Goodstein Sequences
The lonely passion of Phil Ramsden
What’s a Goodstein sequence?
• Think of a number:
– Let’s say 77
• Express it in “binary”:
– 77 = 26 + 23 + 22 + 1
• Express all indices in “binary”:
– 77 =
2 +21
2
2
+
1 +1
2
2
+
1
2
2
+1
• Express all indices of indices in “binary”:
– 77 =
1
2 +21
2
2
+
1 +1
2
2
1
2
+2
+1
Iteration
1
2
2 +21
21 +1
• 𝑔2 = 2
+2
• Increase base by 1:
–
1
3 +31
3
3
+
1 +1
3
3
1
3
+3
31 +1
31
+2
+1
• Subtract 1:
1
3
3 +31
–3
+3
+3
• 𝑔3 = 205891132094757
21
+1
Iteration
• 3
1
3
3 +31
+
1 +1
3
3
+
1
3
3
• Increase base by 1:
–
1
4 +41
4
4
1 +1
4
+4
+
1
4
4
• Subtract 1:
1
44 +41
–4
• 𝑔4 = ⋯
+4
41 +1
+ 3 × 43 + 3 × 42 + 3 × 41 + 3
Iteration
• 343239883006530485749095039954069660863471
765007165270469723172959277159169882802606
127982033072727748864815569574042901856099
3999858321906287014145557529855
• 𝑔4 = 3.43 × 10156
Iteration
• 4
1
4
4 +41
+
1 +1
4
4
+ 3 × 43 + 3 × 42 + 3 × 41 + 3
• Increase base by 1:
–
1
5 +51
5
5
+
1 +1
5
5
+ 3 × 53 + 3 × 52 + 3 × 51 + 3
51 +1
+ 3 × 53 + 3 × 52 + 3 × 51 + 2
• Subtract 1:
1
55 +51
–5
• 𝑔5 = ⋯
+5
Iteration
•
5971914368579617251113764249074889372494003278094044803560977466395376657008174384412685582
8741870320799576254868576944854975399646056467884012817091124581315248809273662365682477551
8855639878508117354258156562963328476066608677578878591592014742801650861339123980473248549
2320247166310020755884411834903507976315843908465827107446471410781094551831857692322448473
0620285427868122753982307513485913651735211987386690690791610813479803916429644903411243084
0727583268494682442259464667679023028569577541028669925667601790725514150931089644555076675
6931305228827939273883810500246002230740851110329519862981082503704214043102248483107829713
2273413175182778528467037186248396443735723364591812907411755112268577492067631876590158733
4313902229126604112730979447043812147678136978062889390686566708561617471571059216851192911
1834365143436858690837633820112793074832297704446299075946351382454734632239034272767850536
5878851024702556789635234691023336947419093309021365891312522241671632934791321898629599388
4064852399310422595687693214378892266950956564654626702057720256453432082599800300121480080
7846084607314488396801802195935183281104868675994293445471535410072796074782324863004151043
9775989484320567038339437634618721396503243880855260150028246049881653738550080722524427302
3044541663399780283501715811131689652758122263931825743624332336401348648050288632840741097
4371691950819594437707145271462089719321815227508002165943591502596328263120077489975184090
0534760224759420486966148337349919704625825145214187585437308149956077061296929768342681607
7365159387990214915907410150792294949776686749609205780328136945316402901250570809392578526
9336343556388772937944834568924329079140734119342467834997830194339103009960942948549875881
8782444113001517035032478541008010383148951132396509276569026234254463452648097312239675707
8108926151635847772904623962776409189341859720203420043096719461420516604068334572975413446
3939123232441874408004377039360314786846164722080573419295758389752987920772899214325744609
0614648595390762319319755979913220439584855417945266988926993188928176706038067314173387300
4453332655807938533583271419340671291983660828223449360679930819628680183086544275283813478
1717
Iteration
• 𝑔5 = 5.97 × 102187
Iteration
• 5
1
5
5 +51
+
1 +1
5
5
+ 3 × 53 + 3 × 52 + 3 × 51 + 2
• Increase base by 1:
–
1
6 +61
6
6
+
1 +1
6
6
+ 3 × 63 + 3 × 62 + 3 × 61 +2
• Subtract 1:
1
66 +61
–6
• 𝑔6 = ⋯
+6
61 +1
+ 3 × 63 + 3 × 62 + 3 × 61 + 1
Iteration
•
1240638920895809486328662256511227299639036456957935881716131522267754640094758810079653460178305280019615524979534976881448699187459400752031657339831
5595973249430576523440185831051065840823717168658925667708378826419564483726742473220414046038821402216195753547233092484893443151076282089732669442115
8818715063819070831102898433582849805639496684098791754228002139303960135599044275926326063378080921941923600014665897682118662509917716606670650504581
