Section 4.3 Linear Transformation:
Definition of linear transformation: n A linear transformation L of R n into R m is a function assigning a unique vector L(u) in R m to each u in R n (denoted by L: V à W ) such that for n
u, v Î R , k Î R (a) L(u + v ) = L (u ) + L (v ) (b) L(ku ) = kL (u ) Note: n n If L: V à V and L is a linear transformation, L is also called a linear operator on V. L(u) is called the image of u and the set of all images of the vectors in R m is called the range of L. See Example 2­4 page 54­55 Sec. 1.5
Matrix Transformation n Let A be an m*n matrix. We defined a matrix transformation as a function L: R n m à R defined by L(u)= Au. We can easily show that every matrix transformation is a linear transformation. Since
(a) L (u + v ) = A ( u + v ) =
Au + Av = L (u ) + L (v ) (b) L (ku ) = A ( ku ) = k ( Au ) = kL (u ) Case of Matrix Transformation Reflection with respect to the x­axis n Projection into the xy­plane n Dilation n Contraction n Rotation counterclockwise n Shear in the x­direction n Shear in the y­direction
n Reflection – with respect to the x­axis n L:R 2 ­> R 2 is defined by æ é u 1 ù ö
é u 1 ù
L : R ® R , L çç ê ú ÷÷ = A ê ú =
ë u 2 û
è ë u 2 û ø
é 1 0 ù é u 1 ù é u 1 ù
ê 0 - 1 ú ê u ú = ê - u ú . ë
û ë 2 û ë 2 û
2
2 See Example 5 page 55 Sec. 1.5
Example of reflection n the reflection for the triangle with vertices (­1, 4),(3, 1) and (2, 6)
æ é- 1 ù ö é -1 ù æ é3 ù ö é 3 ù æ é2 ù ö é 2 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú, L çç ê ú ÷÷ = ê ú, L çç ê ú ÷÷ = ê ú
è ë 4 û ø ë- 4 û è ë1 û ø ë-1 û è ë6 û ø ë- 6 û
é1 0 ù é- 1 3 2 ù é - 1 3 2 ù
ê0 - 1 ú ê 4 1 6 ú = ê- 4 - 1 - 6 ú. ë
ûë
û ë
û
Plot for Reflection with respect to the x­axis Y­axis
X­axis Reflection – with respect to y=­x n L:R 2 à R 2 is defined by æ é u 1 ù ö
é u 1 ù
L : R ® R , L çç ê ú ÷÷ = A ê ú =
ë u 2 û
è ë u 2 û ø
é 0 - 1 ù é u 1 ù é - u 2 ù
ê - 1 0 ú ê u ú = ê - u ú . ë
û ë 2 û ë 1 û
2
2 Example of reflection n the reflection for the triangle with vertices (­1, 4),(3, 1) and (2, 6)
æ é - 1 ù ö é- 4 ù
Lçç ê ú ÷÷ = ê ú, è ë 4 û ø ë 1 û
æ é 2 ù ö é - 6 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú
è ë6 û ø ë - 2 û
æ é3 ù ö é - 1 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú , è ë1 û ø ë - 3 û
Plot for Reflection with respect to y=­x Y­axis
X­axis Y=­X Projection into the xy­plane 3 2 L : R ® R æ
ç
L ç
ç
è
é u 1 ù
ê u ú
ê 2 ú
êë u 3 úû
ö
÷
é u 1 ù
÷ = ê
ú
ë u 2 û
÷
ø
. See Example 6 page 56 Sec. 1.5
Dilation: 3 3 L1 : R ® R æ é u 1 ù ö
é u 1 ù
çê ú÷
ê
ú
L 1 (u ) = L 1 ç ê u 2 ú ÷ = r ê u 2 ú = ru , ç ê u ú ÷
ê
ú
u 3 3 ë
û
ë
û
è
ø
r > 1 See Example 7 page 57 Sec. 1.5
contraction 3 3 L1 : R ® R æ é u 1 ù ö
é u 1 ù
çê ú÷
ê
ú
L 2 (u ) = L 2 ç ê u 2 ú ÷ = r ê u 2 ú = ru , ç ê u ú ÷
ê
ú
u 3 3 ë
û
ë
û
è
ø
0 < r < 1 See Example 7 page 57 Sec. 1.5
Rotation:
æ éu 1 ù ö éu 1 ù
L : R ® R , L çç ê ú ÷÷ = A ê ú
è ëu 2 û ø ëu 2 û
écos (q ) - sin (q )ùéu 1 ù
