Approximation algorithms for the maximum
Hamiltonian Path Problem with specified endpoint(s)
Jérôme Monnot
To cite this version:
Jérôme Monnot. Approximation algorithms for the maximum Hamiltonian Path Problem with
specified endpoint(s). European Journal of Operational Research, Elsevier, 2005, 161, pp.721735.
HAL Id: hal-00004071
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00004071
Submitted on 26 Jan 2005
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
!""!#
$% &'#( %))*
∗
+,-./01.
234567689 :87;5<4=3 =3869>?;8@>A B>C5=9DB=4CEF7@4;=>C47C67=35>A >6=4@7;<84E3=G B7;;8:
HII 4A =38 =<> 8C:6>4C=5 798 568B4J8:G HII 4A >C;K >C8 8C:6>4C= 45 568B4J8:L M8 53>< =37=
HII 45 N:4O898C=47; 7669>P4@7?;8 7C: HII 45 N:4O898C=47; 7669>P4@7?;8L Q>98>R89G <8
>?589R8 =37= =3858 69>?;8@5 B7C C>= ?8 :4O898C=47; 7669>P4@7?;8 ?8==89 =37C L
S758: D6>C =3858 985D;=5G <8 >?=74C C8< ?>DC:5 A>9 TUVWXVYX YVUZ[\ 7 N5=7C:79: 7669>P4@7N
=4>CA>9 ]^_ HII 7C:7 A>9 ]^_ HII G <34B3 B7C?84@69>R8: => A>9 ]^_ HII [a, 2a]
`7;; =38 8:E8 <84E3=5 798 <4=34C 7C 4C=89 7; G => A>9 ]^_ HII [a, 2a] 7C: => A>9 ]ab
HII [a, 2a] G => A>9 ]ab HII [a, 2a]RL [a, 2a])
cd [YXT\ g669>P4@7=8 7;E>94=3@5h i4O898C=47; 97=4>h j>@6;8P4=K =38>9Kh j>@?4C7=>947;
>6=4@4efk7=4>Ch
l89A>9@7CB8 97=4>h gC7;K545 >A g;E>94=3@5h F7@4;=>C47C 67=35L
m nopqrstupvro
wxyz{|} ~{}| x
x
x {
xz| {| x
{|zx{ xz{
{z{x| |~ z
xz {
xz|z {~ x }x{z
{ | {~ zx z
~y{|} z z z|z {zx~
{ z {
x{ |~ w{||xx | xy z {| |~ wy{|z{|
|~ }| z { x||~ {z x
x
x z~ zx z ¡{
y
¢{|} £
| x
|
z x
x |~{|} ¤¥¦§¨©ª«§¥«¬¥© x
¡{
y
{}z
{ zy~ zx {|z ~|~{|} x| z |y
x {~ |~x{|z ®x| x zx¯ x z z
°±² ³´´ |~ °±² ³´´ z{ ~|xz z
{zx|{| z x
{z x| ¡~
|~x{|z s ∈ V |~ zx ¡~ |~x{|z s, t ∈ V ¢x xy µ|x~} |~ x
x¡{
z{x| x{|z
x { z zx zz x
|xz | zy~{~ x z{
{|{
{z{x| {x|
| zy~{~ xx}| |~ ¶yzz
||µ z · ®{| z{y {z { µ|x|
zz z
{|{
{z{x| x
¸¹º»¼½¾¯ x ~ {z {|z ~ ³´´ [a, 2a]
z ~}{}z {| z z {a, a + 1, . . . , b − 1, b} xz M in− |~ °±² ³´´ ¸¹º
»¿¼½¾ x | {|x z{ z{z~ {x| {z b > a {| z x|x
{z{
~y{
z z
ÀÁÂÂÁÃÄÅÆÀÇÆÈÉÊÈÆËÌÍÎÂÉÊÏÐÑ ÒÓÔÕÖ×ØÙÕØÚÛÑÜÙÔ Ñ ÜÂÎÝÉÐÇÎÃÞ ßÆÐÎÇÖÚÆËÌÍÎÂÉÑ àÐÆÂáÉ
s,t
s,t
s
1
2
s
2
3
741
742
1
2
s,t
2
3
2
3
s
5
6
s,t
s
3
4
s
s,t
2
3
s
s,t
s,t
s,t
∗
7024
¢
¡{
y
{zx|{| z x
{| z
{z{x| z
¡{
y
z{|}
| x
{| | xz{
y
{zx|{| z { { x|z~ zx | xz{
y
z{|}
| ~~{|} x| ®x zx¯ ~y
z¡ ®z{¯ {z x{z ~{z| zx
xz z{ z {z{x| x âx{zâ ~|~ x| z |y
x |~x{|z zz
| ¡~ ¢y x {|z| {z { µ|x| zx |z
x~ x ~y{|} {|} xx
{z zy {{|} {|
|yzy{|} x
yz{|} ãä£å ~{}| |~
| xz {z{x| ä
z x z{ x
x { {z{x| zx 檦¬çèé駪« ꥩ¥ ¢{x |~
ëµµx|| ì¿ x ꥩ¥ ¥çç¥í æ¨îé©è秫ï {| ðñò x
µz{|} y~}z z{}| x ¡
z ¦¥ó§¦¥¨ 檦¬çèé駪« ¬çªô¨è¦ { { {| {xy x
{x| ~z x
| ~|~
xxõ }{| xz{x| x z{|} s , . . . , s µ z{|} S y zz z{|} {|
z xz{x| { yz{|} x S |~ zz
¡{
{ P |s | − |S| å| z zz{|} z z{
|z z{|} |~ z {}z x | ~} z| zx âz{|}â { z zx z
xy|z x
¡{
y
x z| z z{|} ¢ xz{
x
{x| { öy{|z zx z {}z x
¡{
y
{zx|{| z ò|xz {z{x| zx
¡{
y
{zx|{| z {z zx {~ |~x{|z
{ }{| z xx{|} ¡
¶|µ ÷ õ yx }{| ~z {| z x
x |
z{
z z x|{z x
|z zz {z { {z ¡{z z{x| z| x
m × n
¡ A = (a )
| xy
| j ¡{z x ø { {z ~x |xz {|zz~ {| }xy{|} x |~ xy
| zx}z
i ~
{| y zz z x {
{ z{x| x {|z| x|{~ |y
x m
µz{|}
z|{öy |~ n x~yz å
µz{|} z|{öy i xµ xyz yy x| x~yz j z|
z z | xz{ £{
{
µz{|} z|{öy yx~ zx yy x|
a } y ~ ø
{
{ x~yz ¢x yz{|} z z|{öy |~ z x~yz }{ {|{}z {| z z{x|
x z
µz{|} z|{öy |~ z x~yz
¢x x
{ z{ {|zx~y z
y x ùz{| me = a (a + a + a +
x |z ¢x |y z{ ¡{z| ~~ zx z
z{¡ A z{{ x x {|~¡
a
)
a
ø |~
ú |~ z{{ xy
| x {|~¡ ø |~ |úû z x |~ xy
| x|z{| x x|
¢ zxz
y x ùz{| x z
z{¡ A ~|xz~ tme(A) { x
yz~ y
{|} z
y x ùz{| x
|z x z
z{¡ ¡z x z z{{ x |~ xy
|
¢y z }x { zx |~
z{¡ A x|zyz~ x
A
yz{|} x
