橡 Seminar 97-2

7. 2 翼列翼型の設計と多目的遺伝的アルゴリズム
今年 1997 年は、英国の Sir F. Whittle のジェットエンジンが初めて自立運転に成功してから 60 年
目にあたる年である[26]。その間にたゆまない性能向上への努力は継続的に続けられてきた。第一世
代ターボジェット、第二世代低バイパス比ターボファン、第三世代高バイパス比ターボファンと発達
してきたジェットエンジンは、今や次世代高バイパス比ターボファンから超高バイパス比ターボファ
ンの時代に入ろうとしており[27]、また騒音や排気を低減させる技術も進歩し、環境に優しいエンジ
ンとしても発展を遂げている。このようなガスタービンエンジンの発達の重要な鍵の一つとなってい
るのが圧縮機である。というのは、圧縮機がエンジンの圧縮比や流量を支配するため、エンジンの特
性に絶対的な影響を及ぼし、さらに制御するのに最も難しいエンジン要素の一つだからである[11] 。
これからのエンジン開発には、そのコンパクト化や軽量化と同様に低燃費化のため、エンジン圧縮比
を上げ、圧縮機の効率を改善しようとする強い動機づけがある。従って、このような要求に備えるた
め、圧縮機の研究や開発において多大な努力が注がれており、航空機エンジン産業界では長い間、幅
広く深い研究開発プログラムを遂行してきている。
このようなガスタービンエンジンには 2 つの型の圧縮機が広く使われてきた。軸流型と遠心型であ
る。軸流型では、主としてエンジンの軸流方向に空気が流れる。動静翼列で段を形成し、流量が大き
く、高効率の可能性をもち、きわめて高度に発達している。軸流型は大型の航空機エンジンで支配的
となっている。一方、遠心型では、空気は圧縮機のロータの中で軸方向から半径方向に曲げられる。
比較的高い段圧縮比が可能であるため全長が短く、構造的にも簡単である。遠心型は小型の航空機エ
ンジンや多くの産業用で使われている。
ガスタービン設計においては、産業用および航空用を問わず低燃費化が一つの要求項目になってい
る[28]。そこで、低燃費化を図るには、熱サイクルの効率を増すことよりも全体圧縮比および要素効
率を高めることが必要とされる。さらに航空用では軽量化も重要な要求項目である[28]。こうした高
圧縮比化をより少ない段数で達成する、すなわち負荷を高くすることが望まれるのは当然のことであ
る。
このようなことから、エンジンの軽量化・低燃費化という観点において圧縮機に対する代表的な要
求項目として、「高圧縮比化、高効率化、高負荷化」の３つが挙げられる。しかしながら、圧縮機翼
列内の流れ（図 7.13）[29]を考えると、これらを同時に満足させるのはきわめて困難な状況にある。
翼列内では逆圧力勾配のために境界層が発達しやすく、流入速度が増すと衝撃波も発生してしまう。
さらに二次流れやクリアランス流れなどの流れ場の三次元性が強くなるためにかなり複雑な流れ場と
なり、最終的に性能低下を招く可能性が高くなる。従って、このような境界層の発達、衝撃波、そし
て三次元性の流れ等の影響を考慮した設計手法が重要となる。
1970年代には、新しく圧縮機を設計・開発するためにかなりの試行錯誤が成されたが、今や状況は
進展傾向にある。エンジンメーカーが新しい圧縮機を設計するとき、過去に経験したものと多少の差
はあってもあまり大きく違っていなければ、設計どおり上手くいくことに疑いをもつことはなくなっ
ている。その背景として、近年のCFD技術の急激な進展とコンピュータ技術の著しい進歩が挙げられ
る。CFD を設計ツールとし、広範囲な実験データベースとあわせ、圧縮機の流体力学的挙動やその構
造的完全さに対する予測精度がかなり向上している。実際、圧縮機の翼間内部流動、すなわち翼列に
関する数値解析を行った研究も多数報告されている。例えば、2 次元翼列の解析[30-32]、3 次元翼列
の解析[33,34]、あるいは動翼やフラッターを扱った非定常解析[35,36]などが挙げられる。こうした
多数の翼列解析からみても分かる通り、圧縮機の性能は翼列の性能に左右され、高性能な圧縮機を実
7-22
Inflow
Clearance
flow
Shock wave
Clearance
vortax
Secondary
flow
Separated
flow
Secondary
flow
Corner vortex
Rotation
Boundary
layer
Outflow
図7.13 圧縮機翼列内での流れ場の概念図
現するには、高性能な翼列を構築する必要がある。特に、二次元翼列に関する研究開発は最も重要な
