Solving Very Large Crew Scheduling Problems to Optimality Arnaldo V. Moura Tallys H. Yunes Institute of Computing, University of Campinas [email protected] Institute of Computing, University of Campinas P.O. Box 6176, ZIP 13083-970 Campinas, SP, Brazil Cid C. de Souza Institute of Computing, University of Campinas [email protected] [email protected] Keywords ABSTRACT ! " # $ $ % # $ $ $ & $ '$ Æ ! $ ( ) # % * + 1. INTRODUCTION $ $ % , Æ -. /012+///3 . -4. 54. *261/67 4" 58220081/387 Permission to make digital or hard copies of all or part of this work for personal or classroom use is granted without fee provided that copies are not made or distributed for profit or commercial advantage and that copies bear this notice and the full citation on the first page. To copy otherwise, to republish, to post on servers or to redistribute to lists, requires prior specific permission and/or a fee. SAC ’00 Villa Olmo, Como, Italy Copyright 2000 ACM 0-89791-88-6/97/05 .. 5.00 9 : $ Æ $ % , $ $ ; : ;: $ $ 57 5 7 " % <=> ?> 0@ " $ $ , Æ $ ) $ $ , $ , $ # , A Æ "# # ' , $ $ *+2 *= , & # = 2 8+2 : # 8=2 ; , : = 8 % 3 - + 2. THE CREW SCHEDULING PROBLEM $ , $ $ : B % $ , $ $ , % # " $ $ C$ $ D $ , $ , $ , , $ , # $ 2 , $ % # $ - $ E 2.2 Input Data , - A C $ B $ & ==== & 8028 $ ( & ==== *=+ & 8028 =3? , ! ==== ! 8028 $ ; # $ $ - # % 82 ! ==== $ 82 , *57 % *2 ! 8028 $ & ==== & 8028 , *57 , - 5 7 F < E @ , E , $ # ;: - % , $ A - $ A 57 5 7 E 5 7 5 7 57 5 7 F 5 7 > E 2 > $ $ > D $ A F *=2 F 332 F 82 F 2 % , : " C : : 57 - 2.1 Terminology 2.3 Constraints 3. PURE APPROACHES , Æ A % $ , $ : $ C $ Æ , A ( 5*7 F* F* = 5=7 F* = 587 : , G 2* $ , Æ " * 2 D : <*@ " $ $ Æ , # % $ " "# $ , , $ 2 * , *A 57 ! 8028 57 D 57 57 4. A HYBRID APPROACH # $ $ $ : ($ ! $ $ - $ $ * ¾ $ $ $ , $ C $ $ , , $ $ $ <8@ 4$ $ , <0@ DÆ $ " <=> ?> 0@ , Æ ; # % $ # C $ " % " H <3@ $ $ # ; C $ $ $ - Æ A $ $ $ ($ $ <*@ $ # 5 7 % $ , $ : Æ ! $ C ; ) # $ , & $ ; ) &.I 8 2 & $ C ; ) $ $ $ $ $ # $ # ; ) $ & $ $ , $ & ' ; $ " $ +8 4.1 The Column Generator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omputational Results $ $ $ $# $ $ $ $ $ $ $ $# C ?2 $ A A $ C ! ==== ! 8028 , = 8 $ $ A M, > M-D > ! $ > D;H > M > M& $> M4 $ , $ A , > &, $ ,, 4 $ " $ & $ $ !" # # %% %%# %% %% %#% %#% %% , 8A ! 8028 5= 7 # # # $ !" # %% %% %% %% %% %% %% %% #%% %% %% # # %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %%# %%# %% %% %%# %% %% %#% %% %% %% %%# %% %% $ # , $ $ # $ - , = $ =* 8+2 : # , $ $ , ' $ *22 , 8 , *=+ % ! ==== N $ % *22 # *=+ , ! 8028 ! ==== - % =3 $ *+2 # , *= ?2 ; *+2 5*= + *2 7 " $ * 0 ; ; Æ # $ $ , $ $ $ # " $ $ 5. CONCLUSIONS AND FUTURE WORK C $ " $ $ , # ! $ # $ , $ $ Æ # $ $ $ $ ) # % , $ $ ' Æ C % *+2 *= 4$ $ =3 *== - $ $ '$ 6. REFERENCES <*@ ; . & O & 4 C $ J ;A $ , H ! /328 , ) *//8 A11 111 <=@ P DD O & : ' '(" ) * *2587A=6?Q=0? *//0 <8@ D - & " =85*7A*Q*8 */0/ <3@ $ & !: A )+ ( , - <+@ <?@ <6@ <0@ * *//0 A11 #1 & D ## ) % 5*7A=+Q3? *//8 4 # J $ ' * " 30*Q3/0 *//+ - G/+ O &$ C ; H ! & & ) 5*87A68Q0* *//+ A11 #1 , N J : $ , H //*/ )$ ;: */// A11 11 APPENDIX A. ABOUT THE AUTHORS . )$ 5)4 7 ;: *//6 )4 ;: !: D )$ ;# ) */02 )4 ;: , - & J% - . !: D )$ &$ 5 !H.7 ; *//8 )4 ;: !: & D
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