2. 弦を伝わる横波 (波動方程式) ギターやバイオリンなど弦楽器の弦を伝わる横波について学ぶ (弦の横波が従う波動方程式を求める) 弦を𝑥𝑥軸方向に張り,y軸方向への平衡位置からの変位 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) が波の量である. 波の振幅が小さく,また波形(𝑦𝑦の関数形)の傾きも小さいとする. 弦の線密度𝜌𝜌[kg/m]と,弦の張力 𝑇𝑇[N]が,位置や時刻によらず一定とする. 弦の微小な部分(𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑥𝑥2 – 𝑥𝑥1),質量 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌 𝑑𝑑𝑑𝑑, がどのように運動するかを分析する ・ この部分は𝑦𝑦軸方向にだけ運動すると考える. ・ この部分に加わる力は,弦の張力だけ:この部分の両側で,接線の傾きが異なるため,合力が𝑦𝑦軸方向に生 じる. 張力の𝑦𝑦成分= 𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠, 𝜃𝜃=接線が𝑥𝑥軸となす角 ・・ 接線の傾きが小さいとするから である. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ≃ 𝜃𝜃 ≃ 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡=𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) ・・ 合力の𝑦𝑦成分は ・ 𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 – 𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠1 ~ 𝑇𝑇 {𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦(𝑥𝑥2, 𝑡𝑡) − 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦(𝑥𝑥1, 𝑡𝑡) } 運動方程式: 𝑇𝑇 {𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦(𝑥𝑥2, 𝑡𝑡) − 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦(𝑥𝑥1, 𝑡𝑡) } = (𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌) 𝜕𝜕𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) , ・ 右辺の𝑥𝑥は 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥2 , 𝑑𝑑𝑑𝑑 → 0 で 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 運動方程式の両辺を 𝑑𝑑𝑑𝑑 で割ると となり 𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) {𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦(𝑥𝑥2, 𝑡𝑡) − 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦(𝑥𝑥1, 𝑡𝑡) }/𝑑𝑑𝑑𝑑 → 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝜌𝜌 𝜕𝜕𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) を得る.これは,位相速度 𝑇𝑇 𝑐𝑐 = � 𝜌𝜌 の波動方程式に他ならない. PSL 10 弦の波と共鳴 1 3. 問1 (1) c = � 𝑇𝑇 𝜌𝜌 (2) [𝑇𝑇] = [M][L][T]−2, (c) ∂2 y 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = � �: 2 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 PSL 10 弦の波と共鳴 𝑇𝑇 1 [𝜌𝜌] = [M][L]−1 , �� � = ([L]2 [T]−2 )2 = [L][T −1 ] 𝜌𝜌 ∂2 y 1 𝜕𝜕 2 𝑦𝑦 − = 0, 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 𝑐𝑐 2 𝜕𝜕𝑡𝑡 2 [Δ𝑦𝑦] [L] 𝜕𝜕𝜕𝜕 Δy Δy まず, ← ,� � = = = 1�無次元�, [Δ𝑥𝑥] [L] 𝜕𝜕𝜕𝜕 Δ𝑥𝑥 Δ𝑥𝑥 Δy � � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 Δ𝑥𝑥 = � � �� = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 [Δ𝑥𝑥] [L] 2 4 弦を伝わる波のエネルギー 1 横波が来ると,弦が横方向に振動する. 横波がサイン波のとき,弦の一部は単振動する. この単振動のエネルギーを求める. 弦を張った方向を𝑥𝑥軸とする. 𝑥𝑥 ~ 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 の部分が𝑥𝑥軸と直交する𝑦𝑦軸方向に振動し,変位を 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) とする. 