Radar Systems Analysis
and Design Using MATLAB
Chap.6 Matched Filter and the Radar
Ambiguity Function
6.4 ~
6.4 The Radar Ambiguity Function
1
 The radar ambiguity function (|χ|2) represents the output of
the matched filter, and it describes the interference caused
by range and/or Doppler of a target when compared to a
reference of equal RCS.
 χ(τ;fd)=χ(0;0) is equal to the matched filter output that is
matched perfectly to the signal reflected from the target of
interest. (=returns from the nominal target are located at the
origin of the ambiguity function.)
 χ(τ;fd)=χ(nonzero; nonzero) represents returns from some range
and Doppler different from those for the nominal target.
6.4 The Radar Ambiguity Function (cont’d) 2

Matched filter response: χ(τ;fd)
- obtained by correlating a signal with its doppler-shifted and timetranslated version.

 ( ; f d )   s(t ) s * (t   )e j 2f t dt
d

uncertainty function: |χ(τ;fd)|
ambiguity function: |χ(τ;fd)|2
 ( ; f d ) 
2
2

 s(t )s (t   )e
*

j 2f d t
dt
6.4 The Radar Ambiguity Function (cont’d) 3
 Properties of Ambiguity function

1. The maximum value occurs at (0;0).

max  ( ; f d )
2
  (0;0)  (2E)

2
where E 
 s(t )
2
dt

 ( ; f d )   (0;0)
2

2
2. The ambiguity function is symmetric.
 ( ; f d )   ( ; f d )
2

3. The total volume under the ambiguity function is constant.
  ( ; f

2
) d df d  (2E) 2
2
d
4. s(t)↔S(f), using Parseval’s theorem,
 ( ; f d )   S ( f ) S ( f  f d )e
2
*
 j 2f
2
df
6.5 Examples of the Ambiguity Function

4
The ideal radar ambiguity function is represented by a spike of
infinitesimal width that peaks at the origin and is zero everywhere else.
 6.5.1 Single Pulse Ambiguity Function

Normalized rectangular pulse s(t)
t 
s (t ) 
Rect  

  
1


 ( ; f d )   s(t ) s * (t   )e j 2f t dt
d

6.5.1 Single Pulse Ambiguity Function (cont’d)

Single pulse 의 ambiguity function
 ( ; f d ) 





2




2
t  1
 t 
Rect  
Rect 

    
 
1
 j 2f d t
dt
e

t  1
 t    j 2f d t
Rect  
Rect 
dt
e

    
  
1
 0


2



 
2

5
t  1
 t    j 2f d t
Rect  
Rect 
dt
e

    
  
1
 0
τ’= 2 single pulse uncertainty function
   sin f d (    ) 
 ( ; f d )  1  
,
    f d (    )
2
2
 
단, τ 는 time delay 및 τ’는 pulse width.

τ’= 2 single pulse ambiguity function

Zero Doppler ambiguity function
6
Zero Delay ambiguity function
  
 ( ;0)  1  
  
2
2
sin  f d
 (0; f d ) 
 f d
2
First null
at fd=±1/τ’
2
6.5 Examples of the Ambiguity Function (cont’d)
7
 6.5.2 LFM Ambiguity Function

LFM complex envelop signal s(t)

2
t 
s(t ) 
Rect  e jt E

  
1

1
t 
 t 
 ( ; f d )   Rect   Rect 
  
  
 
 jt 2  j (t  ) 2 j 2f d t
e
e
dt
e

단, μ=LFM 신호의 slope((Δf or B)/τ’)

i) 0≤τ≤τ’인 경우 적분 범위는 [-τ’/2, τ’/2+τ]
ii) -τ’≤τ≤0 인 경우 적분 범위는 [-τ’/2-τ, τ’/2]

  
sin   (   f d )1   
   
  

jf d 
 ( ; f d )  e 1  
,






  (   f )1  
d 

 

 
LFM 의 ambiguity function
2

  
sin   (   f d )1   

   
2
   
 ( ; f d )  1   
,






  (   f )1  
d 

 
2

  
sin   (   f d )1   

   
 
