A general method for constructing a test of multivariate normality

‡
!
!" "#$%&' "#$((
# $%
"
!
)
'
*
'
)+'
'
,
*%(12+
'
)
- . /
*%((0+
$ -
3
&
-
&
' &
#
3
-
5(
'
"
6
4
7 ,
#
*
8
-
3
%
)+
-
-
9
!
.
)
. -
-
L+ À \
.
*
.
.
'8
; 8-
%
8
637 WÐ8Ñ œ !
8Ä_
L9
\ œ Ð\" ß \# ß á ß \: Ñ
= -
-
9
L9 À \
3
.
.
L9 À \
L9
: ! − Ð!ß "Ñ
'
; 8-
:
,
;
L9
T Ð8Ñ − Ò!ß "Ó
<
637 T Ð8Ñ œ "
8Ä_
-
; ' WÐ8Ñ
*%+
L+
*#+
Ð: "Ñ
‘:
.
9
L+ À \
.
-
\
;
Î B""
Ð ã
Ð
\8 œ Ð B"4
Ð
ã
Ï B"8
á
ã
á
ã
á
.
B3"
ã
B34
ã
B38
á
ã
á
ã
á
\8 B:" Ñ
ã Ó
Ó
B:4 Ó
Ó
ã
B:8 Ò
*7+
Ð7Ñ
-
!
Ð7Ñ -
.
+
.
*
. œ *." ß á ß .: Ñw
.
>
=
\-
,
#
Î 5"
Ð 5
D œ ÐÐ "#
ã
Ï 5":
á
á
ã
á
5"#
5##
ã
5#:
5": Ñ
5#: Ó
Ó
ã Ó
5:# Ò
. 8
0 Ð\ l.ß DÑ œ 1 " Ð\" Ñ ‚ $13 Ð\3 l\" ß á ß \3
" Ñ
3œ#
1 " Ð\" Ñ
13 Ð\3 l\" ß á ß \3
" Ñ
4
,
R Ð." ß 5"# Ñ
R Ð23 Ð\3 l\" ß á ß \3
" Ñß F3 Ñß 3 œ #ß á ß :Þ
.
23 Ð\3 l\" ß á ß \3" Ñ œ .3 D3ß3" D"
3"ß3" ÐÐ\" ß á ß \3" Ñ Ð." ß á ß .3" ÑÑ 3 œ #ß á ß :
w
w
F3 œ 53# " D3ß3" D"
3"ß3" aD3ß3" b
3 œ #ß á ß :Þ
=
\3 œ 23 Ð\3 l\" ß á ß \3
" Ñ # %
% µ R Ð!ß F3 Ñ
-
4
-
,
D3ß3"
.
,
D
D3"ß3"
.
,
D ?
s "#
5
s ##
5
ã
s #:
5
á
á
ã
á
.
\" ß á \3
" ß
s œ *.
s" ß á ß .
s : Ñw
\" ß á ß \3
" : .
s #"
Î5
Ð s "#
s œÐ 5
D
Ð ã
Ï5
s ":
.
,
3 œ #ß á ß :
s 3ß3"
D
.
s 3"ß3" .
D
D3"ß3"
,
s ": Ñ
5
s #: Ó
5
Ó
ã Ó
s #: Ò
5
D
Ð7Ñ <
,
D3ß3"
3 œ #ß á ß :
<
\3
4 œ "ß á ß 8
w
s 3 ÐB34 lB"4 ß á ß B3
"ß4 Ñ œ .
s 3ß3" D
s "
s3 # D
s" ß á ß .
s 3
" ÑÑ
2
3"ß3" ÐÐB"4 ß á ß B3
"ß4 Ñ " Ð.
s3 œ 5
s 3ß3" D
s "
s
s#3 " D
F
3"ß3" ŠD3ß3" ‹
= -[
%9 @
á
ß B"4 ß
4 5" * !:
B
3ß 3 , "9
@
Ð7Ñ : !: œ !Î:Þ
-
a B"" ß
w
á
ß B"8 bw : 5" ?
A
:
,
Ð"Ñ
Ð$Ñ
.
:
9
.
,
s3 ÐB34 lB"4 ß á ß B3
"ß4 Ñß 4 œ "ß á ß 8
C34 œ B34 " 2
[
: 53 .
