LINEAR CONTROL
SYSTEMS
Ali Karimpour
Associate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
Lecture 7
Lecture 7
Topics to be covered include:

Controllability and observability.



Canonical forms.




Definition of controllability and observability.
Controllability and observability of different modes.
Controllable, observable and Jordan canonical forms.
Controllability and observability in Jordan forms.
Transfer function of controllable and observable
systems.
Controllability and observability from block diagram.
2
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Controllability
x Ax  bu
y  cx  du
‫کنترل پذیری‬
(I )
Definition 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is said to be controllable if
for any initial state x0 and any final state x1, there exists an input that transfers
x0 to x1 in a finite time. Otherwise (I) or (A,b) is said to be uncontrollable
‫ ورودی ای‬، x1 ‫ و برای هر‬x0 ‫( را کنترل پذیر گویند اگر برای هر‬A,b) ‫( یا زوج‬I) ‫ معادالت‬:1‫تعریف‬
‫( یا زوج‬I) ‫ در غیر اینصورت معادالت‬.‫ برساند‬x1 ‫ را در زمان محدود به‬x0 ‫وجود داشته باشد که‬
‫( را کنترل ناپذیر گویند‬A,b)
3
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Controllability test
x Ax  bu
y  cx  du
‫تست کنترل پذیری‬
(I )
Theorem 1:The state equation (I) or the pair (A,b) is controllable if and only if
‫( کنترل پذیر است اگر و فقط اگر‬A,b) ‫( یا زوج‬I) ‫ معادالت‬:1‫قضیه‬
S= |
|
b Ab A2b ….. An-1b ≠ 0
4
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Example 1 : Check the controllability of following
system
‫ کنترل پذیری سیستم زیر را بررسی کنید‬:1 ‫مثال‬
1
0  0 
 0
x   0
0
1  x  0u
 6  11  6 1 
y  [1 1 0] x
1
0 0
S  [b Ab A2b]  0 1  6 
1  6 25
0
S 0
0
1
1  6  1
1 6
25
This kind of system is controllable so it is called
controllable canonical form.
‫این نوع سیستم همواره کنترل پذیر است لذا به آن فرم کانونی کنترل پذیر‬
5
.‫گویند‬
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Observability
x  Ax  bu
y  cx  du
‫رویت پذیری‬
(I )
Definition 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is said to be observable if
for any unknown initial state x0 , there exists a finite time t1 > 0 such that the
knowledge of the input u and the output y over [0,t1] suffices to determine
Uniquely the initial state x0. Other wise, the equation is unobservable.
x0 ‫( را رویت پذیر گویند اگر برای هر شرط اولیه‬A,c) ‫( یا زوج‬I) ‫ معادالت‬:2‫تعریف‬
[0,t1] ‫ در بازه‬y ‫ و خروجی‬u ‫ وجود داشته باشد که اطالعات ورودی‬،t1>0 ‫زمان محدود‬
.‫ کافی باشد در غیر اینصورت سیستم را رویت ناپذیر گویند‬x0 ‫برای محاسبه منحصر بفرد‬
6
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Observability test
‫تست رویت پذیری‬
x Ax  bu
(I )
y  cx  du
Theorem 2:The state equation (I) or the pair (A,c) is observable if and only if
‫( رویت پذیر است اگر و فقط اگر‬A,c) ‫( یا زوج‬I) ‫ معادالت‬:2‫قضیه‬
c
cA
V
cA2
.
0
.
cAn 1
7
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Example 2 : Check the observability of following
system
‫ رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید‬:2 ‫مثال‬
1
0  0 
 0
x   0
0
1  x  0u
 6  11  6 1 
y  [1 1 0] x
 c  1
1
0

 

V  cA    0
1
1
cA2   6  11  5


1
1
0
V  0
1
1  1(5  11)  1(0  6)  0
 6  11  5
So the system is not
observable.
‫پس سیستم رویت پذیر نیست‬
8
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Controllability test for each mode(system with distinct eigenvalues)
)‫تست کنترل پذیری برای هر مود (سیستمهای دارای مودهای مجزا‬
x Ax  bu
1
y  cx  du
2 . 3
n
.
Eigenvalues of A
A ‫مقادیر ویژه‬
For the controllability of a mode i it is sufficient that the
following matrix has full row rank
i I  A| b
9
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Observability test for each mode (system with distinct eigenvalues)
)‫تست رویت پذیری برای هر مود (سیستمهای دارای مودهای مجزا‬
x  Ax  bu
1
y  cx  du
2 . 3
n
.
Eigenvalues of A
A ‫مقادیر ویژه‬
For the observability of a mode i it is sufficient that the
following matrix has full column rank
 i I  A
    


 c

10
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Example 3: Check the observability and
controllability of each mode
.‫ کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را بررسی کنید‬: 3 ‫مثال‬
 2 1  1
x
x    r (t )

 0  1 0
y  [1 1]x
.
1  2
S

0
0


S 0
sI - A 

s2
1
0
s 1
Lecture 7
 ( s  1)( s  2)  1  1, 2  2
It is not completely controllable
Controllab ility of 1  1 :
1 1 1
0
0
0
not
full
row
rank