6529673823055163030836855430338558153036648518725921932619604718682719842687289150188425508079846925001319639746830251872587185101985331386233427388001
4538762368347196161056952044591881602820084549709265274437315903098420352337460459944617980511092018716003880752279261048549181096536319290387992896718
3073169114629022979096074429397601370296821403026745298157064161549232613558232553561069429340486277172491774244639412880784295679107574269074816398445
3536630540278893817038377570289911336317768880364459985132278728955147231979277064001224793024411605803902451362050918948584676747994615044402519086889
3023566916333430078757703111251488471578780052896644177721015061278335143355222068507852326233681351447891838116182260382655839652750705179647134406409
1409651898487978559923327638346349764806223276880019953288709397605505274936732642538061902698937146168291470026396520542425915608705058533323222205817
5772835895741344785045656351161521793613305967326370101942110325797165667729763296614185908773387578595873951014399056823838750755886482567551920303054
0058722817172559656151281874115329237814808060864166768565085208250855368934547898514328122359209831377820117849082556406124947779089594052371038540491
2393495542032624181397262726108173887456909476384559223794798802648457940455953685867078270973398468192438655914738967302735783669402562069890555066370
0593503974172153547097867033190544016667841943255489278032063855466068903469925840978357776348718692715312998332212023472332397718538188977600795878409
9587735512830952030098435319824025625875212048469466756364543917940944216034667828371408970956480560119382003448295119677637828441087890933691004268783
8206458005421479735394995453479886087352085522965085190805938680287819141035381803442859323454102021462368987671066030649775309955849215342371127732728
4497713953139149902377572005600659404180312946770741037271770739539362902319030212086478665181858344429871607319799393639598283650054176246090802188560
3522607450404301093453428803625848996424375770047949410820494150223876535863755732219123312596204720086884299613550649025347897595418660455775598894232
1322666150830886176960269227757949936779170076089477461802300435495966144756762596070022740703228124493308371788750112160102987589784981452022668813176
7375795126212184466948340028025363442666994544198646825960839553090843218006650275836224100400451094962883760913790273281992637307981541339562777403874
9738794669184736345790744369064415839512552064854564505424267111671106668136146969544162166677070221070224767087287561147332079131562233445463641763619
6052587147733648592607866807824990675438261620787006210884230181451851461952519756797373759640205722272825718189610899025858593835961012666191813753785
9820720242258994210956257087254952778895478417952916509996754038131305794888245768974115789959166622812418869738046648742772864303036393058516439240752
6719404378599784529316594255578887424019542874248577281942519860546827530405761475247538289372781585707065932834064321045327901803711204123288333267222
9901364824595568058860464555923936684798440047659705473656240729919194560735308313956628160865556620203570298257596850498314253899796650939505844546877
5301337688641049033154344439324856495470195080456811698367459727926382609932361415468516348116435251669850005672096779563461131511614321046716523496284
0445146661078411077598884400454897650415515288881883107121926820048553747389363701366311876661215897271631610720612673991240703067511079303489261167665
4305349738643379141793707871879394789791732474112202951866024409277746150769245743896581131879372523180488943284694409809377131993539904014629092343185
8163354189045455818696423301768903518602771099619120286530247012518233167509526382247428656607566049739905515975221990194534048965876711304571520827349
0555562508143684195228213486871540350527659788530280480051198996077810421332759721129077535647158848228465528843100216222138463920190893847298801509725
2615376857275115933889777828758022488087800110967812542991321852799447961242316925990160210015883833804765369235250438544839947554155450101317225876624