A
:
a C3" ß
á
ß C34 ß
4 53 * !: Îa" " !: b3
"
*7+'
3#"
Ð%Ñ
á
ß C38 bw
: W ‡ Ð8Ñ
; 8-
-
.
8-
L9
?
3
: T ‡ Ð8Ñ
; 8-
-
4
.
-
8-
L9
3
?
-
-
&
Ð\" ß á ß \: Ñ
‘T Þ
''
637 W ‡ Ð8Ñ Ÿ !
8Ä_
Þ
L9
!
& +
L9
Ð#Ñ
a B"" ß
'' $
; 8
3
-
'' %
&
%
637 T ‡ Ð8Ñ œ "
8Ä_
L+
.
3 3
-9
ß B"4 ß
3ß " * 3 Ÿ : a C3" ß
L9
.
3
A
á
ß B"8 bw
á
á
. ] Ð8Ñ
ß C34 ß
á
.
:
w‰
] Ð8Ñ Ä R ˆ!ß 53# " D3ß3" D"
3"ß3" aD3ß3" b
-
E3
"
E3 œ œ
!
ß-
+
E3 ß 3 œ "ß á ß :ß .
3
.
R Ð." ß 5"# Ñ
&
ß C38 bw
W Ð8Ñ œ T <ÐE" œ "
E# œ "
á
: :
E: œ "Ñ Ä " T <ÐE3 œ "Ñ Ÿ !‡
3œ#
:
!‡ œ œ "Œ" "
3œ"
= -
L+
3
Ð&Ñ
! 3
"
! 3
"
†
!
Î
"
"
” : Œ
•œ!
:
:
C
Ð'Ñ
Ð%Ñ
Ð'Ñ
L9
‡
Ð&Ñ
4 % Ÿ 4 Ÿ :Þ
: 4‡ .
4 : T4‡ Ð8Ñ
; 8 3
L9
L+
8-
4‡
A
Ð#Ñ
?
.
-
637 T ‡ Ð8Ñ œ "
8Ä_ 4
=
T ‡ Ð8Ñ T4‡ Ð8Ñ
ß * (+
3
637 T ‡ Ð8Ñ œ "
8Ä_
Ð(Ñ
L+
!" #$
s @
D
s
.
\8
s
.
$ .
.
.
,
B
D
;
.
.
.
. .
2 .
,
)
%9
.
:
''
.
% 3
# ,
B"" ß á ß B"8 Þ : 5" ?
3 3 , "9 <
.
#
9
%
A
)
3
-
.
= -
s
D
:
Ð$Ñ
.
4 5" * !:
.
B
4 œ "ß á ß 8
4 B34
-
.
B"4 ß á ß B3
"ß4
C34 œ Œ
s3
B34 " .
s3 5
4 B34
,
C34
s3
F
-
# 4 4 B34
B"4 ß á ß B3
"ß4
s 3"ß9,= .
.
s 3ß3"ß9,= .
D
s "
: D
3"ß3"%9,= .
.
,
.
B3"ß9,=
.
B"4 ß á ß B3
"ß4
.
.
s :
.
%
s
D
.
.
,
B34 -
s ?
D
*
B3"ß9,=
+
,
B3"ß9,= 3
w
s 3 ÐB34 lB3"ß9,= Ñ œ .
s 3ß3"ß9,= D
s "
s3 # D
s 3"ß9,= Ñ
2
3"ß3"ß9,= ÐB3"ß9,= " .
s 3 Ñ„Ê5
s 3ß3"ß9,= D
s
s
s3 " D
C34 œ ÐB34 " 2
3"ß3"ß9,= ŠD3ß3"ß9,= ‹
[
@
C3" ß á ß C38
.
: 53 .
:
4 53 * !: Ί" " !: ‹
A
3
: W ‡ Ð8Ñ
4
.
8-
L9
3
?
-
' $
''
''
-
.
‘T Þ
:+
\
L9
?
: T ‡ Ð8Ñ
; 8-
-
Ð#Ñ
'' %
L9
& +
&
+
+
\
637 W ‡ Ð8Ñ Ÿ !
8Ä_
+
&
&
$
%
637 T ‡ Ð8Ñ œ "
8Ä_
.
