリズムである。例として図 3.2の頂点 6 から頂点 1 への経路を求める手 順を述べる。 • まず頂点 6 から辺一つの距離にある頂点を探索する。頂点 1 と頂点 6、頂点 2 と頂点 6 は辺でつながっているが、いずれも頂点 6 からは頂点 1, 頂点 2 へ 移動はできない。頂点 6 から辺一つで移動できるのは頂点 5, 頂点 3, 頂点 7 で ある。 • 続いて、頂点 6 から辺を二つ経由することで移動できる頂点を探索する。そ れらはすなわち頂点 5, 頂点 3, 頂点 7 からそれぞれ辺一つで移動できる頂点 である。しかし、頂点 7 から頂点 8, 頂点 3 へ移動できるが、頂点 3 は辺一つ の節点なので新たに探索する必要はない。辺二つの距離にある頂点は頂点 2, 15 頂点 8, 頂点 4 ということになる。以下同様の処理を目的地となる節点を探索 するまで繰り返す。 • 頂点 6 から辺三つの距離にある頂点を探索する。頂点 2 から移動できる辺三 つの距離にある頂点の中に頂点 1 があり探索は終了する。頂点 1 へ至るのに 経由した頂点と辺が幅優先探索アルゴリズムで得られる頂点 6 から頂点 1 ま での経路である。 3.2 セルのグループ化 この項では、経路探索に掛かる計算時間を抑えるために、セルをグループ化し て空間探索グラフの作成に利用する方法について述べる。またグループを使った 経路の有無の判定について述べる。 本研究ではオブジェクトは平行移動と落下においては隣接するセルにしか直接 移動できないとした。空間探索グラフの辺も平行移動と落下による辺は隣接する セル同士にしか連結しない。離れたセルへ平行移動のみで到達する経路は空間探 索グラフ上では必ず隣接したセル間の移動の連続として表現される。よって、オ ブジェクトが平行移動と落下だけで移動する場合、経路探索グラフにおいて一つ のセルに接続する辺の数は最高でも 8 本である。しかし、オブジェクトがジャン プする場合は、離れたセル同士をつなぐ辺も空間探索グラフに追加する。よって 一つのセルに接続する辺の数は大幅に増加し、空間探索グラフ全体の複雑さも比 例して増加する。幅優先探索アルゴリズムでは探索するグラフが複雑化するほど 計算に時間が掛かるので経路探索に大きな負担を掛けることになる。また一方で、 あるセルからジャンプで移動できるセルを探索する作業自体も計算コストの大き な作業である。これらを軽減する方法として最も効果があるのは空間上のセルの うちジャンプによる移動に関係するセルを限定することである。それにより、空 間探索グラフの複雑化も抑えることができ、ジャンプで移動できる場所を探索す る回数も減らすことができる。また、探索アルゴリズムで最も時間が掛かるのは 16 経路の存在が無い場合である。このような場合を直接経路探索を行わずとも判定 できれば計算時間の短縮に大いに役に立つ。セルのグループ分けをすることでこ れらの問題に利用することができる。 グループ分けの手順について述べる。まず、隣接している同じ高さの平行移動 で移動できるセル同士を集めたグループ分けを行う。図 3.3にその例を示した。 図 3.3: グループ分けされたセル 具体的には以下のようにしてジャンプを行う必要があるセルの組み合わせを限 定する。同じグループに属するセル同士の間ならばジャンプで移動せずとも往来 できる。空間探索グラフにおいてこのようなセル同士の間をあえてジャンプで移 動する辺で連結しなくとも、そのセル同士の間の経路が失われることはない。よっ てまず空間探索グラフを作成するに当たって、同じグループにあるセル同士では ジャンプで移動する場合を考慮しないとする。こうすることで空間探索グラフを 大幅に単純化することができる。また、あるグループの内部のあるセルから別の グループの内部のあるセルへ移動できる場合は、あるグループの内部の任意のセ ルから別のグループの内部の任意のセルへかならず移動できる。つまり、あるグ ループ内の全てのセルと別のグループ内の全てのセルの間をジャンプで移動でき る可能性を判定して空間探索グラフを作成する必要はない。またグループの中で 17 最も遠くのグループにまでジャンプで到達できる可能性があるのは、他のグルー プと隣接したセル群である。さらに、他のグループからのジャンプが到達できる 可能性があるのも他のグループと隣接したセル群である。よって空間探索グラフ を作成するにあたり、オブジェクトがジャンプによる移動に関わる可能性のある セルを各グループ内の他のグループと隣接したセル群だけに限定することによっ て空間探索グラフの複雑化を抑えることができる。図 3.4 にそのセル群を示す。 図 3.4: 他のグループと隣接したセル群 これらより、グループ化を利用して空間探索グラフに追加されるジャンプによ る辺は以下のように限定する。 • あるグループ内部の他のグループと隣接しているセルと別のグループ内部の 他のグループと隣接しているセルを連結する辺 図 3.4の地形で空間探索グラフのジャンプによる辺を図 3.5で示す。 18 図 3.5: ジャンプによる辺 便宜上、今後グループ内部の他のグループと隣接しているセルをグループのジャ ンプセルと呼ぶことにする。 3.3 セルのグループ化を利用した経路探索の手順 以下にセルのグループ化を利用した経路探索を行う手順について述べる。 • 空間探索グラフにセルを頂点として追加する。 • オブジェクトが平行移動する場合の辺を空間探索グラフに追加する。隣接し ている同じ高さの平行移動で移動できるセル同士をあつめてグループ分けを 行う。 • 違うグループのジャンプセル同士でオブジェクトがジャンプもしくは落下で の移動する場合の辺を空間探索グラフに追加する。 • グループの違うジャンプセル同士の間に引かれたジャンプや落下による辺を 調べることでグループ同士の接続関係を割り出す。グループを頂点とし、グ ループ間の接続関係を辺としてグラフにする。 • 幅優先探索アルゴリズムを用いて、出発点となるセルのあるグループと目的 19 地となるセルのあるグループの経路の存在の有無をしらべる。もし経路が無 ければ出発点と目的地のセルの間にも経路は存在しないので探索は終了する。 • グループごとの経路探索で経路が存在することが確認された場合、ジャンプ の辺を違うグループのジャンプセル同士に限定した空間探索グラフから幅優 先探索アルゴリズムを用いて経路を探索する。 20 第4章 評価 本章では、これまでに述べた経路プログラミング手法を実装し、実際にどのよ うな経路探索が行われるかを評価する。また、幅優先アルゴリズムを用いて経路 の有無の判定する際に掛かる時間をグループ単位で探索した場合と直接経路を探 索した場合の比較を行った。 20 × 20 のセルのマップに、５段階で設定された高さの違うセルをさまざまに配 置し、出発点と目的地となるセルを決め、その間を移動する経路を本論分で述べ た経路プラニング法を用いて探索し、セルをどのように経由する経路ができるか を観察した。 以下に図の見方について述べる。図中の START と示された太枠のセルが出発点 であり、END と示された太枠が目的地である。経路は線分と灰色に塗ったセルで 示した。オブジェクトは線分の引かれた順序に沿って灰色に塗られたセルを移動 する。赤い線分は往路、青い線分は復路を示し、線分の細い部分は平行移動、太 い部分は落下もしくはジャンプで移動する部分であることを示す。また幅優先ア ルゴリズムを用いて経路の有無の判定する際の幅優先アルゴリズムのステップ数 をグループ単位で探索した場合と直接探索した場合を比較して表に載せた。 21 • 階段状の地形 表 4.1: 経路有無の判定にかかったステップ数 グループ化なし グループ化あり 往路 4230 6 復路 4304 6 図 4.1: 階段状の地形における経路 階段上の地形になっている地形で図中の START と示された太枠で囲まれた セルから、END と示された太枠で囲まれたセルに移動する経路を探索した。 段を一つずつ上がって目的地へ到達している。往路が低いところからのジャ ンプなのに対し、復路は高いところからのジャンプなのでグループの反対の 端までジャンプが届くため、往路と復路で平行移動する量が変わっている。 図 4.1はその模様である。また、グループ単位で探索した場合と直接探索し た場合で経路の有無の判定にかかるアルゴリズムのステップ数を比較した。 表 4.1はその結果である。 22 • 溝のある地形 表 4.2: 経路有無の判定にかかったステップ数 グループ化なし グループ化あり 往路 3861 1 復路 3861 1 図 4.2: 溝のある地形における経路 溝のある地形で START と示された太枠で囲まれたセルから、END と示され た太枠で囲まれたセルに移動する経路を探索した。溝を飛び越えて目的地へ 到達する様子が観察された。図 4.2はその模様である。また、グループ単位 で探索した場合と直接探索した場合で経路の有無の判定にかかるアルゴリズ ムのステップ数を比較した。表 4.2はその結果である。 23 • 段差にそった出発点と目的地 表 4.3: 経路有無の判定にかかったステップ数 グループ化なし グループ化あり 往路 1305 1 復路 1409 1 図 4.3: 段差にそった経路 START と示された太枠で囲まれたセルから、END と示された太枠で囲まれ たセルに移動する経路を探索した。溝にそって歩いて移動せずに、違う段差 のセルを交互にジャンプしながら移動する様子が観察された。