一部から全体を知る-母集団と標本 統計的推定 ：一部分を調査し、集団全体の特性を把握する方法。 標本（サンプル） ：集団の一部分 母集団 ：もとの集団全体 抽出されたひとまとまり ＝ 標本（サンプル） 標本（サンプル）が複数あるとき 標本（サンプル）数（ここでは＝2） 標本（サンプル）に含まれる個体数 ＝標本（サンプル）サイズ 一部から全体を知る-母集団と標本 標本統計量 母集団 標本（サンプル） 母集団サイズ N 標本サイズ n 母平均 m 標本平均 x 母分散 V=σ2 標本分散 母標準偏差 σ 標本標準偏差u 母比率 P 標本比率 U=u2 p 一部から全体を知る-標本平均の性質 A市の中学校２年生の身長 全数調査（N=42000） 階級値 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 計 度数 84 210 336 462 672 966 1302 1764 2310 3024 3654 4116 4284 4032 3570 2982 2310 1806 1428 1008 714 420 336 168 31 42000 相対度数(%) サンプル数40の標本調査から 得られた標本平均の分布 n=15の標本 調査を40回 行ってみる。 標本平均は 40個得られる。 標本平均の 分布を作成。 階級値 158 159 160 161 162 163 164 計 度数 1 2 4 23 6 3 1 40 標本平均の平均E(x)（これを 標本平均の期待値という）： cm 標本平均の標準偏差 D(x)： cm 中心極限定理 100% 母平均m： cm cm 母標準偏差σ： 相対度数(%) E(x) = m D( x ) = σ n 一部から全体を知る-標本平均の性質 標本平均の性質（まとめ） 母集団が正規分布をしているか、標本サイズnが十分に大きい値のと き、標本平均xの分布は次の性質をもつ。 ①標本抽出を多数繰り返すとき、得られる標本平均xの期待値E(x)は 母平均mに等しい。 E(x) = m ②標本平均xの標準偏差D(x)は、母標準偏差σの1/√nに等しい。 D( x ) = σ σ n σ n を標準誤差という。 ③標本平均は、平均m、標準偏差 の n 正規分布に従う。 m− 標本平均 の分布 2σ n m− σ n m m+ σ n m+ 2σ n 一部から全体を知る-統計的推定 金沢大学の男子生徒数は5000人です。標本調査によって体重の平均 値を推定してみます。 サンプルサイズn=100、平均値x=64.1kg、標準偏差u=5.2kg。 男子学生全体の平均体重を64.1kgとみなしてよいか？ → 。 区間推定法： 標本統計量の値に幅を持たせ、母集団の統計量を推 定する方法。 信頼区間： 「m1kg～m2kgの間にある」。m1を下限値、m2を上限値。 二つにはさまれた区間を信頼区間。 精度： 信頼区間を２で割った値。 信頼度： 推定結果がどの程度信頼できるかを確率で表したもの。 例 「信頼度95%」：同じ推定を100回行ったとしたら5か間違う（＝母 集団の統計量が信頼区間から外れる）可能性がある。 一部から全体を知る-Z推定 標本平均の分布 期待値（平均）： m 標準偏差： σ / n m x 標準正規分布 x を基準化すると、 x − 期待値 x − m = Z= 標準偏差 σ / n 0 Z 一部から全体を知る-Z推定 標準正規分布 Zが-1.96から1.96をとる確率は95%。 式で表現すると、 − 1.96 < Z = ( x − m) / σ < 1.96 n σ σ < m < x + 1.96 x − 1.96 n n -1.96 0 1.96 母標準偏差が既知なら、標本平均から、母集団の平均の幅を推測できる！ 母集団の標準偏差が未知でも、サンプルサイズが十分に大きければ (n>100)標本標準偏差uは母標準偏差σとほぼ一致する。 つまり・・・標本平均と標本標準偏差から、母集団の平均の幅を推測できる！ 標準正規分布表 一部から全体を知る-Z推定 Z推定のまとめ m1 = x − Z (α / 2) 下限値： 上限値： m2 = x + Z (α / 2) σ n σ n 信頼度 定数 100(1-α) Z(α/2) 100(1-0.01)=99% Z(0.01/2) = Z(0.005) = 2.58 100(1-0.05)=95% Z(0.05/2) = Z(0.025) = 1.96 αは有意水準という。信頼度と意味は同じ。 Z(α/2)は標準正規分布上で上側確率（中心 0から遠い側の確率）がα/2となる横軸の値。 α/2 α/2 3 2 Z(α/2) 1 0 1 2 3 Z(α/2)
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