(σ(ti), σ(t σ < ∞ x, y ∈ X I = [a, b] σ(a) = x, σ(b) = y

���� ��� ���
��
������� �� �������� ������ ��� �����������������
��������� ���� ������� ������ �������� ������� ��� (X, �) �� � ������ ������
����
��� I ⊂ R ��
� �������� ������������ � ���� �� � ���������� ��� σ : I → X � � ����������� �� I �� � �����
�������� t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tk �� I � ��� ������ �� σ ��
�σ� = sup
k−1
�
�(σ(ti ), σ(ti+1 )),
i=0
����� ��� �������� �� ����� ���� ��� ����� ������������ �� I � ��� ���� σ �� ���������� ��
�σ� < ∞� ��� ������ ����� (X, �) �� � ������ ����� �� ��� ��� x, y ∈ X � �� ���� �(x, y) = inf �σ��
����� ��� ������ �� ����� ���� ��� ���������� ����� σ ������� x �� y � ���� ���� σ ����� x �� y
�� I = [a, b] ��� σ(a) = x, σ(b) = y ��
��� ���� σ �� � �������� ��
• ����� ������ λ > 0 �� ���� �σ|[t,t� ] � = λ|t − t� | �������� t, t� ∈ I ��� t ≤ t� ���
• �(σ(t), σ(t� )) = �σ|[t,t� ] � ��� ��� t, t� �� ������
��� ����� (X, �) �� � �������� ����� ��� ��� ����� x, y ∈ X � ����� �� � �������� ������� x, y � ��
���� �������� �� ������ ��� ���� x, y � ���� (X, �) �� �������� ���������
������� ���� ������� ������� �������� ������� �������� ��� ��������������
• ����� ����� �� � �������� ����� ����� �������� ���� ��� ����� ����� ��������
• ��� X = E2 − {0}� ���� X �� � ������ ������ ��� ��� � �������� ������
• ��� X �� ��� ����� ���� � ������ ��� ���� (p, q) ∈ Z2 � ���� ����� ������� (p, q) ��
(p ± 1, q) ��� (p, q) �� (p, q ± 1) ��� ��� p, q ∈ Z� ����� ���� ��� ����� ����� ������
������ ������
X �� � �������� ����� ��� ��� � �������� �������� ������
�
([0,
1 + 1/i] × {i})� ������� (0, i) ∼ (0, j) ��� (1 + 1/i, i) ∼ (1 + 1/j, j) ���
• ��� Y = ∞
i=1
��� i, j ∈ N� ��� X = Y / ∼� ���� X �� � ������ ������ ��� ��� � �������� ������
��������� ����� �������� �������� ����� �� � �������� ������ ��� ����� �������� ����� �� �
������ ������ ����� ������ ������ ��� �������� �������
������� ����
������������� ��� (X, �) �� � ������ ������ ������� ���� X �� �������� ���
������� ������� ���� ���� x ∈ X � ����� ������ � > 0 �� ���� {z ∈ X : �(x, z) ≤ �} �� ���������
�����
• X �� ������ ������ ������ ���� �� ���������
• X �� � �������� ������
�� ����� ����� ��� ���������� ������� �� ���� ������� ������� � ���� ������� �� ������� � ��
��� ��������� ����� �� ��� ����� ���������������������������������������������������
��� ��� ����� �� ��� ����������� �������� ��� ��������� ���
������ ����� ���� ���� �� C �� � ������ ����� �� � ����� G ���� ������� �� � ����� ����������
��� ����� ���� ������� ���� ��� ����������� �� ��������� ������ C �� � ������ �������� ������
������ ����� ���� �� ��� �������� ������ �� ��� ���� ��� �� �������� ��������� ������ ���� ��
��� �������� ���� ��� ������� �������� �� ��� ������� ������ ���� ������ ���� � ��� �� ��������
�������� ���� �� ��� ������ �� �������� ����� ���� ���� ���������� ������ ����������
��� �� ��������� ��� �� ��� ���� ����� �� ��������� ����� ������� ��� ����� �� ����� �� ��
���� �� ����� ��� �������� �� � ������ ������ ���� ��� �������� �� � ���������� ������ ������
�� ���� �� ������� ������ ��� ���� ������ �� ��������� ������ ������ ����� ���� ��� ���� ������
����� ��������� �������� ����������������� ��������� �������� ���� �� �������� �� ���� ���������
���� ������������
���� ��� ���
��
��������� ���� ���������������� ��������������� ��� (X, �X ) ��� (Y, �Y ) �� ������ ������� �
��� f : X → Y �� � (λ, µ)���������������� ��������� �� ��� ��� x, x� ∈ X �
λ−1 �X (x, x� ) − µ ≤ �Y (f (x), f (x� )) ≤ λ�X (x, x� ) + µ.