x |~ x
xy
|
¡{
{{|} tme(A )
x {z
yzz{x| ρ |~ σ x z x |~ xy
| ®|z{|} z
z{¡ A ¯ z
zxz
y x ùz{| x z
z{¡ A { tme(A ) = tme (A ) + tme (A ) tme (A ) =
P P
P P
|
(a
×a
+a
×a
) ~ tme (A ) =
(a
×
P
P
w
{
{|
{
z
}
~õ
2a
×
a
+a
×a
)
tme
tme (A ) =
x|
x|
x|
x
{|
|
{
{x|
|
|
z
z
z
z
z
~
y
~
~
a
ρ
a
=a
=0
¢y{ ~| z ~{z| d(i, j) z| xy
| i |~ j d(i, j) = 2 P a × a z|
xz{| z x
x |~{|}
¡{
y
{zx|{| z x
xy
| ø zx xy
| |ú £{
{
| {z{|} tme (A ) xz{| z x
x |~{|}
¡{
y
{zx|{| z x
x
ø zx x
ú z{ z{
z ~{z| ~|~ d(i, j) = 2 P a × a {|
zz x
x yz{|} ~z | ~x
x~ {|zx zx
¡{
y
{zx|{| z
x
x| ~|~ x| z x |~ x| ~|~ x| z xy
|
1
n
i
i
i,j
i,j
i,j
i,j+1
i,j
i−1,j
i+1,j
i,j−1
i,j
0
0
0
0
m
i=1
n
j=1
ρ(i−1),σ(j)
ρ(i),σ(j)
ρ(i),σ(j−1)
ρ(i),σ(j)
ρ(i+1),σ(j+1)
ρ(i),σ(j)
0
ρ(i),σ(j+1)
1
1
0
2
2
1
0
0
k,σ(j+1)
2
0
1
m
i=1
n
j=1
n
j=1 ρ(i),σ(j)
m
k,σ(j)
k=1
k,σ(0)
m
k=1 k,i
k,σ(n+1)
k,j
0
n
k=1
0
i,k
j,k
xy x| z ~{}| x x¡{
z{x| }x{z
{z }y|z~ x
| z{x zz
y| {z{| x|x
{ z{
|~ x~y yxz{
xyz{x| ëyx| x
z xz
z{x ®~ z|~~ z{x¯ x z xz x z xyz{x| }|z~ z }x{z
zx z xz{
xz
{| z xz x
{| {| z{ z{ zx |xz z{x ~ ê§ü èçè«©§¥¨ 祩§ª
{
y z xz z{x x x| z x| |~ z ~{ù| z| z xz x z xyz{x|
}|z~ z }x{z
|~ z xz xz |~ x| z xz |~ z ~{ù| z| z
xz{
xz |~ z xz xz ¢{
y zy~{~ ò{x z òy{x z ¿
x|yx z ÷ ã{ ì ®{| z x|z¡z x |x|{| x}
{|}¯ ý
ì |~
x
|z ð
|} |~ þx ì |~ {| |~ y ø ~ zx | }x{z
zµ{|}
{|zx xy|z z ¡z
xyz{x| x z {|z| |~ x{~ z xxzy|{z zx zz y|~z|~
z x
¢ }z ~{ù| z| z|~~ |~ ~{ù|z{ x¡{
z{x| x z
¡{
y
{zx|{| z x
x {|z| | { x zz z ÿè¥çèé© ÿè§ïôªç
¤èîç§é©§æ ® { z x x||xz ¯ { z|~~ x¡{
x °±² ³´´ |~ {
x zz z{{ z|~~ x¡{
z{x|
x z°|~~ x¡{
x °±² ³´´
±² ³´´ [n; n + 1] z ÿè¥çèé© ÿè§ïôªç ¤èîç§é©§æ{ |xz ~{ù|z{ x¡{
z{x|
{z | x|z|z z{x x °±² ³´´ |~ °±² ³´´ [n; n + 1] { |xz ~{ù|z{ x¡{
z
{z z{x }z z|
|x }{ x
z|~~ ~|{z{x|õ
« ¬çªô¨è¦ π §é ¥ è©î¬ ¨è (I, sol, m, T riv, goal) éîæ ©¥©
§ I §é ©è éè© ª §«é©¥«æèé ¥«ê §é çèæªï«§¥ô¨è §« ¬ª¨í«ª¦§¥¨©§¦è
§§ §è« ¥« §«é©¥«æè I ∈ I sol[I] §é ©è éè© ª è¥é§ô¨è 骨ª«é ª I ¦ªçèªèç ©èçè èó§é©é
¥ ¬ª¨í«ª¦§¥¨ P éîæ ©¥© ªç ¥«í x ∈ sol[I] |x| ≤ P (|I|) îç©è禪çè §© §é êèæ§ê¥ô¨è §«
¬ª¨í«ª¦§¥¨ ©§¦è è©èç x ∈ sol[I] ªç ¥«í I ¥«ê ªç ¥«í x éîæ ©¥© |x| ≤ P (|I|) §«¥¨¨í
©èçè §é ¥ è¥é§ô¨è 骨ª« T riv(I) 檦¬î©¥ô¨è §« ¬ª¨í«ª¦§¥¨©§¦è ªç ¥«í I §§§ §è« ¥« §«é©¥«æè I ¥«ê ¥ 骨ª« x ª I m[I, x] ê諪©èé ©è «ª««è數§è §«©èïèç ¥¨îè ª x è î«æ©§ª« m §é 檦¬î©¥ô¨è §« ¬ª¨í«ª¦§¥¨ ©§¦è ¥«ê §é ¥¨éª 楨¨èê ©è ªô è橧è î«æ©§ª«
§ goal ∈ {M ax, M in} ♦
π z ¸¹ x
(I, sol, m, T riv, goal) goal { ~|~ xxõ { goal = M ax
z| goal = M in |~ goal = M ax ¢ }x x | ¸¹xz{
{z{x| x
{z z zx |
{|z| I { zx |~ | ª¬ ©§¦î¦ 骨ª« x y zz opt(I) = m[I, x ] = goal{m[I, x] : x ∈ sol[I]}
ò|xz {
xz|z xyz{x| x π { ªçé© éª¨î©§ª« x ~|~ õ wor(I) = m[I, x ] = goal{m[I, x] :
ò xz xyz{x| x π { | xz{
xyz{x| x π |~ { å| òy{x z ¿
x ∈ sol[I]}
z z
©ç§§¥¨ 骨ª«~ zx ªçé© éª¨î©§ª« |~ z ¡x~ ¡
z xz
zz xz xyz{x| | z{{ x
yz~ {| x|x
{z{
x ¡
z{ { z x
z
¡{
y
yz x
}{| } z xz xyz{x| { z
z ~}z }{|
ÍÉ áÁÀÀÁ ÈÉ!ÂÎÃÎÁ ÁÏ áÅÆÇÇ "#$ ÈÁÉÇ ÂÁà ÐÉ%ËÎÐÉ ÃÍÉ É&ÎÇÃÉÂáÉ ÁÏ Æ ÃÐÎÝÎÆÅ ÇÁÅËÃÎÁÂÊ
1
2
1
3
s
s,t
s,t
s
s,t
741
742
∗
∗
∗
ì
∗
z z{z{x| (V, ∅) x z {|þµ{|} x
| z{{ yz z {z
y{|} ~{z{|z
{| {z
'| z x|z {| xz xyz{x| x z
¡{
y
{}z
{zx|{| z x
zx t { | xz{
xyz{x| x z
{|{
y
{}z
{zx|{| z x
s zx t z x
yzz{x|
s
x y xyz{x| { ¸¹º»¼½¾ ¢y x
yz{|} xz xyz{x| x ³´´ ®x ³´´ x ³´´
z{¯ { ~ x
yz{|} | xz{
x| x ³´´ ®x ³´´ x ³´´ z{¯
ñxz zz z
xz xy x } x x
x||xz ÷
s
s
s,t
s,t
()( *++,-./0123 145-,/2607 189 ,39:;2/-87
å| x~ zx zy~ }x{z
x
| z zx µ|x|
yõ é©¥«ê¥çê 祩§ª ì
· |~ ê§ü èçè«©§¥¨ 祩§ª ì ¿ ø |~ ÷
< =è© π ôè ¥« ¬çªô¨è¦ ¥«ê x ∈ sol[I] >è êè «è ©è ¬èç ªç¦¥«æè 祩§ªé ª x
§© çèé¬èæ© ©ª ©è §«é©¥«æè I ¥é
½
¾
m[I, x] opt(I)
@
¼
A
¾¼½¾
½¼
• ?