=ê
ê
ú
ú
ësin (q ) cos (q ) ûëu 2 û
2 2 See Example 9 page 58 Sec. 1.5
o
Rotation: Example 90 ( )
( )
( )
( )
écos p - sin p ù é0 - 1 ù
2 2 ú =
A = ê
ê1 0 ú
p
p
êë sin 2 cos 2 úû ë
û
Thus, the rotation for the triangle with vertices (0,0),(1,0) and (1,1) is æ é 0ù ö é0 - 1 ù é0 ù é0 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê
= ê ú , ú
ê
ú
è ë0 û ø ë1 0 û ë0 û ë0 û
æ é 1ù ö
L çç ê ú ÷÷ =
è ë1 û ø
é 0 - 1 ù é1 ù é - 1 ù
ê1 0 ú ê1 ú = ê 1 ú. ë
ûë û ë û
. æ é 1 ù ö é0 - 1 ù é1 ù é0 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê
= ê ú, ú
ê
ú
è ë0 û ø ë1 0 û ë0 û ë1 û
Plot of rotation Y­axis
X­axis Shear in the x­direction:
æ éu 1 ù ö éu 1 + ku 2 ù
L : R ® R , L çç ê ú ÷÷ = ê
, k Î R . ú
è ëu 2 û ø ë u 2 û
2 2 1 k é
ù
•For example k=2.
A = ê
ú
0 1 û
æ é u 1 ù ö éu 1 + 2 u 2 ù
ë
ç
÷
L ç ê ú ÷ = ê
u ë
è 2 û ø ë
u 2 ú
û
Example : shear n Thus, the shear for the rectangle with vertices (0, 0), (0, 2), (4, 0) and (4, 2) in the x­direction is
æ é 0 ù ö é 0 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú , è ë 0 û ø ë 0 û
æ é 4 ù ö é 4 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú , è ë 0 û ø ë 0 û
æ é 0 ù ö é 4 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú , è ë 2 û ø ë 2 û
æ é 4 ù ö é 8 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú
è ë 2 û ø ë 2 û
Plot for shear Y­axis
X­axis Shear in the y­direction:
æ éu 1 ù ö é u 1 ù
L : R ® R , L çç ê ú ÷÷ = ê
, k Î R . ú
è ëu 2 û ø ëku 1 + u 2 û
2 2 •For example k=2.
é1 0 ù
A = ê
ú
ëk 1 û
ù
æ é u 1 ù ö é u 1 L çç ê ú ÷÷ = ê
ú
è ëu 2 û ø ë2 u 1 + u 2 û
Example : shear n Thus, the shear for the rectangle with vertices (0, 0), (0, 2), (4, 0) and (4, 2) in the x­direction is
æ é 0 ù ö é 0 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú , è ë 0 û ø ë 0 û
æ é 4 ù ö é 4 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú , è ë 0 û ø ë 8 û
æ é 0 ù ö é 0 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú , è ë 2 û ø ë 2 û
æ é 4 ù ö é 4 ù
L çç ê ú ÷÷ = ê ú
è ë 2 û ø ë10 û
Example Let
L : P 2 ® P 1 , L (a 2 x + a 1 x + a 0 ) = (a 2 + a 1 ) x + a 0 2 n where P n is the set of all the polynomials of degrees ≤ n . Is L a linear transformation? Yes; Since (a) for u = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 and any (
v = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 Î P 2 )
L (u + v ) = L (a 2 + b 2 )x 2 + (a 1 + b 1 )x + (a 0 + b 0 )
=
=
[(a 2 +
[(a 2 +
b 2 ) + (a 1 + b 1 )]x + (a 0 + b 0 )
a 1 )x + a 0 ] +
(
[(b 2 +
)
b 1 )x + b 0 ]
(
= L a 2 x 2 + a 1 x + a 0 + L b 2 x 2 + b 1 x + b 0 = L (u ) + L (v ) ( b ) for k Î R , ( (
,
L (ku ) = L k a 2 x 2 + a 1 x + a 0 )) = L (ka 2 x + ka 1 x + ka 0 2 = (ka 2 + ka 1 )x + ka 0 = k [(a 2 + a 1 )x + a 0 ]
(
= kL a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = kL (u ) )
)
)
Example: derivative Let L : P n ® P n , L is the operation of taking the derivative, for example,
( ) 2
L x = 2 x Is L a linear transformation?
