Retrospective Theses and Dissertations 1954 Zero-sequence impedance of a three-phase transmission line with ground return Marion Edwin Forsman Iowa State College Follow this and additional works at: http://lib.dr.iastate.edu/rtd Part of the Electrical and Electronics Commons Recommended Citation Forsman, Marion Edwin, "Zero-sequence impedance of a three-phase transmission line with ground return " (1954). Retrospective Theses and Dissertations. Paper 13286. This Dissertation is brought to you for free and open access by Digital Repository @ Iowa State University. It has been accepted for inclusion in Retrospective Theses and Dissertations by an authorized administrator of Digital Repository @ Iowa State University. For more information, please contact [email protected]. NOTE TO USERS This reproduction is the best copy available. UMI iMPlMlCg Qf A tSMM'-VaMM fmmmmim um wis Gioijwa lifnii by Marlon faramm A Bi88ert«tii»tt SaUl'ttM to 0i*a.dwt« ia ftkrtial l«tair«eii%8 f#r th« Begree of QKfitmidiw Ifcjop. •• ia»(0sferjt%&l''^la8«piag Approvail Signature was redacted for privacy. In '^harg®' of ^wic Signature was redacted for privacy. Signature was redacted for privacy. 1« . Iowa St»ts Collsg® 1954 of UMI Number: DP12404 INFORMATION TO USERS The quality of this reproduction is dependent upon the quality of the copy submitted. Broken or indistinct print, colored or poor quality illustrations and photographs, print bleed-through, substandard margins, and improper alignment can adversely affect reproduction. In the unlikely event that the author did not send a complete manuscript and there are missing pages, these will be noted. Also, if unauthorized copyright material had to be removed, a note will indicate the deletion. UMI UMI Microform DP12404 Copyright 2005 by ProQuest Information and Learning Company. All rights reserved. This microform edition is protected against unauthorized copying under Title 17, United States Code. ProQuest Information and Learning Company 300 North Zeeb Road P.O. Box 1346 Ann Arbor, Ml 48106-1346 X 'Z'l'Zrll-L ft odmrnrmm 'tm .. . » *u. Xf .4 gg m .g '' tao||.«ni@|»0 8f •§ TOifsaeiff 9 ® *l . . . . . . . . . . . . . 9S 9 t gg Og *? . . . . . . . . . . . . . . . . g | a 4 0 l O I i a M i l . • • * * IftI m * fflin *? IB II Qimsmu sm am mtsmm » m leisffies itoiiwa 2 1 g s t 'At . . . . . . . . . . . 41^^ « l ®ti% ms TOfiTOljf »n-% a| g^jm&^xtx |«|3Ef ®ll% ®i% I© W0f%mi4^ . . . . . . . . . . . . . . m n m b s 0 A m » m . . . » •111 *0 *1 • ? s i o i j i Q M i § l o i s m i i a * 1 1 I f a0ii0flfi-«sii ju •! . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g j j g n Q g f 63m smsmm io titfs ^2:lid IZZGM-L 11 gt .g *l g f . . . . . . . . . . . . . . t® Ag . . . . . . . . m u m m m tfmmm§ *i n m m m z§ mi m m mm&mm m mm 'o- xitiw^T . . . . . . . . .,goiiti,os 'f mumim • • • • tiiia gm ij loiaiofi f iio«?0 •? xt€mMif if if guigQ^ ...................... df»i (f»iwi%tt©©) siitaoo 111 AQ «tfi mmmmd'v -nu iT smmm mw mm MB Sygtaa. of toits A • is fsei woter potsati&l, w|»®r«« b, o » treuismissioB lia@ ooatedtars d « eonduotor r&iim, »«t®r8 i • ah I• elmtria 4a-fe«aity jositift in. th® iir®0ti« of iaersasing potsatial, wlts/k®t'«r Win), #C«)# y(a) * artoltrary ftuMtio»8 ©f u t • groaai or earth I• inteaslty, iwp«r«8/^tsr %, Ijt • a&Bksl faastiotts h • twui«*is«iQB litt# eoadttster height, •»«t®r8 I • Kero-setaaase ©arr^at# a»|>®r®« 1 • oBirreat density, al@r©&ap«r#®/®et«r^ ^• imglmtf ©oMfoaeat J « operator ^pl L " iaduotaaee, heariee m - iefiaed fanotioa ©f u f » power, watts t • resistaaee, etae r© • effeetiTe resiataaee of the earth, atew • •m « t Sh r *1 o C/1 n Ie 2 m I 0 a 0 n 1 » a Jf o R la. t-* i ^ J s ^ s 8 « I « »f i i { i' r. <«• " 1 «t §p r» s II e ;I I I f I» « o t u I so »I I. t 0 0 1 ® 1 I I % s I I o ** 0 1 I I « »< m K • N » m « m J 3 m r 1 s s 2. % © fi I m saH r *!> I »-• I § •n © IS * 4 « r 0» 1..* » o I! S# * I a • n « •t I f el© U it•t I i I I I f»-> I 1 I® «#• © »5{ 1 I I «r I ri kmrnrnmrnmEm this r®a«ar®h was ©.oaiaetsi ia th« D®farta«at of ilsetrioal iagia®@rlag of wfeieli Frof«8s©r *• S. SooTsr is I««i. ffe® eoniwt of thia F08«ar0h Wtt® mad®r th« 8«fer^iioa of ,?rof®«aor W, B. io®»t to whoa tlia mthar Is iaieWei for fel« ira.l«bli a4i?lQe and sttggastlotts ittriag tha lavastigatloa* Appra0latl®» it exprassed %o tlia Saaaral llastrlo •OoapaB^ for proviaiag tfea IM aad to Itasr®# ?. tf. fkompaon, B» 0, Banks, D. ». ioCraekea ani s^ar »*b«r8 ©f th® Ooapating lalt at tiis Hiiafor4 Atoffli® Prodaets Ofaratlon for tlw-ir aasistaaea in frogrmlag the atasrieal aolatloa and ia ©faratiog tba IBM aqwijpant. 5 s I I 't« s I 5 I 43 5 t i « $ 1 I as £3 1 I I I? •? 4 % I « !I s S " » £ e a 3 : i-« § I ^ •3 S ^ ; ! II %* I^ & I! ^ « J u « * I i i e s. 5 % 'S s I m P- "S' ft ® i uI Im I w » i ® ® I «k 1 a 0 e J ks S s e H M I s 4k « I s a I i I i f4 IB »« § s tt. 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Althottgh ©Birsoa's 2 etaatiaai for oalcmlatiag the i»pe4aiioe of a three-phase traasais«i«a liae with growad aratum haw bee® ia xise for aaay years, there 1® ao eirldeaoe that the iapedaaee has been determined by A differeat aaalytieal iwthod usiag the saae aeswptioas. This thesis is a asro-setttenee iapedaaee deteraiaatioa obtained by oalculatioa of the flax Itoikafes and power losses established by the earrent flow ia th® earth beaeath a three-phase ti«,B@BlS8ion liae with groBtnd • return aad a partiaalar soafigtiratioa# Ihile th© results obtained did not lead to a *th©d mt @al®ttlatia® iapetonse whiah i® easily applied to all probleaa, they did @oafir» the results ©btaiaed by th® applieatioa of Oarsoa's eqiiatioa® to th© saae traasmissioa liae. <s {« i S If f O m -P 0 jEl II* m «I £1 % £ e 4» I • tt U t O t Si t f irt af 1 © ^ -0 % u I 43 4» g <l» 1 Q I . tt ^ I »• a. «0 I9 IM i» I S 0 i I i I m a <0 ft m f «4 a iflr #-# I I I s I I I 1 I g I f ; a I 4HI 1. 