ρ (I, x) = M in
,
π
•
opt(I) m[I, x]
− m[I, x]
?¾B½¼C ½¼A δπ (I, x) = wor(I)
wor(I) − opt(I)
♦
¢ x
| z{x { |y
z| x öy zx 1 |~ { öy zx 1 { |~ x| { m[I, x] =
ñxz zz x
~ zx x
~|{z{x| {|z~ z z|~~ x
| z{x
opt(I)
{| z x
{|{
{z{x| x
x zz z z{x y { z| 0 |~ 1 äz π
| ¸¹ x
x | {|z| I x π x|x
{ z{
}x{z
A zy| {
xyz{x| x ¢ x
| x A {z z zx R ∈ {δ, ρ} x| z {|z| I { z öy|z{z
zz A { | 奬¬çªó§¦¥©§ª« ¥¨ïªç§©¦ {z z zx R { x |
R [π](I) = R (I, x )
{|z| I R (I) ≥ ε
D ªç ¥«í ¬èç ªç¦¥«æè 祩§ª R ∈ {δ, ρ}
ªô¨ ô ¨ª ©ª ©è 樥éé APX(R) § ©èçè èó§é©é ¥« 奬¬çªó§¦¥©§ª« §© çèé¬èæ©
• ¥« ¬ç è¦ è «ïé
©ª R ªç 骦è 檫驥«© ε ∈]0; 1] ªô¨ ô ¨ª ©ª ©è 樥éé PTAS(R) § ©èçè èó§é©é ¥« 奬¬çªó§¦¥©§ª« A ªç ¥«í
• ¥« ¬ç è¦ è «ïé
檫驥«© ε ∈]0; 1[ è ¥¦§¨í {A } §é é¥§ê ©ª ôè ¥ ¬ª¨í«ª¦§¥¨ ©§¦è ¥¬¬çªó§¦¥©§ª« éæè¦è ♦
z xx{|} {|y{x| x~ x |
y R ∈ {δ, ρ} õ PTAS(R) ⊆ APX(R) ò {z {
yy ~x| { ~|xz APX |~ PTAS z{ z APX(ρ) |~ PTAS(ρ)
xy~ }y z z ~{ù|z{ z{x { z{||zõ z yzx x ì |~ ¿ |~
x{z{ zx zz öyz{x| |~ x|y~~ zz z{
y { x
|z {z z z|~~
z{x ò x| {|
| x
| ~{ù|z {x zz| ~|~{|} x| z
z ~{ù|z{ x z|~~ z{x { x|õ x|{~ x {|z| ãz¡ x{|} x ðx
{|z{|}
£z x
'| z xz |~ z x
zz z{ x
x||z{x| z|
z ~{ù|z{ |~ z z|~~ z{x {µ {| þµ{|} x
¡{
y
{}z xy|~~~z
||{|} z · |~ ý
ì x
xz{z{x| |~ x
|z{z {|µ z| z zx
¿
A
A
π
A
A
ε
ε 0<ε<1
y {~ x zz z z{}z {|µ z| xz
y x z x
~z
{z {| z z ~}{}z x |~ y xy|~
ñx x|{~ z xx{|} x¡{
z{x| {|} ~yz{x| z| { (π, R)
E ªç π ∈ N P O ¥«ê R ∈ {δ, ρ} i = 1, 2
橧ª« 窦 (π , R ) ©ª (π , R ) ê諪©èê ôí (π , R ) ≤ (π , R )
• ¥« A çèêî
§é ¥ ©ç§¬¨è© (∝, f, c) éîæ ©¥©
§ ∝: I 7−→ I ©ç¥«é ªç¦é ¥« §«é©¥«æè ª 𠧫©ª ¥« §«é©¥«æè ª 𠧫 ¬ª¨í«ª¦§¥¨©§¦è
§§ f : sol [∝ (I)] 7−→ sol [I] ©ç¥«é ªç¦é 骨ª«é ªç 𠧫©ª 骨ª«é ªç 𠧫 ¬ª¨í«ª¦§¥¨
©§¦è
§§§ c : [0; 1] 7−→ [0; 1] 楨¨èê è󬥫駪« ª ©è çèêî橧ª« §é ¥ î«æ©§ª« 饩§é í§«ï c (0) ⊆ {0}
¥«ê ∀ε ∈ [0; 1], ∀I ∈ I , ∀x ∈ sol [∝ (I)] R [π ](∝ (I), x) ≥ ε =⇒ R [π ](I, f (x)) ≥ c(ε)
橧ª« 窦 ©è¬¥§ç (π , R ) ©ª ©è¬¥§ç (π , R ) ê諪©èê ôí (π , R ) ≤ (π , R )
• ¥« A∗P çèêî
§é ¥« Açèêî橧ª« 窦 (π , R ) ©ª (π , R ) éîæ ©¥© ©è çèé©ç§æ©§ª« ª î«æ©§ª« c ©ª éª¦è §«©è票
§ ô§ 橧
ô ª ª
[a; 1] é è è ¥«ê c(1) = 1 (c(0) ¦¥í è « « èç ♦
ò| A~yz{x| x|z|z x¡{
z{x| { A ∗ P ~yz{x| x¡{
z{x|
¢ |zy }|{z{x| x zx ~{~ 'x|| |~ ||{ ìø |~
|{ |~ þ|x|{
F G (π , R ) ≤ (π , R ) ¥«ê (π , R ) ≤ (π , R ) §© c(ε) = ε è é¥í ©¥©
§ § ¨ © ©ª (π , R ) (π , R ) é èHî ¥ è«
♦
¢ ~{ù|z{ z{x
y x z y x | x¡{
z xyz{x| m[I, x] { xz~ {|
z {|z z| opt(I) |~ wor(I) x ¡z {z { öy{|z x
¡{
{z{x| x
zx x δ (I, x) ≥ ε |~ m[I, x] ≥ εopt(I) + (1 − ε)wor(I) '| z xz |~ z z|~~ z{x
y ®x
¡{
{z{x| x
¯ x z y x | x¡{
z xyz{x| { ~ {| z
{|z z| 0 |~ opt(I) | | A ∗ P ~yz{x| x
z z|~~ z{x zx z
~{ù|z{ z{xõ
IJJ¼ K G π = (I, sol, m, T riv, M ax) ∈ ©è« (π, ρ) ≤ (π, δ) §© c(ε) = ε ¹½L M äz I | {|z| x π |~ x { xyz{x| å m[I, x] ≥ εopt(I) + (1 − ε)wor(I)
z| z
x x m[I, x] ≥ εopt(I) {| wor(I) ≥ 0
ñxz zz {| }| z { |x {~|z z| x x{z{ x |}z{ yz x
x|¤
xµ zx z xz x
{|{
{z{x| x
x {|z| x~ {| ð
|} z
ø zz {x| x {}z~
{|{
y
xx{|} ~
{z z|~~ |x|x¡{
z{x| zx~
öy zx {| {z{z } y{z ~{ù|z{ x¡{
z{x|
û {| z{
xx{|} {x| z xz x z z { }{| z
¡{
y
x z z¡ {}z {| z{ z
z
i
i
1
π1
1
2
2
π2
1
A
1
1
π2
2
2
2
π1
2
1
−1
π1
π2
2
1
1
1
1
1
1
A∗P
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
A∗P
1
2
π
A∗P
7
8
1
1
1
A∗P
2
2
N OPQ RSTvUprovSo VSpP VqrWUQT
¢
{zx|{| z x
x ~ z ç¥è¨§«ï X¥¨è馥« Y¥© ¬çªô¨è¦ { x
~|~
xx
< Zª«é§êèç ¥ 檦¬ ¨è©è ï祬 K §© «ª««è數§è æªé©é d(x, y) ªç è¥æ èç©èó ¬¥§ç
>è ¥«© ©ª «ê ¥« ª¬ ©§¦¥¨æªé© ¤¥¦§¨©ª«§¥« ¬¥© èçè ©è æªé© ª ¥ ¬¥© §é ©è éî¦ ª ©è è§ï©é
ª« §©é èêïèé >è çè èç ©§é ¬çªô¨è¦ ¥é ³´´ >è« ª«è è«ê¬ª§«© s çèé¬ ©ª è«ê¬ª§«©é s ¥«ê t ª
¤¥¦§¨©ª«§¥« ¬¥© ¥çè é¬èæ§ èê è îéè ©è «ª©¥©§ª« ³´´ çèé¬ ³´´ G goal = M ax ©è ¬çªô¨è¦ §é 楨¨èê °±² ³´´ è¨éè °[\ ³´´ >è îéè «ª©¥©§ª« ³´´ ³´´
ªç ³´´ §© «ª ¬çèó è« è 檫é§êèç §©ªî© ê§é©§«æ©§ª« ©è æ¥éè goal = M ax ªç goal = M in n
s
s,t
s
s,t
♦
£z|~~ z{x x¡{
z{x| yz | ~{~ x ³´´ y{|} z{{ ~yz{x| zx ]^´õ
z z |}z{ x¡{
z{x| yz ®zz | ~~y x
ìì¯ zz zz {z { |xz x{ zx
x¡{
z °[\ ³´´ {z{| 1/f (|I|) { | {|z} y|z{x| x
yz {z{| x|x
{
z{
y| ¹_¸¹ '| z xz |~ metric` °[\ ³´´ { x¡{
{z{| 2/3 |~ °[\
³´´[1, 2] { a¹bºcJdC ®~~y~ x
þ~{
{z{xy |~ e||µµ{ ì¯ x °±² ³´´
