＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 第 ２章 物 理 量 の 定 義 と 基 礎 方 程 式 か ら の 近 似 な し の 結 論 §１∼§２ 2003．03．09 ｂｙKENZOU ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ § １．はじめに ・電 磁 場 と 力 学 系 の 相 互 作 用 ・・・Maxwellの方程式 と Lorentsの力で記述できる。 すると直ちに起こる疑問①∼④ ① ② ③ ④ 電磁場と力学系の間にエネルギーやその他の物理量の交換があり得るか？ 荷電粒子が電磁場と相互作用してエネルギーを失った場合、そのエネルギーはどこへいく？ 電 磁 場 の 運 動 量 や 他 の 物 理 量 は ど の よ うに定義したらよいのか？ 電 磁 波 の 散 乱 や 発 射 ・吸 収 の 計 算 し た い 場 合 、何 を 計 算 す れ ば い い の か ？ ・これらの疑問は虚心になって考えればすぐ思いつく。しかし、大抵、耳年増になってしまって、その答 えをぼんやりとはいえある程度知ってしまっているから、なかなか素直な疑問として浮かんでこない、、 もっとも小生だけの場合かも知れないが。。。 ・しかし、ここでは、初心に立ちかえって、これらの疑問を味わいつつ第２章に取り組んでいくことにする。 § ２．荷 電 粒 子 の 物 理 量 ・Lorentｚの力だけが働いている 1個の荷電粒子のNewton の運動方程式は、粒子の位置座標を ξ ( ｔで表すと、 ) ｍξx ( ｔ＝e ) E ξ ( ｔ, ) ｔ＋ξw ( ｔ×B ) ( ｔ, ) ｔ ) (2.1) ・電荷 e をもった点粒子の非相対論的な理論での電荷および電流の密度は、それぞれ ρ( ｘ，ｔ＝e ) δ ｘ - ξ ( ｔ) w ( ｔδ J ( ｘ, ｔ＝eξ ) ) ｘ - ξ ( ｔ) そこで、式 (2.1) の両辺に左から δ ｘ - ξ ( ｔ) (1.8a） (1.8b） を掛けると ｍξx ( ｔδ ) ｘ - ξ ( ｔ) ＝e E ξ ( ｔ, ) ｔ＋ξw ( ｔ×B ) ( ｔ, ) ｔ ) δ ｘ - ξ ( ｔ) ＝ρ( ｘ，ｔE ) ( ｘ, ｔ＋J ) ( ｘ, ｔ×B ) ( ｔ, ) ｔ ) ＝ ｆ(x , t) 《留意事項》 ここで電荷密度の定義と電流密度の定義を見比べると、電流密度（電荷密度の流れ） は電荷密度に荷電粒の位置ベクトルξ （ ｔ ） の時間微分すなわち速度を掛けた形をしてい ることに留意。この形はすぐ後ででてくる「荷電粒子の質量密度とその流れ」や「エネル ギー密度とその流れ」の定義式に顔をだす。 電荷密度の定義 ρ ( ｘ，ｔ＝e ) δ ｘ - ξ ( ｔ) w ( ｔδ 電流密度の定義 J ( ｘ, ｔ＝eξ ) ) ｘ - ξ ( ｔ) ＝ ρ( ｘ，ｔξ ) w ( ｔ) -1- (2.2) ・ところで(1.8a)、(1.8b）が連続の方程式を満たしていることをチェックしておきましょう。 