2 i €o I s ^ I I » • « <g <-l & J a * m •# I s h « •«? S « I 6 "ri t § -e' u I is t-4 m M t t 4» O I I 5 % KJ t %, f m I I J «« Im I "S I I ft $ M >o § » t »« 49 • 4» u I ^ • • i ^ 5 « •© t ^ t I I: I! i 1 a « 1 iHf i I p <8 r4 I I I viA a •§ I ts I a % I ^ a s ^ I: II I 1 S J3 49 I p4 m o $ n Is lO 4 Figure 1. Tranpinission line eonductor spacing and location of images. fit# waT« «tuAti®a for %h» «l«0tri© iatanstty ia®i V% • • J«t)l • (I) fh® syabola ar« Aaft«®i la the *Syab®l8 a»d Waits®. Ero* atsimftioa 3, % • ^ • 0 aai tmm asawsptiosa 4, Ig • ftass ^ ^ . (2) AB* SliMie s is eoj^taatt (S) $u'b8titutioa. »f a^mtioa (S) i»t0 a^atioa (1) |-l«Ms (4) #3E® ^ If A <0*01, th« t«m Ji* my to® asglawtM. Jtsswftiag th« miaJI*im ®»tt4ttetivlty af the «artki to b« 10 pAes/aattr aad tha fratuaaay t» 'be SO 0fS« a.. .o.oi . (6) fherefer® th® wat® etaatioa my b® writtaa (6) t&r tiio asamad eoaiitiMs* i i, sf tii« Ifttrntisa f@r Axiftl iliHitrie Mbmsitf im tiMi iroasA 4 gm9rml mlnitim of netriowi |@) with t]b« 1iii« x*«ie|8 mf b* 1, • fl«ld ss^* 1 tt&m th«. f(||) @ot(at«) #tC«) #a F(tt) U fialt# (7) y(ia) 1» ttni {?) itt*0 (§), om(m} • (***?(«) e«iC3ro| [y(u)]* J© 4m • 0 • Jaipy r® F(tt) @«iCi»a]l J© (S) or rCa) eitw(xii) ] i(i •© . S.iR@« AfQUtidft C@) 1« «»rd for All ^C*i) • V«® • Ig • - >(») (f) of x« A»d (10) • (U) &mim) 3i»e« VX 8 • it "'""Si •» 5**" • * #t *" " 3^^)' (12) (13) etttiiti©a ill) tato •faatioa (Ig) glir«® (14) % *1^ «F(tt)«t»(3Ett) ^ dtt . (IB) Sa tke iial«@%pi« »"boT® th« swfae# ©f "fe« earth* th« Mgaeti@ iBttnsltles Mt|' he (IS) % - Saa • Hxh •«»•%« % • ®y« * %b •*• %0 * ®yi (17) » '«bera the sahsorifts ft# h, stai e laiioiite the aagaetle Inteasltles tee to the eoMuetors it« h, -ftM e «8 shorn ta Figure 1 and the suhseript' g lMie&%»a the imteneitf iue to the eurre&t the earth. Assmia^ that the ««a*r«®t flow ia the eoatoetora haa a radial sjwietry, that the total oarrwat, I, ditides efttally betweea comdttstors. I.e., afplyiag aaawttftiQii i, «M reeogaittag that e • 0 i» the dieleetrie, the mapietie istemaitiea Sue to eurreat flowing 1b, the wires My he writtea $ ^ I ms »a §w % a • ft, (It) l>, 0 1 iia % 3^ 8« ra wij.«r» (b®® flgwr* l| • ]/(x * sf * iy ^ ri, • V* r® - (y • h%) {It) V'C* • af • Cy - eoi fa " sia % • 5ZJ!