Example: derivative n n -1 u =
a x +
a x +L + a 0 , (a) for any n n -1
n n -1 v = b n x + b n -1 x +L+ b 0 in P n ,
L (u +v ) =L ( a n +b n )x n +(a n - 1 +b n -1 )x n -1 +L +(a 0 +b 0 ))
=n (a n +b n )x +(n -1 )(a n -1 +b n -1 )x +L+(a 1 +b 1 )
n -1 n -2 [
][
]
n -1 n -2 n -1 n -2 (
)
= na x +
n 1 a x +
L
+
a +
nb x +
n 1 b x +L+b 1 (
)
n n -1 1 n n -1 .
=L (a n x +a n -1 x +L+a 0 ) +L (b n x +b n -1 x +L+b 0 )
n =L (u ) +L (v ) n -1 n n -1 Example: derivative (b) for k Î R L (ku ) = L (ka n x + ka n - 1 x n n -1 ,
+ L + ka 0 )
= nka n x n -1 + (n - 1 )ka n -1 x n - 2 + L + ka 1 [
]
= k na n x n -1 + (n - 1 )a n -1 x n - 2 + L + a 1 = kL (a n x n + a n -1 x n -1 + L + a 0 )
= kL (u ) Hence L is a linear transformation.
Theorem 4.6 Let L: V (R n ) àW (R m ) be a linear transformation. Then, n for any vector v 1 , v 2 ,… , v k and any scalars c 1 , c 2 ,… , c k , then
L(c 1v 1 + c 2 v 2 +L + c k v k )
= c 1 L (v 1 ) + c 2 L (v 2 ) +L+ c k L (v k ) Theorem 4.5(extension) If V is an n­dimensional vector space and
S = {w 1 , w 2 , K , w n } be a basis for V. If u is any vector in V, then
L (u ) is a linear combination of
.
L (w 1 ), L (w 2 ), K , L (w n ) Theorem 4.7 Let L: V (R n ) àW (R m ) be a linear transformation. Then, n L(0 v ) à 0 w , where 0 v is the zero vector in R n and 0 w is the zero vector in R m . n L(u­v)=L(u) ­ L(v), for u and v in R n .
Corollary 4.1 Let T: V (R n ) àW (R m ) be a transformation. n If T(0 v ) <> 0 w , where 0 v is the zero vector in R n and 0 w is the zero vector in R m . Then T is not a linear transformation.
Theorem 4.8 Let L: R n àR m be a linear transformation. Then there exists a unique m*n matrix A such that,
n L ( x ) = Ax , x Î R ,where
A = [L (e 1 ) L (e 2 ) L L (e n )] and
é 1 ù
é 0 ù
é 0 ù
ê 0 ú
ê 1 ú
ê 0 ú
e1 = ê ú , e 2 = ê ú , L , e n = ê ú
ê M ú
êMú
êMú
ê ú
ê ú
ê ú
0 0 ë û
ë û
ë 1 û
Example æ é x 1 ù ö é 2 x 1 + x 2 ù
L : R ® R , L ( x ) = L çç ê ú ÷÷ = ê
. ú
è ë x 2 û ø ë 3 x 2 û
2
n 2 Please determine the matrix such that
L(x ) = Ax , x Î R 2 é2 1 ù é x 1 ù é2 x 1 + x 2 ù
L( x ) = Ax = ê
=ê
ê
ú
ú
ú
ë0 3 û ë x 2 û ë 3 x 2 û
solution
æ é 1 ù ö é 2 × 1 + 0 ù é 2 ù
col 1 ( A ) = L (e 1 ) = L çç ê ú ÷÷ = ê
= ê ú
ú
è ë 0 û ø ë 3 × 0 û ë 0 û
æ é 0 ù ö é 0 × 2 + 1 ù é 1 ù
col 2 ( A ) = L (e 2 ) = L çç ê ú ÷÷ = ê
= ê ú
ú
è ë 1 û ø ë 3 × 1 û ë 3 û
A = [col 1 ( A ) col 2 ( A )] = [L (e 1 )
.