2
   
,  ( ; f d )  1   
,




(up - chirp)


  (   f )1  
d 

 
 
(down - chirp)
6.5.2 LFM Ambiguity Function (cont’d)

up-chirp (τ’= 2, B = 10 Hz LFM uncertainty/ambiguity function)
8
6.5.2 LFM Ambiguity Function (cont’d)

down-chirp (τ’= 2, B = 10 Hz LFM uncertainty/ambiguity function)
9
6.5.2 LFM Ambiguity Function (cont’d)

Zero Doppler ambiguity function
10
Zero Delay ambiguity function
2

  
sin   1   

   
2
   
 ( ;0)  1   
,
     1   
 



 
sin  f d 
 (0; f d ) 
,
 f d
2
2
 
first null at τn1≈1/B. 이로부터 matched filter 의 출력은 레이더의 대역폭에 의해 결
정됨. (τn1: effective pulse width; compressed pulse width)

시간축을 따라 자른 그래프인 Zero Doppler ambiguity function 은 single pulse
case와 비교했을 때 큰 차이를 보임. (Zero Delay 그래프는 형태가 비슷)
6.5.2 LFM Ambiguity Function (cont’d)

11
LFM ambiguity function 의 zero doppler ambiguity function 는 single pulse 에
대해 ξ 의 비율로 가늘어짐.


(1 / B)
  B
단, ξ는 compression ratio; time-bandwidth product; compression gain.

Bandwidth 가 넓을 수록 compression ratio 는 커지며 null point 발생 지점이 time
delay 가 0 과 가까워진다.

Example 6.2: pulse compression 전/후의 거리 분해능
bandwidth B = 1 GHz; pulse width τ’= 10ms.
pulse compression 전의 거리 분해능 Runcomp 
c  10 103  3 108

 1.5 106 meters
2
2
pulse compression 후의 compressed pulse width 및 거리 분해능
1
 1 ns
1 109
c n1 3 108  1 10 9
Rcomp 

 15 cm
2
2
 n1 
6.5 Examples of the Ambiguity Function
12
 6.5.3 Coherent Pulse Train Ambiguity Function
pulse width: τ’, PRI: T

Normalized individual pulse s(t)
s1 (t ) 
t 
Rect  

  
1
Normalized train
1
s (t ) 
N

N 1
 s (t  iT )
i 0
1
1
 ( ; f d ) 
N

 ( ; f d )   s(t ) s * (t   )e j 2f t dt

d

N 1 N 1 
  s (t  iT )s (t  jT   )e
i 0 j 0 
*
1
1
t1=t-iT 로 치환하면
1
 ( ; f d ) 
N
j 2f d t
dt
χ1[τ-(i-j)T;fd]
N 1
e
i 0
j 2f d iT
N 1 
  s (t )s (t
j 0 
1
1
*
1
1
 [  (i  j )T ])e j 2f d t1 dt1
6.5.3 Coherent Pulse Train Ambiguity Function (cont’d)
1 N 1 j 2f d iT N 1
 ( ; f d )   e
1[  (i  j )T ; f d ]

N i 0
j 0

q = i - j 로 치환하여
N 1 N 1
0
N 1 q
i 0 j 0
q   ( N 1)
i 0
N 1 N 1 q
   
1
 ( ; f d ) 
N



j 0
for i  j  q
N 1 q

 1
j 2f d iT 

(


qT
;
f
)
e
 1



d
 N
q   ( N 1) 
i 0

0
N 1 q
 j 2f d qT

j 2f d jT 
e

(


qT
;
f
)
e




1
d

q 1 
j

0

N 1
exp(j2πfdT) 를 z 라 치환하여 아래의 관계식을 이용하여 쓰면
N q
N 1 q
1 z
z 

1 z
j 0
j

q 1
for j i  q
N 1 q

e
j 2f d iT
[ jf d ( N 1 q )T ]
e
sin f d ( N  q T )
sin( f d T )
i 0
χ(τ;fd) 식에 대입하면
1
 ( ; f d ) 
N
N 1

q   ( N 1)
1 (  qT ; f d )e[ jf
d
( N 1 q )T ]
sin f d ( N  q T )
sin( f d T )
13
6.5.3 Coherent Pulse Train Ambiguity Function (cont’d)

