5.1 2 変数関数のテイラーの定理
1
5.1 2 変数関数のテイラーの定理
z = f (x, y) を x と y の 2 次式で近似することを考えてみる．f (x, y) = a0 + a1 x +
a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2 + R3 とおき，z = f (x, y) の第 2 次偏導関数をすべて求める．
¶
近似の改良
ただし，R3 は誤差項である．誤差が無視できるくらい小さいとすると，
³
曲 面 z = f (x, y) を 点
(x0 , y0 ) で の 接 平 面 z =
f (x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2
fx (x0 , y0 ) で近似したのが
fx (x, y) = a1 + 2a3 x + a4 y, fy (x, y) = a2 + a4 x + 2a5 y
fxx (x, y) = a3 , fxy (x, y) = a4 , fyy (x, y) = a5 .
全 微 分 で あ る ．こ れ を 2
次曲面で近似すれば，さ
次に，x = 0, y = 0 を代入すると，
らによい近似なることが
予想される．
f (0, 0) = a0 , fx (0, 0) = a1 , fy (0, 0) = a2
µ
fxx (0, 0) = a3 , fxy (0, 0) = a4 , fyy (0, 0) = a5
´
となり，全ての係数を f の第 2 次偏導関数で表すことができる．したがって，誤差 R3 が
無視できるくらい小さいとすると，
f (x, y) = a0 + a1 x + a2 y + a3 x2 + a4 xy + a5 y 2
= f (0, 0) + fx (0, 0)x + fy (0, 0)y
+ fxx (0, 0)x2 + fxy (0, 0)xy + fyy (0, 0)y 2
で近似できる．
³¶
点の近傍
¶
2 変数のテイラーの定理
定理 5.1 z = f (x, y) が点 (x0 , y0 ) の近傍で C n 級ならば，この近傍内にある
点 (x0 , y0 ) の近傍とは，点
(x0 + h, y0 + k) に対して，
(x0 , y0 ) を中心とする半径
(
)
∂
∂
f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) + h
+k
f (x0 , y0 )
∂x
∂y
(
)2
1
∂
∂
+
h
+k
f (x0 , y0 ) + · · ·
2!
∂x
∂y
(
)n−1
∂
∂
1
+
h
+k
f (x0 , y0 ) + Rn
(n − 1)!
∂x
∂y
δ の円の内部である．
µ
´
¶
偏微分作用素
³
h, k が定数のとき，関数
に作用する偏微分作用素
∂
∂
h ∂x
+ k ∂y
を
ただし，
∂
∂
(h ∂x
+ k ∂y
)f (x0 , y0 ) =
(
)n
1
∂
∂
Rn =
h
+k
f (x0 + θh, y0 + θk) (0 < θ < 1)
n!
∂x
∂y
(
³
∂
∂
h
+k
∂x
∂y
µ
)m
(
f (x, y) =
∂
∂
h
+k
∂x
∂y
)(
∂
∂
h
+k
∂x
∂y
∂f
h ∂f
∂x (x0 , y0 ) + k ∂y (x0 , y0 )
と定義する．
)m−1
µ
f (x, y), m = 2, 3, ··
´
説明 F (t) = f (x0 + ht, y0 + kt) (0 5 t 5 1) とおくと， F (t) は t の C
n
級関数であ
るから，1 変数関数のマクローリンの定理より
F (t) = F (0) +
1
1
1 ′
F (0)t + F ′′ (0)t2 + · · · +
F (n−1) (0)tn−1 + Rn ,
1!
2!
(n − 1)!
Rn =
1 (n)
F (θt)tn (0 < θ < 1).
n!
´
2
よって，t = 1 とすると，
(
)
∂
∂
F (1) = f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) + h
+k
f (x0 , y0 )
∂x
∂y
(
)2
1
∂
∂
+
h
+k
f (x0 , y0 ) + · · ·
2!
∂x
∂y
(
)n−1
1
∂
∂
+
h
+k
f (x0 , y0 ) + Rn
(n − 1)!
∂x
∂y
¶
マクローリンの定理
³
定理 5.1 の (x0 , y0 ) = (0, 0) のとき，マクローリンの定理という．このとき，
¨
例題 5-1
§
f (x, y) = f (0, 0) + xfx (0, 0) + yfy (0, 0)
1
+ (x2 fxx (0, 0) + 2xyfxy (0, 0) + y 2 fyy (0, 0)) + · · ·
2
1
∂
∂
＋
(x
+ y )n−1 f (0, 0)
(n − 1)! ∂x
∂y
1
∂
∂
+ (x
+ y )n−1 f (θx, θy) (0 < θ < 1)
n! ∂x
∂y
¥
µ
¦
説明 x0 = 0, y0 = 0 とし，h = x, k = y とおくと，マクローリンの定理が得られる．
マクローリンの定理より，
f (x, y) = f (0, 0) + xfx (0, 0) +
yfy (0, 0) +
2xyfxy (0, 0)
1
2
2 (x fxx (0, 0)
+ y 2 fyy (0, 0))
+
+
R3 を求める．
´
例題 5.1 テイラー定理を用いて，関数 f (x, y) = ex cos y を点 (0, 0) で２次の項まで求
めよ．
解 答 f (x, y) = ex cos y の 第 2 次 偏 導 関 数 を す べ て 求 め る ．fx = ex cos y, fy =
ex (− sin y) = −ex sin y, fxx = ex cos y, fxy = −ex sin y, fyy = −ex cos y より，定理 5.1
において, x0 = 0, y0 = 0, x = h, y = k とおくと，f (0, 0) = 1, fx (0, 0) = 1, fy (0, 0) =
0, fxx (0, 0) = 1, fxy (0, 0) = 0, fyy (0, 0) = −1 より，
¨
例題 5 − 2
§
¥
1 { 2
x fxx (0, 0)
f (x, y) = f (0, 0) + xfx (0, 0) + yfy (0, 0) +
2!
}
+ 2xyfxy (0, 0) + y 2 fyy (0, 0) + R3
}
1 { 2
=1+x+
x − y 2 + R3 ¥
2!
¦
点 ( π2 , 1) におけるテイラーの
定理とは，(x − π2 ) と (y − 1) を
用いて表すことである．
例題 5.2 関数 f (x, y) = sin xy を点 ( π2 , 1) において 2 次の項までテイラーの定理を用い
て求めなさい．
解答 fx = y cos xy, fy = x cos xy, fxx = −y 2 sin xy, fxy = cos xy − xy sin xy, fyy =
−x2 sin xy より，定理 5.1 において, x = x0 + h =
π
2
+ h, y = y0 + k = 1 + k とおくと，
π
π
π
π
1 {
π
π
f (x, y) = f ( , 1) + (x − )fx ( , 1) + (y − 1)fy ( , 1) +
(x − )2 fxx ( , 1)
2
2
2
2
2!
2
2
π
π
π }
2
+ 2(x − )(y − 1)fxy ( , 1) + (y − 1) fyy ( , 1) + R3
2
2
{2
}
1
π 2
π
π2
=−
(x − ) − (x − )(y − 1) −
(y − 1)2 + R3 ¥
2!
2
2
4
演習問題 5.1 次の関数の (a, b) での Taylor 展開を x と y の 2 次の項まで求めよう．
(a) f (x, y) = ex sin y, (a, b) = (0, 0)
(b) f (x, y) = log (x + y 2 ), (a, b) = (2, 1)
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