弦の密度を,単位長さあたり 𝜌𝜌 この部分の とする(𝜌𝜌は線密度,単位は [ kg/m ] ). 1 運動エネルギー = (1/2) (質量)×(速度)2 = 2 (𝜌𝜌 𝑑𝑑𝑑𝑑) (𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑦𝑦)2 位置エネルギー = 張力がする仕事 この仕事は「張力 𝑇𝑇 ×弦の伸び 𝑑𝑑𝑑𝑑」と表せる. 弦が横波の形に変形して伸びた量 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2)1/2 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 {1 + (𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦)2}1/2 – 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 2 ~ 𝑑𝑑𝑑𝑑 {1 + (𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦)2} – 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 = (𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦)2𝑑𝑑𝑑𝑑 2 近似計算(~)には,テーラー展開による 1 次近似, 1 1 (1 + 𝑧𝑧)2 ~ 1 + 𝑧𝑧 2 を用いた. 1 張力がする仕事 = 𝑇𝑇 × 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑇𝑇 × 2 (𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦)2𝑑𝑑𝑑𝑑 位置エネルギー = 1 2 𝑇𝑇 (𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦)2𝑑𝑑𝑑𝑑 dx の部分がもつ力学的なエネルギー = 運動エネルギー + 位置エネルギー 1 2 PSL 10 弦の波と共鳴 1 = (𝜌𝜌 𝑑𝑑𝑑𝑑) (𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑦𝑦)2 + 𝑇𝑇 (𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦)2𝑑𝑑𝑑𝑑 2 3 5 問2 (i) ②の部分が移動する速さ(波のエネルギーが移動する速さ):𝑐𝑐 (ii) y 方向の変位の速さ:𝑢𝑢 = 1 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐴𝐴 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 1 = 𝑐𝑐,𝑑𝑑𝑑𝑑に含まれる質量: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌,運動エネルギーは (𝑑𝑑𝑑𝑑)𝑢𝑢2 = � � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝐿𝐿 2 2 𝐿𝐿 𝐴𝐴 2 1 𝐴𝐴 2 1 𝐴𝐴2 (iii) |𝑥𝑥| ≪ 1 → √1 + 𝑥𝑥 ≃ 1 + 𝑥𝑥より,√𝐿𝐿2 + 𝐴𝐴2 − 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿�1 + � � − 𝐿𝐿 ≃ 𝐿𝐿 �1 + � � � − 𝐿𝐿 = 2 𝐿𝐿 2 𝐿𝐿 2 1 𝐴𝐴2 (iv) 長さ𝐿𝐿に対する伸びが 2 1 𝐴𝐴2 だから,𝑑𝑑𝑑𝑑に対する伸びは� 𝐿𝐿 1 𝐴𝐴𝐴𝐴 2 1 𝐴𝐴 2 1 𝐴𝐴2 𝑑𝑑𝑑𝑑 � � 𝐿𝐿 �. 位置エネルギーは𝑇𝑇 �2 𝐿𝐿 2 1 𝐴𝐴 2 𝑇𝑇 (v) 波の速さがc = �𝑇𝑇/𝜌𝜌となるので � � 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = � �𝑇𝑇/𝜌𝜌� 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = � � 2 𝐿𝐿 2 𝐿𝐿 2 𝐿𝐿 (vi) ①③ではエネルギーが 0 となり,②では 𝜕𝜕𝜕𝜕 A 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐴𝐴 =c , =− 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐿𝐿 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐿𝐿 𝜌𝜌 1 𝐴𝐴 2 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 𝐴𝐴 2 � � 𝐿𝐿 � = 2 � 𝐿𝐿 � 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐿𝐿 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 = � � 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 2 𝐿𝐿 1 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 1 𝐴𝐴 2 𝐴𝐴 2 1 𝐴𝐴 2 → �𝜌𝜌 � � + 𝑇𝑇 � � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = �𝜌𝜌 �𝑐𝑐 � + 𝑇𝑇 � � � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � � (𝜌𝜌𝑐𝑐 2 + 𝑇𝑇 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 𝐿𝐿 𝐿𝐿 2 𝐿𝐿 となる.