On Boyd`s Lower Bound

 !
"#$&%'!$#(!)"#(&%+*
$&(+-,)&*./%'!013245*6*7$&
"#(&8
9 /"#(##!+:<;&"&
$&%+=&*>$#(+-,)&*?/%'!
B@ ADCFEHGE0IKJHLNMPOKIQASRUTPO
JHVWYX[Z=XF\^]_T`LUOaGbcLedgfNhiA`jkE7AASjUOml)Jonp]qLYJorbcEHnsJHV
rbtLUbcrEHn>uUOKvHT`OKOwCsbtA`jxIaJqOQyIabcOaLzA`G
{}|~A`jkE7AjkEHGJoT`uUOaTJ7V€7EHLUbtG`jUbtLUv‚ENA
ƒ„ |btG[JHVuYOKvoTPOKOfN…‡†ˆ|HXЉ[jYO‹JHŒz€_btJoRUGsOQYEHrlUncO4btG
Ž … ƒ=‘„ …‘” ’k“ ™ ƒ›š • †œ|K[ž
|
•—–U˜
Ÿ X>\FJ.]qu¡uYbcG`lYT`J.€oOaueA`jUbcGIKJHLNMPOKIQASRUTPO0€qbcE¢IaJorlYRYA—E7A`bcJoLUEHn£rOKEHLUGbtL¤d¥|Kh¦X
§JoTPOKJ.€oOaTK¨^\FJ.]qu¢EHntG`Jmv<E?€HOA`jUO©Œ)JoRULUuUG A`jkE7A}bpV«ª bcGA`jUO©uUOKvHT`OKOJHVsA`jUO
rbtLUbcrEHnl)Jonp]qLYJorbcEHn¬¨+btL­ASOaT`rGJHVsuUOavoT`OaOH¨‘JHV[A`jUO©E7V/JoTPOKrOKL<ASbtJoLUOau~A®]_l=O7¨
ASjUOaL
¯.° …²± ª± ¯ …i³
f 
CsjUOKTPO}ASjUObcrlUncbtOKuIKJoLUG´A—EHL<A`GEHTPOEHŒUG`JHncRYA`OHX}µ¶jUbcntOASjYORYlUl=OaT£Œ=JoRYLUu~btL
Œ<f ]© OKbcntGOKrASTPOKbt€_L<bA—E7EHnT´]DbcLmCFA`E.jU]_O3GaX ncbtvoj<A4JHV  |  ¨A`jUO3ncJ.C^OKT4Œ)JoRULUuUOauwCFEHGEHncGPJ©JoŒYASEHbcLUOau
·OaA¸  ª³S¹  uYOKLUJHA`O}ASjUO3G`OQA‹JHVE7ncnrJoLUbtI l)Jont]_LUJorbE7ncGsCsbtASjwEHntnIaJqOQVº
» IKbtOKL<ASG«bcLw
¼7{3|H½z¨'EHLUuCsbpASjuUOKvoTPOKO}ª¾†¶|ASjUE7A«€7EHLYbcG`jYOKGiA`JASjYO JoT`uYOKTENA
ncOKEHGPA>¹¿ENA ƒ„ |HX^‰[jUOlUT`J_JHV#JHVA`jUO‹ncJ.CFOaTsŒ=JoRYLUubtL  f  bcGsŒkEHGPOKumJHLA`jUO
V/JoncntJ.CsbcLUvncOKrrEYX