空力的課題の一つであり、二次元設計法が非常に重要な位置を占めている。なぜならば、翼列の空気
力学的設計では全体の性能面での設計仕様を考えて、まず翼間流路を決定しなければならない。この
ときに性能の良い、つまり圧縮機の代表的要求項目をできるだけ満足するような二次元形状を求め、
最終的にこれらの翼型をスパン方向に積み重ねて三次元翼列形状を得ているからである。従って、二
次元翼列の性能が三次元形状、もしくは圧縮機全体の性能に大きく影響してくる。すなわち、二次元
翼列設計は圧縮機を設計する上で必要不可欠なものといえる。
翼列翼型の空力設計のほとんどは逆設計法に基づいている[37]。逆設計法とは予め与えられた圧力
分布を満たすような形状を求める方法である。圧力分布から積分方程式を解いて直接形状を求める方
法と、ある形状の圧力分布をCFDで求めてから予め与えられた圧力分布になるように形状を変化させ
ていく方法がある。適切に圧力分布を設定できる知識を持つ設計者にとってこの方法は非常に効果的
ではあるが、圧力分布を設定することは一般に難しい問題である。設定された圧力分布によっては物
理的に不可能な形状になる場合もありうる。さらに、形状の制約条件も複雑になる。
そこで、本研究では圧縮機の二次元翼列翼型に注目し、圧縮機の要求項目について順設計法に基づ
いた空力形状の最適化を試みる。順設計法（あるいは順最適化法）とは、通常の逆設計に対し、形状
を直接変化させることによって与えられらた空力的な目的関数を最大もしくは最小にする方法である。
ここで、前節を振り返ってみると、3 つの最適化手法（勾配法・焼きなまし法（SA）・遺伝的アルゴ
リズム（GA））を適用した低速の高揚力翼型の空力最適化を行い、この最適化問題に対する適応性に
ついて3手法の比較を示した。その結果、3手法のなかでGAを用いた場合が最も高い揚力を発揮する
翼型形状を求めることができ、この空力最適化問題を解くのにGAが最も有効な方法であることが分か
7-23
った。従って、ここで行う翼列翼型の空力最適化問題を解くための手法としてGAを採用する。
翼列にはその用途と流入マッハ数の範囲に応じて様々なタイプの形状が使われている。従来の翼列
設計では、翼列条件と翼型特性との相関や翼列配置において優れた特性をもつ翼型の設計資料の作成
の目的で、広範囲にわたる系統的な実験的研究が圧縮機翼列について翼列風洞により遂行されている
[38]。亜音速圧縮機翼型に適したNACA65系列翼型（図7.14）や遷音速圧縮機翼型に適した多重円弧
翼（Multiple circular arc airfoil）（図7.15）が代表的である。多重円弧翼とは翼列内部流路における
スロート部に相当する位置で二分し、前縁側と後縁側とで滑らかに接続する２つの円弧によって反り
線が構成されている翼型である。
一方、高速域でも高い性能を発揮させるために、より自由度が高く最適化可能な翼型がCFDを利用
して研究・開発されている。その代表的なものが超臨界翼列翼型 [39,40]や拡散制御翼（ Controlled
Diffusion Airfoil, CDA）[41-43]である（図 7.16）。CDA は、臨界マッハ数を越える流入条件に対
し、超音速から亜音速へ衝撃波を伴わずに減速し、境界層が剥離しないようなマッハ数分布（図7.17）
を与え、これを満足するように順解法または逆解法により得られた翼型である。従って、損失が小さ
く抑えられていることになる。CDA の形状は前縁付近でキャンバーの曲率が大きく、前縁・後縁の翼
厚が大きくなっている。
本研究では、遺伝的アルゴリズム（GA）を用いて亜音速圧縮機翼型の空力最適化を試みる。実際に
最適化された翼型がどの程度良いものであるかを確かめたい。そこで、CDA を比較の対称翼型として
取り上げ、得られた最適翼型とCDAとの性能比較も行う。
7. 2. 1 数値計算法
翼列翼型の性能値はCFDにより得られる。圧縮機翼列内では逆圧力勾配になるため、翼面上での境
界層の発達は避けられず、剥離も生じる可能性もある。また、翼列の性能、特に損失に関しては境界
層の発達と深く係わっているので、計算で境界層を上手く再現させないと正しい性能値を評価するこ
とができない。そこで、翼列内の流れ場は二次元圧縮性 Navier-Stokes 方程式を基礎方程式として解
析する[44-47]。
対流項は、Wadaらの修正HLLE法[44]を適応し、粘性項は２次の中心差分で近似する。時間方向に
は、LU-SGS 法[46]を用いる。この方法は、実質的に行列反転のない、無条件安定な陰解法であり実