最右辺の第1項が弦の運動エネルギー,第2項が位置エネルギーである.両者は等しいので,エネルギ 𝐴𝐴 2 𝐴𝐴 2 ーを� � 𝜌𝜌𝑐𝑐 2 𝑑𝑑𝑑𝑑あるは� � 𝑇𝑇 2 𝑑𝑑𝑑𝑑と書いてもよい. 𝐿𝐿 𝐿𝐿 PSL 10 弦の波と共鳴 4 6 サイン波のエネルギー密度 サイン波 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) では 𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑦𝑦 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) エネルギー密度 𝑢𝑢 は ここで よって エネルギー密度の時間平均 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦 = − 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) 1 𝐴𝐴2 𝑢𝑢 = {𝜌𝜌(𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑦𝑦)2 + 𝑇𝑇 (𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑦𝑦)2 } = { 𝜌𝜌𝜌𝜌2 + 𝑇𝑇 𝑘𝑘2} 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑘𝑘𝑘𝑘 – 𝜔𝜔𝜔𝜔) 2 2 𝜌𝜌𝜌𝜌2 + 𝑇𝑇 𝑘𝑘2 = 𝜌𝜌𝜌𝜌2 + (𝜌𝜌𝜌𝜌2)(𝜔𝜔/𝑣𝑣)2 = 2𝜌𝜌𝜌𝜌2 𝑢𝑢 = 𝜌𝜌𝜌𝜌2 𝐴𝐴2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠2 (𝑘𝑘𝑘𝑘 – 𝜔𝜔𝜔𝜔) 1 < 𝑢𝑢 > = 𝜌𝜌𝜌𝜌2 𝐴𝐴2 2 PSL 10 弦の波と共鳴 5 7 問3 (i) ω = �𝑘𝑘/𝑚𝑚 (ii) 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 , 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = −𝜔𝜔𝜔𝜔 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 1 1 1 1 (iii) 𝐾𝐾(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚𝑣𝑣 2 = 𝑚𝑚𝜔𝜔2 𝐴𝐴2 sin2 𝜔𝜔𝜔𝜔, 𝑉𝑉(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝑥𝑥 2 = 𝑘𝑘𝑘𝑘2 cos2 𝜔𝜔𝜔𝜔 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 (iv)𝐸𝐸 = 𝐾𝐾(𝑡𝑡) + 𝑉𝑉(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝐴𝐴2 cos2 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝑚𝑚𝜔𝜔 𝐴𝐴 sin2 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝑘𝑘𝐴𝐴2 = 𝑚𝑚𝑣𝑣 2 = 時間的に変化しない (v)< K > = 𝐸𝐸 = ⏟ 1 2 時間的に一定 だから平均しても 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 𝑚𝑚𝜔𝜔 𝐴𝐴 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝑚𝑚𝜔𝜔 𝐴𝐴 × = 𝑚𝑚𝜔𝜔 𝐴𝐴 , 2 2 4 1 2 2 1 1 < V > = 𝑘𝑘𝑘𝑘2 = 𝑚𝑚𝜔𝜔2 𝐴𝐴2 =< K >, 1 4 2 4 < 𝐸𝐸 >= < K + V >=< K > +< V > = 𝑚𝑚𝜔𝜔2 𝐴𝐴2 = 𝑘𝑘𝐴𝐴 : 振幅の 2 乗に比例,振動数の 2 乗に比 2 2 同じ値になる 例 1 (vi) サイン波のエネルギー密度 < 𝑢𝑢 > = 𝜌𝜌𝜔𝜔2 𝐴𝐴2に微小な長さ𝑑𝑑𝑑𝑑をかけ,その内部のエネルギー 2 1 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 =< 𝑢𝑢 > 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜔𝜔2 𝐴𝐴2 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜔𝜔2 𝐴𝐴2 2 2 となり,(v)の力学的エネルギー𝐸𝐸とまったく同じになる.弦の1カ所に注目すると,その部分は単振動を行うの だから当然の結果だろう. PSL 10 弦の波と共鳴 6 8 サイン波のパワー 弦にサイン波の進行波があるとき,弦のどの部分にも,単位長さあたり < 𝑢𝑢 > の平均的なエネルギー密度があ る. ここで, 1 < 𝑢𝑢 > = 𝜌𝜌𝜌𝜌2𝐴𝐴2 2 であった. 