図 4.3はその 模様である。また、グループ単位で探索した場合と直接探索した場合で経路 の有無の判定にかかるアルゴリズムのステップ数を比較した。表 4.3はその 結果である。 24 • ジャンプで到達不可能な地形 表 4.4: 経路有無の判定にかかったステップ数 グループ化なし グループ化あり 往路 2954 1 復路 1433 2 図 4.4: 出発点から目的地まで到達不可能な地形 START と示された太枠で囲まれたセルから、END と示された太枠で囲まれ たセルまで移動する経路を探索した。START のセルはオブジェクトのジャ ンプ能力では到達不可能な高さにある。往路では START から GOAL まで到 達できる経路が探索されたが、復路は到達できる経路が探索されなかった。 図 4.4はその模様である。また、グループ単位で探索した場合と直接探索し た場合で経路の有無の判定にかかるアルゴリズムのステップ数を比較した。 表 4.4はその結果である。 25 • ランダムに配置された複雑な地形 表 4.5: 経路有無の判定にかかったステップ数 グループ化なし グループ化あり 往路 7505 3362 復路 7420 3320 図 4.5: ランダムに配置された複雑な地形 ５段階の高さのセルをランダムに配置した地形で START と示された太枠で 囲まれたセルから、END と示された太枠で囲まれたセルに移動する経路を 探索した。グループ化されているセルが少ないためグループ化による効果が あまりみられず、経路も平行移動せずにほぼジャンプのみで移動する様子が 観察された。図 4.5はその模様である。また、グループ単位で探索した場合 と直接探索した場合で経路の有無の判定にかかるアルゴリズムのステップ数 を比較した。表 4.5はその結果である。 26 • 意図した経路よりも最短距離がある地形 表 4.6: 経路有無の判定にかかったステップ数 グループ化なし グループ化あり 往路 2786 37 復路 2858 37 図 4.6: 点々と突起した地形がある地形 START と示された太枠で囲まれたセルから、END と示された太枠で囲まれ たセルまで、点々と突起した地形を配置した。地形上の突起した部分を全て 経由せずに到達できる経路の有無を探索した。図 4.6はその模様である。全 ての突起した部分を経由しない経路が発見された。また、グループ単位で探 索した場合と直接探索した場合で経路の有無の判定にかかるアルゴリズムの ステップ数を比較した。表 4.6はその結果である。 27 第5章 おわりに 本論文では、ジャンプを行うオブジェクトの経路プラニングに着目し、それが 3D コンテンツ制作において制作した地形の解析などに有用だと考えて研究した。 本研究では従来の二次元空間のメッシュ分割を用いてグラフ化する方法を応用 し、オブジェクトがジャンプする場合の移動可能範囲を地面に沿ってしか移動で きないオブジェクトに追加してグラフ化を行い実現した。 本論分の経路プラニング手法を実装したプログラムで、階段状のマップや、溝 のあるマップ、規則性のない複雑なマップで経路を探索したところそれぞれ経路 を得ることができた。しかし、段差の側を移動する場合は、むやみにジャンプで 移動する経路が目立ってしまった。また、セルをグループ化して経路の有無を判 定する方法は、単純なマップでは劇的な探索時間の短縮を達成できたが、グルー プの数が実際の空間のセルとあまりかわらない複雑な地形ではあまり効果は得ら れなかった。 今後の課題としては、セルの分割法やアルゴリズムなどの最適化によって単に 出発地点から目的地までの経路が存在するかどうかを探すだけではなく、たとえ ばあまりジャンプしない経路や、逆になるべく大きなジャンプをする経路などを 見つけ出せるようにするなど、意味をもたせた経路を自動的に探しだすことなど が考えられる。また、本研究では条件から除外した進入できない部分がある地形 や、せり出しのある地形や傾きのある地形においてもパスプラニングが行えるよ 28 うにすることや、リアルタイムに経路探索を行えるようにするなどといったこと が考えられる。 29 謝辞 本研究にあたり終始暖かいご指導をしてくださった担当教官の渡辺大地先生、副 査の和田篤先生に心より感謝の意を表します。 また、研究について数々の助言や協力をしてくださった渡辺研究室のみなさん に厚くお礼申し上げます。 最後にこれまで温かく見守ってくださった家族と深く感謝します。 30 参考文献 [1] 任天堂, スーパーマリオ６４, http://www.nintendo.co.jp/n01/n64/software/nus p nsmj/. 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