‫شابتر ‪9‬‬
‫‪graph G =(V, E) where:‬‬
‫الرؤوس‬
‫(‪V: set of vertices (nodes‬‬
‫االضالع‬
‫‪E: set of edges.‬‬
‫‪F: is a function that maps set of edges E to set of ordered or unordered pairs of elements V.‬‬
‫هي العملية التي تحدد نوع العالقة بين الرؤوس سواء كانت مرتبة او غير مرتبه‬
‫)}‪Ex: G =({1,2, 3}, {e1, e2, e3‬‬
‫} ))‪F = {(e1,(1,2) ), (e2,(2,3)), (e3,( 3,1‬‬
‫يعني رح نمثلها بغطالق سهم من ‪ 1‬الى ‪ 2‬ومن ‪ 2‬الى ‪ 3‬ومن ‪ 3‬الى ‪ ......... 1‬بالترتيب‬
‫انواع التمثيل‬
‫‪Types of Graphs:‬‬
‫‪1. Simple Graphs‬‬
‫يحتوي على ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫عدة رؤوس ‪.‬‬
‫عدة اضلع او روابط "غير" موجّهه تنطلق من رأس آلخر دون تكرار ‪.‬‬
‫‪2. Multigraphs‬‬
‫يحتوي على ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫نفس محتويات الرسم البياني البسيط ‪ ،‬باالضافة الى ان هناكـ اكثر من ضلع يربط الرؤوس ببعضها البعض ‪.‬‬
‫‪G=(V, E, f ) consists of a set V of vertices, a set E of edges and a function f:E{{u,v}|u,vV  uv}.‬‬
‫(‪The edges e1 and e2 are called multiple (parallel( edges if f (e1) = f (e2‬‬
‫‪3. Pseudographs‬‬
‫يحتوي على ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫خصائص الرسم المتعدد ‪ ،‬باالضافة الى وجود الـ ‪ loop‬اي ان كل رأس يرتبط بنفسه ‪.‬‬
‫‪G=(V, E, f ) where f : E{{u,v}|u,vV} , Edge e  E is a loop if f(e)={u,u}={u}.‬‬
‫‪4.Directed Graphs‬‬
‫يحتوي على ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫روابط موجّهه ‪ ،‬اي ان الروابط تنطلق بترتيب معين ‪ ...‬كما يسمح بوجود الـ ‪. loop‬‬
‫ال يسمح بوجود الروابط المتعددة ‪.‬‬
5. Directed Multigraphs
: ‫يحتوي على‬
. ‫ باالضافة الى انه يسمح بوجود روابط متعدده بين الرؤوس‬، ‫نفس خصائص الرسم الموجّه‬

G=(V, E, f ) consists of a set V of vertices, a set E of edges, and a function f: E V  V.
::..Graph Terminology..::
Undirected Graph: Adjacency
Let G be an undirected graph with edge set E. Let e E where e = {u,v}. Then we say:




u, v are adjacent / neighbors / connected.
Edge e is incident with vertices u and v.
Edge e connects u and v.
Vertices u and v are endpoints of edge e.
Undirected Graph: Degree of a Vertex
Let G be an undirected graph, vV a vertex.



