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Cohen-Macaulay modules over Cohen

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Cohen-Macaulay modules over Cohen-Macaulay rings
吉野雄二
概
(岡山大学)∗
要
今回の代数学賞受賞については、私の著書 [3] が高く評価していただいた結
果であったと思う。そのために今回の講演のタイトルをその著書のタイトル
と同じものにした。講演では、Cohen-Macaulay 加群の理論について私が関
わった部分について概説したあと、今考えている問題についても言及する予
定である。
1. Cohen-Macaulay 加群の定義
以下では、簡単のために R を可換な完備ネータ局所環とし、その極大イデアルを m、剰
余類体 k = R/m とする。
定義 1.1 有限生成 R 加群 M が Cohen-Macaulay 加群、あるいは極大 Cohen-Macaulay
加群(CM 加群または MCM 加群と略す) とは、depth M = dimR が成立するときを言
う。あるいは局所コホモロジーを使って、Hmi (M ) = 0 (0 ≤ i < dimR) ということとも
同値である。また、環 R が Cohen-Macaulay 環 (CM 環と略す)とは、R 加群として R
が CM 加群であるときを言う。
R が体を含むという仮定のもとでは、R は R/m と同型な体 k を含むので、
(完備局所
環の Cohen の構造定理によって)、R は k 上の形式的羃級数環 T を部分環として含み、R
は T 上(加群として)有限生成である。この状況では、有限生成 R 加群 M が CM 加群で
あることは、M が T 加群として自由加群であることと同値である。以下では、R は CM
局所環とし R 上のすべての CM 加群(とその間の R 準同型写像)のなす加法圏を CM(R)
と表す。この圏 CM(R) は有限生成加群の圏 mod(R) の resolvent な充満部分圏である。
我々の最終的目標は、この圏 CM(R) の構造を完全に決めることであると言っても良い。
R を完備局所環と仮定しているので、CM(R) は Krull-Schmidt 圏、すなわち直既約分解
の一意性が成立する。CM 局所環 R が有限 CM 表現型であるとは、CM(R) に直既約加群
の同型類が有限個しか存在しないときを言う。R が Gorenstein であるとき、CM(R) の
安定化圏を CM(R) と表すと、圏論的には導来圏の商として CM(R) ∼
= Dfb g (R)/perf(R)
と表すこともできる(Buchweitz の定理)。CM 加群について最も基本的な定理は何かと
問われれば、おそらく次の Auslander-Reiten による AR 双対と言われる公式であろう。
定理 1.2 R は d 次元 CM 完備局所環で孤立特異点しか持たないと仮定する。このとき、
すべての M, N ∈ CM(R) に対して次の自然な同型がある。
ExtdR (HomR (N, M ), KR ) ∼
= Ext1R (M, HomR (ΩdR Tr(N ), KR )).
(ここで、HomR (N, M ) は安定圏での N から M への射の全体、KR は R の正準加群、
Tr、Ωd それぞれ加群の転置、dth syzygy を表す。)
この双対定理の結果として、R が CM 完備局所環とするとき、CM(R) が AuslanderReiten 列(以下 AR 列と略す)を許すための必要十分条件は、R は孤立特異点しか持た
∗
e-mail: [email protected]
ないことである、ことが示される。特に、孤立特異点上では CM(R) に対して AuslanderReiten quiver(以下 AR quiver という)を考えることができる。次の Maurice Auslander
による結果が有限 CM 型に関する最初の重要な結果であるが、これは上記の考察の帰
結でもある。
定理 1.3 [Auslander, 1986] R が CM 完備局所環で有限 CM 表現型ならば、R は孤立特
異点しか持たない。
R が Gorenstein 環の時には、CM(R) が自然に三角圏の構造を持つので、この場合には、
上記の定理 1.2 は次の重要な結果を導く。
定理 1.4 R を d 次元の Gorenstein 完備局所環で、さらに孤立特異点を持つとする。こ
のとき、CM(R) の安定化圏 CM(R) において、自然な同型
ExtdR (HomR (X, Y ), R) ∼
= HomR (Y, X[d − 1]).