0447625210801835501777825600061241567457364060810108994187190474629733848439603623305069382916599358134493423323228084293561853737587654873281068178334
4510052562863837249804399656998880162265460735176367405836936528271897275845436737754616671166523212922912030711650507772147211388346334513975482464006
8733829387558182113330423858891349932481958581710923710228314534437983992193511394949839998124905535136194189102141692982123707879726091982724493016556
5438253110909895269439257976035183370140577297945077830432027751722090795083914394249655746597855066280827948294235913823156706814118444902040347735408
5292195276549567678616907848435049523938681966197173279724378180890026720089169173451017966390466579593580207447338419723565306398452295868299188950047
4125319681238510851121663145051590018101601410928378191081007860578761527596761286435509521990166915881520952850951406528782431659553512627865551690603
2976094264136443264623651673409390689786023514933200473955644209061733438176435401027804393655693313441791787128548153266461223237964082570896580659836
3774329932066848001322729048118133280254269307405332109637986999185755125579734941849825053285165732584849885232292149055059286275419588168449336264493
2896489901478751818951396775299787962763946362126014567431179339587716176482078505784012271258679710120380930973520535939053205521919801021886103301937
6460714842805483732179846138260706714876730841201666986364852982640040144783989859734798758362468320242058156575099618796195788775756974492807581313966
8500854650983952364315156318531392548183138973532321757126736886868207480851920604124912337175195478948501957134550467060683977557781909519061998386956
9264863841015077127889268875396599272913999526276631469687006460714769980251648504203583520100245247651151610075696409813226770307257187640447695067013
9235941373134144205287595370751469949462519140637519656007923848514427389170950821959979692754269013696796585377526843474171395066338252727194876830101
0014336384137514529413466165492720834879912904746122875675116314785693708349789660156782153023390754912172198913952605196676172808122932884827748282332
9400491752009021707816807696865263177440583569031167186038117424778212561146668808875145320094065609332427328203376522082026366424606224586347243417513
7270066518942645549170844278779776264951530555942873698926191842955223723559311949276505359210323422683212003857163205586754973673605716810718769764896
4968700307633346321850403858243799253603211631601814082050523932966259280146665862063575247753160978845635288096555962078208683186495562988673534438401
8338238255063618877569302986155334755289554477811059624464919482200293339433165575184682655908812001277784887785567550373175158713186431284153801317112
2779178343657648525549119130874163658802875043361496247860083965138705405702591219383553489651473492450463762369831587667006456681487100220743258727727
6460057154099981621492050059411146305981415064322022856292727578380918408454100318556785303162036532485283754830642196670560840976985080834903450313699
8615323232271003875425089935433682788658624774546576760391827445074882194826001927619049135438363120976576244198618602739787909343239757665237469656823
9671848075818086666873647852689516818182527342222548567757291370742463759479649251066305065566976718119260919148549641895821621635841944959655235738667
6213783121912163044040434887025593742993436658615175984240692182102887627123407151467309173759405784935808767837698474445363363222458579186726957545098
Iteration
• 𝑔6 = 1.24 × 1036310
Question
• What’s the long-term behaviour of this Goodstein
sequence?
Amazing Fact 1
• This Goodstein sequence eventually hits zero.
Amazing Fact 2
• All Goodstein sequences eventually hit zero.
Amazing Fact 3
• But this wasn’t proved using the axioms of
arithmetic.
Amazing Fact 4
• This can’t be proved using the axioms of arithmetic.
• Nonetheless, it’s true.
Amazing Fact 5
• So “All Goodstein sequences eventually hit zero” is a
natural Gödel sentence for arithmetic.
This kind of blows my mind
• But I'm not sure I can easily explain why to nonmaths types.
• Any ideas… ?