用計算によく用いられている。また定常問題を扱っているので、局所時間法（Locally varying time
step）を使って収束を早めている[44]。
高レイノルズ数流れにおいて、Thin-layer 近似を用い、乱流現象を数値計算で捕らえるために乱流
モデルを利用する。本研究では乱流モデルとして Baldwin-Lomax の代数モデル[47]を適用し、翼型
において境界層は前縁から乱流としている。
7-24
図7.14 NACA65系翼
図7.15 多重円弧翼
図7.16 拡散制御翼（CDA）
7-25
図7.17 CDAの設計指針
7-26
7. 2. 2 翼列翼型の空力最適化法
圧縮機には作動マッハ数に応じて様々なものがあり、翼型の形状もそれぞれ変わってくる。また、
圧縮機は動翼（Rotor）と静翼（Stator）により段が形成され、動翼内および静翼内での流れ場は全く
異なるので、両者の形状も変わる。本研究では亜音速の静翼に関して最適化を行い、圧縮機の代表的
な要求項目「高圧縮比・高効率・高負荷」を目的とした。初めに、3つの項目を別々に評価し、それぞ
れに関して空力的に最適な翼型形状を求める単目的遺伝的アルゴリズム（Single-Objective Genetic
Algorithm, SOGA）を試みる。次に、3 つの項目を全て同時に評価し、どの要求性能もよくなるよう
な最適形状を求める多目的遺伝的アルゴリズム（Multi-Objective Genetic Algorithm, MOGA）を行
う。MOGA の場合は、他のどの解よりも劣っていない解の集合（パレート最適解）[48]を求めること
を目標にしている。そして、パレート最適解の中から最終的に解を 1 つ選ばねばならないが、これは
設計者の意図に反映するものが最適解として決定される。
1. 翼列翼型の形状定義
求める翼列翼型の形状を定義する。翼型は一般的に翼厚分布（対称翼型）と反り分布（キャンバー
線）で構成されている。というのは、翼型の性能がこの 2 つの要素でほぼ与えられるからである。従
って、本研究では対称翼型とキャンバー線を別々に形成し、これらを組み合わせることにより翼型形
状を決定する（図7.18）。まず、対称翼型の上下面上に14点、キャンバー線上に7点の制御点をそれ
ぞれ分布させる。このとき、対称翼型では最大翼厚となる制御点、キャンバー線の場合は最大キャン
バーとなる制御点をはじめに決定し、形成された対称翼やキャンバー線が交差しないような制約のも
とで残りの点は順次その間に位置するように決め、これらの制御点の座標(x,y)を設計変数とする。つ
まり、1つの制御点はxとyの2つの設計変数から成っている。ただし、前縁・後縁の座標はそれぞれ
(0,0), (1,0)に固定する。また対称翼型の場合、上面の制御点が決まれば、これを x 軸について対称移
動させると下面の制御点も自動的に決まる。さらに、後縁点の真上の制御点（x座標1に固定）はCDA
のように後縁に厚みのある翼型も表現できるようにするために設けた。結局、全21個の設計変数とな
る。
対称翼型およびキャンバー線を表現する曲線は、制御点を三次 B-spline（Basis-spline）関数によ
って決定する[49]。さらに、三次 B-spline 曲線は制御点を通らないので、指定した翼弦長と最大翼厚
となるように修正を施している。
こうして形成された対称翼型とキャンバー線を組み合わせることによって求める翼型形状を定義す
る。
2. 単一目的遺伝的アルゴリズム
圧縮機に対する代表的な要求項目「高圧縮比・高効率・高負荷」について、各項目ごとに最適化を
行う（SOGA）。このとき、各世代中の個体数および最大世代数を次のように設定する。
個体数＝64 最大世代数＝80
また、各操作は次のように行う。
7-27
図7.18 翼型の定義
7-28
・コード化
翼型を定義するときの制御点の座標を設計変数とする。このとき設計変数を 2 進数には変換せず、
実数型データのまま遺伝子として扱う。従って遺伝子の数は合計21個となる。そして、この遺伝子で
表現できる翼型の中から無作為に64個体選び出し、初期個体集団を形成する。
・評価
性能を評価するとき、翼列内の流れ場は二次元圧縮性 Navier-Stokes 方程式に従う。用いる計算格
子や流れ場の流入条件等は以下のように設定する。ただし、流れ場の条件はCDAに対してOff-design
条件になっている[50]。
・計算格子：翼間流路のH型格子(201×65)
・流入マッハ数：M1 ＝0.25
・流入角：β 1 ＝40.0 [deg.]