連続の方程式 ・・・・ ∇ ・J ( ｘ, ｔ＋ ) ∂ρ( ｘ，ｔ) ＝０ ∂ｔ ① ∂ρ( ｘ，ｔ) ∂ ∂ ＝e δ ｘ - ξ ( ｔ) =e δ ｘ1 - ξ 1 ( ｔ) δ ｘ2 - ξ 2 ( ｔ) δ ｘ3 - ξ 3 ( ｔ) ∂ｔ ∂ｔ ∂ｔ ∂ ＝eξw 1 δ ｘ1 - ξ 1 ( ｔ) δ ｘ2 - ξ 2 ( ｔ) δ ｘ3 - ξ 3 ( ｔ) ∂ξ 1 ＋eξw 2 ∂ δ ｘ1 - ξ 1 ( ｔ) δ ｘ2 - ξ 2 ( ｔ) δ ｘ3 - ξ 3 ( ｔ) ∂ξ 2 ＋eξw 3 ∂ δ ｘ1 - ξ 1 ( ｔ) δ ｘ2 - ξ 2 ( ｔ) δ ｘ3 - ξ 3 ( ｔ) ∂ξ 3 3 ＝e Σ ξw i=1 i ∂ δ ｘ - ξ ( ｔ) ＝- eξw （ｔ ）・∇ δ ｘ - ξ ( ｔ) ∂ξ i ∇ ・J ( ｘ, ｔ＝e∇ ) ・ξw ( ｔδ ) ｘ - ξ ( ｔ) ＝eξw ( ｔ∇ ) ・δ ｘ - ξ ( ｔ) ② ③ ∴ ∂ tρ( ｘ，ｔ＋∇ ) ・J ( ｘ, ｔ＝ ) 0 [注] 合成関数の微分を考えます。ｚ＝ｘ−ｙの関数 ｆ （ｚ）について ∂ｆ(x - y) ∂ｚ ｄｆ ｄｆ ∂ｆ（x - y） ∂ｚ ｄｆ ∂ｆ（x - y） ｄｆ ∂ｆ(x - y) ＝ ＝ ， ＝ ＝， =∂ｘ ∂x ｄｚ ｄｚ ∂ｙ ∂ｙｄｚ ｄｚ ∂ｘ ∂ｙ ・さて、この荷電粒子の質量密度と質量密度の流れは、e を m に置き換え、それぞれ (p) ρ ( ｘ，ｔ＝ｍδ ) ｘ - ξ ( ｔ) J (p) (2.4a） w ( ｔδ ( ｘ, ｔ＝ｍξ ) ) ｘ - ξ ( ｔ) (2.4b） これは上で計算したと同様に連続の方程式を満たしますね。 ・次に、質量の流れ (2.4b）に対して、質量の流れの流れ（歪みテンソル）を次式で定義する。 t (p) x ij （ , t）≡mξw i（ ｔ ）ξw ｊ （ ｔ ）δ ｘ - ξ ( ｔ) (2.5) すると、点粒子の質量の流れの密度に対して次のバランス方程式（付録７）が成り立つ。 (p) (p) Jw ｉ (ｘ，ｔ ) ＋ ∂ｊ t i j （x , t）＝ ｆ ｘ，ｔ ） ｉ（ (2.6) ・上のバランスの方程式を計算で確かめてみよう。 ∂ (p) Jw ｉ (ｘ，ｔ )＝ｍ ξw ( ｔδ ) ｘ - ξ ( ｔ) ∂ｔ ｉ ＝ｍξx ｉ( ｔδ ) ｘ - ξ ( ｔ) −ｍξw ｉ( ｔξ ) w ・∇ δ ｘ - ξ ( ｔ) -2- （ⅰ） ∂ ｊt (p) x ij （ 3 , t）＝Σ ｊ ∂ t ∂x j (p) x ij （ , t）＝ ∂ t ∂x １ (p) i１ ＋ ∂ t ∂x 2 (p) i 2＋ ∂ t ∂x 3 (p) i3 ∂ ∂ ∂ ＝mξw i（ ｔ ） ξw１（ｔ ） ＋ξw 2 （ｔ ） ＋ξw3 （ｔ ） ＋ δ ｘ - ξ ( ｔ) ∂x １ ∂x 2 ∂x 3 ＝mξw i（ ｔ ）ξw ・∇ δ ｘ - ξ ( ｔ) ∴ (p) Jw ｉ (ｘ，ｔ )＋∂ｊt (p) x ij （ （ⅱ） , t）＝ｍξx ｉ( ｔδ ) ｘ - ξ ( ｔ) ＝ｆｉ(ｘ，ｔ ) （ⅲ） 右辺に電磁的なＬｏｒｅｎｔｓ力が出てきたことに留意しておきましょう。 ・次に、粒子のエネルギー密度とその流れを次式で定義する。 1 Ε (pe)（ｘ，ｔ ）≡ ｍξw 2 （ｔ ）δ ｘ - ξ ( ｔ) 2 1 (pｅ) J ｉ (ｘ，ｔ )≡ ｍξw 2 （ｔ ）ξw i （ｔ ）δ ｘ - ξ ( ｔ) 2 するとエネルギーに対するバランス方程式 （注 ：ﾃ ｷ ｽ ﾄ （2 ． . 8 ） の 左 辺 (pe) Εw (pe)（ｘ，ｔ ）＋∇ ・Ｊ （ｘ，ｔ ）＝Ｊ （ｘ，ｔ ）・E (ｘ，ｔ ) (2.7a) (2.7.b) 第 1 項 は 時 間 微 分 が 抜 け て い る ：誤 植 ） (2.8) 式（2.8）を計算で確かめてみる。 1 （ｘ，ｔ ）＝ｍξw （ｔ ）ξx （ｔ ）δ ｘ - ξ ( ｔ) − ｍξw 2 （ｔ ）ξw （ｔ ）・∇ δ ｘ - ξ ( ｔ) 2 1 (pe) ∇ ・Ｊ （ｘ，ｔ ）＝ ｍξw 2 （ｔ ）ξw （ｔ ）∇ ・δ ｘ - ξ ( ｔ) 2 ①＋②より (pe) Εw (pe)＋∇ ・Ｊ ＝ｍξw （ｔ ）ξx （ｔ ）δ ｘ - ξ ( ｔ) Εw (pe) ① ② ③ ③式の右辺は ｍξw （ｔ ）ξx （ｔ ）δ ｘ - ξ ( ｔ) ＝ｅξw ( ｔ・ ) [ E (ξ (ｔ )，ｔ )＋ξw (ｔ )×B (ξ (ｔ )，ｔ ) ] δ ｘ - ξ ( ｔ) ＝ｅξw ( ｔ・ ) E (ξ ( ｔ) ，ｔ )δ ｘ - ξ ( ｔ) ＋ｅξw ( ｔ・ ) ξw (ｔ )×B (ξ (ｔ )，ｔ )δ ｘ - ξ ( ｔ) ベクトル算法によりゼロ ＝ｅξw ( ｔ・ ) E (ξ ，ｔ )δ ｘ - ξ ( ｔ) ＝J (ｘ，ｔ )・E (ｘ，ｔ ) ∴ Εw (pe) ＋∇ ・Ｊ (pe) ＝J (ｘ，ｔ )・E (ｘ，ｔ ) ④ ⑤ (p) (pe) ということで、式（２．６）、（２．８）は 「粒子の質量の流れJ ( ｘ, ｔやエネルギーΕ ) （ｘ，ｔ ） は粒子系だけでは保存していない」ことを示している、とテキストには書かれていますね。（２．６） や（２・８）の左辺は粒子系の記述ですが、右辺は電磁的力(エネルギー）が顔をだしている、すな わち電磁的なエネルギー（湧き出し）が力学的エネルギーに変化する割合を示しているという こ とになるわけですね。まぁ、この辺りは次の§３にいけばもっと鮮明に分かるんでしょうなぁ、、、 まぁゴタゴタと計算が続きましたね。§３も同様な事態が続きそうですが、頑張って参りましょうか。。。。 尚、連続の方程式の計算でμさんhttp://nisimiyu.netの助言をいただきました。ありがとうございました。 ----------------------------------------------------- おつかれさま -3- Ｃｏｆ ｆ ｅ ｅＢｒｅａｋ♪ ∂
© Copyright 2024 Paperzz