The degree of v, deg(v), is its number of incident edges. (Except that any self-loops are counted twice.)
.‫ درجة التمثيل هي عدد الروابط الصادرة من والى الرؤوس دون تكرار‬: ‫اذن‬
A vertex with degree 0 is isolated.
A vertex of degree 1 is pendant.
: ‫هذا قانون لحساب درجة التمثيل غير الموجّه‬
 deg( v)  2e
vV
E = edges
V= vertex
2 X ‫ درجة التمثيل تساوي مجموع عدد الرؤوس = عدد االضالع المعاطاة‬، ‫اذن‬
How many edges are there in a graph with ten vertices each of degree 6 ?
Solution:
Sum of the degrees of the vertices 6 .
10 + 10 + 10 + …… 6 times =60
Therefore:
 deg( v)  2e
vV
60 = 2e <<<<<<<<<<<<
Such as equalizing
Then : e = 30
Other Ex :
Deg(a)= 6
Deg(b)= 4
Deg(c)= 1 <<<<< pendant
Deg(d)= 0 <<<<< isolated
‫عندما ال يوجد سوى لينك واحد فقط ينطلق من الرأس تسمى‬
‫عندما ال يوجد اي لينك ينطلق من الرأس تسمى‬
Deg(e)= 3
Deg(f)= 4
Deg(g)= 2
And so on .
Directed Graph: Adjacency
Let G be a directed (possibly multi-) graph, and let e be an edge of G that is (u, v). Then we say:
u
v
–
u is adjacent to v, v is adjacent from u
–
e comes from u, e goes to v.
–
e connects u to v, e goes from u to v
–
the initial vertex of e is u
–
the terminal vertex of e is v
Directed Graph: Degree of a vertex
Let G be a directed graph, v a vertex of G.
–
The in-degree of v [ deg(v) ] , is the number of edges going to v.( v is terminal)
–
The out-degree of v [ deg(v) ] , is the number of edges coming from v. (v is initial)
V ‫ الواردة هي عدد الللينك التي جاتء الى‬V ‫ درجة‬: ‫اذن‬
V ‫ الصادرة هي عدد اللينك التي صدرت من‬V ‫ درجة‬: ‫بينما‬
–
The degree of v, deg(v)  deg(v)+deg(v)
–
A loop at a vertex contributes 1 to both in-degree and out-degree of this vertex
<<<<<
‫ عن طريق جمع‬7 ‫يمكننا حساب درجة الـ‬
: ‫قوانين ايجاد درجة الرسوم البيانية الموجّهه‬
 deg
vV

(v ) 
 deg

(v ) 
vV
1
 deg( v)  E
2 vV
: ‫طريقه استخدام القانون‬
.‫ نوجد عدد كل من الروابط الصادرة من الرؤوس ثم نجمعها‬.1
.‫ نوجد كل من الروابط الواردة الى الرؤوس ثم نجمعها‬.2
2 ‫ ثم نقسم على‬2 + 1 ‫ نجمع‬.3
: ‫مثال‬
Special Graph Structures
Special cases of undirected graph structures:

Complete graphs Kn
For any nN, a complete graph on n vertices Kn is: a simple graph with "n" nodes in which every node is
adjacent to every other node: u,vV: uv{u,v}E.

Cycles Cn
For any n3, a cycle on n vertices, Cn, is a simple graph where V={v1,v2,… ,vn} and E={{v1,v2},{v2,v3},…,{vn
1,vn},{vn,v1}}.

Wheels Wn
For any n3, a wheel Wn, is a simple graph obtained by taking the cycle Cn and adding one extra vertex vhub and
n extra edges {{vhub,v1}, {vhub,v2},…,{vhub,vn}}.

