を志 す人の 阿部吉弘・ 伊 藤 博・ 酒 井政美 長 宗雄・ 永野典彦・ 堀 口正 之 矢島幸信・ 山崎丈明 東 京 教 学 社 この本で取 り上 げる話題 のひ とつ の最 も素朴 な形 は _:IIて ;:_: の ような ,連 立方程式であ る .こ の ような連立方程式は ,す でに 中学校以来お な じみの ように ,1つ の未知数 を消去す ることによって解 を求めるこ とがで きる。すなわ ち ,第 1 の式 を 4倍 したものか ら,第 2の 式 を √ 倍 した もの を引けば πだけの が 式 残 り,解 を求 め ることがで きる。この とき,"の 係数 と して現れ るもの ,す なわち 2× 4-(― :)× √ か ら行 列式の発見 につ なが った ,と い うのであれば話はわか りやすいので あ るが ,歴 史 は必 ず しもこの ようには展開 しなか った .た だ ,和 算 (西 洋数学の 影響 を受 ける以前の 日本で独 自の発展 を とげた数芸 をこうよぶ )の 歴史 の 中で ,関 孝和 (1642?-1708)が 行 列式 を見 出 した経緯は ,連 立方程式 の取 り扱 いの 中か らだ った らしい .関 孝和 の行列式 の発見は ,そ の 西洋数 学 の 中で の発見者 とされ るライプニ ッッ (1646-1716)に 先んず るとして ,和 算史 の 中でのひ とつ の誇 らしい挿話 とな っている。 しか し ,ラ イ プニ ッッ を行列 式 の第 一発見者 とす ることは ,例 えその端緒 が著書 の 中 にほの めか されている と はいえ ,疑 間視 されてい る (ブ ル バ キ (村 田全訳 ),数 学史 77頁 ).実 際 には ,解 析幾何 を研究す る 中で座標 変換 の ようなこ とか ら,ク ラメール ベ ズー (1704-1752)や 1783)な (1739- どによって 導入 され ,コ ー シー (1789-1857),ヤ コ ビ (1804-1851)に よ っ て ,少 な くとも ,こ の本で解説する程度 にまでは発展 させ られた。 また数学的なあ る対象の集 ま りが線 形的か どうか とい う問いかけの仕方 も ,歴 史的 に は連立 1次 方程式 系 の解 の空 間 につ いてでは な く,む ろあ る種 の 微分方程式の し 解 の空 間 の あ り方か ら導入 された とい う方が事実 に近 い だろ う。 いわば ,連 立 1次 方程 式 自体 は順次 未知数 を消去 してい きさえ すれば ,解 ける (あ る い は解 けない ことの判 定 が つ く)と い うこ とで ,こ れ 自体 を目的 に 研究 す るとい うこ と はほ とん どなか ったように見 える。 しか し,現 在では多少状況は異な ってい る.工 学 な どの実用上では大 きなサ イズの連 立 1次 方程式 を ,可 能 な らば ,具 体的 に解 けることが望 ま しい し ,近 年 の計算機 の発達 によ り,実 際 に望み もでて きた。この場合はいかに効率的に解 くか ということも時間 ,費 用 の 面 か ら重 要 に な り,こ の方向の研究 もい まや数多 くあ る .ま た情 報通信の分 野では スカラー の 区域 を有限体 とよばれ るものに取 り替 えるのでは あ るが ,行 列や行列 式 の理 論的側 面 を駆使 してい る。 この ような時代 にふ さわ しぃ教科書 と して本書が読者の役 に立つ こ とを願 つてい る。 , 200o年 9月 著 者 目 次 行列 1 2 3 3 行列 とそ の 和 ・ ス カ ラー 倍 行 列 の積 。… … … … 種 々 の 行 列 .… … … 3 . 5 . 8 1次 方程 式 行列 の 基本 変形 .:.… .… .… .. 階段行 列 へ の 変形 .… … … .… 00 行列 の 階数 ,標 準形 .… … … … 00 連 立 1次 方 程 式 の 解 法 。… … … .. 連 立 1次 方 程 式 の 解 と係 数行 列 の 階数 逆行列 .… .… … … … … … ・ 行列の基本 変形 と連 立 1 2 3 4 5 6 0 行列式 1 2 3 4 5 6 7 8 .… 行 列式 の 性 質 行 列式 の 性 質 … (1)… (2)… 行 列式 の 乗 法性 .… 展 開公 式 .