が成立する。これは、三角圏 CM(R) が (d − 1)-Calabi-Yau であることを示している。
私が最初に得た定理は次の Brauer-Thrall 型の第一定理と呼ばれるものである。
定理 1.5 [Yoshino [1], Dieterich] R を上記のように CM 完備局所環で孤立特異点を持
つものとする。Γ を CM(R) の AR quiver、また Γ◦ を Γ の連結成分とする。もし、Γ◦ の
頂点に対応する直既約加群の重複度(または階数)に上限があると仮定すると、Γ = Γ◦
であり、さらに Γ は有限グラフである。とくに R は有限 CM 表現型である。
2. CM 加群の退化
一般に R が体 k 上の結合代数とする。有限生成 R 加群 M, N に対して、M が N に退化
するとは、k 代数であるような離散付値環 (V, tV, k) と R ⊗k V 上の有限生成加群 Q で次
の条件をみたすものが存在するときを言う。
(1)Q は V 加群として平坦である:
(2)
∼
∼
Q ⊗V K =R⊗k K M ⊗k K (但し K は V の商体を表す)
:
(3) Q ⊗V V /tV =R N . ここ
で、Q を両側加群 R QV とみなすとすると、Q はパラメータを V に持つ R 加群の平坦族
である。
定理 2.1 [16] M は N に退化することと、つぎの形の有限生成 R 加群の短完全列が存
在することは同値である。
(ψϕ)
0 → Z −→ M ⊕ Z → N → 0,
但し、Z の自己準同型 ψ は冪零である。
特に、M と N が退化の関係にあるときにはそれらは Grothendieck 群の中で等し
い元を与える。有限生成 R 加群 M と長さ有限の R 加群 Y に対して、λM (Y ) =
lengthR (HomR (M, Y )) と置く。λM は長さ有限の R 加群の同型類上の関数である。二
つの有限生成 R 加群 M, N について、関数として λM = λN となることと、M と N が
局所的に同型であることは同値である。また、M が N に退化するときには、関数とし
て λM ≤ λN である [14]。これらによって、R が CM 局所環の時には、CM 加群の間に
退化の関係による順序が定義される。この順序関係を決定することも問題である。そ
のために、R が Gorenstein 環のときに退化の安定圏への類似を考えた [23]。
定義 2.2 (R, m, k) を完備な Gorenstein 局所 k 代数、V = k[t](t) 、K = k(t) とする。
M , N ∈ CM(R) に対して、M が N に安定的に退化するとは、R ⊗k V 上の CM 加群 Q
が存在して、Q ⊗V K ∼
= M ⊗k K in CM(R ⊗k K) かつ Q ⊗V V /tV ∼
= N in CM(R) が
成立するときを言う。
定理 2.3 [23] R が孤立特異点を持つ Gorenstein 環のときには、M , N ∈ CM(R) に対
して、M が N に安定的に退化するための必要十分条件は、次のような形の CM(R) に
おける triangle;Z → M ⊕ Z → N → Z[1] が存在することである。
この定理を使って単純特異点上の CM 加群の退化の様子をある場合には決定するこ
とができる [24]。
3. G 次元0の加群
R が一般の可換ネータ環であるとき、有限生成 R 加群 M が次の条件 (3.1) をみたすと
き,M は G 次元0の加群 (最近は totally reflexive module と呼ぶことも多い) と言う。
ExtiR (M, R) = 0, ExtiR (TrM, R) = 0 (∀i > 0)
(3.1)
この定義は Auslander-Bridger(1969) による。R 上の G 次元0の加群の全体のなす加法
圏を G(R) と表すことにする。R が Gorenstein 環のときには、G(R) = CM(R) である。
このことから、必ずしも Gorenstein とは限らない環上で CM 表現の理論の一般化を考
えようとするときには G(R) が最適な対象であると感じられる。しかし、R が CM のと
きには CM(R) は mod(R) の中で contravariantly finite という性質を満たすが、一般の
G(R) では環 R が CM のときでさえ、contravariantly finite とは限らない [15]。
H(R) = {M ∈ mod(R) | ExtiR (M, R) = 0 for all i > 0}
とおく。G(R) ⊆ H(R) であることは自明だが、これが等号でないかと予想できる。こ
れには反例があることが、Jorgensen-Sega によって示されている。しかし一般には、R
が完備局所環のときに、mod G(R) は Frobenius 圏、mod H(R) は quasi-Frobenius 圏に
なることが分かる [19]。このような性質を利用して、もし G(R) が有限型 (i.e. 直既約加
群の同型類が有限個) の時には、G(R) = H(R) となることが示される [19]。今、次のこ
とを予想している。
予想 3.1 R が CM 環で、generically Gorenstein とすると、G(R) = H(R) となる。
これは太刀川予想と関連して興味ある問題である。
参考文献
(以下の論文リストは私の CM 加群に関連する論文のみを集めた。)
[1] Brauer-Thrall type theorem for maximal Cohen-Macaulay modules, Journal of Math.