z yz
x xz{
{z{ {| z{ x
{ {| a¹b¢ zµ|x| z|~~ z{x { öy
zx |~ | ~~y~ x
{| |~ wy{|z{|
°[\ °fgh[i ³´´ { ~ zx x¡{
z °[\ °fgh[i ³´´ å °[\ °fgh[i ³´´
y ~ zx x¡{
z z| °[\ °fgh[i ³´´ j ¢{ {|zz{|} öyz{x| {~ z
z z{
kx|x| |~ þ~{
{z{xy ì x| z z{ ~| x z zx {~ |~x{|z
{x| x
~ zx z x| {~ |~x{|z { z{ x| zx~ x z x{z{ yz
}{| x| z x
~ zx x{z{ | zx z öyz{x| {| z zµ|x| z|~~
z{x x °[\ °fgh[i ³´´ xx}| |~ x °[\ °fgh[i ³´´ xx}|
¶yzz
||µ z · {| { x|{~ z a ≤ d(e) ≤ 2a z |x {
yz x ¡
{zx~l
x~{z{x| }x{z
{| 2/3z|~~ z{x x °[\
³´´ [a; 2a] ¢x xy µ|x~} |x z|~~ x¡{
z{x| yz | xy|~ x °±² ³´´
|~ °±² ³´´
x zz ³´´ { x¡{
|~ ³´´ { x¡{
y|~ z ~{ù|z{
xµ | ~~y x
ä
z|~~ x¡{
z{x| x °±² ³´´ |~
z|~~ x¡{
z{x| x °±² ³´´ xx xy z|{öy x zx |~ z
z ~} {}z {z{| | {|z [a, 2a] x | x{z{ a {| x
{xy yz
~~y ® ¯z|~~ x¡{
z{x| x °[\ ³´´ [a, 2a] ® °[\ ³´´ [a, 2a]¯ |~
® ¯z|~~ x¡{
z{x| x °±² ³´´ [a, 2a] ® °±² ³´´ [a, 2a]¯ ¢y x
z z{z{x| {
x z zµ|x| xy|~ x ® ¯ x
{|{
{z{x| {x| }{|
xx}| ® ¶yzz
||µ z · x ¯
m ÕÆÃÎÇÏnÎÂo ÏÁÐ ÆÅÅ ÝÉÐÃÎáÉÇ
ÃÍÉ ÎÂÉ%ËÆÅÎÃnp
Ê
25
33
s,t
s
s,t
s
2
3
3
5
s
s,t
s
s
s,t
s
2
3
s,t
1
2
2
3
s
s,t
3
4
5
6
2
3
s
3
4
s,t
s
s,t
2
3
x, y, z
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
3
5
1
2
q rUQTQopSqs VqrV QqpvQt
äz y z z{ x
z{x| z| ³´´ ³´´ ³´´ |~ ~{ù|z y x
zz ³´´ { z
xz }| x
ò x|~ z z{ x x
x
x||z~ z{x| z| ~{ù|z{ |~ z|~~ z{x å| z xx{|} } {zxyz
{z{x| z xz{ zz |z x ³´´ x zy x ³´´ |~ ³´´
³´´ { ~ ³´´ ®{ { {z ~ ³´´¯ zx x¡{
z x xz x
|
z{x xx x
~{ù|z{ x¡{
{{z x{|z x { z ~{ù|z {x|
x zx z ]^´ | { x|{~ z z{z{x| a ≤ d(e) ≤ b
IJJ¼ D ªç ¥«í goal ∈ {M in, M ax} è ¥è
]^´[a, b] δ) ≤ (goal ³´´ [a, b] δ) §© c(ε) = ε (i) (goal
³´´[a, b]δ) ≤ (goal ]^´[a, b]δ) §© c(ε) = ε (ii) (goal
¹½LM x| x z goal = M ax
x ä z
{z a ≤ d(e) ≤ b | {|z| x °±² ]^´[a, b] xx z¡ s
• (i) õ I = (n, d)
{| K |~ ~| I = (n, s, v, d) | {|z| x °±² ³´´ [a, b] x v ∈ V \ {s} äz µ
{zx|{| z x
s zx v x I { { | ε~{ù|z{ x¡{
z{x| x °±² ³´´ [a, b]
£x x v ∈ V \ {s} õ
®ì¯
m[I , µ ] ≥ εopt uvw xyy (I ) + (1 − ε)wor uvw xyy (I )
x
µ {z v ∈ V \{s} x|zyz z
{zx|{| Γ = argmax{m[I, Γ ] : v ∈ V \{s}}
Γ = µ ∪ {(s, v)}
ñx x|{~ v y zz | xz{
{zx|{| x I = (n, d) x|z{| ~} (s, v ) û zy
õ
®ì¯
opt uvw xyy (I ) + d(s, v ) = opt uvw z{y(I)
äz µ xz
{zx|{| z x
s zx v û µ ∪ {(s, v )} { |
{zx|{| |~
~~yõ
®ìì¯
wor uvw xyy (I ) + d(s, v ) ≥ wor uvw z{y(I)
x
{|{|} {|öy{z{ ®ì¯ ®ì¯ |~ ®ìì¯ xz{|õ m[I, Γ] ≥ m[I, µ ] + d(s, v ) ≥
εopt uvw z{y(I) + (1 − ε)wor uvw z{y(I)
x {{¯ ä z
{z a ≤ d(e) ≤ b | {|z| x °±² ³´´[a, b] z|x
I
• ® õ I = (n, d)
{|zx {|z| ∝ (I) = (n+1, d ) xxõ ~~ | z¡ s zx } K |~ ~| d (s, v) = a, ∀v
x xz ~}
d (e) = d(e)
¤
' zz z xx x {z
(ii) x x~ x z z|~~ z{x {z goal = M ax yz {|
z{
{}z a = 0 £x ~~y x
z yz x {| |~ wy{|z{| x °±²
÷
s
s,t
s,t
s,t
s,t
s
s
A∗P
s,t
A∗P
n
s,v
v
v
v
v
s,v
v
s,v
v
s,v
v
v
v
v
v
∗
∗
s,v ∗
∗
v∗
∗
∗
∗
∗
s,v ∗
v∗
∗
∗
v∗
0
0
n
0
]^´ zz °±² ³´´ { 25 z|~~ x¡{
'| z xz |~ x
z yz x £|{
|~ ¶x| ìì µ|x33 zz °[\ ³´´s,t { |xz {| a¹b y| ¹_¸¹ ¢{
z {|
z x¡{
{{z x xz {x| ®°±² ³´´s,t { {| a¹b z x~¯ | x|{~~
x
z z|} }{| z zyzy
z ¡{z{|} z| z
£{| ~{ù|z{ x¡
{
z{x| { z y|~ || z|x
z{x| x z xz{ y|z{x| ® x {|z| {| |~
y ø x ð
|} |~ þx ì¯ °±² ³´´ |~ °[\ ³´´ ~{ù|z{öy{|z
® ð|{z{x| ¯
¹½d@ D< è ª¨¨ª§«ï ¥ééè穧ª«é ª¨ê
°[\ ³´´ §é ê§ü èçè«©§¥¨èH¨è«© ©ª °±² ³´´ (i)
§ §ü ©§ ¨ § ¨ © ©ª M axHP P [a, b] (ii) M inHP P [a, b] é ê èçè« ¥ èHî ¥ è«
³´´ §é ê§ü èçè«©§¥¨èH¨è«© ©ª ¦è©ç§æ ³´´ (iii)
³´´ [a, b] §é ê§ü èçè«©§¥¨èH¨è«© ©ª ³´´ [a + t, b + t] ªç ¥«í t (iv)
¹½L M äz d = max d(e) |~ d = min d(e) ¶{| | {|z| {z ~{z| y|
z{x| d x z z x
{| {z
(i) − (iv) x|zyz ~{z| y|z{x| d zx | {|z| x
z xx|~{|} {}z x
{| {z
(i) − (iv) xxõ (i) d (e) = d + d − d(e) (ii)
{| {ù |z{ z{x { z
d (e) = a + b − d(e) (iii) d (e) = d
+ d(e) (iv) d (e) = t + d(e) £ ~
y|~ || z|x
z{x| x z xz{ y|z{x| ® ð
|} |~ þx ì x {| |~
y ø¯ z{ x|y~ z xx
¤
' zz z (iv) x z{ xx{z{x| x zx ~ {z z z ~{z|
|}z{ ¢ xx{|} zx
x~ zy }{{|} {~} z| ~{ù|z{ |~ z|~~
z{x x goal = M ax |~ goal = M in {| z ~} {}z x|} zx | {|z [a, b]
}»½J DD (goal ³´´ [a, b] ρ) ≤ (goal ³´´ [a, b] δ) §© ©è è󬥫駪« 饩§é í§«ï (b − a)ε a §
• c (ε) =
goal = M ax
+
b
b
a
§ goal = M in
• c (ε) =
s,t