& % (20) 8la % • ila t@ » X X l&a 'Mfa@ti9 fluM itttsasity la dieleetrJLe i$i« %o th9 earrtat ia th« «ftr%h my lfe« obtftia«4 from %h» iafiait® lategral^ 1^ • • J 4%# t{tt) 0#f(«) ••y® itt %« " • p ®Ctt) J® A% til® sarfae® #f th® iat«a#iti8a io « 0 y • y S 0 ^21) . mr^h where y » 0, th« n&gaetie smy b® writtwa® (22) t I ( i • @os{x * b)V An I r°° iu) 0@s(3m) €« % J * ^3!» " ^ ) ® eo8(x - 8)«l i» and J r 00 **»||» %» "•'% ® siaC* • •)« 4ti ' %1 e I r°® * 15* ) ® •#% sifi(3ctt) da (24) «in(x • 8}« OoKiliiiilBg ofttBtioBS (2^') y * 0 With equatioms {2d) aa4 (M) reiptttively, yislfis % " |®C») oo«C»») • • ® i* mM{»i} * « •hutt « 008(x • 8)tt @ • • From 8ttt(aai) • ® (26) 0®8(x " 8|tt •1%« • , ' 8ia(x # s;u sla(* -alaj | 4« assumption I, the aoraial and ta^@tttlal . mmp0&m%» (26) of nagaetie i&ts&sity ar® 0'oatiatt0tt8 across tlis bamdary at the surfaee of th@ earth. fh«refor«, the 'values ©f Mx aai E^. @f etaatioiis (14) m aai (16), with y • 0, ar® (26) r«ip®©tlv«ly. t® Ijj aai ly «f et«atioa« (EiJ ittd &as * imm P(«) 0as(*tt) • #(«) emixa) 3^ •^ ma{xu} so8(x •«)*!• • ®©s(* • »)« (t7) © aad »lii(3m) • ®(tt) «ia(3«) F(m) • »m(m) * fiaCx • "gi f • ^ »ln(x • •«)»]" 0 «)ii . 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For th« riMaiader ot thii a®rimtioa msstmm that ^ • hi, • h, Sufestitatiaf thia mla® into (31) mi. applying %h» p>ofsr trigo^QOKStrio idwatitios yielit .-(hu - y y.' 4 3«»g) ig a. « -jteE j*** £ + tt gesaCs-a) * 1 " " JJ° CVu^ • 3®{i0 • tt) 0©s(3Da) [t0O8(«tt) • l] ill . •Cim - y Y? • jeejter) •' (S2) yjmm « a S » as X•« t - tt « irr (3S) u aad smbatituta lat@ (SS).* &ls siibstitutibii will mt obrnge th® lisits and ther^fsr# . Ig • - ^ [ 2eo,s(8v) • l] dv T) - tV?~M f S 0 Coaparing sfaatloa (52«.) with that th® adiitioa of t®® T®ir®s aMs . C22a) ©ftiatioa (M) reveals t«« nbleh is itrntieal with Carsorn*® ©fwatioa «Mmpt tor the aiiitioaal fa«tor too«{Sv). 6. ^rimtioa of tli». Ifaati^ii tor th« ll®@trio Ist«a«i%f ia Air fh@ mitil «l«etrie i»t@jwity ia tiis dielsstrio a*y b® deriwd from th® veetor mi aeaiar pot®atiftlf^^ as 1• . Vf (34) #t QT 8, * m aa wwMi «• iiwlw! l^m ix •• ly • 0 #% (25) * ' ^8 . 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O«r«0a» Jaha 1. Waw propagation of oirarhaai •wiras wi'ife groaai ratara# iall Systwi faeb. ^oar. 6-i0S9-»54. ISEi. 5, 0l«», 1. Iaa®taa@« of traaiaisfioa llaaa with groaai ratura, im* last, S. 1» traaa* •S0t90l-lS. Wil. 4. eiarka, Mitli. Ciromit aaalyai® @f a-o powar syataM. Vol. I. p, Sfi-f5. I«w fork. #®htt Wllay ani Seas, Zm* IS43. g. loodimll', I«. f. .Rrtaoiflaa of alaatri® psmr traamisaioa. Sad «d. tS8» ' Vm tmk» ^otaa Wiiay 'ttM So&s» Ina. itss, 8, Jordaa, Ii»ard 6. Ileatrowifsati® •wawa aad radiating systamo. p. IE$, liw fork. ^aatiea-Iall^i fisto. ISiO. 7. Saraott, Jote 1. Wave profagatioa of ovarhaai wiraa with groani ratara# iall System faafe^. ^ear» 5i640t l®®6. 8. §. . Hft-ra propifatioa of ovarhaai wires wi-fe grmnA ratiara. Bell Syataa Tao^. Bi54l. 1926. Blaraaa fia laaa, ». loawllas table# d»iat%r«la8 Mfiaias. Iditioa of ISff—oorraatad. p. ®8S. law York, f. 1, Sti0®feart aafi Co. l»S9. 10. Garaoa, Jolm 1. 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