Society of Japan vol. 39 (1987), 719–739.
[2] (with Takuji Kawamoto) ; The fundamental module of a normal local domain of dimension two, Transactions of the A.M.S. vol. 309 (1988), 425–431.
[3] Cohen-Macaulay modules over Cohen-Macaulay rings.
London Mathematical Society, Lecture Notes Series vol. 146, Cambridge University
Press, 1990.
[4] Graded CM modules over graded CM domains, Journal of Math. Kyoto Univ. vol. 32
(1992), 73–91.
[5] Maximal Buchsbaum modules of finite projective dimension. Journal of Algebra vol. 159
(1993), 240–264.
[6] (with Kiriko Kato) ; Auslander module and quasihomogeneity of a local ring, Proceedings of RIMS vol. 30 (1994), 1009–1038.
[7] On the higher delta invariants of a Gorenstein ring, Proceedings of the AMS vol. 124
(1996), 2641–2647.
[8] Auslander’s work on Cohen-Macaulay modules and recent developement, Algebras and
Modules I, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings vol. 23 (1998), 179–
198.
[9] (with Tokuji Araya); Remarks on depth formula, grade inequality and Auslander conjecture, Communications in Algebra, 26(11), (1998), 3793–3806.
[10] Tensor products of matrix factorizations, Nagoya Math. Journal 152 (1998), 39–56.
[11] Modules with null delta invariant, Communications in Algebra, 27(8), (1999), 3781–
3799.
[12] (with Satoru Isogawa); Linkage of Cohen-Macaulay modules over a Gorenstein ring,
Journal of Pure and Applied Algebra, 149 (2000) 305–318.
[13] Surjectivity of linkage maps, International Symposium on Ring Theory, Trends in Mathematics, Birkhauser (2001), 421–426.
[14] On degenenrations of Cohen-Macaulay modules, Journal of Algebra, 248 (2002) 272–290.
[15] Modules of G-dimension zero over local rings with the cube of maximal ideal being
zero, Commutative Algebra, Singularities and Computer Algebra, (edited by J.Herzog
and V.Vuletescu), NATO Science Series I, Math. Phys and Chem., Kluwer Academic
Publishers, 115 (2003), 255–273.
[16] On degenerations of modules, Journal of Algebra, 278 (2004) 217–226.
[17] Degeneration and G-dimension of modules, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics vol. 244, ’Commutative Algebra’ Chapman and Hall/CRC (2006), 259 – 265.
[18] Approximations by modules of G-dimension zero, Contemporary Mathematics vol. 376
(2005), 119 – 125.
[19] A functorial approach to modules of G-dimension zero, Illinois Journal of Math. vol. 49
(2005), 345–367.
[20] Rigid Cohen-Macaulay modules over a three dimensional Gorenstein ring, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Report/no. 6 (2005), 345–347.
[21] (with Osamu Iyama); Mutations in triangulated categories and rigid Cohen-Macaulay
modules, Inventiones Matematicae, vol. 172 (2008) no. 1, 117–168.
[22] Universal lifts of chain complexes over non-commutative parameter algebras, J. of Math
of Kyoto Univ., vol. 48 no. 4 (2008), 793–845.
[23] Stable degenerations of Cohen-Macaulay modules, Journal of Algebra, vol. 332 (2011),
500–521.
[24] (with Naoya Hiramatsu) ; Examples of degenerations of Cohen-Macaulay modules, Proceedings of the AMS , vol.141(2013), 2275–2288.
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