ŠÀ_Á0Á~ÂÃ4Ä-Å ¸  ª³S¹ ÆcÇÈ'ÉNÊ3ËQÌiÍ)Ê5έÏHÈ)ÐÑ¡ÆcÇÏÍ)ÒÓÆ-ÌÔËÕÖ_Ƭח֢Ð_É.˗ǩÈ'ÉNÊ
ÐHÆ-Ø.Æ5Ð_Ë ªÚÙ Ê-ÖkËQÈ
ªÛ.’k“FÜ Ñ …iž
¦Ý 
ށß=à'áQâ6ãåäæãèçêéaߛë¬á+ë¦ì7íÓî6éë¦ìNß=áaï¦ðKíÓî6çèñ´ßPï¬òoáQó.ë¦ì6çåòYà=áaï¦é.ò¦ì6áQôáQî^õöáQ÷ô6â6ë¬í—ë¬çêáaîNíÓãKî?â6÷ŠøHß´ï
ë¬ì6ß´áaï¦ùaúoûUü<ý'áQï¬à'ß´çèî‹íÓîNä 2 ü 1 çêãåíQò¦ßöëBísóþáaïë¦ì6ßPçêïß´îNãêçèðQìKë¦ßPî6çèî6ð«ãèßPõöë¦â6ï¬ßPòPü‘ށß[íÓãåò5á«ß´î—ÿ/á—ù
ß´ï¬ùi÷^âNõBìë¦ì6ßì6áKò5ô6çêë¬íQãêçêë/ù4áÓó'ß ß´ï¬ùQáQîNߊí—ë * çè÷áQî 1 ïBíQò¦ß´ï $ î6ç ßPï¬ò¦çgë/ùaú<ßPò¦ô7ß`õöçåíÓãèãêùë¬ìNí—ë
áQó›ë¦ì6ß ; áKò/ë¬ßPò¬òíÓîNä ; áaò5ë Nü æí—ë¬ß´ï¬ß´îNõBì?â6é4íQîNä 7ü îNíÓâ6ßPïPüæÞßF÷ŠâNò5ë‘íÓãåò5á>ë¦ìNíQî6é4áQâ6ï
ô6ï¬áÓÿ/ß`õ®ë+ãèßPíaä.ß´ï ü 1 ß´ï¬ðQâNò¦áQîióþáaï&ì6çåò&çèîNò¦çêðaìKë¬ò+áaî4áQâ6ï#ô6ï¬áÓÿ/ßPõöëPü ó)õ´áQâ6ïBò5ßaúNãåíQò5ë&ø6â.ëî6áÓë
ãèßPíaò/ë`ú—çgë›ðaáKß`òYàçgë¬ì6áQâ.ë›ò¬íSù?çêî6ð#ë¦ì7í—ëkà=ß'ë¬ìNíÓî6é 2‹*. óþáQïkô6ï¬á çèä.çèî6ð#âNòUàçgë¬ìFë¦ì6ß NîNíQîNõöçåíÓã
÷ßPíQîNò'ë¦á[íÓë5ë¦ßPîNä«ë¦ì6çåòà'áQï¬é.ò5ì6áaôzü
«J.C¢ncOQA‘RUGælUT`J.€HOsA`jUO[ncJ.C^OKTæŒ)JoRULUu'Xbþ
‰[jUOKJHT`OKr¨+CFOjkE?€oO ” Ñ0„ OQqld$#  ƒ= h „
bcGA`jUO*)FjUOKŒ<]_G`jUOQ€IaJoÛ RU"L<! ASbtLUv}V/RULUIQASbcJHLX
ƒ <¨ ASjYOKL3Œ<] ASjUOæTPbcrO«RYr Œ=OaT
OQqld ƒ  |&%('  | P h5¨&CsjYOKT`O#  ƒ=
B@ V^ª + ” Ñ ¨)ASjUOaLÚIKncOKEHT`np]ASjUOaT`O btGG`JorO Ñ.-¡ƒ SA jkE7AuUJqOaGLUJHAuUbt€_bcuYO
ª~XZqRYI—j­E Û,"Ñ ! CsbcntnŒ)OvHRkEHTSE7LzA`OKOau~bpVŠC^O}A—E0/7O ƒ­„ ncJH^v ª  |%1'  | P ¨ASjYOKL
Œ<]DASjUO£ntOKrrÔE
ª32 .