��� �� ��������� ����� ������ C �� ���� ��� ��� y ∈ Y � ����� ������ x ∈ X ���� �(y, f (x)) ≤ C � ����
f �� � ��������������� �� ����� ������ � �������������� X → Y � ���� X ��� Y ��� ����������������
� ������������� �� � ��������������� ��������� q : I → X � ����� I ⊂ R �� � ������������
����������� �����
��� f : X → Y �� � ��������������� ���� ����� ������ � ��������������
f¯ : Y → X ��� � �������� C �� ���� ��� ��� x ∈ X ��� y ∈ Y � �� ���� �X (x, f¯(f (x)) ≤ C ���
�Y (y, f (f¯(y)) ≤ C � �� f : X → Y ��� g : Y → Z ��� ����������������� ���� �� �� g ◦ f : X → Z �
����� ��� �������� ��� ��������������� ��� �� �� ����������� �������� �� ��� ����� �� ������ �������
������ �������� � ���� ��� ��� ��� ����������
�
��������� ���� ��������������� ����������� � �������� P �� � ������ ����� X �� ��������������
��������� �� P ����� ��� ����� ������ ����� ��������������� �� X �
������� ���� ������������������ �������� ��� ��������������
• Zn ��� Rn ��� ��������������� ��� ��� n ≥ 0�
• ����� ����� ������ X, Y �� ���� X ��� Y ��� ���������������� X �� � �������� ������ ���
Y �� ��� � �������� ������ ��� �������� ���� X = E2 ��� Y = E2 − {0}�
• ��� C �� ��� ������ ����� �� Z2 ���� ������� �� ��� ���������� ��� {(0, 1), (1, 0}� ����
C �� ��������������� �� E2 � ����� ����� ��� ��� ��������������� �������� ������� ��� ��
����� �� �������� �������� ��� ��� ����� �� ����� �� ����
• ��� S, T �� ����� �� ���� ��� ���� s, t ∈ N� ���� s, t ≥ 3� ���� ������ �� S ��� �������
s �������� ����� ��� ����� ������ �� T ��� ������� t �������� ������ ���� S, T ���
���������������� ���� ���� ����� ���� �� ��� ��������� ��� � ����� ���������
���� ��� ���
��
������ ��������� �� ������� ��
��� ��� ���� ���������������������� �� ������� ����� ����� ���� �� �� ������ �� �������
�� � ��������������� ��� ���� ������ ����� ���� �� ��� � ������ �������� ������ �����
����� ���������� �� ��� ���������� ������� �� ����� �� ��������
��� �� ��� ���� ��� ������� ���� ������� ��� ��� ����� ����������
��� ����� ����������� �����
��� ��������������� �� ��� ���� ���� ��������� ��� �������� E2 � ���� ��� ����� ���������
������ �2 � ��� C �� ��� ������ ����� �� Z2 ���� ��� ����������
√ ��� {(0, 1), (1, 0)}�
���� ������������ �� ������� �� ��������� C → E2 ����� �� � ( 2, 0)����������������
���������� ��� ��� n ≥ 0� ��� � �������� γ �� C ����� ����� �� E2 ����� ����
��������� �������� � ����� �� �������� > n ���� ����� ����� �� ��� �2 ��������� �������
��� ��������� �� γ �
��� ��������������� �� ��� ���� ���� ��������� ���� ����� s : [0, ∞) → E2 �� s(t) =
(t cos(log t), t sin(log t))� ���� ���� ���� �� � �������������� ��� ������� ��������������
��������� ��� ���