s,t
s,t
s,t
s,t
s,t
s,t
s,t
s,t
s,t
max
min
e∈E
e∈E
0
0
0
0
max
A∗P
s,t
max
min
0
s,t
1
2
b − (b − a)ε
¹½L M x| x z goal = M ax äz I | {|z| |~ µ
{zx|{| z
x
s zx t å m[I, µ] ≥ εopt(I)+(1−ε)wor(I) z| m[I, µ] ≥ c (ε)opt(I) {| wor(I) ≥ opt(I) ¤
¢ þxx{z{x| ì |~ z ¢x
ìì x x~ x ³´´ |~
x }| z yz
xµ x
| { xz{
{z{x| x
x
} zx zx x { { xyz{x|
| öy { zz ~|~ x| z {|z| { ® x||xz ÷¯
°±² ³´´ [a, b] |~ °[\ ³´´ [a, b] ®x a |~ b |xz ~|~{|} x| z {|z|¯ z{{
{| a¹b | a > 0 {| | xyz{x| { z z a/bz|~~ x¡{
z{x| ®zµ ε = 0 {|
·
a
b
1
s
s,t
s,t
¢x
ìì¯û {| z{ z z|~~ z{x
|xz zz
|{|}y {| | xz xyz{x|
{~ x|z|z z|~~ x¡{
z{x| ñz | ~~y x
z{ zx
zz z
~| zx~ x z|~~ |~ ~{ù|z{
xµ {~|z{ {| °[\ ³´´ [a, b] {
a¹bºcJdC
~½CC¼½ DE ªç ¥¨¨ b > a ≥ 0 ³´´ [a, b] ∈/ PTAS(δ) èéé
| x z{ {
{z x| {z ~{ù|z{ x¡{
z{x| x x
y x a |~ b w z
|}z{ yz x |}z| |~ {|µ{ ¿ x °[\ ]^´[1, 2] õ x | ² > 0 |x x|x
{
z{
}x{z
| }y|z z|~~ x¡{
z{x| z{x }z z| x öy zx + ²
åz { zx x zz °[\ ³´´ [1, 2] |~ °[\ ³´´ [1, 2] ®
zxz{¯ öy{|z
zx x¡{
z °[\ ]^´[1, 2] ¢y | ~~y zz °[\ ³´´ [1, 2] |~ °[\ ³´´ [1, 2]
|xz z|~~ x¡{
{z z{x }z z| {| y{|} ¢x
ìì |~ (iv) x
þxx{z{x| ì xz{|õ
¹½d@ DF ªç ¥¨¨ a ³´´ [a, a+1] ¥«ê ³´´ [a, a+1] ¥çè «ª© ¥¬¬çªó§¦¥ô¨è §© ê§ü èçè«©§¥¨
祩§ª ïç襩èç ©¥« èéé
VVqrvTSpQ SU
rqvpPTt rq pPQtQ VqrWUQTt
å| z{ z{x| xx zx z x }x{z
{ {~ x|z|z ~{ù|z{z{x x °±²
³´´ z }x{z
{ xz{|~ }zz{|} { xyz{x| |~ xx{|} z z
x|
x|} z
x z {|~{{~y xyz{x| ~{ù|z{ x¡{
z{x| z{x z|~{|}
zx~ x {z z { x z {|z| x °±² ³´´ z }x{z
{ ~{ù|z |~ zµ
{|zx xy|z z ¡z
xyz{x| £x x| z x| |~ z }x{z
z{ zx z |z x
z z xyz{x| y |~ x| z xz |~ z{ zx z yzz x
z xz xyz{x| y
å| x~ zx ~x zz {z {zz{ x{~ xyz{x| x y }z z| (wor(I ) + opt(I ))/2
I { z y} y{z z z j
s,t
s,t
740
741
s,t
s
s
s,t
740
741
s,t
s
741
742
s
s,t
j
j
j
)( 63 145-,/260 -, 2- 7+3;/39 389+-/827 3,7/-8
°±² ³´´ | x }~~ z x
x ~z
{|{|}
{zx|{| zz x|z{|
~} (s, t) ¢ }x{z
xµ |~{|}
¡{
y
{}z 2
z{|}
x|} 2
z{|}
x|z{|{|} (s, t) |~ z z
}{|} z zx zx ¢
{| {~ x|{z {| x{|z{|}
xyz zz xy~ xz
y
x
}{|} z zx {| ~{ù|z ¢y {
y{~ ~|
{ |xz xyz{x| { x¡{
z z xz xyz{x|û z{ xyz{x| { zy
~|~ x| z x{
~ z }x{z
z {zz{x|
x|{~ zx C |~ zx ~} (x , x ) ∈ C |~ (y , y ) ∈ C localchange x
z xx{|} xõ
i = 1, 2
s,t
i
1
2
1
1
2
2
i
localchangei [(C1 , (x1 , x2 )), (C2 , (y1 , y2 ))] = {(x1 , y3−i ), (x2 , yi )} ∪ (C1 ∪ C2 \ {(x1 , x2 ), (y1 , y2 )})
¢ zx x
} z C |~ C {|zx {|} ® z {}y x | {yz
z{x|¯ ñxz zz z z¡ x~ { {
xz|z {| z xû zy ~} (x , x ) x (y , y )
1
2
1
C1
6
1
1
2
2
6
1
1
2
2
3
3
4
4
1
1
6
2
2
5
3
3
4
4
5
5
5
5
3
3
4
4
1
2
localchange2
localchange1
C2
2
5
{}y õ ¢ localchange x z| z ~} (2, 3) x C |~ z ~} (2, 3) x C
i
1
2
{
{{z }{| ~{z~ ~} |~ õ localchange [(C , (x , x )), (C , (y , y ))] =
x x |
{ |xz ~ |z
|
localchange [(C , (x , x )), (C , (y , y ))] C = C ~ (x , x )
zx (y , y ) z x {
xy|z zx x ~} x{z {z localchange
y|z{x| cost zz |z z x {|
}{|} zx õ
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
i
i
costi [(x1 , x2 ), (y1 , y2 )] = d(x1 , x2 ) + d(y1 , y2 ) − d(x1 , y3−i ) − d(x2 , yi )
LocalchangeHP P
d õ ò| {|z| (n, s, t, d) û
d õ ò
{zx| z sol x
s zx t û
|} z xz x (s, t) {|zx |V |d + 1 z{ y|z{x| d û
x
yz
¡{
y
{}z 2
z{|} M = {C , i = 1, . . . , k} x (n, d ) û
£yx zz (s, t) ∈ C
xx x|yz{ ~} (x , x ) |~ (x , x ) {| C ~{ù|z x
(s, t) û
û
|
sol = C \ {(s, t)} e = (x , x ) ~ e = (x , x )
x { zx µ ~x
xx x|yz{ ~} (x , x ) |~ (x , x ) {| C û
å cost [e , (x , x )] ≤ cost [e , (x , x )] z|
û
sol = localchange [(sol , e ), (C , (x , x ))]
£yx e = (x, y) |~ x { z xz |{}x x x {| C
£z e = (y, x ) |~ e = (x , x ) û
û
sol = localchange [(sol , e ), (C , (x , x ))]
£yx e = (x, y) |~ x { z xz |{}x x x {| C
£z e = (y, x ) |~ e = (x , x ) û
|~ { û
|~ x { û
û
sol = sol
ø
s,t
0
max
0
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
i−1
1
1
1
2
1
2
1
2
i
1
i
i
2
1
i−1
1
i
1
i
1
i
1
2
i−1
i−1
2
k
i
3
1
1
3
i
i
1 2
i−1
2 2
i−1
i−1 1
i
0
i
i
i
2
1 0
2
i
1
1
3
i
2
i−1
2
i
4
i
i
3 4
i
2
i
2
i
3
i
1
i
2
i
i
3
i
i
i
2
i
1
i
i
3
i
i
3
ò z{ }x{z
{ x|x
{ z y z| x zz sol { |
{zx|{| z {z |xz zz
x|zyz{x| (s, t) x|} zx
¡{
y
{}z
z{|} x (n, d ) xx e |~ e
x{xy x|} zx sol x {zz{x| i ≤ k x z }x{z