3
8-
-
,
3
; 8-
-
\ œ Ð\" ß á ß \: Ñ
&
3
"
*7+'
3#"
3
w
"
#
3
:
] Ð8Ñ Ä R a!ß "b
L+
%
- *"+ .
'
& '
-, !
'
.
!
;
-
.
. œ Ð!ß !ß !Ñw ß D œ
Ð$Ñ
<
"
" !Þ$
Ï !Þ&
Î
" !Þ$
"
!Þ&
!Þ& Ñ
!Þ&
" Ò
! œ !Þ!&
-
.
7
*
!
3
*
* !+
3
]
D >-
<
L9
A
\
+
3 . %
3 . %
.
]
-
3
Ð\ß ] Ñ
.
;
Ð$Ñ -
-
.
\
+
%222
L9
-
%
L9
*
;
Ð$Ñ -
E
A
+
.
.
%222
L9
. Ð\ß ] Ñ
-
3
3 . #
3 . #
8
.
-
.
, .
3
-,/
%
!
3
0
3
'$
4
+
'
1
02 .
L9
-
*7+
-
:œ$
=
7
8%
1
.
]
B
.
]
"
.
\
X +,6/ $ <
. .
-
! œ !Þ!& 3
-
8 =
3
%
A
3
3
;
.
%
-
;
%222
L9
-
3 . " 4
8
<
.
.
.
3
3 . "
A
%
-
-
&F
Ð\ß ] Ñ -
.
3 .
2 2&
8%
Ð$Ñ -
%222
L9
.
3 . & <
L9
-
A
-
3
;
! œ !Þ!&
8
A
-
3 . 8
3 . 8
. .
!
.
;
3 .
8
"
#
3
/
*#227+
; > G
+
' &
+ '
/
+
+ '
() %%22 %%2"
'$
!
)
9I
*#22#+
'
' &
+ '
$
&
' "
4 4
'$
'$
,
$
%(12 3
+
' &
9
)
@
9
9
) *%((0+
G
$ .
*%(11+ B
3 $
= -H
'$
+ I )
*
+ #0( 7#2
5
9=
X +,6/ " À )
;
L9 @
A
8œ&
8 œ "&
8 œ $!
!Þ!%)
!Þ!%*
!Þ!'!
X +,6/ # À )
;
!Þ"7&
!Þ(7(
!Þ(((
8 œ %22
8 œ #&2
8 œ &22
!Þ!&!
!Þ!&)
!Þ!&*
L9 @
A
8 œ %2
8 œ "&
8 œ $!
A
!Þ!%"
!Þ!&#
!Þ!&*
!
!Þ!%#
!Þ!&"
!Þ!&'
!Þ"7%
!Þ(8#
!Þ((&
!
!Þ"$#
!Þ(8%
!Þ((7
L9
!Þ7%*
!Þ0%'
!Þ("'
3 . 79 I . .
I
]
Ð"ß "ß "Ñ
Ð"ß "ß !Ñ
Ð"ß !ß "Ñ
Ð"ß !ß !Ñ
Ð!ß "ß "Ñ
Ð!ß "ß !Ñ
Ð!ß !ß "Ñ
Ð!ß !ß !Ñ
X +,6/ % À )
;
L9
L9
T <Ð] Ñ
!Þ(!
!Þ!)
!Þ!)
!Þ!#
!Þ!)
!Þ!#
!Þ!#
!Þ!!
L9 !Þ!&%
!Þ!%*
!Þ!&'
L9
@
!Þ!%%
!Þ!8)
!Þ!&$
!Þ!8*
!Þ!%)
!Þ!&(
!
!Þ!&!
!Þ!%(
!Þ!&$
X +,6/ & À I . .
]
I
Ð"ß "Ñ
Ð"ß !Ñ
Ð!ß "Ñ
Ð!ß !Ñ
X +,6/ ' À )
;
8 œ %22
8 œ #&2
8 œ &22
A
L9
T <Ð] Ñ
!Þ(!
!Þ"&
!Þ"&
!Þ!!
L9 !Þ8)$
!Þ1$)
!Þ(1%
L9
@
!Þ#&2
!Þ&&&
!Þ1"*
!Þ8)#
!Þ1%"
!Þ(1!
!
!Þ81!
!Þ18!
!Þ(0)