第３学年 数学科学習指導案 日 時：平成 年 月 日（ ）第 限 指導者： 場 所： １ 単元名 ２次方程式 （東京書籍・新しい数学） ２ 単元の目標 ア． 問題解決に方程式を利用することのよさがわかり，２次方程式に関心をもち，意欲的に活用しよう とする。 （数学への関心・意欲・態度） イ． 具体的事象のなかから２次方程式で表される事象があることを見出し，その解の意味を考察するこ とができる。 （数学的な見方や考え方） ウ． 因数分解や平方根の考えを利用して２次方程式を解くことができる。 （数学的な表現・処理） エ． 因数分解や平方根の考えを利用して２次方程式を解く手順を理解している。 （数量，図形などについての知識・理解） ３ 指導に当たって （１）教材観 １年で学習した１次方程式を解く場合は，等式の性質の適用でほぼ十分であったが，２次方程式 を解くには，因数分解によって１次方程式に分解する方法，平方根の考えを用いる方法，平方完成 による方法など，いろいろな考え方や手法がふくまれている。このことから，問題に応じて適切な 方法で解けるようにする必要がある。また，１次方程式では解は１つであったが，２次方程式は一 般には解を２つもつなどの相違点を意識しながら学習する必要もある。高等学校でも 2 次関数の頂 点の座標を求めるときなど必要となる平方完成は、目的に応じて式を変形していくという、数学で は大切な考え方を含んでいる。 （２）生徒観 習熟度別クラスの標準コースで○人のクラスである。３年生になっても、基本的な学習態度が定 着せず、課題に対してなかなか意欲的に取り組むことができない。基礎学力調査の結果、方程式の 解き方は概ね理解できているが、利用の仕方については、まだ定着していない部分がみられる。３ 年生になって学習した平方根や因数分解については，簡単なものは計算できるが，分数を含む平方 根や文字が２つ入った因数分解の問題などは，難しく感じているようである。ドリル形式の個人練 習は得意であるが、自分の意見を発表し、協議して思考を深めることは大変苦手である。 （３）指導観 課題に対して生徒が興味・関心を持って取り組めるように、まず課題の必要性を自然に感じさせ たい。与えられた課題をじっくり考えて、式と図の関係を時間をかけて考えることで知識の注入だ けではなく数学的な思考や、またそれを論理的に説明する力を身につけさせたい。その為の考える 時間、友人達との相談の時間を十分に確保することに留意したい。 そして、問題練習の場面では一度理解した内容を繰り返し練習することで定着させるため少人数 を生かし個別支援の場面を多くしていきたい。 ４ 単元の指導・評価計画（総時数６時間） 次 小単元名 及び目標 主な学習活動 関 考 表 知 ２次方程式 〈２次方程式やその解の 意味を知ろう。〉 ・問題解決に ・答えは２つあるんだ 方 程 式 を 利 ・代入して解を求めること ○ 用 す る こ と ができる。 のよさがわ かり，２次方 程式に関心 評 価 規 準 ・２次方程式で表すことができる事象に関心を もち，式で表そうとする。 （関） Ｃ→Ｂ 図を書いて考えるように促す。 ○ ・２次方程式とその解の意味を理解している。 Ｃ→Ｂ （知） いろいろな数値を代入して等式が成り立つか どうか確かめるように促す。 ２次方程式を成り立たせ る文字の値を解という。 〈因数分解を利用して２次 的 に 活 用 し 方程式を解こう。〉 ようとする。 ・一次方程式なら解ける。 をもち，意欲 ・因数分解を利用して，２次方程式を解くこと ができる。 ○ ２次方程式は因数分解 ・具体的事象 のなかから Ｃ→Ｂ 因数分解の公式をもう一度確認する。 し、（ ）（ ）＝０に変形 することで、解ける。 ２次方程式 で表される 事象がある ことを見出 し，その解の 意味を考察 ） 一 （ ６ することが できる。 〈いろいろな形をした２次 方程式を工夫 し て解 こ う。〉 ・いままでとどこが違うん だろう。 ・解はひとつ？ふたつ？ ・ （２次式）＝０の形にしてから因数分解を利 用して２次方程式を解くことができる。 ○ （２次式）＝０の形に 変形して解く。 〈平方根の考えを使って ２次方程式を解く。〉 平方根の考 ・平方根って何だった？ えを利用し ( )2 = a の形に変形 ・平方根の意味に基づいて，２次方程式 ax2＝b の解き方を見出すことができる。 ・因数分解や ○ Ｃ→Ｂ 平方根の意味を確認する。 て２次方程 式を解くこ して解く。 とができる。 完全平方式をつくって２ 次方程式を解くことがで ・因数分解や きることを知る。 平 方 根 の 考 ・ 因数分解できない。 え を 利 用 し ・ 図で考えたらどんな 図になるかな。 ○ て２次方程 式を解く手 順を理解し ている。 Ｃ→Ｂ 因数分解の解き方の手順を確認する。 ( x + ▲ ) 2 = ●の形 ・(x＋k)2＝a の形の２次方程式が，x＋k＝A と置くことで，平方根の考えで解く方法と同 じであることに気づく。 Ｃ→Ｂ 公式２、３番 (x ± a )2 = x 2 ± 2ax + a 2 を確認する。 ノートに図を書くように指示する。 に変形して解く。 基本の問題を通して，内 容の理解を確認する。 ○ ・因数分解や平方根の考えを利用して，２次方 程式を解くことができる。 Ｃ→Ｂ 質問をしやすい雰囲気をつくり、進んで質問す るようにうながす。 関…数学への関心・意欲・態度， 考…数学的な見方や考え方 表…数学的な表現・処理， 知…数量，図形などについての知識・理解 ５ 本時の学習（第一次第５時） （１）小単元名 ２次方程式 （２）本時のねらい (x＋k)2＝a の形に変形して２次方程式を解くことができる。 （数学的な表現・処理） （３）準備・資料等 図形カード、発表用ボード （４）本時の展開 つ か む 学習活動 時間 ５ １．前時の復習をする。 分 x2 = 9 (x + 3)2 = 14 指導上の留意点・評価（観点、方法等） ・平方根の考えを使った解き方を確認する。 を解く。 ２．本時の課題を知る。 ・自由に考えるよう伝える。 問題 ２次方程式 深 め る 25 分 x 2 + 6 x - 5 = 0 を解きなさい。 ○因数分解できない。 （共通因数がない） （因数分解の公式が使えない） 因数分解できない２次方程式を解くにはどうすればいいだろう。 ３． ( x + ▲ ) 2 = ●の形に変形できな 2 いか考える。 ・既習の ( x + 3) = 14 を利用するためにどのよ ○ このままでは無理だ。 うな変形をすればよいか、アドバイスし進める。 ○ 両辺にたしたりひいたりすればい いのでは。 x 2 + 6x x2 + 6x + (x + 3)2 ＝５ ＝５＋ ＝５＋ ・足りないものがなにか問いかける。 ４．この考え方を、式を図で表して 考えてみる。 x ６ ・ x 2 + 6 x を図で表してみせる。 x x 2 + 6x ○正方形の一部をつくれないだろうか。 x x ３ ３ ・図を見て足りない部分がなにを表している かを考えさせる。 ５．両辺に加えるものが９であること に気づく。 15 分 ・２乗の形に変形するときに、気づい た規則性をワークシートに書く。 ま と め る ７．本時の振り返りをする。 ５ 分 2 ・ワークシートを配布する。 ６．練習問題に取り組む。 ① x 2 + 6x - 2 = 0 ○図形で確認してみよう。 ② x2 + 4x + 2 = 0 ○図形ではおかしいけど… ・ ( x + 3) = 14 という方程式なら解けるとい う思いを大切にする。 ◎因数分解できない二次方程式を ( x + ▲ ) 2 = ●の形に変形して解くことが できる。 （数学的な表現・処理） 〈観察・発表〉 Ｃ→Ｂ 図を書いて、それを変形することをアドバイス する。 ・二次方程式を解く方法は、因数分解を利用す る方法と平方根の考えを利用する方法があるこ とを確認する。 因数分解できない２次方程式 (x + ▲ ) 2 = ● の形になるように、 両辺に同じ物ものをたしたり、ひいたりする。 NO.1 組 番 氏名 ◎因数分解のできない２次方程式はどうやって解くのだろう？ 問題 x 2 + 6x - 5 = 0 x 図で表すと x ６ ＝ ５ x + 6x = 5 2 x x + 6x + 2 ３ ＝５＋ x ＝５ ( x + 3) 2 両辺に ＝５＋ を加えると ３ 式は ◎練習 ① x2 + 4x - 2 = 0 気付いたこと 気づいたことを利用して次の問題を解いてみよう。 ② x2 + 4x + 2 = 0 ＝ 図による説明 これなら解ける。 No.１ 組 番 氏名 ◎因数分解のできない２次方程式はどうやって解くのだろう？ 問題 x 2 + 6x - 5 = 0 図で表すと ＝ ５ x + 6x = 5 2 x2 + 6x + ＝５ (x + 3)2 両辺に ＝５＋ を加えると ◎練習 x2 + 4x - 2 = 0 気付いたこと まとめ ＝５＋ 式は ＝ 図による説明 これなら解ける。 No.2 組 番 氏名 ◎今日、学習したことを利用して、次の問題を解いてみよう。 ① x2 + 4x + 2 = 0 ② x 2 - 2x - 2 = 0 ③ x 2 + 12 x + 26 = 0 ④ x 2 + 8x + 4 = 0 ⑤ x 2 - 10 x - 20 = 0
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