¢ zx z ~ zx z yz
ò ~{z{x| x z }x{z
{ }{| {| z {}y | M = {C : i = 1, 2, 3} {z |C | = 6
|
|C | = 4 ~ |C | = 5
i
1
0
i
2
i
i
2
1
2
C3
1
0
4
0
1
3
2
1
1
s
0
t
2
2
1
e2
3
3
3
0
1
1
C2
2
2
1
e1
C1
t
3
2
0
0
s
4
3
sol 1
M
4
0
1
0
3
2
1
2
4
3
0
0
2
e2
s
1
t
2
1
2
0
2
e1
s
1
1
t
2
2
3
3
3
3
0
sol
sol 2
{}y õ ¢ z{|} M |~ z ~{ù|z {zz{x| x }x{z
| k = 3
}»½J E è ¥¨ï ªç§©¦ LocalchangeHP Ps,t §é ¥ 1 ê§ü èçè«©§¥¨ ¥¬¬çªó§¦¥©§ª« ªç °±² ³´´s,t
2
¥«ê ©§é 祩§ª §é ©§ï©
¹½LM ¶{| I = (n, s, t, d) | {|z| x °±² ³´´s,t ~|xz (i2, . . . , ik) {z ij ∈ {1, 2} z
öy| x x{ x~y~ z }x{z
y zz x j ∈ {2, . . . , k} õ
solj = localchangeij [(solj−1 , eij−1
), (Cj , (xjij , xjij +1 ))]
j
¢y d(sol ) = d(sol
j
j−1 ) + d(Cj ) − costij (j)
{z cost (j) = cost [e
ij
ij
j−1
j
j
ij , (xij , xij +1 )]
£y
{|}
y z öy{z{ x j = 2 zx k |~ {| d(sol ) = d(C ) − d(s, t) |~ d(sol) = d(sol ) xz{|õ
X
®¿¯
d(sol) = d(M ) − d(s, t) −
cost (j)
¢
{| {~ { zx |xz zz ~}yz {e , (x , x ) : j = 2, . . . , k} x|} zx xyz{x|
| | âꥦ¥ïèâ z y|z xyz{x| x ~} x
z{ ~}yz x
sol
x
x|{~ xyz{x| sol ~|~ sol = sol |~ x j = 2, . . . , k
1
1
k
k
ij
j=2
j−1
3−ij
j
3−ij
j
4−ij
k
0
j
0
1
k
j−1
0
0
solj0 = localchange3−ij [(solj−1
, e3−i
), (solj−1
, (xj3−ij , xj4−ij ))]
j
ò| {yzz{x| x xyz{x| sol {z i ≤ k { ~{z~ {| z {}y ì x z ¡
~{~ {|
{}y
0
i
0
1
2
4
4
0
3
1
0
3
2
0
s
1
1
t
2
2
3
3
0
s
1
1
t
2
2
3
3
0
sol 3'
sol 2'
{}y ìõ ¢ xyz{x| sol |~ sol
0
2
0
3
äzx~{|} {xy xz{| d(sol ) = d(M )−d(s, t)−P (cost (j)+cost
x|zyz{x| cost (j) + cost (j) ≥ 2cost (j) |~ wor(I) ≤ d(sol ) |õ
k
j=2
0
k
ij
3−ij
ij
3−ij (j))
0
k
ij
®¿¯
{ | xz{
{}z 2
z{|}
x|} z 2
z{|} x (n, d) x|z{|{|} z ~} (s, t) û zy
M
®¿ì¯
opt(I) ≤ d(M ) − d(s, t)
x
{|{|} ¡{x| ®¿ì¯®¿¯ |~ ®¿¯ xz{|õ
wor(I) ≤ d(M ) − d(s, t) − 2
k
X
costij (j)
j=2
1
1
d(sol) ≥ opt(I) + wor(I)
2
2
Jn = (n, s, t, d)
V =
j
j
j+1
j
j+1
( {xi , 1 ≤ i ≤ 3 , 2 ≤ j ≤ 2n + 1} ∪ {s, u, t}) d(x1 , x1 ) = d(x1 , x2 ) = 1 ∀j = 2, . . . , 2n
|x x zz z{ z{x { z{}z äz
| {|z| ~|~ õ
x xz ~} zx ¢
z{|} { x
x~ x
¢ ~} x~y~ z }x{z
õ
|~
|~
|~ z z xz
2
2
2
2
d(xj1 , xj+2
2 ) = 1 ∀j = 2, . . . , 2n − 1 dn (s, x2 ) = dn (u, x1 ) = d(u, x2 ) = d(t, x3 ) = 1
2
C1 = {s, u, t}
Cj = {xj1 , xj2 , xj3 } j =
e11 = (s, u), e12 = (u, t) e12 = (u, x21 ), e22 =
2, . . . , 2n + 1
(x21 , x23 ) ej1 = (x1j−1 , xj1 ), ej2 = (xj1 , xj3 ) j = 3, . . . , 2n + 1
cost1 (2) = cost2 (2) = 2, cost1 (j) =
cost2 (j) = 1 j = 3, . . . , 2n + 1
d(sol) = 10n + 4, wor(J2n+1 ) = 8n + 3, opt(J2n+1 ) = 12n + 4
¢y xz{| zz δ
x zx {||{z
x
¤
(J
) n }
x z z|~~ z{x ~~y zx | {
x~ yz y{|} ä
x
z }|
|~ ¢x
ìì {z b = 2a x z z {}z x z } xy|~~ z|
z y a |~ 2a
~½CC¼½ E< >è ¥è ©è ª¨¨ª§«ï çèéé
°±² ³´´ §é é©¥«ê¥çê ¥¬¬çªó§¦¥ô¨è ¥«ê M ax HP P [a, 2a] §é é©¥«ê¥çê ¥¬¬çªó§¦¥ô¨è
•
°[\ ³´´ [a, 2a] §é é©¥«ê¥çê ¥¬¬çªó§¦¥ô¨è
•
LocalchangeHP Ps,t
s,t
1
2
2n+1
1
2
3
4
s,t
2
3
s,t
) 63 145-,/260 -, -83 7+3;/39 389+-/82 3,7/-8
xx | }x{z
{ ~{ù x
z x| {xy zy~{~ {| ¡{{z x
yz
xyz{x| 'y }x{z
{ ~ yx| {
{~ |~ y zyzy xz{ x
xyz{x| åz z{ xµ |~{|}
¡{
y
{}z 2
z{|} x|z{|{|} {~ ~} |~
z| ~{~{|} x
~} |~ {z{ x||z{|} z yz{|} z zx x
|
{zx|{|
z x
s ¢ {|{ x xy }x{z
{ zx }|z |xz x| x| yz { xyz{x|
xx{|} z{
zx~
x|{~
¡{
y
{}z 2 ¦¥©æ§«ï M
x|} zx x|z{|{|} (s, r) {|y~{|}
|z
C , i = 1, . . . , k å| x~ zx ~x zz yz{zyz |V |d + 1 x z xz x (s, r) |~
x
yz
¡{
y
2
z{|} {| z{ | {|z| äz x C x|{~ xy
x|yz{ z{ x x x x ñxz zz |y
~ z{ y zz x = r |~ x = s
xx { |C | = 3 z| x = x x z z C x|{~ | ~~{z{x| z¡ y {
{ z xz |{}x x x {| C ¢y { |C | = 4 z| y = x { y { | z¡ {| z xz
P atching 2 − matching
d õ ò| {|z| (n, s, d) û
d õ ò
{zx|{| z sol x
s û
x r ∈ V \ {s} ~x
|} z xz x (s, r) {|zx |V |d + 1 z{ y|z{x| d û
x
yz
¡{
y
{}z 2
z{|} M = {C , i = 1, . . . , k} x (n, d ) û
{ k = 1 z| sol = M \ {(s, r)} û
{ k { | z|
ì
r
i
max
i
i
1
i
2
i
i i
3 4
i
4
k
1
1
1
i
1
k
k
k
4
k
0
max
r
r
r
i
0
1
2
û
y{~ sol = (M \ S ) ∪ {(x , x ), (x , x )} ∪ {(x , x ), (x , x )} û
{ {zx|{| z x
s zx r)
(sol
û
S = ∪ {(x , x )} ∪ {(y, x ), (s, r)}
y{~ sol = (M \ S ) ∪ {(x , x )} ∪ {(x , x ), (x , x )} û
{ {zx|{| z x
s zx y)
(sol
û
S = ∪ {(x , x )} ∪ {(x , x ), (s, r)}
