SPECTRUM OF A VISCOELASTIC BOUNDARY DAMPING MODEL

 ! "##
! "# $%&' ! (
) !* ! & + ,- . ,)
-& "!+# !/ / /! + ! )#/&&#
) "!+# ! ! &/ ) + ' -/ &/
"!+# +& ,) +# ! ) ! ,- /
/! + )+ $ + 0$+/1 +-& !/
! #&! + ) + /& / ) ) + ' 2* &
! # " +"++&# &, )/ / ! /+ ! "# *+-$
) 2/ ' $ -& / ) + +"++&# &/ )
$+# 2/ ) //*/ ) -& 3 + &
+ 1 / ' */- #* ! / *& +/'+ 45 !/
6 + ,) $ / ,)& /#/ "! !
! " # $
" % &
' " "
7898 ++#
:;8; ':;78
<=8;
- .
"!+#
!/
+#
#* -// !*$ /* + ! # + / >
)/ ,+3 ,/ /**+ ! "# ) $+ / ++ )%/) )/) *"&3 ?3
788=@A ) 0+/ )+ ,/ /**+ ! "# * 6&'+/)$/" + ) * +$
! ?+&& %88: ) / ! ! )+! )+/ , + /**+ ! "# ) $+
' /+# ' ! B) ! *+/ ' ) 6 ) *"& 8879C78A:D
- ! "# ) !+/ "++# 9: 788D ! + -/ ! '+ $/ C
788D
$#"%##&' ("##((()#
­
()
*+,-! . "## ./+ 0 !1 01!-1!.2 2!
())
$ % " * $+% # *
" ,
)
! ! - # , " Ë"
% # "
.
! / # " * 0
1 Ë" Ë" 2 Ë" 1 " % 0#
%% 3" #" 4 " , # * " * Ë $ + Ë
' % 0 %# 0 1 " 0 & # %# 0 $ % * % # #
% -
0
" # " 4 " %
0 0&
# % % % # 0# %&
%" # 0 # % E ().
%" " - + 5 0 # 0 # Ë # Ë 1 " Ë" 1 # % " #% #
# 1 6 #" + " # # % " 1 " % " " " #
# # # 6 $ % #
6 - % #
!"# $ + #7 ,#"
!" # $ * " " 0
8 4 + 3) !" # $ 0 ¾ !"$# $ 0 % % 4#" # 3 + 3) 0 Ë %# 0 8
$
." $
9. $
()7 3"
% 3) 3. Ë $
." $
9)
4 0
8 # " : 2; % % : % 1 # 4 *
). " # #
()9
3 3) 0 # " 3" 3) 1 % # # $ <=> % * " 1 " 1 ? 7 1 1 5" #"
@ + 8" , % " %
% &'()&* $ % % Ë $ #
3) &(() 3 Ë * - # , . # " % " % # ! ! ;# +% % #" # &(() Ë
A Ë $ 0 "
" " ! B#% 8 , # " % % E ," !
! ()(
;# +% %# " 3" # " # $" 0 # 8 A *
# " 2 $ # , 0 &
% + $ 7 " # #
#" 0
B" # " , " &(() $
1 " % $ 8 % 5 $
# % 8"
" % $ ,)(-'& .& &/)' - &
" " ()C
.&&( $
3
3) Ë 3)
Ë $ , ! ! 4 % 6 , ! # 7
! ! ! ! ! ! 4 0 # &
57 %
! - %
9
! !
! - <=> 5 ! $ )&
" 5 ! ) " ) " 0 '
! " Æ " #
% Æ ! E ()D
" % 3) " , # Æ ) <=> # 0# 5 ! " " 9
$ " $ ;# 3)" " % ! ,)(-'& ) 1')' () - " 2
# " " 0
% % - % + # #" " " % 2
! * " " # " $ " % %
2
# " "
" # " " Ë ¾ ¾ ¾ ¾ ! # (
&(() $
- % , ! ()E
?
" $ ,
, ! # ! ! 4 % ¾
¾ $ # #
!
# ! # !
! ¾
¾ ! ! # $
!
¾
¾ ! ! # ! ¾
¾ ¾
¾ ! ¾
¾ 4 0 # #
5" "
!
! # ¾ ¾
! #
$ , (
3" 3) 3.
.&&( Ë 4 " , ( ! E ()F
@ + 8 % , " % 1 + % 0
" + # #
# " ! # % ! # % " % ! # % - &- * % 3.
- 0
% # % ! # % ( 2; @
" ! # " % Ë
1 " " 8 % ¾
¾ % ¾ ¾ ) ! # %
A" # " ( - %
&
" # %& (
@ % ! # % " ( #
% % ! % % ¾ ¾
¾ ! #
%
¾ ¾
¾ % ¾¾ ! % ! # ) ! % A
#" % ! # % " ( % ! % ! % ¾ ¾
%
! # !
%
¾
¾ ) ! % " $ A (.