波の移動とともに,このエネルギーが伝わる.その速さは波の速さに等しい. 弦の 1 点を 1 秒に通過する波のエネルギー(=波のパワー)は, その点の左側にある「波が 1 秒で伝わる距離 =𝑣𝑣×1 秒」に含まれる平均エネルギーである. したがって,1 点を通過する波のパワーの時間平均は 1 < 𝑃𝑃 > = < 𝑢𝑢 > 𝑐𝑐 = 𝜌𝜌𝜌𝜌2𝐴𝐴2 𝑐𝑐 2 波の速さは 𝑇𝑇 𝑐𝑐 = � 𝜌𝜌 と書けるので 1 𝑇𝑇 1 < 𝑃𝑃 > = 𝜌𝜌𝜔𝜔2 𝐴𝐴2 � = �𝑇𝑇𝑇𝑇 𝜔𝜔2 𝐴𝐴2 2 𝜌𝜌 2 PSL 10 弦の波と共鳴 7 9 固定境界条件 自由端では弦に力が働かず,弦は伸び縮みしない. 弦の伸びは だから,自由端では となる. 1 1 �𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2�2 – 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 {(1 + (𝜕𝜕𝑥𝑥𝑦𝑦)2)1/2 − 1} = 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝜕𝜕𝑥𝑥𝑦𝑦)2 2 (𝜕𝜕𝑥𝑥𝑦𝑦)2 = 0 → 「自由端では常に,横波の接線の傾きが 0 となる」 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑦𝑦 = 0 この条件を満たす波は,数学的には,つぎのように作り出すことができる. 1.自由端をもたない無限に長い弦を考える 2.左側から自由端に向かう入射波に対し,まったく同じ振幅をもつ波を,右から入射させる 3.ふたつの波の振幅を,自由端で同じになるように重ね合わせると,自由端を原点とする偶関数の波になる. 4.どんな偶関数も原点で傾きが 0 だから,条件が満たされる. 5.自由端の左側では,どちらの波も波動方程式の解だから,重ね合わせたものも解である. 6.自由端の左側で,左に進む波が,自由端で生じた反射波である. PSL 10 弦の波と共鳴 8 10 問4 単一振動数の定在波は,その振動数のサイン波の進行波を両向きに重ねてつくる. そのとき定在波の形は となることを既に学んだ. 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔) ここでは,𝑥𝑥 = 0 で振幅が常に 0 となるので,座標原点を適切に選びなおして 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔) と書くと, 𝑥𝑥 = 0 で常に振幅が 0 となる.時間波形は時間の原点をとりなおして 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔) としてもかまわない. つぎに,𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 で振幅が常に 0 となるためには,𝑘𝑘 となる.したがって は任意の値ではなく, 𝑘𝑘 𝐿𝐿 = 𝜋𝜋 × 𝑛𝑛, 𝑛𝑛 = 1, 2, 3, … 𝑘𝑘𝑛𝑛 = が弦に立つ波の波数に対する条件となる. 2𝜋𝜋 𝜆𝜆 = 𝑛𝑛 𝜋𝜋 𝐿𝐿 波長の条件として書き直すと 𝜆𝜆𝑛𝑛 = 2 振動数の条件として書き直すと 𝜈𝜈𝑛𝑛 = となる. 𝐿𝐿 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑐𝑐 = × 𝑛𝑛 𝜆𝜆𝑛𝑛 2𝐿𝐿 = 𝑛𝑛 𝑇𝑇 × � 2𝐿𝐿 𝜌𝜌 長さL,両端固定の弦が,単一の振動数で共鳴するときは,これらのとびとびの振動数に限られる. 振動数 𝜈𝜈1 の波を 基本波, 𝜈𝜈𝑛𝑛 を第𝒏𝒏高調波(𝑛𝑛倍波ともいう)という. それぞれの単一振動数の波の波形を,この弦の基準振動モードという. 基準振動モードは,弦が共鳴する1つの振動数における定在波の波形であり,節と腹がある. PSL 10 弦の波と共鳴 9 11 自由境界条件 自由端では弦に力が働かず,弦は伸び縮みしない. 弦の伸びは だから,自由端では となる. 1 1 �𝑑𝑑𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑𝑑𝑑2�2 – 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 {(1 + (𝜕𝜕𝑥𝑥𝑦𝑦)2)1/2 − 1} = 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝜕𝜕𝑥𝑥𝑦𝑦)2 2 (𝜕𝜕𝑥𝑥𝑦𝑦)2 = 0 → 「自由端では常に,横波の接線の傾きが 0 となる」 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑦𝑦 = 0 この条件を満たす波は,数学的には,つぎのように作り出すことができる. 1.自由端をもたない無限に長い弦を考える 2.左側から自由端に向かう入射波に対し,まったく同じ振幅をもつ波を,右から入射させる 3.ふたつの波の振幅を,自由端で同じになるように重ね合わせると,自由端を原点とする偶関数の波になる. 4.どんな偶関数も原点で傾きが 0 だから,条件が満たされる. 5.自由端の左側では,どちらの波も波動方程式の解だから,重ね合わせたものも解である. 6.