y{~ sol = (M \ S ) ∪ {(x , x ), (x , x )} ∪ {(x , x ), (x , x )} û
{ |
{zx|{| z x
s zx r)
(sol
|~ { û
{ k { x~~ z|
û
S = ∪ {(x , x )} ∪ {(s, r)}
y{~ sol = (M \ S ) ∪ {(x , x )} ∪ {(x , x )(x , x )} û
{ |
{zx|{| z x
s zx r)
(sol
û
S = {(s, r)} ∪
{(x , x )}
y{~ sol = (M \ S ) ∪ {(x , x ), (x , x )} û
{ {zx|{| z x
s zx x )
(sol
û
S = ∪ {(x , x )} ∪ {(s, r)}
y{~ sol = (M \ S ) ∪ {(x , x )} ∪ {(x , x ), (x , x )} û
{ {zx|{| z x
s zx r)
(sol
|~ { û
û
sol = argmax{d(sol ), d(sol ), d(sol )}
|~ x û
û
sol = argmax{d(sol ) : r ∈ V \ {s}}
' zz x r z xyz{x| sol sol |~ sol
{zx|{| z ®x
s zx ~{ù|z
|~x{|z¯ {| z ~~{z{x| ~} ~ |z zx z x| yz{zyz~ ò ~{z{x| x xyz{x|
{ { | {| z {}y ¿ | M = {C : i = 1, 2, 3} {z |C | = |C | = 6 |~
sol sol sol }
|C | = 3
¢ z{
x
¡{z x z{ }x{z
{| x|x
{ {| z x
yzz{x| x z 2
z{|} x
{ x|x
{
}»½J ED è ¥¨ï ªç§©¦ P atching 2 − matching §é ¥ ê§ü èçè«©§¥¨ ¥¬¬çªó§¦¥©§ª« ªç °±²
³´´ ¥«ê ©§é 祩§ª §é ©§ï©
¹½LM äz I = (n, s, d) | {|z| |~ z sol | xz{
{zx|{| z x
s zx r
~|xz loss , i = 1, 2, 3 z öy|z{z d(sol ) − d(M ) + d(s, r ) '{xy loss ≤ 0 |~
1
®¿¿¯
d(sol) ≥ d(sol ) ≥ d(M ) − d(s, r ) + (loss + loss + loss )
xx z xx{|} zyzy xz x~õ 3
{ {zx|{| z zz{|} x
s
sol = ∪
(sol \ M ) ∪ M \ (S ∪ S ∪ S )
¿
j
j
k k
S1 = ∪k−1
j=1 {(x2 , x3 )} ∪ {(x1 , x2 ), (s, r)}
1
r
(k−2)/2
j=1
1
k
1
1
3
1
2
2
2
2
k
1
1
1
2
1
(k−2)/2
j=1
2j
3
2j+1
3
2j+1
2
2j+2
2
1
k−1
j=2
2
j
1
j
2
2
r
2j
2
2j+1
2
2j+1
1
2j+2
1
2
k−1
j=1
3
j
3
j
4
3
k
2
r
3
k
3
k 1
2
4
1
3
1
k
2
(k−1)/2
j=1
(k−2)/2
j=1
2
3
2j
4
2j+1
4
2j+1
3
2j+2
3
3
k
j=1
1
j
2
j
3
1
r
1
3
2j−1
2
2j
2
2j
3
2j+1
3
1
j
1
k
j=2
2
2
r
j
2
(k−1)/2
j=1
2
2j−1
1
2j
1
2j
2
2j+1
2
k
1
2
k
j=1
3
j
3
j
4
3
r
k
3
3
(k−1)/2
j=1
1
4
2j−1
3
2j
3
2j
4
2j+1
4
3
r
1
2
3
r
1
1
2
2
3
3
r
i
1
3
2
2
3
s
∗
i
i
∗
r
∗
j=1,2,3
∗
j
r∗
∗
r∗
r∗
1
2
∗
r∗
3
1
i
2
3
Mr
sol1
r
1
1
6
s
2
2
6
5
3
3
3
5
C1
4
C2
C3
r
1
1
6
s
2
2
6
5
3
3
3
5
4
4
4
r
1
1
r
1
1
6
s
2
2
6
6
s
2
2
6
5
3
3
3
5
5
3
3
3
5
4
4
4
4
sol3
sol2
{}y ¿õ ¢ z{|} M |~ z xyz{x| sol sol |~ sol | k = 3
r
1
2
3
ò ~{z{x| x xyz{x| sol { ~{z~ {| z {}y x z ¡
~{~ {| {}y ¿
∗
sol *
r
1
1
6
s
2
2
6
5
3
3
3
5
4
4
{}y õ ¢ xyz{x| sol
∗
{|
|~
| ~~y
d(sol∗ ) = d(Mr∗ ) − d(s, r∗ ) + loss1 + loss2 + loss3
d(solj \ Mr∗ ) = lossj + d(Sj ) − d(s, r∗ )
d(Mr∗ \ (S1 ∪ S2 ∪ S3 )) = d(Mr∗ ) − d(S1 ) − d(S2 ) − d(S3 ) + 2d(s, r∗ )
£{| sol
wor(I) ≤ d(Mr∗ ) − d(s, r∗ ) + loss1 + loss2 + loss3
∗
∪ (s, r∗ )
{ z{y 2
z{|} x|z{|{|} (s, r ) õ
®¿¯
∗
opt(I) ≤ d(Mr∗ ) − d(s, r∗ )
äz x
{|{|} ®¿¿¯®¿¯ |~ ®¿¯ xz{|õ
®¿¯
1
2
d(sol) ≥ wor(I) + opt(I)
3
3
¢x x zz z xy|~ { x x|{~ z xx{|} {|z| äz I = (n, s, d)
| {|z| ~|~ õ V = {x : 1 ≤ i ≤ 3 , 1 ≤ j ≤ 2n + 1} {z x = s d(x , x ) = d(x , x ) =
|
d(x , x ) = 2, ∀j = 1, . . . , 2n + 1 d(x , x ) = 2, ∀j = 1, . . . , 2n ~ d(x , x ) = d(x , x ) =
ä z z xz x xz ~} x| õ
2, ∀j = 2, . . . , 2n + 1
n
j
1
j
i
j
3
j
1
1
2
j
1
j+1
3
1
1
j
3
j
2
j
3
1
1
d(sol) ≤ 10n + 4, opt(In ) = 12n + 4, wor(In ) = 6n + 2
j
2
j
2
~{|} zx z x|y{x| zz δ
x zx {||{z
x
(I ) n }
¤
ò {xy ~~y zx | {
x~ z|~~ x¡{
z{x| yz y{|} ä
x
z }| |~ ¢x
ìì {z b = 2a | a ≤ d(e) ≤ 2a
~½CC¼½ EE >è ¥è ©è ª¨¨ª§«ï çèéé
°±² ³´´ §é é©¥«ê¥çê ¥¬¬çªó§¦¥ô¨è ¥«ê °±² ³´´ [a, 2a] §é é©¥«ê¥çê ¥¬¬çªó§¦¥ô¨è
•
°[\ ³´´ [a, 2a] §é é©¥«ê¥çê ¥¬¬çªó§¦¥ô¨è
•
rouUttvro Sos rV Qo VqrWUQTt
å| z{
{| x{~~ | yz x||{|} z x¡{
{{z x z
{zx|{|
z x
{| z {| { x| x zx |~x{|z {~ xx ¡x~
x
{ xz{ ®
{| y{|} ~yz{x| {|} ~{ù|z{ x¡{
z{x|¯ z|
z x
|~ x
{|z x z
òzxy} {| {|zx~yz{x| x{|z~ xyz x
}z ~{ù| z| z ~{ù|z{ |~
z|~~ x¡{
{{z x z x
| y xy|~~
z{ |~ { | z
{}z {| z } z| z y a |~ 2a x
~{ù|z{ x¡{
z{x| yz |
~{ | z|~~ x¡{
z{x| yz
ò| {|zz{|} x| x
y|~ ~{ù|z{
xµ { zx µ|x { z zx{~ |~x{|z
{x| {
x ~{|yz zx x¡{
z z| z x|{~ |~x{|z {x| ® x| µ|x
zz ³´´ { z z ~ ³´´ ) ¢{ öyz{x| { z{ x| y|~ z|~~
xµ
¢ x{z{ x¡{
z{x| yz {|~{z x{z{ | yz {z { |xz x
xx ò x
xx xy~ x zz z ~{ù|z{ |x|x¡{
z{x| zx~ x ³´´ { z{z zz z|
z ~{ù|z{ |x|x¡{
z{x| zx~ x ³´´ å| x~ zx x zz yy z|{öy
{ zx x zz x
{ |xz simple w zz | ¸¹ x
{ ~ simple þ
|~ x| ì { {z z{z{x| zx {|z| z{{|} x | ¡~ {|z} k opt(I) ≤ k |
x~ {z{| x|x
{ z{
£x | x x z|~~ |x|x¡{
z{x| zx~
öy zx x z {|þµ{|} x