Ñ 574 698 2 ƒ 4 : „; ntJov š ª<2œ¹xntJov‘ncJov‘ª  |&%('  | P 2œ¹
ž >= 
‰[jUbcG[IaJorlUncOQASOKG[A`jUO£lUT`J_JHV&JHVA`jUO£ncJ.C^OKT[Œ)JoRULUubcL  f  X
@BAsbcGŠASjUO4G´ASTPJoLUv}Œ)OKncbtOaV+JHV&rEHL<]DE7LUu©IKJoL » T`rOKuŒ<]DOarlUbtT`btI?EHn)Oa€_bcuYOKLUIaOKG
ASjzRUG[V5EHTA`jkE7AsASjUO4A`T`RYA`jGPjUJoRUntuŒ)O£JHV&ASjUO£G`jUEHl=O7¨kOKGPG`OKL<A`bEHntnt@] ?S¨
ª A ¯ …iž
B
DC 
ŸRUTPbcLUv0JHRUTDA®CFJNºBC^OKEO /œG´A—E?]œENA©ASjUO
voT`EHuURkENASOmIaJoRUT`GPOwE7A§mGZ Fs@ÔZqRUr}º
rOaIT H£T`EHuURkENASOZqI—jUJ_Jon&E7A«ZqbtrJoJ
L kTSE7G`OKIT K>LUbt€HOKT`GPbtA®]H¨›C^O‹G`OaA«JoRUTPG`Oant€oOaG«A`jUO
L«OaT`IKRYncO?E7LmA—EHMG /JHV‘btrlUTPJ.€qbtLUvA`jUO}ncJ.C^OKTŒ)JoRULYu
bcL  f  *
X NLUOO /7Oa]
btuUO?EÔbtL
\FJ.]_u PêG}C^Jo7T /­bcG ASjYOTPOKuURYIaASbtJoL JHV«l=Jonp]_LUJorbEHntGrJquYRUncJÚf_X‡@®LUuUOKOau¨FJHLUO
OQql)OKIaA`G‹CFEHG´ASObcLmASjYOOaGPA`bcrE7ASOaG€qbcE©G`RUI—j~T`OKuYRUIaA`bcJoLQX L>OKLUIaOH¨+CFO3Œ)OKntbcOa€HO
ASjUOaT`O4ASjYOKT`O£GPjUJoRUntuŒ)O4T`J_Jor V/JHT[bcrlUT`J.€oOarOaL<ASGKX
‰&J6CFEHTPuA`jUbcGFOKLUu¨UC^OASTPbcOauDASJ » LYubtrlYT`J.€oOarOaLzA`G[bcLÔA`jUOASOaI—jULUSb R_RYOKGsJHV
\FJ.]_u PêG C^JoMT /­Œ<]0IKEHT`T´]qbtLUv
JoRYA rJoTPO©EHIaIKRUT`E7ASO©OaGPASbtrÔENASOKGbcL0A`jUODncOarrEYX
\FRYA‹ASjUOUO T=JoTPAuUbtu­LUJHAlUTPJquURYIKODE7Lz]zA`jUbcLUvbcL<ASOaT`OaGPASbtLUvUX©@®LUuYOKOKu'¨btVA`jUOKTPO
CFOaT`OTPJqJHr V/JoTbtrlUTPJ.€oOKrOKL<A`GbcLDdþ|ahYbpASG`OantVö¨6ASjUOaL btA&C^JoRUncuŒ=VO R_RYbtASO^RULUntWb /HOant]
ASjkENA[ASjUO£bcrlUTPJ6€HOKrOKL<AsjkEHGsLUJ7A«Œ)O4T`OKEHncSb XKOauE7ncT`OKEHuY]HX