自由端の左側で,左に進む波が,自由端で生じた反射波である. PSL 10 弦の波と共鳴 10 12 問5 反射波を決める条件は:入射波と反射波の重ね合わせは,𝒙𝒙 = 𝟎𝟎における接線の傾きが 0 となる. (i) 左に進むサイン波はℎ𝐿𝐿 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 cos(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙)と表せる. ∂ ∂ 𝑓𝑓𝑅𝑅 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = −𝑘𝑘𝑘𝑘 sin(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) , ℎ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = −𝑘𝑘𝑘𝑘 sin(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙) 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐿𝐿 ∂ ∂ 𝑓𝑓𝑅𝑅 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)� + ℎ𝐿𝐿 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)� = 0 → −𝑘𝑘𝑘𝑘 sin(−𝜔𝜔𝜔𝜔) = 𝑘𝑘𝑘𝑘 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 = −(−𝑘𝑘𝑘𝑘 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜙𝜙)) → ϕ = 0 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑥𝑥=0 𝑥𝑥=0 𝑓𝑓𝐿𝐿 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = A cos(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝜔𝜔) , 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝑅𝑅 + 𝑓𝑓𝐿𝐿 = 𝐴𝐴(cos(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) + cos(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝜔𝜔)) = 2𝐴𝐴 cos 𝑘𝑘𝑘𝑘 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 (ii) 左に進むサイン波はℎ𝐿𝐿 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 sin(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓)と表せる. ∂ ∂ 𝑔𝑔𝑅𝑅 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝑘𝑘 cos(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) , ℎ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑘𝑘𝑘𝑘 cos(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐿𝐿 ∂ ∂ 𝑔𝑔𝑅𝑅 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)� + ℎ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)� = 0 → 𝑘𝑘𝑘𝑘 cos(−𝜔𝜔𝜔𝜔) = 𝑘𝑘𝑘𝑘 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 = −(𝑘𝑘𝑘𝑘 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓)) → ψ = π 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝐿𝐿 𝑥𝑥=0 𝑥𝑥=0 𝑔𝑔𝐿𝐿 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = −A sin(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝜔𝜔) 𝑔𝑔 = 𝑔𝑔𝑅𝑅 + 𝑔𝑔𝐿𝐿 = 𝐴𝐴(sin(𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝜔𝜔𝜔𝜔) − sin(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜔𝜔𝜔𝜔)) = −2𝐴𝐴 cos 𝑘𝑘𝑘𝑘 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 PSL 10 弦の波と共鳴 11 13 弦の基準振動モード 単一振動数の定在波は,その振動数のサイン波の進行波を両向きに重ねてつくる. そのとき定在波の形は となることを既に学んだ. 𝐴𝐴 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔) ここでは,𝑥𝑥 = 0 で振幅が常に 0 となるので,座標原点を適切に選びなおして と 書 く 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜔𝜔𝜔𝜔) と , 𝑥𝑥 = 0 で常に振幅が 0 となる.