・入口全圧：Pt1＝1.043×105 [Pa]
・入口全温：T t1＝294 [K]
・レイノルズ数：Re＝0.70×10 6
・翼列ピッチ：s/c＝0.5988
・食い違い角：γ＝14.4 [deg.]
また境界条件は、
・流入境界：流入角β 1 を固定し、全温を与え、他の物理量は内点から外挿する。
・流出境界：流出マッハ数（M2 ＝0.195）を与え、自由流出とする。
・翼面上：滑り無しの条件とする。
・格子の接合境界：周期境界を与える。
以上の流れ場の条件は、文献[50]を参考にしたものである。また、機械学会においてもこれと同様な
条件を用いた翼列解析のワークショップが行われている[51]。
GAを用いた最適化において、最大の問題は計算時間が非常に多いということである。全計算時間の
うちほとんどの部分を占めるのがこの評価である。従って、より効率的に、より短時間で評価するこ
とが望ましい。そこで、各個体を同時に全てを評価してしまうことを考える。つまり、個体評価の並
列処理である。このため、航空宇宙技術研究所の所有する高性能並列計算機 NWT（Numerical Wind
Tunnel）を利用する。
並列計算機NWTの概要
NWT は 166 台の要素計算機（Processor Element, PE）から成り、各 PE がベクトル演算機を持っ
ている。1PE の性能はピークで約 1.7GFLOPS（主記憶 256MB）と非常に高い。また PE 間のデータ
転送に関しても柔軟でありかつ速いネットワークを採用している。
並列計算を行う際には並列プログラミングをしなければならない。このため NWT 独自の NWT
Fortran を用いる。これは通常の FORTRAN に、 DO ループの分割、同期に関する翻訳指示行
7-29
（Directive）を挿入した並列化を指示する言語である。単一のプログラムで記述でき、並列化は簡潔
かつ容易である。また、並列化したコードをそのまま普通のベクトル計算機にかけることもできる。
ここで、スーパーコンピュータについての知識をさらに深めるために文献[52]を挙げておく。
このNWTを用い、各PEに各個体の評価を割り当てる。従って、64台のPEを使用することにより、
並列化してない場合と比べるとGAの評価部分の計算時間が 1／（個体数）、つまり1／64となり
大幅に時間を減らすことが可能である。NWTを利用した計算例は他にも多くあり、例えば文献[53]で
は、動静翼列内の非定常流れ解析に関する研究が報告されている。
・選択
GA の選択法にはいくつかの手法があるが、ここではランキング選択法を採用する。この方法では、
個体集団中における各個体の適応度の大きな個体から順に1, 2, 3,…とランク付けをし、このランクに
応じて各個体の選択確率が決まる。つまり、ランク i の個体の選択確率は
Pi = c ⋅ (1 − c )i −1
(7.24)
で与えられる。これは、Michalewiczが提案した非線形ランキング選択であり[54]、c はランク1の個
体が選択される確率を表している。ここでは、c = 0.075 と設定した。この値は大きすぎると、ランク
1の評価関数値の高い個体が選択されやすくなるので、その影響で全体の個体が同じものばかりになっ
てしまい、逆に小さすぎると、ランク 1 の個体の選択確率も小さくなるので、いつまでたってもよい
個体が増えない。従って、適切な値を設定する必要がある。
このように、ランキングによる選択確率は直接適応度によって決まるわけではなく、設計者の意図
に基づいて考慮された c によって(7.24)式から決定されるので、選択確率を自由に設定することができ
る。さらに、(7.24)式の代わりに別の方法を用いる場合も考えられ、例えば線形の式を用いた線形ラン
キング選択法がBakerにより提案されている[55]。
ランクによる選択確率の決定後、この確率の値を各個体の適応度として再定義し、前節のGAで扱っ
たルーレット式選択法を用いて親を選択する。
・交叉
全ての遺伝子を対象にして、2 つの親から互いに対応する遺伝子を 50%の確率で交換する方法を採
る（図 7.19）。つまり、制御点の座標を遺伝子としてるので x 座標どうし、y 座標どうしをそれぞれ
独立に交換する。
・突然変異
全ての遺伝子に対して突然変異が起こる可能性を調べ、発生した場合にはその遺伝子に擾乱を加え
るという操作を行う。加える擾乱としては、x座標では-0.2∼+0.2の範囲、y座標では-0.02∼+0.02