… … … 展 開公 式 の応 用 .… .… … ・… 0 19 22 26 28 36 … … … … … 44 … … … … ・ 46 1次 独 立 と 1次 従 属 .… : 38 49 53 57 … 。… ・ 0 。… … … … … … … … ・・ 行列 の 階数 ,正 則 性 との 関係 .… … 固有値 と固有 ベ ク トル (1)… … … 。 固有値 と固有 ベ ク トル (2)… … … 階数 . . .… 33 41 . … … … … ・・ 小行列 式 と行 列 の 階数 .… … … .. 行列 の 対 角化 16 … … … ,… … … … … .. 固有値 と固有 ベ ク トル 1 2 3 4 5 6 13 33 )原 夕J 。。...・ ・・・・・・・・・・ 00・ 行列 式 の 定義 13 … .… … … ・ 0 57 60 62 65 68 69 目次 線形写像 1 ベ ク トル ...。 。e・ 00000000 2 ベ ク トル 空 間 。… .… .… ・ … 3 ベ ク トル 空 間 の 基底 と次元 。… … 75 線 形 写像 と 1次 変換 .… .… … 線形 写像 の 表 現行 列 .… .… … 複 素 ベ ク トル 空 間 と正 規 直交基底 83 4 5 6 7 8 75 78 80 . 86 92 96 . 直交変換 と直交行 列 .… 実対称行 列 と 2次 形 式 … … 。 .… ._. 100 正 規行列 と Jordanの 標 準 形 109 1 2 109 3 4 .… … … … ・ … ・ … 巾零行 列 。… .… .… ・ … … Jordanの 標 準形 .....0。 ・・・ 行 列 の 絶 対値 と不等式 。… .… 正 規行 列 112 115 123 G ` 工 学 へ の応 用 133 1 線形 システ ム と状態 方程 式 .… … 2 システ ムの 安 定性 .… … … … 3 線形計画 法 .… … … .… … ` 4 2次 形 式 と固有値 .… … … .. 5 そ の他 の応 用 .… … … … … 133 付録 145 136 ` 1 2 3 解答 138 142 144 付録 1: 階段行 列 の一 意性 .… … … 付録 2: 2次 03次 の 行 列式 と面 積 ・ 体積 付録 3: 多項 式 .… … … … … ・ … . 145 146 149 151 土 早 弟 静 1 行列 1 行列 とその和 ・ スカ ラー 倍 数 を下 の よ うに長 方形 上 に並 べ て 括弧 で くくっ た もの を行 列 とい う : ヽ 、 ︲ ︲ ︲ ︲ ︲ ′ ノ ＼ 鴫％⋮ 嚇 ′ ︲ ︲ ︲ ︲ ︲ ｌ = ２２ ２ ・ α⋮ 晩 α ２．⋮ 喘 如α ／ ス 行列 にお い て ,横 の並び を行 といい ,縦 の並び を列 とい う.上 の行列 ス は ,行 が 鶴 個 ,列 が η個あるので ,m tt η 列の行列 ,ま たは (鶴 ,η )行 列 とい う.行 列 ス の第 づ行 と第 J列 の交 わ りの位置 にある数 を ス の ,J)成 分 とい う。 ,プ )成 分 が αづ Jで ある行列 を (atJ)と 書 く (づ 例 . (づ α可=づ 2_プ でぁる とき,(4,5)行 列 ス =(α jJ)の 成分 を並 べ て 書 き表す と 1。 1。 ３ １ ５ ２ １ ｌ ︲ ︲ ︲ ︲ ′ ノ ３ ・ ０ ６ ４ １ ヽ ２ ・ ︲ ７ ４ １ ４ Ｈ ・ ・ ２ 一 ︲ ５ ３ ８ ０ １ ＼ ／ １ ︲ ︲ ︲ ︲ ｌ 〓 ス となる . η 次元行 ベ ク トル ,(n,1)行 列 を 鶴 次元列 ベ ク トル といい ,こ れ らを総称 ベ して数 ク トル とい う.特 に ,す べ ての成分 が 0の 数 ベ ク トル を零 ベ ク トル といい ,0と か く・ (鶴 ,2)行 列 ス =(atJ)の 第 づ行 の成分 か らできる行 ベ ク トル を ス の第 づ行 ベ ク トル といい,ス の第 ブ列 の成分 か らできる列 ベ ク トル を ス の第 ブ列 ベ ク トル とい う.た とえば 例 1の ス につい て ,第 3行 ベ ク トル は (1,η )行 列 を , 1。 (87654), 3
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