&- - # % 80 0 # #
! # ! # % ! # - # 0 $
0 , #
! #
A ! #
" # % 1 ! #
% " %# %
"
! #
! #
)
! #
8 # "
# " ! #
% $ A ! " # ¾
$ #
¾ ' " % ¾¾ ¾ 8
! #
" ! #
! #
! #
9 ! #
% 9%
% 9% 9 % % ! E (.
$"
! #
! #
% % $ 8 A )
$ A ) , 8 % ! # % ! # % ! # ! # % ! # &- $ 2 # A 0 , Ë # " C
>
¾ ·¾
¾ ·¾
¾ ·¾
! # $" # A " ;# A ) ! # ! #
!
%
%
"
¾ ¾ ! #
$ ,# 0 % # " " ! ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ·¾
! #
¾
¾
(.)
A ¾ ¾ ¾ ¾ ! # # 3) $
3 3) Ë .&&( $
4 " , %
* # 80" ! ! !
¾
¾
¾ ¾
! # - +% , 5 $ &
" 5 " 0
/% <=> 8 5 %
5 $ 80 ? ! "
0 $ % ! % 0# 5 ;
#" Æ
! # 0 2 ! ¾¾ ! ¾ ¾
E (..
- % 6
D
¾ ¾ ! ¾ ¾ ! ! #
¾ ¾
!
! ! ¾ · ¾
¾ · ¾
!
! ¾ ¾
¾ · ¾
¾ · ¾
¾ ¾
¾ ¾
! "
;# 3) " 0 Æ ;# #" 0 & ! &
$ 0 " ! #
! #
! " " Æ
9& Æ
9& @ 6 % 0
0
D +
! ! ! ) ¾¾ ¾ ¾
¾¾ ¾ ¾
! ! ) ¾ ¾ ¾ ¾
¾ ¾ ¾ ¾
(.9
2 ! # ! ! # #
¾ ¾
#
¾ ¾
!
@" 0
¾ ¾
¾ ¾
¾ ¾ !
¾ ¾
¾ ¾
)
´ ¾ ·¾ · µ ¾ ¾ )
´
¾ ·¾
µ ¾ ¾
!
$" 6 % "
¾ ¾
* Æ " 0 $ 0 " " " ! # )
¾ ¾ ¾ ¾
Æ) .)ÆÆ
Æ
)
Æ Æ
.) E (.(
$" 0 & Æ Æ"
" ) Æ
)Æ ! & 9Æ& ! ) .)ÆÆ ƽ
Æ
!
Æ
- % % A
Æ <=> # 0# 5 ! "
# <% " , 5 !" 1 Ë # %# 0 ;" # " % # $ 7 "
&
# ,)(-'& .& * - &
! ' 7 ! ' &(() Ë E
F
$
#
( % ! ( %
%
$ $
%
! (% ( ! ( (% %
(
$ , ! ! ! $ ,
% )"
¾
¾
' % )" ¾ ! ! ¾ ¾ " " % ) )
%
%
! %
) )
(.C
- %
@ $) $)"
% ) %¾G ) G " G ) $)"
G ) $)" $ " ¾ G # G # " # # $ " $ $ , , #
$
#
% %
! % % $
3% , % $
3 3) Ë .&&( $ # # 6 ,&
%" $" F" A D % % E * ( ! * Æ
* * " )
( % )
%
+ % %
$
!
H H )
% ( % %% ! %
%
+ ; + $
! $H H )
2 ( " ( > % $"
$ " % $ # # " * E (.D
$ # F *
)
+ ! + - $ A + # 5 " % .D)" ,# + .
! + - % Ë # 0
$ .
/% )+ + + #
0 + % " F) " 80 $ "
9
+ )$ ! 9 ! , + )$ ! 9 ! , 2 " # $ 4 # # 3) " <=>
5 % 5 " + )$ ! 9 ! + ,
B 8#" 5 " "
! )$ ! 9
0
$ ! ) * ) $ % ! 0# 5 * ! " 0 ;
&# " Æ"
Æ (.E
Æ) - , ! ,
! , " )$ ! 9 )$ ! 9 $ )&
$" 0 & &) " 0 A " " # 5" " " %
# $ 0 ! , $" ,
0
Æ
)&
"
&
!
)
)
Æ
Æ
&
Æ $" # <=> " " 5 ! " # " # A # " , 5 <I@I<I2 IA
"+- ! $ - +
, B+3 9DC;
&"%(//+ +>// ! F) + ! +/ 4788D5 7<< 7A7
(+3)G ! % ! 7! !
(&/! && &) //)/ / 9DCD
E (.F
/) /$- & ! +*/ "# 1 $ $+* + 478985
=8; =9;
+*/ ! +>// $+& ./ ! **&/ 49DDC5 DD 97:
! % +,%&& , B+3 9D<=
!! + & ' + E- +/# + // + 9D=9
!"#" $
+
%& ' $( ) ( *'''
! #! ,- ./ ) &0
!
+
%& ' $( ) ( *'''
! #! ,- ./ ) &0
!
!"#" $
""