15.1 Implicit functions Let us start with an example. Consider the

-QTPMGMX JYRGXMSRW
0IX YW WXEVX [MXL ER I\EQTPI 'SRWMHIV XLI JSPPS[MRK IUYEXMSR
8LMW IUYEXMSR HIJMRIW E PIZIP WIX EX
SJ XLI JYRGXMSR
%PWS WMRGI [I GER YRMUYIP] WSPZI JSV
ERSXLIV JYRGXMSR
XLMW PIZIP MW XLI KVETL SJ
8LYW XLI IUYEXMSR SJ XLI PIZIP WIX
MQTPMGMXP] HIJMRIW
EW E JYRGXMSR SJ
3J GSYVWI KMZIR ER EVFMXVEV] IUYEXMSR [I GER X EP[E]W WSPZI JSV WSQI
ZEVMEFPI *SV I\EQTPI
&YX XLEX W FIGEYWI [I EVI PSSOMRK JSV E KPSFEP WSPYXMSR 0SGEP WSPYXMSRW
QE] WXMPP I\MWX
-R E WQEPP RIMKLFSVLSSH EVSYRH
[I GER WSPZI JSV
YRMUYIP]
8LYW PSGEPP] EVSYRH XLI TSMRX
XLI IUYEXMSR JSV XLI PIZIP WIX
HIJMRIW
EW E JYRGXMSR SJ
2SXMGI XLI MR XLMW TEVXMGYPEV GEWI [I LEZI
WS GER FI ZMI[IH EW E JYRGXMSR
SJ
-R XLMW GEWI
GERRSX FI ZMI[IH EW E JYRGXMSR
SJ RS QEXXIV LS[ WQEPP XLI RIMKLFSVLSSH SJ
XLI TSMRX
MW 8LI KISQIXVMG VIEWSR JSV XLMW
MW WMQTPI MJ [I [ERX XLI PIZIP WIX EVSYRH
FI XLI KVETL SJ E JYRGXMSR SJ [I GERRSX LEZI
TEVXW SJ XLI PIZIP WIX [LIVI XLI XERKIRX PMRI MW
ZIVXMGEP
7YTTSWI XLEX [I LEZI XLI PIZIP WIX
ERH EWWYQI
XLEX
MR E WQEPP RIMKLFSVLSSH SJ XLI TSMRX
8LIR PIX
2SXMGI XLEX
MR XLI RIMKLFSVLSSH SJ
8LYW
WPSTI SJ XLI XERKIRX PMRI EX
8LYW
7S XLI WPSTI MW MRJMRMX] ERH XLI XERKIRX
PMRI MW ZIVXMGEP MJ
2SXMGI XLEX MR XLI GEWI SJ XLI GMVGPI [I LEZI
8LQ 0IX
FI GSRXMRYSYWP] HMJJIVIRXMEFPI MR E RIMKLFSVLSSH
SJ
ERH WYTTSWI XLEX
'SRWMHIV XLI
IUYEXMSR SJ XLI PIZIP WIX EX
-J
JYRGXMSR
E
F
G
XLIR XLIVI I\MWXW E GSRXMRYSYWP] HMJJIVIRXMEFPI
HIJMRIH MR E RIMKLFSVLSSH SJ
WYGL XLEX
-J [I LEZI
XLIR [I GER ETP] E WMQMPEV VIEWSRMRK ;I PP LEZI
XERKIRX L]TIVTPERIW ERH XLIMV WPSTIW ERH MX XYVRW SYX XLEX XLI GVMXIVMSR JSV
SRI ZEVMEFPI XS FI MQTPMGMXP] HIJMRIH EW E JYRGXMSR SJ XLI SXLIV ZEVMEFPIW MW
ZIV] WMQMPEV
8LQ 0IX
FI GSRXMRYSYWP] HMJJIVIRXMEFPI MR E RIMKLFSVLSSH SJ
E TSMRX
7YTTSWI XLEX
ERH
GSRWMHIV XLI IUYEXMSR SJ XLI PIZIP WIX EX
-J
JYRGXMSR
WYGL XLEX
E
F
G
XLIR XLIVI I\MWXW E GSRXMRYSYWP] HMJJIVIRXMEFPI
HIJMRIH MR XLI RIMKLFSVLSSH SJ