n-Cubes Qn
For any nN, the hypercube Qn is a simple graph consisting of two copies of Qn-1 connected together at
corresponding nodes. Q0 has 1 node.
‫‪Graph representations:‬‬
‫‪Adjacency lists.‬‬
‫–‬
‫‪Adjacency matrices.‬‬
‫–‬
‫‪Undirected graph: Adjacency Lists‬‬
‫يعني في الرسم البياني "غير" الموجّه ‪ ،‬نشوف كل رأس ارتبطت بمين وندونها في جدول كما هو موضح ادناه (من الرسم)‬
‫‪Adjacent‬‬
‫‪Vertex Vertices‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b, c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a, c, e, f‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a, b, f‬‬
‫‪d‬‬
‫‪e‬‬
‫‪b‬‬
‫‪f‬‬
‫‪c, b‬‬
‫وفي حال اعطانا الجدول وطلب الرسم ‪ ،‬كل ما علينا هو وضع الرؤوس ‪ Vertex‬ثن ارسال اسهم موجّهه كما هو مطلوب ‪.‬‬
‫‪Undirected graph : Adjacency Matrices‬‬
‫في الرسم غير الموجّه وباستخدام الرسم ‪ ،‬يمكننا ايجاد مصفوفة للرسم البياني وذلك بالطريقة التالية ‪:‬‬
‫بين قوسين المصفوفه ‪ ،‬نصف جميع رؤوس الرسم البياني مشكلين بها اعمدة ‪ ،‬وكذلك نشكل بها صفوف‪.‬‬
‫في حال وجود عالقة بين الرأس وأخر نمثل ذلك بعدد االسهم الموجّه من الرأس لألخر (يعني لو عندنا سهم نكتب ‪ – 1‬لو عندنا ‪ 4‬اسهم نكتب ‪4‬‬
‫في المصفوفة وهكذا ‪)......‬‬
‫في حال لم يوجد نمثل العالقة بالعدد( ‪)0‬‬
‫‪d e‬‬
‫‪b c‬‬
‫‪1 1 0 0‬‬
‫‪0 1 0 1‬‬
‫‪1 0 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0 0 0‬‬
‫‪1 0 0 0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪a 0‬‬
‫‪b 1‬‬
‫‪c 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪d 0‬‬
‫‪e 0‬‬
‫والعكس صحيح ‪ ،‬في حال اعطانا الماتركس وطلب مننا الرسم ‪ ،‬فهد نرسم اسهم من والى الرؤوس المطلوبة ‪.‬‬
‫‪Directed Adjacency Lists:‬‬
‫هنا يجب معرفة نقطة البداية ‪ ، Initial vertex‬ونقطة النهاية ‪Terminal vertices‬‬
‫ونمثلها في الجدول حسب الرسم‬
‫‪Terminal‬‬
‫‪vertices‬‬
‫‪Initial‬‬
‫‪vertex‬‬
‫‪V2, V4, V5‬‬
‫‪V1‬‬
‫‪V4‬‬
‫‪V2‬‬
‫‪v5‬‬
‫‪V3‬‬
‫‪V4‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪0‬‬
‫‪c 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪d 0‬‬
‫‪e‬‬
‫‪0‬‬
‫‪V5‬‬
Isomorphic simple graphs must have the same:
‫نفس عدد الرؤوس‬
-
Number of vertices
-
Number of edges
-
Degrees of vertices are the same: deg(v) in graph G ≡ deg(F(v )) in graph H
‫نفس عدد اللينكـ‬
U1
‫نفس الدرجة‬
u2
U3
u4
The function f : f(u1)=v1,f(u2)=v4,f(u3)=v3,f(u4)=v2
So ,
..... ‫ ونعيد رسم القراف حسب المساوة اللى في الفنكشن فقط‬V ‫ بـ‬U ‫المطلوب من الفنكشن اننا نبدل‬
Connectivity
a path of length n from u to v is a sequence of adjacent edges going from vertex u to vertex v.
. ‫ هو سلسلة من اللينك المجاورة لبعضها بداية من رأس معين الى رأس االخر‬: ‫يعرف الطريق في الرسم غير الموجّه‬
A path is a circuit if u=v.
. u=v ‫يكون الطريق دائرة في حال‬
A path is simple if it contains no edge more than once.
. ‫الطريق البسيط ال يحتوي على اكثر من لينك واحد فقط‬
: ‫مثال‬
•
Simple path: a, d, c, f, e …………………. the edges are {a,d},{d,c},c,f},{f,e} ……………. length=4
•
Circuit: b ,c,f,e,b ………………
•
Not path : d,e,c,a …………………. because {e,c} is not an edge
•
Not simple path: a,b,e,d,a,b because {a,b} appears twice ………….. length =5
the edges are {b,c},{c,f}, {f,e},{e,b} …….. length =4 ‫الدائرة تعني انه رسم مغلق‬
Paths in Directed Graphs :
. )‫ باالضافة الى تحديد اتجاه السم فقط (من وين يبدأ و وين ينتهي‬، ‫يتم تحديدها مثل الرسم غير الموجّه‬
An undirected graph is called connected if there is a path between every pair of distinct vertices of the graph.
. ‫نقول عن رسم غير موجّه انه متصل او مرتبط في حال ان جميع الرؤوس االساسية بالرسم متصلة ببعضها‬
: ‫مثال‬
a
b
d
e
connected graph
not connected graph
c
Connected Components :
connected components of the graph: is that graph has not connected is the union of two or more connected
subgraphs with no vertices in common.
connected components of the graph : ‫ يسمى‬sub-graph ‫الرسم البياني الذي ال يرتبط بـ اثنين او اكثر من‬
A directed graph is strongly connected if there is a path from a to b and from b to a whenever a and b are
vertices in the graph.
)‫يكون الترابط قوي في حال انه حافظ على الترتيب بين الروابط (يعني تبدأ من نقطة معينة وتستمر بنفس االتجاه حتى تنتهي عند النقطة نفسها‬
a
d
b
c
A directed graph is weakly connected if there is a path between every two vertices when the direction of
edges are disregarded.
) ‫يكون الترابط ضعيف في حال انه لم حافظ على الترتيب بين الروابط (يعني تبدأ من نقطة معينة وال تستمر بنفس االتجاه‬
a
c
b
d