é 2 L ( x ) = Ax = ê
ë 0 é2 L (e 2 )] = ê
ë0 1 ù é x 1 ù
é 2 x 1 + x 2 ù
= ê
ê
ú
ú
ú
3 û ë x 2 û
ë 3 x 2 û
1 ù
ú
3 û
More examples Example 2 on page 249 n Example 3 on page 250 n Example 5 on page 253
n 2.3 Computer Graphics: n n n n n n n n Reflection with respect to the x­axis Projection into the xy­plane Reflection with respect to y=­x Dilation Contraction Rotation counterclockwise Shear in the x­direction Shear in the y­direction
How to find the transformation matrix? æ é 1 ù ö
æ é0 ù ö
Lçç ê ú ÷÷ = ?, L çç ê ú ÷÷ = ? è ë0 û ø
è ë1 û ø
The answer is
é æ 1 ö
æ 0 öù
A = ê L çç ÷÷ L çç ÷÷ú
0 1 è
ø
è
øû
ë
Matrix for Reflection with respect to the x­axis
æé 1 ùö é1 ù æé0 ùö é 0 ù
Lççê ú÷÷ =ê ú, L ççê ú÷÷ =ê ú
0 0 1 1 ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
è ø
è ø
(0,1)
Hence (0,­1) (1,0) (1,0) é æ 1 ö
æ 0 öù é1 0 ù
A = ê L çç ÷÷ L çç ÷÷ú = ê
ú
0 1 0 1 è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
Matrix for Reflection with respect to y=­x
æé 1 ùö é 0 ù æé0 ùö é-1 ù
Lççê ú÷÷ =ê ú, L ççê ú÷÷ =ê ú
0 1 1 0 ë
û
ë
û
ë
û
ë
û
è ø
è ø
Hence (0,1) (1,0) (­1,0) (0,­1) Y=­x
é æ 1 ö
æ 0 öù é 0 - 1 ù
A = ê L çç ÷÷ L çç ÷÷ú = ê
ú
0 1 1 0 è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
Matrix for Rotation counterclockwise 30 o
æ é 1 ù ö é cos 30 o ù é 3 ù
ê
2 ú , L çç ê ú ÷÷ = ê
=
ú
o è ë 0 û ø ë sin 30 û êë 1 2 úû
æ é 0 ù ö é - sin 30 o ù é - 1 2 ù
ú
L çç ê ú ÷÷ = ê
= ê
o ú
è ë 1 û ø ë cos 30 û êë 3 2 úû
Hence é æ 1 ö
A = ê L çç ÷÷
ë è 0 ø
(0,1) (cos30 o , sin30 o ) (­sin30 o , cos30 o )
é
æ 0 ö ù ê
L çç ÷÷ ú = ê
è 1 ø û ê
êë
(1,0) 3 2 1 2 - 1 ù
ú
2 ú
3 ú
2 úû
Matrix for Shear in the x­ direction:
æé 1 ùö é1 ù æé0 ùö ék ù
Lççê ú÷÷ =ê ú, L ççê ú÷÷ =ê ú
0 0 1 1 ë
û
ë
û
ë
û
ë
è ø
è ø û
(0,1)
(k,1) (1,0) (1,0) Hence é æ 1 ö
æ 0 öù é1 k ù
A = ê L çç ÷÷ L çç ÷÷ú = ê
ú
0 1 0 1 è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
Plot for shear Y­axis
X­axis More examples Example 1 on page 136 n Example 2 on page 137 n Example 3 on page 137 n Example 4 on page 139 n Example 5 on page 140
n Cryptography:
Example Suppose we want to send the following message to our friend, MEET TOMORROW For the security, we first code the alphabet as follows: A B … X Y Z 1 2 … 24 25 26 Thus, the code message is MEET TOMORROW
M E E T T O M O R R O W 13 5 5 20 20 15 13 15 18 18 15 23 Example­­continued The sequence 13 5 5 20 20 15 13 15 18 18 15 23 is the original code message. To encrypt the original code message, we can apply a linear transformation to original code message. Let
L : R ® R , L (x ) = Ax , 3 é 1 A = êê 1 êë 0 2 1 1 3 3 ù
Then, we break ú
2 ú the original 2 úû message into 4 vectors
where é 13 ù é 20 ù é13 ù é18 ù