µ~O^jkE?€HOEHntG`J[ASTPbcOKu£ASJ>bcrlUTPJ6€HOASjUOŠncJ.C^OKT&Œ=JHRULUu£€qbcE>rO?E7LUG+JHVUjkE7T`rJoLUbcI
EHLkEHnp]_G`bcGaX#@BV Ñ  ƒ= btG#ASjYOrbtLUbcrEHn<l)Jont]_LUJHrbcEHn<JHV›JoRUT#bcL<ASOaT`OaGPAA`jkE7A€7EHLUbtG`jUOaG
E7A ƒ„ |‹A`J}ASjUO£JoTPuUOKTs¹ CsbpASj{}|IaJqOQyIabcOaLzA`GK¨krJoT`O4lYT`OKIabcGPOKnt]H¨
Ñ  ƒ=‘„  ƒ †œ|  … Y  ƒ= ³
? îë¦ì6ßÿ5íQï¦ðaáQîáÓó'íQîíQîNíÓãèùKë¦çåõFîKâN÷ŠøHß´ïë¦ìNß´áQï¬çåò/ë`úZÓß`ò¦ò¦ß´îKë¦çåíÓãèãèù Z>÷ßPíÓî7òâ6ôë¦á4ò5áa÷ß
ôHá—à=ßPïáÓóYë¦ì6ßæãèáQðKíÓï¬çgë¬ì6÷ü
G EHLUuuUOavoT`OaOJHV Ñ  ƒ= btGsª~¨UA`jUOKLCsbtA`j ¯  ƒ=‘„ OQql  f
ƒ= ¨UCFO‹jkE?€oO
ª % | „ “ Ñ  ƒ= š ƒ
˜ „ ˜ “ ¯  ƒ= †‚| š … Y  ¯  ƒ=P š ƒ
„ f … ˜ “  |s†0IKJHG'f ƒ= … Y  ¯  ƒ=` š ƒ
2 fN…  |s†0IKJHG'f ƒ= … Y  ¯  ƒ=P š ƒ
8
2 fN… Y  ¯  ƒ=P š ƒ ž
8 @BV#C^O‹rÔ0E /7OASjUO‹EHuYuUbtA`bcJoLkE7n'G`RYlUl=JHG`btA`bcJoL©A`jkE7A
Y  ƒ=‘„ ƒ ³
 
–U˜ CsjUOKTPO4ASjUO PgG>EHT`O‹EHntrJHGPAsEHntn XaOKT`JY¨UASjUOaLC^OjUE.€HO‹A`jUO£ncJ.C^OKTsŒ=JHRULUu©ASjkENA
• % | š ž
ª %¶|*2 fN… f
-0,/.
)
2 1 
†
f
( *
U
–
˜
+
r
_
J
u
!˜ ’ #• " %“ $
š'&
µ­O7¨zJHV'IaJoRUTPG`OH¨_Œ)OKncbtOa€HOsA`jkE7AæA`jUO«GPRUr btL  1  bcGæLUJ7A^GPrÔE7ncnUOaLUJoRUvoj3ASJ£IKEHLUIKOan
JoRYA^ASjUOfN…²bcLÔV/TPJoL<AJHVbpA?X L>J.CFOQ€oOKTa¨kJoRUT^bcuUOKETSE7LDJoRYAFJHVV/RUOan'jUOaT`OHXµ¶jUE7A
GPASE.]_G‹RUG‹bcG4lUTPOKIKbtG`Oant]
JoRYT£CFEHL<AJHV /zLUJ.CsncOauUvoOJHVŠASjUOIKJ_OayIKbtOKL<ASG‹JHVV Y ƒ=
CsjUbcI—jwEHlYl=OKEHT£bcLmASjYOrbcLYJoTSEHL<A4J7V 21  QX L«OaLUIKO}C^OŒ)OKntbcOQ€oO ASjUE7A4CFO3LUOa OKu
ASJ /_LYJ6C rJoT`OEHŒ)JoRYA‹ASjUOÔIKJ_OayIKbtOKL<ASG J7V Y  ƒ= Œ)OaV/JoTPOC^ODI?E7L0rÔ9E /HODE7Lz]
bcrlUT`J.€HOKrOKL<ASG[JoLASjYO‹ntJ.CFOaT>Œ)JoRULYuJ7V  f  X