の範囲の量をランダムに決める。また、突然変異が起こる確率（突然変異率）は一般的に小さい。あ
まり大きすぎるとランダムサーチになってしまうからである。そこで、突然変異率は1世代目で20%、
100世代目では1%になるように線形的に小さくなるように設定する。これは、世代を重ねるごとに集
団中に良い個体が増えてくるので、その個体をできるだけ破壊しないようにし、解の収束をよくする
7-30
(x
1
1,
Parent 2
(x
2
1,
y 12 ,
Offspring 1
(x
2
1,
y 11 ,
(x
1
1,
y 12 ,
Parent 1
Offspring 2
) (x
y 11 ,
1
2,
) (x
2
2,
)
(
)
)
(
)
y 12 , LL x i1 , yi1 , LL
y 22 , LL x i2 , y i2 , LL
) (x , y ), LL(x
1
2
) (x
Probability
50 ％
2
2,
2
2
2
i ,
)
(
)
yi2 , LL
)
y21 , LL xi1 , yi1 , LL
図7.19 交叉方法
ためである。
・エリート戦略
ここでは、集団中で最も評価の良い個体と2番目に良い個体を優先的に次世代に保存する。
3. 多目的遺伝的アルゴリズム
SOGA では「高圧縮比化・高効率化・高負荷化」の各項目を別々に扱い、1 つの評価関数のみを考
慮した。最も望ましいのはこれらの要求を全て満足させることであるが、非常に難しい問題であるこ
とは既に述べた。しかしながら、MOGA を適用することによりある程度は実現可能である。一般的に
静翼の場合、転向角が増加すると圧縮比も増加するので実質的に圧縮比と効率を高める 2 目的最適化
と考えられる。ところが、高転向角は境界層剥離による大きな損失を招くので圧縮比低下にもつなが
る。従って、転向角を大きくするには限界がある。そこでこのパラメータも重要であると考え、SOGA
の 3 目的を同時に最適化する MOGA を試みる。MOGA は SOGA と異なり、ベクトルの評価関数を最
適化し、得られた解は単一ではなくパレート最適解として知られる解の集合である。元来、パレート
は経済学者であり、パレート最適は彼の「財が最も効率的に分配されている状態」についての概念か
ら始まった。このとき、「他の誰かの状態を悪化させない限り、誰の状態も改善できない。」[56] 。
これを工学の多目的最適化に対応させたパレート解は、1つの項目を良くするのに残りの2つの項目の
うち少なくとも1つが悪くならないと改良できないという意味で最適状態にある。
現在ではGAを用いて多目的最適化問題を解いている研究も報告されている[57-59]。この中で共通
してパレート最適集合を求める重要な鍵を握っているのがパレートランキング法とシェアリング法で
ある。パレートランキング法は Fonseca と Fleming によって提案されており[60]、他にも Goldberg
により考案されたランキング法[8]もある。また、シェアリング法は解が一カ所に集まってしまうこと
を防ぎ、解のばらつき（多様性）を保つために用いられる[55]。
7-31
MOGAの設計条件を設定する。コード化、流れ場条件、交叉、突然変異はSOGAの場合と同じであ
るが、ここでは選択とエリート戦略が異なる。これらのオペレータにはパレートランキングとシェア
リング[55]、さらにベストN選択法[61]を採用した。
各世代中の個体数および最大世代数を以下のように設定する。
個体数＝64 最大世代数＝80
・パレートランキング
GAでは個体集団を用いた探索が進められるので、ある程度評価の良い個体を同時に保ちつつ探索が
可能で、パレート最適集合を同時に求めることができる。このために世代内のパレート最適な個体を
選択するように拡張されたランキング選択法がある。これには次のような定義を使う。
［定義］：
集団中に xi
(
)
= (x i , y i ), x j = x j , y j が存在し、また最大化すべき評価関数の組を F = (F1 , F2 ) と
したとき、
1. 以下の式を満たすとき、 xi は x j に支配されている（ x j の劣解）という。
( )
( )
( )
F1 (xi ) ≤ F1 x j かつ F2 (xi ) ≤ F2 x j 、ただし F(x i ) ≠ F x j (7.25)
2.
