難 塾技 68 内接円 問題 次の問に答えよ。 〈図 1〉 (1)右の図 1 のように,直角三角形に 1 つの円 〈図 2〉 24cm 24cm 10cm 10cm が内接しているとき,円の半径を求めよ。 (2)右の図 2 のように,半径の等しい 2 つの円 〈図 3〉 が互いに接し,直角三角形の各辺と接して 24cm いるとき,円の半径を求めよ。 10cm …… (3)右の図 3 のように,半径の等しい n 個の円が互いに接し, 直角三角形の各辺と接しているとき,円の半径 r を n を用いた式で表せ。 (立教新座高) 解 (1)図 1 で,三角形の 2 辺の比が 5:12 より,5:12:13 の直角三角形となることがわかる。 よって,斜辺は 26cm と求まる。求める円の半径を r とすると,「塾技 68(4)」より, r (24 10 26) 24 10 1 これを解いて,r = 4cm 答 2 2 (2)直角三角形を△ABC とし,求める円の半径を r とする。 右の図のように,2 つの円の中心線を斜辺とする直角三角形 をつくると,できた三角形は△ABC と相似なので,3 辺の比 は 5:12:13 となる。斜辺の長さは 2r より,他の 2 辺は, B 12 2r 24 r 5 2r 10 r 13 13 13 13 「塾技 68(2)」より,辺 BC に着目して方程式を立て, (24 24 r r ) 2r (10 10 r r ) 26 13 13 34 r 8 よって,r 52 cm 13 17 (3)(2)と同様に考え,中心線を斜辺とする直角 24- 三角形の 3 辺をそれぞれ r を用いて表し, 24 24- r-r 13 r 2r 2r r 5 13 ×2r 10- 10 r-r 13 C 答 辺 BC に着目して方程式を立てればよい。 r 26 24 r(n-1)-r 13 12 13 ×2r(n-1) 右の図より, B 24 24 r ( n 1) r 2r ( n 1) 10 10 r ( n 1) r 26 13 13 24 24 10 24 nr r r 2nr 2r 10 nr 10 r r 26 13 13 13 13 34 34 nr 2nr r 4r 8 13 13 34nr 26nr 34r 52r 104 8nr 18r 104 r (8n 18) 104 r 52 4n + 9 r A 12 13 ×2r 2r(n-1) 26 r Ar 5 13 ×2r(n-1) 10 10- r(n-1)-r 13 C 答 高校入試 数学研究所
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