τ’= 0.2, n = 5, PRI =
1 (coherent pulse train uncertainty/ambiguity function)
14
6.5.3 Coherent Pulse Train Ambiguity Function (cont’d)

Zero Doppler ambiguity function

q    qT
 ( ;0)   1  1 
N 

q   ( N 1) 
2
N 1
2

 ,


  qT   
Zero Delay ambiguity function
1 sin f d  sin f d NT 
 (0; f d ) 
N f d 
sin( f d T )
2
2
15
6.6 Ambiguity Diagram Contours
16

Ambiguity Diagram? Ambiguity Function plots.

한 신호파형에 대해 주어진 ambiguity diagram 은 target resolution capability,
measurements accuracy 등을 결정짓는데 사용됨.

그림 6.9: single pulse 에 대한 ambiguity
contour plot.
- long pulse: better Doppler accuracy
- short pulse: better range accuracy

Contour plot 에 다수의 타원은 다수의 타겟을
의미.

Ambiguity function threshold 값을 증가시
켜 radar resolution 개선 가능
→ 실제 적용시 문제 발생; 잡음 존재시 peak
correlation 값을 알기 어려움 & 타겟에서 반
사되는 신호의 크기가 모두 다름.
6.6 Ambiguity Diagram Contours (cont’d)

17
Coherent Pulse train: pulse width 에 의해 range accuracy 가 결정되고, train
length 에 의해 Doppler accuracy 가 결정됨. (low PRF = high range accuracy,
low Doppler accuracy/ high PRF = low range accuracy, high Doppler accuracy)
true targets
6.6 Ambiguity Diagram Contours (cont’d)

LFM ambiguity contour
τ’: pulse width, B: pulse bandwidth
18
Radar Systems Analysis
and Design Using MATLAB
Chap.7 Pulse Compression
7.1 ~ 7.2
7. Pulse Compression

20
Range resolution 은 매우 짧은 펄스를 이용하면 크게 향상이 가능.
그러나 매우 짧은 펄스를 사용하게 되면 평균 송신 전력이 감소하게 되고 이는 SNR 에 직결
되기 때문에 range resolution 에도 불구하고 펄스 너비를 크게 해야 할 필요가 있음.

이 경우 사용하는 것이 pulse compression techniques.

7장에서는 두 가지 방법에 대해 소개
- correlation processing: narrowband 및
medium band radar 에서 사용
- stretch processing: extremely wide band radar 에서 사용
7.1 Time-Bandwidth Product

Matched filter 수신기를 사용하는 레이더 시스템이 있다고 하고, 필터의 대역폭을 B 라
할 때 이 대역 내의 available noise power 는
Ni  2
N0
B
2
단, 2 는 +, - 주파수 대역을 모두 고려하기 위함임.

Pulse duration 동안 평균 입력 신호 전력은
단, E 는 signal energy

21
Matched filter input SNR: SNR i 
Si 
E

Si
E

N i N 0 B 
SNRt0 
2E
 2 B  where SNR(t0 ) 
SNR i
N0
7.2 Radar Equation with Pulse Compression

22
Pulsed radar 의 SNR
Pt G 22
SNR 
(4 )3 R 4 kTe FL
단, Pt: peak power, τ’: pulse width,
G: antenna gain, σ: target RCS, R: range, k: Boltzmann’s constant,
Te: effective noise temperature, F: noise figure, L: total radar loss.

Pulse compression radar 는 상대적으로 긴 변조된 펄스를 송신하며 레이더 에코를 매우
짧은 펄스로 처리(compressed)함.

compressed pulse width 를 τc 라 할 때 SNR 은
SNR
c

Pt cG 22
(4 )3 R 4 kTe FL
uncompressed pulse 의 SNR
SNR 

Pt (   n c )G 22
(4 )3 R 4 kTe FL
위 두 식으로부터 송신 펄스가 동일하다면 신호의 대역폭에 관계없이 SNR 또한 변하지 않음을
알 수 있다.