ê 5 ú , ê 20 ú , ê15 ú , ê15 ú
ê ú ê ú ê ú ê ú
êë 5 úû êë15 úû êë18 úû êë 23 úû
Example­­continued and use the linear transformation to obtain the encrypted code message
,
æ é 13 ù ö
é13 ù é1 2 3 ù é13 ù é38 ù
ç ê ú÷
L ç ê 5 ú ÷ = A êê 5 úú = êê1 1 2 úú êê 5 úú = êê28 úú
ç ê 5 ú ÷
êë 5 úû êë0 1 2 úû êë 5 úû êë15 úû
è ë ûø
æé 13 ùö é13 ù é1 2 3 ùé13 ù é97 ù
çê ú÷ ê ú ê
L çê15 ú÷ = A ê15 ú = ê1 1 2 úúêê15 úú = êê64 úú
çê18 ú÷ ê18 ú ê0 1 2 úê18 ú ê51 ûë û ë úû
èë ûø ë û ë
æ é 20 ù ö
é20 ù é1 2 3 ùé20 ù é105 ù
ç ê ú÷
Lç ê20 ú ÷ = A êê20 úú = êê1 1 2 úúêê20 úú = êê 70 úú
ç ê15 ú ÷
êë15 úû êë0 1 2 úûêë15 úû êë 50 úû
è ë ûø
, and
æ é 18 ùö é18 ù é1 2 3 ùé18 ù é117 ù
ç ê ú÷ ê ú ê
Lç ê15 ú÷ = A ê15 ú = ê1 1 2 úúêê15 úú = êê 79 úú
ç ê23 ú÷ ê23 ú ê0 1 2 úê23 ú ê 61 ú
ûë û ë û
è ë ûø ë û ë
Example­­continued Then, we can send the encrypted message code 38 28 15 105 70 50 97 64 51 117 79 61 Suppose our friend wants to encode the encrypted message code. Our friend can find the inverse matrix of A first,
é1 2 3 ù
A - 1 = êê1 1 2 úú
êë0 1 2 úû
-1 é 0 1 - 1 ù
= êê 2 - 2 - 1 úú
êë - 1 1 1 úû
Example­­continued and then
é38 ù é 0 1 - 1 ù é38 ù é13 ù
A - 1 êê28 úú = êê 2 - 2 - 1 úú êê28 úú = êê 5 úú
êë15 úû êë- 1 1 1 úû êë15 úû êë 5 úû
é97 ù é 0 1 - 1 ù é97 ù é13 ù
A- 1 êê64 úú = êê 2 - 2 - 1 úú êê64 úú = êê15 úú
êë51 úû êë- 1 1 1 úû êë 51 úû êë18 úû
,
é105 ù é 0 1 - 1 ù é105 ù é20 ù
A - 1 êê 70 úú = êê 2 - 2 - 1 úú êê 70 úú = êê20 úú
êë 50 úû êë- 1 1 1 úû êë 50 úû êë15 úû
,
é117 ù é 0 1 - 1 ù é117 ù é18 ù
A - 1 êê 79 úú = êê 2 - 2 - 1 úú êê 79 úú = êê15 úú
êë 61 úû êë- 1 1 1 úû êë 61 úû êë23 úû
Thus, our friend can find the original message code 13 5 5 20 20 15 13 15 18 18 15 23 via the inverse matrix of A.
Example­­continued Similarly, if we receive the following message code from our friend 77 54 38 71 49 29 68 51 33 76 48 40 86 53 52 and we know the message from our friend transformed by the same linear transformation
é1 2 3 ù
ê
ú
3 3 L : R ® R , L (x ) = Ax = ê1 1 2 ú x . êë0 1 2 úû
Example­­continued Thus, we first break the message into 5 vectors,
, é 77 ù é71 ù é68 ù é76 ù é86 ù
ê54 ú, ê49 ú, ê51 ú, ê48 ú, ê53 ú
ê úê ú ê ú ê úê ú
êë38 úû êë29 úû êë33 úû êë40 úû êë52 úû
, ,and then the original message code can be obtained by
1 - 1 ù é 77 71 68 76 86 ù
é 77 71 68 76 86 ù é 0 A - 1 êê 54 49 51 48 53 úú = êê 2 - 2 - 1 úú êê 54 49 51 48 53 úú
,
êë 38 29 33 40 52 úû êë - 1 1 1 úû êë 38 29 33 40 52 úû
é16 20 18 8 1 ù
= êê 8 15 1 16 14 úú
êë15 7 16 12 19 úû
Example­­continued é 16
ê 8 ê
êë 15 20 18 8 15 1 16 7 16 12 1 ù
14 úú
19 úû
Thus, the original message from our friend is 16
8 15 20 15 7 18 1 16 8 16 12 1 14 19 P H O T O G R A P H P L A N S PHOTOGRAPH PLANS