(7.25)式を満たす x j が存在しない、すなわち
( )
( )
F1 (xi ) > F1 x j または F2 (xi ) > F2 x j
(7.26)
のとき、 xi は x j に支配されない（ x j の非劣解）という。つまり、評価関数空間の実行可能領域内に
ある非劣解の集合がパレート最適となる。
個体 xi 、世代 t において、
pit 個の個体で xi が支配されているとき、個体 xi のランクは
rank(xi , t ) = 1 + pit
(7.27)
で決定する。非劣解の個体は全てランク1である。例えば図7.20で示されているような各個体のパレ
ートランキングが決まる。
・シェアリング
MOGAを解くためには解がパレート最適であるのと同時に、パレート最適解がパレート集合中に一
様に分布している必要がある。つまり、解の多様性を保つことが重要でなる。しかし、確率的な選択
を行うことによりある特定の評価の良い個体のみが選ばれるような偏りを生ずることがある（遺伝的
浮動）[55]。この遺伝的浮動を避けるために、多くの点が集中している部分での適応度を意図的に下
げ、孤立している点の適応度を大きくすることにより適応度を修正する操作が必要になる。これをシ
ェアリングという。シェアリング後修正された F( xi ) を F ′( xi ) としたとき
7-32
1
f2
1
2
1
3
5
2
1
f1
図7.20 パレートランキング
F ′( xi ) =
∑
F (x i )
s(d ( xi , x j ))
(7.28)
j
となる。ここで、s は解がどの程度同じ場所に集中しているかという度合いを決めるシェアリング関数
という。もちろん様々なシェアリング関数を考えることが可能であるが、例えば次式で表される[55]。
  d α


s(d ) = 1 −  σ
share 
0

σ < σ share
(7.29)
σ ≥ σ share
d = d (x i , x j ) は個体 xi , x j 間の距離を表す。一般的に距離 d の測定法により、遺伝子のハミング距
離を用いる遺伝子型シェアリングとパラメータ空間でのユークリッド距離を用いる表現型シェアリン
グとがある。MOGA では評価関数空間でパレート最適集合を求めるので、後者がよく用いられる。こ
こでは、設計変数のユークリッド距離を測定する。また、この方法には新しいGAのシェアリングパラ
メータが導入される。ニッチサイズ σ share とべき指数 α である。ニッチサイズ σ share は、個体集団の
類似個体の中で互いにどの程度近くにいるときに評価を下げるかを見積もる定数で、各評価関数の個
別の最大値と最小値を利用する方法[60]で決定する。べき指数 α はニッチカウント
mi =
∑ s(d (x , x ))
i
j
(7.30)
j
を強めるために0.25とした。
本研究では、各ランク内の個体評価をスケーリングするため、ニッチカウント mi をランクに反映さ
7-33
せ、(7.24)式の確率分布により決まった選択確率に基づいて評価関数を再定義する。このようなシェア
リングは 1) 初期収束の防止、2) 多様性の維持、3) 局所解の分布の検出などの目的で SOGA でも利
用されている[55]。
・ベストＮ選択法
この方法は次世代での個体集団を形成するときに、現世代における N 個の親と N 個の子孫を合わせ
て 2N 個の中で、親と子孫との区別なく評価の最も良い個体から順に N 個選ぶという方法である。従
って、常に良い N 個体が次世代に継がれていくので、いわばエリート戦略も取り入れた選択法といえ
る。ここでは、ランクのシェアリングを適用しているため評価関数を考えるのではなく、各個体のラ
ンクを考慮し、ランク1である個体から順に選択する方法をとった。
7. 3 翼列翼型の空力最適化
GAを用いて空力最適化問題を解いた場合、得られた解が本当に最適解に近いものであるかを調べる
方法がないことが多い。従って、GA による最適化が成功したかどうか判断し難い。そこで、GA の最
適解の探索能力および翼型の表現定義の妥当性を確認するためにCDAの圧力分布を利用して、まず逆
問題を解く。ただし、この問題に限りGAの選択法として基本的なルーレット式選択を用いている。
7. 3. 1 CDAの逆設計
はじめに、CDA を用いた翼列内の流れ場を解き、CDA の Cp 分布を求め、これを目標 Cp 分布とす
る。もし逆問題が解けたとすれば、得られた翼型形状はCDAになるはずである。従って、逆解法によ
りCDAに近い形状が求まればGAによる最適化は成功したことを意味する。
GAの最適化により逆問題を解くために、目標Cp分布
る Cp 分布
(CpCDA ) とGAにより形成された翼型に対す
(CpGA ) の作る面積 (SCp )（図7.21）を最小にする問題として定式化する。
逆問題の定式化
面積 S Cp
=
∫
Trailing Edge
Leading Edge
Cp CDA − CpGA dx →最小化
評価関数： F
(
= exp − SCp
)
(7.31a)
(7.31b)
(4.1b)式において、F が大きくなるなることは面積 S Cp が小さくなることであり、逆問題を解くことが
できたことを意味する。この方法は文献[62]を参考にした。
図7.22に最適化の収束過程を示す。世代とともに F が増加しており、逆問題の解を探索している様
子が分かる。80 世代で最終的に得られた翼型とその Cp 分布を図 7.23 に示す。ここでデカルト座標
(x, y ) を食い違い角 γ
だけ回転移動させ、前縁
(ξ
c , η c ) = (0 , 0 ) 、後縁(ξ c , η c) = (1, 0 ) とな
る座標に変換した。前縁付近でわずかな Cp 分布の差が見られるが、逆設計で得られた翼型形状はCDA
と非常によく一致しているといえる。従って、GAにより逆問題を解くことは可能であり、最適解の探
索能力が確認され、翼型の表現方法も適切であることが分かった。
7-34
図7.21 目標の Cp とGAにより作られた翼型の Cp とが作る面積
図7.22 逆問題の収束過程
7-35
図7.23 逆設計で得られた翼型と Cp 分布
7-36
7. 3. 2 翼列翼型最適設計の定式化
CDA の逆設計を通して、GA の最適解の探索能力と翼型表現の妥当性が確かめられた。そこで、は
じめに圧縮機の要求項目の1つである「高圧縮比化」について定式化を行う。
高圧縮比化の定式化
圧縮比
P2 P1 →最大化
制約条件：最大翼厚比 t
評価関数： F1
c = (t c )CDA
(7.32b)
≥ SCDA
(7.32c)
V1 ≥ 072
.