y {z z{z{x| zx {|z| {{|} opt(I) ≤ 2 {
z{ ¸¹º»¼½¾ x
£{
{ { zz π { δ − simple { {z z{z{x| π zx {|z|
{{|} x | {|z} ¡~ k |wor(I) − opt(I)| ≤ k | x~ {| x|x
{ z{
¢y {
z yx
{{|} |wor(I) − opt(I)| ≤ k { ¸¹º»¼½¾ ®{| xz x~ π { |xz δ − simple)
P atching 2−matching
s
s
s,t
2
3
n
2
3
s
5
6
3
4
s
s,t
s
2
3
k
0
z| x | ² > 0 |x x|x
{ z{
}x{z
| }y|z ~{ù|z{ x¡{
z{x| z{x
}z z| x öy zx + ² x|zy zz ³´´ |~ ³´´ |xz δ − simple |~
z y k xy|~ x ³´´ {
zz z k xy|~ x ³´´
acC¾J@ | z|µ zx z |x|
xy x z{||z |~ yy x
|z
|~ y}}z{x|
QQqQouQt
k ò³±hg[±\ Z¨îé©èç§«ï ¥¨ïªç§©¦é ñ exµ { ÷
ò [f h±gg[\[ °±±hgg[ |~ f\gh[[± ò | yz{x| y|z{x|
x x¡{
z{x| Xè¦ G G ÷÷
ì ¶ [f þ ¡hfif\¢[ |~ ´hg±[ òx¡{
z xyz{x| x ñþxz{
{z{x|
x
èªç詧楨 Zª¦¬î©èç Xæ§è«æè øõ£
¿ ¶ [f ò ¤¥gh[ |~ ´hg±[ £zyzy {|} ~yz{x|
x|} x|¡
xz{
{z{x| x
¦ ª Zª¦¬î©èç ¥«ê Xíé©è¦ Xæ§è«æè õì£ ì ·ø
±¢±\ w ³±[\ |~ k °\\g ð{ù|z{ x¡{
z{x| x x
xyz{|} x
®¡z|~~ zz¯ Yçªæ ZGZ §¨ =ÿ ZX ©ª«¨ } ÷÷£·· øøì
ñ ¡¬h[g[®f xz |{ x | y{z{ x z z{|}
| x
¢|{ xz ìì· ¶~ £xx x å|~yz{ ò~
{|{zz{x| ë ÷
÷ ¶ ¡h\f¯ ä °[¬fh |~ ¶ä ±f²¬±fh äxz{x| x |µ xy|z zx xz{
{
³xz õ ò| |z{ zy~ x ¡z |~ x¡{
z }x{z
´¥«¥ïè¦è«© Xæ§è«æèìõ÷·£·ø
÷÷
· þ ¡hfif\¢[ |~ ã µ±\\ ò x
|~{y
x ñþxz{
{z{x| x
ò{ x|
~~õ zzõ¶¶|~µz¶∼{}}x¶x
{z¶x
|~{y
z
øøø
þ ¡hfif\¢[ |~ ò ´±\i\f[ x
z| {| x¡{
z{x| G« ªç¦¥©§ª« ¥«ê
Zª¦¬î©¥©§ª« ìõ¿ £
ø ¤f²±\f ð ¤f ·fhh± k °\\g |~ ã ¢ ´±i¬ {}z~ |x~ xx{|}õ
| z z ¡|{ ®¡z|~~ zz¯ Yçªæ > §© =ÿ ZX ©«¸¨ } ¿£
øø
¤f²±\f þ ¹h[\[ |~ ã ¢ ´±i¬ ð{ù|z{ x¡{
z{x| }x{z
x
x
x
{|zx{ xz{
{z{x| x
èªç詧楨 Zª¦¬î©èç Xæ§è«æè øõø÷£ ·
¤f²±\f k °\\g |~ ã ¢ ´±i¬ {~}{|} } z| z|~~ |~ ~{
|z{ x|x
{ x¡{
z{x|õ z x {|µ{|} ¬¬¨§èê ´¥©è¦¥©§æé =è©©èçé
õ÷£ ìì
÷
k0
k0 +1
0
s,t
s,t
0
s
s
ì ¤f²±\f |~ 㢠´±i¬ '| | x¡{
z{x|
y xy|~~ x| z {|µ z|
xz{
{z{x| |~ x|x
{ x¡{
z{x| zx èªç詧楨 Zª¦¬î©èç Xæ§è«æè ·õ÷£ ¿
¿ ä º\f»hfgf\ |~ µ±h¼[\½[ òx¡{
z{x| ~| x ¢£þ {z xy|~~
z{
´¥«îéæ秬 © ¥¥§¨¥ô¨è ª« ¥êêçèéé ©©¬ ¾¾ «¥ê¥¿©éè¾∼ è«ïè¾ è«ïèô§ô¾ øø
ä °[¬fh ¶ ä ±f²¬±fh |~ ä ò ·fÀ ò| |{ x x¡{
z{x| x
|~{|}
¡{
y
{}z
{zx|{| {y{z Á¬è祩§ª«é èéè¥çæ ÷®¿¯õ÷£·ø ÷
w ¹±hfÀ |~ ð £ Â¬\\ Zª¦¬î©èçé ¥«ê §«©ç¥æ©¥ô§¨§©í ïî§êè ©ª ©è ©èªçí ª
ÿY檦¬¨è©è«èéé ò
| ÷
÷ w £ ¹±h[\½f xz{z{x| |~
x~{|} ºÃ Ä Ä±ÅfhÆ Âà µÃ Äf\gh± Æ Ã ³Ã ¹Ã
Ç[\\À µ±\ ±\® ¤Ã à ^¬²À Èf® ÃÉ è ç¥è¨§«ï X¥¨è馥« Yçªô¨è¦ ¥ ïî§êèê ©ªîç ª
Zª¦ô§«¥©ªç§¥¨ Á¬ ©§¦§¥©§ª« >§¨èí Z§æèé©èç } ÷£ì ·
· ñ ¹gg²±\\Êfi½ w ³±[\ £ µ¬fh |~ DZ¬±Ë±i¬±h[ òx¡{
z{x|
}x{z
{z xy|~~ x
| }y|z x z yz~ z{|}
| x
¨ï ªç§©¦§æ¥ · ®¿¯õ¿£¿ì÷ øøø
³±[²Ë[i¬ |~ ò ¶ Ç[\\À µ±\ xy|~ |~ y{z{ x {zz~ xyz{|}
x
´¥©è¦¥©§æé ª Á¬è祩§ª«é èéè¥çæ ø®¯õ÷£¿ ·
ø w ³±[\ |~ £ µ¬fh zx¡{
z{x| ¦ ª ¨ïªç§©¦ ¿®¯õ¿£¿¿ øø
w ³±[\ |~ £ Ç»[\gf[\ zz x¡{
z{x| x
¡ ¢£þ G« ªç¦¥©§ª« Yçªæèé駫ï
=è©©èçé ÷ øøø
k ò ³fËff\ ò|{ x {zx~l y{z{õ £x
z
x ~{|yz z|
Á¬è祩§ª«é èéè¥çæ =è©©èçé øõ£
ì ð £ Â¬\\ |~ ´±¼±®[²[gh[ Yèç ªç¦¥«æè ïî¥ç¥«©èèé ªç èîç§é©§æé ºÃ Ä
ıÅfhÆ Âà µÃ Äf\gh± Æ Ã ³ à ¹Ã Ç[\\À µ±\ ±\® ¤Ã à ^¬²À Èf®É è ç¥è¨§«ï
X¥¨è馥« Yçªô¨è¦ ¥ïî§êèê ©ªîç ª Zª¦ô§«¥©ªç§¥¨ Á¬ ©§¦§¥©§ª« ·[fÀ ¡¬[i¬fgfh 145−180
·
¿ w µ±h¼ èêîæ§ô§¨§©í ¥¦ª«ï 檦ô§«¥©ªç§¥¨ ¬çªô¨è¦é w °[fh |~ k ]¬±gi¬fh
x
¡{z x x
yz x
yzz{x| · øì þ|y
þ ñe ÷
w µ±h±¯ k ´±h½ |~ ^gf[\ zxy |~ xz yz{|} Yçªæ ÁZX ®¿¯õ£
÷÷ ¿
ä ıÅfh k Äf\gh± ò ¶ Ç[\À µ±\ |~ ð ^¬²À Èf®ÃÉ è ©ç¥è¨§«ï
饨è馥« ¬çªô¨è¦ ïî§êèê ©ªîç ª 檦ô§«¥©ªç§¥¨ ª¬ ©§¦§¥©§ª« { ñ exµ ·
·
÷ k °\\g ð{ù|z{ x¡{
z{x| x ñþ~ x
{z x|z|z { { xy
z{x| G Á¾ Á¬è祩§ª«é èéè¥çæ 쮿¯õ÷£÷ øø
· k °\\g ¢
¡{
y
f ~z ||{|} z x
G« ªç¦¥©§ª« Yçªæèé駫ï =è©©èçé
·øõ÷£ ·÷ øø
k °\\g òx¡{
z{x| yz zx~ ñz ñ{}x y{z{ Ìîïªé¨¥ ¦ªîç«¥¨ ª
Á¬è祩§ª«é èéè¥çæ ®¯õ£ øø
ìø þ Íh¼\f\ |~ °±\\[± '| x¡{
z{x| {|} ~yz{x|õ x
z x
|~ xyz
y ¢|{ xzðz
|z x x
yz £{|ë|{{z x {|µ{
·÷
ì ´±¼±®[²[gh[ |~ α\\±½±½[ ¢ z{|}
| x
{z ~{z| x|
|~ zx ´¥©è¦¥©§æé ª Á¬è祩§ª«é èéè¥çæ ·õ£ ì
ì ò ´±¢ |~ £ °h±\ ñx| ~z
{|{z{ x|x
{ xz{
{z{x| x
|~ z{ x¡
{
z{x| èªç詧楨 Zª¦¬î©èç Xæ§è«æè õ£÷÷ ·
ìì £ ^±¬\[ |~ ¢ ¹\¢±f¢ þx
z x¡{
z{x| x
¦ ª Z´ ìõ£
÷
ì¿ k ]±h¬[ |~ Ͻ½\f\ ò }~ x¡{
z{x| }x{z
x x|zyz{|} xzz
x
x| yz{|} èªç詧楨 Zª¦¬î©èç Xæ§è«æè ÷õì£ ¿ ··
ì £ ò ±Ë±[ òx¡{
z{x| }x{z
x {|~|{z öy~z{ x}
{|} ´¥©è¦¥©§æ¥¨
Yçªï祦¦§«ï ÷õ÷£ì ÷
ì Ðf²f y{|} z öy{z x x¡{
z xyz{x| zx xx| x}
{|} x
´¥©è¦¥©§æé ª Á¬è祩§ª«é èéè¥çæ õì£ìì ·
© Copyright 2026 Paperzz