@BAsbcGsE7ncG`J}LYJHASOQCFJoT´ASj<]©ASjUE7A[btV+C^O£G`GR T=OK4T 3 ASJ3Œ)O£EHrJHLUv ASjUO4IaJqOQyIKbcOaL<ASG
JHV#JoRUT[l)Jont]_LUJorbE7ncGK¨zASjYOKLª G`E7ASbtG » OaGK¨›EHGsGPjUJ.CsLbcL~d Ý h¦¨
¹ š ± ª ± ¹ š ncJov‘¹
³
5 
CsbtA`j¢ASjYObtrlUntbcOau²IaJoLUG´A—EHL<ASGDEHŒUG`JHncRYA`OHX¶@®LUuUOaOKu¨sbcL ASjYbcGI?EHGPOH¨[CFOvoOaADE
G`btrbtnEHT£bcLYEO RzRkEHntbtA®]­EHG}bcL 1  ¨‘GSE?€HOV/JHTASjUO©V5EHIQA ASjUE7A}ASjUO©ntOaV-A}jUEHLUu G`btuUO
r RUG´A3Œ=O©TPOKlUncEHIKOau²Œ<]0A`jUO©ncOaLUvHA`j²J7V Ñ  ƒ= X L«OKLYIKObcL0ASjYO©ncbcvHjzA JHVsASjUOaG`O
OKG´ASbcrE7A`OKGK¨‘ASjYOIaJqOQyIabcOaLzA`GÔJHVil=JHnt]_LUJorbEHntGJHV«ASjUOnENA`ASOaT /zbcLUu¢r RUGPAŒ)O
G`lkE7T`G`O7X
6 7:97:;7:<>=7:?
8
B@ A'C 8 ü6Þ
üNý'á—ù.ä<úEDFHGJIKLNM/OBP/QRLTSVU>W#KXFYP'Z\[:L]FY^_P'KXFa`bF-cdIL]OeW#FYL]QJ`fG]OgZihE`bjlk4mVPXZXjnKX`f^'joP_p
[:LqPsrt^'`fP/FujsZ®ú 2 íÓë¦ì6ßP÷[í—ë¦çåõ´ò&áÓó=v áQ÷ô6â6ë¬í—ë¬çêáaîNòPú , áQãèâ6÷ßiwx6w ú ( â6÷ŠøHß´ïzyNyN6{ ú õöë¦áQøHß´ï
Aq|x|-} úKôNôzü A w |-}~2A#} {NN€ ü
@ y C 7ü * üÓý=ù?ï¬î6ßPòPúNI KLxM'OBP/QJZ>L]F IL]OeW#FYL]QJ`fG]OgZ>hE`bjbkim P'ZXjsKX`f^/j P_p\[:L!Pfrt^/`fP'FajfZVKX` ZX`bF-cS_KL#Q
PXZXjn`fL#FuZV`bFVFaj P/FuF GVKXKG#W kP_L]KXW—ú ß`õöß´îKë " ä íÓîNõ´ßPòçèî 1 áQâ6ï¬çêßPï " îNíQãêù.ò¦çèòíQîNä
ë¬ò " ô6ô6ãèçèõPí—ë¦çèáQî7ò
Nü * üÓý'ù?ï¦îNßPò Nü 1 ü—ý'ù?ï¦î6ß`ò´ú—ß`ä6òPü öú ãêâ?à'ß´ï " õPíQä.ßP÷Fçåõ'û›â6ø6ãèçåò5ì6ßPïPú
8 áQïBä.ï¦ß`õBìKëPú Aq|x| 6{ ú?ô6ô_üuwNw }!~ w } ü
@ € C ûUüPý'áaï¦à'ß´çèîzú % ü ï¬äß´ ãèùKçcú ü áK ò´ú%`bjnjsO P'hL!LqpWuPIKLNM/OBP/QiZL#F "!Bú 2 íÓë¦ì6ßP÷[í—ë¦çåõ´ò
* â6ø6ÿ/ßPõ®ë =v ãåíQò¬ò¦ç 7õPí—ë¬çêáaîzü