(7.32d)
：翼型面積 S
：速度比 V2
(7.32a)
 ∆S − ∆S
2
∆VR − ∆VR 
= ( P2 P1 ) × exp 
× 10 +


2
2
(7.32e)
 (t c)CDA = 007
. , S CDA = 0047
.
c2 


∆
S
=
S
−
S
,
∆
VR
=V
V
−
072
.


CDA
2
1
ここで、
P1 , P2 , (t c )CDA , S CDA はそれぞれ入口静圧、出口静圧、CDA の最大翼厚比、CDA の面積
を表している。(7.32b)式はCDAとの性能比較のため、(7.32c)式は滑らかな翼厚分布のために取り入
れる。(7.32d)式は de Haller の方法[63]という。圧力上昇は翼列内の減速により得られるが、減速の
程度が大きくなると境界層が発達し、流れが壁面から剥離して損失が急増し、性能が劣ってしまうこ
とになる。そこで、入口速度 V1 と出口速度V 2 の比V 2
V1 の制約を設ける。0.72 は翼面上の境界層剥
離を抑える経験的な限界値である。
次に、「高効率化」について定式化を行う。効率が良いということは損失が少ないということと同
等なので、次のように定式化される。
高効率化の定式化
全圧損失係数 ω
=
Pt 1 − Pt 2
→最小化
Pt 1 − P1
制約条件：最大翼厚比 t
：翼型面積 S
評価関数： F2
ここで、
c = (t c )CDA
≥ SCDA
 ∆S − ∆S

= −Log(ω ) × exp 
× 10 


2
(7.33a)
(7.33b)
(7.33c)
(7.33d)
Pt1 , Pt2 はそれぞれ入口全圧、出口全圧の流量平均値を表す。(7.33d)式では、この問題が ω
の最小化問題のため、 −
Log(ω ), (ω < 1) を用いることにより最大化問題に変換している。つまり、
ω が小さくなることは − Log(ω ) が大きくなることを意味する。
7-37
最後に、「高負荷化」について最適化を行う。翼面負荷は翼列翼型の能力度を示す重要な一尺度で、
作動の最適状態や失速限界を表す[38]。そこで、負荷パラメータの一つである転向角の最大化問題を
次のように定式化する。
高負荷化の定式化
転向角 ∆β
= β 1 − β 2 →最大化
制約条件：最大翼厚比 t
≥ SCDA
：翼型面積 S
評価関数： F3
ここで、 β 1 ,
c = (t c )CDA
 ∆S − ∆S

= ∆β × exp 
× 10


2
(7.34a)
(7.34b)
(7.34c)
(7.34d)
β 2 はそれぞれ流入角、流出角を表す。
多目的最適化問題の定式化
圧縮機の三大要求項目「高圧縮比化・高効率化・高負荷化」に基づいて多目的最適化問題を定式化
する。
1. 圧縮比
P2 P1 →最大化
（制約条件：速度比 V2
V1 ≥ 072
. ）
(7.35a)
(7.35b)
2. 全圧損失係数 ω →最小化
(7.35c)
3. 転向角 ∆β →最大化
(7.35d)
また、1∼3全ての項目に適用される制約条件は
1. 最大翼厚比 t
c = (t c )CDA
2. 翼型面積
(7.35e)
S ≥ SCDA
(7.35f)
である。各評価関数には(7.32e, 33d, 34d)をそれぞれ用いる。
7. 3. 3 MOGAによる最適化結果
SOGA の場合と同様、個体評価を並列化して処理したので、計算時間は最大世代数 80 までで約 27
時間要した。図7.24に最適化の収束過程を示す。これは、各世代の集団中におけるランク1の個体数
を表している。世代をおうごとにランク 1 の個体数は増えており、70 世代を越えてからは全個体がラ
ンク 1 に収束した。つまり、個体全部がパレート最適解になったわけである。そこで、80 世代目のパ
レート最適解の分布（パレート面）を図7.25に示す。各軸は(7.32e, 33d, 34d)式の評価関数の最大値
と最小値を用いて線形的にスケーリングされており、値が1に近いほど評価が良いことを表す。
7-38
Fi scale =
Fi − Fi Min
, i = 1~ 3
Fi Max − Fi Min
(7.36)
図に示されているように、パレート集団は 2 つのグループに分けることができる。圧縮比がより高い
