公式 eix = cos x + i sin x
¶
導出
³
公式
eix = cos x + i sin x
µ
（
、i
虚数単位、 x
´
実数）
［導出］
ex
定義
x
e x = lim (1 + h) h
h→0
x
= n(> 0)
変形
h
³
x ´n
e x = lim 1 +
n→∞
n
∞
n
n→∞
、自然数
¶ µ
µ
ix
、(1 + ix), 1 +
2
。
eix = lim
限定¶
ix
, 1+
3
考
µ
1+
ix
n
¶n
。
数列 zn =
,...
µ
ix
1+
n
eix = lim zn n
n→∞
偏角
zn
zn n
=⇒
、eix
次
、
。
θn
、大
偏角
nθn
大


偏角

大
偏角
。
|zn |
|zn |n
lim nθn
n→∞
複素数
lim |zn |n
。
n→∞
大
、実際
値
◎ nθn
求
考
tan θn =
x
n
利用
。
θn
nθn = n · tan θn ·
| {z } tan θn
x
θn
tan θn
n→∞
θn → 0、
、θ → 0
θn
θn
n→∞
=
· cos θn −−−→ 1
tan θn
sin θn
、n → ∞
nθn → x
値 求
cos θ → 1、
。
sin θ
→1
θ
¶
考 、
後 zn n
考
◎ |zn |n
考
|zn | =
、 lim
n→∞
³
r
µ
x2
、 1+ 2
n
、n → ∞
¶ n2
+
µ
1
→0
2n
³ 2 ´0
|zn |n → e x
=1
2
、 n→∞

 lim |zn |n = 1
n→∞
、eix
図 描
偏角 x、大
、右図
、
eix = cos x + i sin x
成 立
1
。¥
複素数
¶ n2
。
。
。
n
|zn | =
n
x2
1+ 2
n
→ ex 、


 lim nθn = x
³ x ´2
x ´n
1+
= ex
n
|zn |n =
n→∞
12
lim
n→∞

µ
µ
µ
x2
1+ 2
n
x2
=
1+ 2

n
x2
1+ 2
n
¶ n2
1
¶n2  2n

¶ n2
= ex
2
変形
使
。