時間波形は時間の原点をとりなおして 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔) としてもかまわない. つぎに,𝑥𝑥 = 𝐿𝐿 で振幅が常に 0 となるためには,𝑘𝑘 となる.したがって は任意の値ではなく, 𝑘𝑘 𝐿𝐿 = 𝜋𝜋 × 𝑛𝑛, 𝑛𝑛 = 1, 2, 3, … 𝑘𝑘𝑛𝑛 = が弦に立つ波の波数に対する条件となる. 2𝜋𝜋 𝜆𝜆 = 𝑛𝑛 𝜋𝜋 𝐿𝐿 波長の条件として書き直すと 𝜆𝜆𝑛𝑛 = 2 振動数の条件として書き直すと 𝜈𝜈𝑛𝑛 = となる. 𝐿𝐿 𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑐𝑐 = × 𝑛𝑛 𝜆𝜆𝑛𝑛 2𝐿𝐿 = 𝑛𝑛 𝑇𝑇 × � 2𝐿𝐿 𝜌𝜌 長さL,両端固定の弦が,単一の振動数で共鳴するときは,これらのとびとびの振動数に限られる. 振動数 𝜈𝜈1 の波を 基本波, 𝜈𝜈𝑛𝑛 を第𝒏𝒏高調波(𝑛𝑛倍波ともいう)という. それぞれの単一振動数の波の波形を,この弦の基準振動モードという. 基準振動モードは,弦が共鳴する1つの振動数における定在波の波形であり,節と腹がある. PSL 10 弦の波と共鳴 12 14 問6 1 (a) 図略 (b) ν0 = 𝑐𝑐 2𝐿𝐿 2 (a) 図略 より,弦長が 2 倍(半分)になると基本振動数が 1/2 の 60 Hz(2倍の 240 Hz)になる. (b) (i)振幅は,両端と中央で 0,端から 1/4 および 3/4 だけ離れた位置で逆位相・最大)となる.サイン関数の 1周期分. (ii)左半分と右半分では位相が 180°異なり,それぞれの中ではどの位置の位相差も 0 である. 3.両側が固定端の弦の中央付近に腹がある振動モードは,基本振動の次が(第二高調波はなくて)第三高調波 となるから. PSL 10 弦の波と共鳴 13 15 問 7 𝑓𝑓1 = 𝑐𝑐 𝜆𝜆1 = 220 mm 1 2𝐿𝐿 𝑇𝑇 �𝜌𝜌 𝑇𝑇 50 より 𝜌𝜌 = (2𝐿𝐿𝐿𝐿)2 = (2×0.33×440)2 ≃ 6 × 10−4 kg/m PSL 10 弦の波と共鳴 14 16 両側が固定端の弦の波動方程式の解 両端が固定されている,長さ L の弦[0, L]には(基準モード以外に)どのような波が立つのか, 波動方程式 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦 – に基づいて考える. 1 𝜕𝜕𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑦𝑦 = 0 𝑐𝑐2 固定端の条件を満たす基準振動モードの解 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � = 𝑛𝑛 𝜋𝜋 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �𝜔𝜔𝑛𝑛 𝑡𝑡�, 𝜔𝜔𝑛𝑛 = 𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑛𝑛 = 2𝜋𝜋 𝐿𝐿 𝐿𝐿 𝜆𝜆𝑛𝑛 の重ね合わせで一般的な解が求まると考える. 「一般的な解をフーリエ展開すると基準振動モードになる」と考え 𝑦𝑦 = Σ 𝑦𝑦𝑛𝑛 とする. どのフ-リエ成分も固定端条件を満たすので,それらの重ね合わせである 𝑦𝑦も固定端条件をみたすし, どの成分も波動方程式を満たすので,𝑦𝑦も波動方程式の解であることが保証される. 各成分の係数 (振幅) 𝐴𝐴𝑛𝑛 はどのようにして決まるかを考える. 時刻 𝑡𝑡 = 0 において時間を含む項が 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐0 = 1 となるので y(𝑥𝑥, 0) = Σ 𝑦𝑦𝑛𝑛(𝑥𝑥, 0) = Σ𝐴𝐴𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛/𝐿𝐿) すなわち,𝑡𝑡 = 0における弦の形 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 0) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) が与えられると,そのフーリエサイン級数の係数として 𝐴𝐴𝑛𝑛が求 まる: 2 𝐿𝐿 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝐴𝐴𝑛𝑛 = ∫0 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � 𝐿𝐿 𝐿𝐿 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑦𝑦(𝑥𝑥, 0) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) を初期条件といい,𝑦𝑦(𝑡𝑡, 0) = 𝑦𝑦(𝑡𝑡, 𝐿𝐿) = 0 を境界条件という. ある時刻に弦の特定の箇所をつまみあげ,静かに放すときの音色(どのような振動数成分がどれだけ含まれるか) は つまむ位置で異なる.最初の三角形の波形をフーリエ展開すると,音色が分かる. 実際,弦の中央付近をつまんだときにくらべ,端の法をつまんだほうが,短い波長成分が多く含まれるので,高 い振動数成分がふくまれて 硬い音になる. PSL 10 弦の波と共鳴 15
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