集団と転向角がより高い集団である。一般的に転向角が増加すると圧縮比も増加するが、転向角があ
る地点を越えると圧縮比は減少してしまう。これは圧縮比−転向角の図から分かる。さらに全圧損失
係数−転向角の図より、低損失を実現するには転向角を小さく抑える必要があり、両者の性能を上げ
るのは非常に難しい問題である。
図7.26に各性能によるパレート最適解の翼型形状の変化を示す。圧縮比が増すにつれて前縁・後縁
は鋭くなる傾向にある。また、転向角が増加すると後縁に向かって大きいキャンバーを持つようにな
り、一方、損失が減少するにつれて後縁付近のキャンバーはほとんど零となっている。このことから
も損失−転向角の両者の性能を良くするのは容易でないといえる。
得られたパレート最適解の中から最終的に最適解を 1 つ決定しなければならないが、これは意思決
定主体である人間であり、多目的意志決定システム全体として考えると、その方法論が必要となる[64]。
しかしながら、ここでは特にそのような方法論は取り入れず、パレート最適解の中で比較的圧縮性能
が良く、効率的な翼型形状を選んだ。この形状と Cp 分布をCDAと比較して図7.27に示す。ここでは
この翼型をMOGA翼型と呼ぶことにする。MOGA翼型は圧縮比を増すように比較的鋭い前縁と、CDA
のように損失を減らすように鈍い後縁を持つ。
最後に、得られたパレート最適解の中で、各項目において最も良い解と MOGA 翼型、さらに CDA
との性能値を示す（表 7.1）。圧縮比が大きい翼型では、全ての項目において CDA より良い性能を示
した。MOGA 翼型は圧縮比・損失では CDA より勝っているが、転向角では若干低い値となった。こ
れより、圧縮比と転向角とが完全なる比例的な関係ではないといえる。全体の性能を考慮しても、3つ
の性能項目は相反する関係になっていることは一目瞭然である。
以上、新しい多目的遺伝的アルゴリズムを圧縮機の翼列翼型の空力最適化に適用し、圧縮機で代表
的な「高圧縮比・高効率・高負荷」の 3 大目標を掲げて形状最適化を行った。Fonseca-Fleming のパ
レートランキングとシェアリングに基づき、他の解より劣らない解の集合、つまりパレート最適解を
得ることができた。その結果、3 つの性能において全て CDA よりも勝る翼型がパレート最適解の中に
存在していた。これはパレート最適解の中で圧縮比が最も大きい場合の翼型である。また、高転向角
と低損失を同時に実現するのは非常に難しい問題であることがパレート集合から明らかとなった。
また、個々の性能項目について個別に単一目的の最適化を行った場合でも、 SOGA の最適解と
MOGAの対応する解は、ほぼ同じような性能値を持ち形状もよく似ている。これより、SOGAはMOGA
のパレート解の集合の一要素を求めていることがあらためて確認できた。
今回の計算は、NWT 上で 64PE を用いて、１世代約 20 分、80 世代約 27 時間かかった。共同研究
を通じ、この研究の計算時間を提供していただいた航空宇宙技術研究所にこの場を借りて謝意を表し
ておきたい。なお、課金を払ってこの計算をするとすれば、1PE・１時間当たりの使用料が 2,000 円
であるから、約350万円の計算費用がかかる。しかし、すべての解が意味を持っているのであるから、
１パレート解あたりでは５万４千円にすぎないともいえる。さて、この値段は、あなたにとって高い
だろうか、安いだろうか。
7-39
図7.24 MOGAの最適化過程
7-40
図7.25 スケーリングされた評価関数空間におけるパレート面
（３次元立体図と各射影図）
7-41
図7.26 パレート最適な翼型形状の変化
7-42
図7.27 CDAとMOGA翼型の形状及び圧力分布の比較
表7.1 CDAとパレート最適な翼型との性能比較
7-43
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メラニー・ミッチェル著, 伊庭斉志監訳, 遺伝的アルゴリズムの方法, 東京電気大学出版局, 東京 ,
(1997).
7-47

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