1  1 is not controllab le
Controllab ility of 2  2 :
0 1 1
0 1 0
full row rank



2  2 is controllab le
11
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Example 3 : Check the observability and controllability of
each mode (continue)
.)‫ کنترل پذیری و رویت پذیری هر مود را بررسی کنید (ادامه‬: 3 ‫مثال‬
 2 1  1
x
x    r (t )

 0  1 0
y  [1 1]x
.
 1 1
V 


2
0


sI - A 
V 0
s2
1
0
s 1

 It
 ( s  1)( s  2)  1  1, 2  2
is completely observable
So 1  1, 1  2 are both observable
12
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Poles of transfer function ‫قطبهای تابع انتقال‬
1
0  0 
 0
x   0
0
1  x  0u
 6  11  6 1 
y  [1 1 0] x
Eigenvalues of A
A ‫مقادیر ویژه‬
1
G( s) 
( s  2)( s  3)
1  3
p1  3
2  2
3  1
p2  2
What happened to -1 ?
Poles of system
‫قطبهای سیستم‬
1 - It is not controllab le or 
2 - It is not observable or 


3  1 

3
It
is
not
controllab
le


 and not observable 13
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Similarity transformation properties
‫خواص تبدیالت همانندی‬
x  Ax  bu
y  cx  du
Similarity transformation

w  Px
Aˆ P A P 1
cˆ  cP 1
bˆ  Pb
dˆ  d
1- It can lead to a simpler system.
2- It doesn’t change the eigenvalues.
w  Aˆ w  bˆu
y  cˆw  dˆu
‫ امکان ساده سازی سیستم‬-1
‫ عدم تغییر مقادیر ویژه‬-2
3- It doesn’t change controllability.
‫ عدم تغییر کنترل پذیری‬-3
4- It doesn’t change observability.
‫ عدم تغییر رویت پذیری‬-4
14
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Effect of similarity transformation on eigenvalues of system
‫تاثیر تبدیالت همانندی بر مقادیر ویژه‬
x  Ax  bu
y  cx  du
w  Px
Aˆ P A P 1
cˆ  cP 1
bˆ  Pb
dˆ  d
sI  A  0
w  Aˆ w  bˆu
y  cˆw  dˆu
sI  Aˆ  0
1
1
1
1
ˆ
sPP

PAP

P
(
sI

A
)
P

P
sI

A
P
sI  A 
 sI  A
Similarity transformation doesn’t change the eigenvalues.
‫تبدیل همانندی مقادیر ویژه را تغییر نمی دهد‬
15
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Effect of similarity transformation on controllability
‫تاثیر تبدیالت همانندی بر کنترل پذیری‬
w  Aˆ w  bˆu
ˆ
x  Ax  bu
Aˆ P A P 1
y  cx  du

cˆ  cP 1
n 1
S  b Ab A b ... A b

2

b  Pb
dˆ  d
y  cˆw  dˆu

Controllab ility
Sˆ  bˆ Aˆ bˆ Aˆ 2bˆ ... Aˆ n 1bˆ
Matrix


Sˆ  bˆ Aˆ bˆ Aˆ 2bˆ ... Aˆ n1bˆ  Pb PAP 1 Pb PA2 P 1 Pb ... PAn 1 P 1 Pb 
Pb



PAb PA2b ... PAn 1b  P b Ab A2b ... An 1b  PS

Sˆ  PS  P S
Similarity transformation doesn’t change the controllability.
‫تبدیل همانندی کنترل پذیری را تغییر نمی دهد‬
16
Dr. Ali Karimpour Feb 2013

Lecture 7
Effect of similarity transformation on observability
‫تاثیر تبدیالت همانندی بر رویت پذیری‬
x  Ax  bu
y  cx  du
 c 


cA


V  . 


 . 
cAn 1 


Aˆ P A P 1
cˆ  cP 1
bˆ  Pb
dˆ  d
Observabil ity
Matrix
With the same proof as pervious
w  Aˆ w  bˆu
y  cˆw  dˆu
 cˆ 
 ˆ 
 cˆA 
Vˆ   . 


 . 
slide cˆAˆ n1 
Similarity transformation doesn’t change the observability.
‫تبدیل همانندی رویت پذیری را تغییر نمی دهد‬
17
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Important canonical forms
‫فرمهای کانونی مهم‬
1- Controllable canonical form.
‫ فرم کانونی کنترل پذیر‬-1
2- Observable canonical form.
‫ فرم کانونی رویت پذیر‬-2
3- Jordan canonical form.
‫ فرم کانونی جردن‬-3
18
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Controllable canonical form
‫فرم کانونی کنترل پذیر‬
0
0

x   ..

0
 
y [ 
... 0 0
0 1 ... 0 0
.. .. ... .. x   . u
  
0 0 ... 1  0
  ...   1 
  ... ]x
1
0
1
0  0 
0
x   0
0
1  x  0u
 8  14  7  1 
y  [1 2 0]x
0
0

S   ..

0
 1
... 1 
0 0 ... 
.. .. ... .. 

1  ...  
  ...  
G( s) 
0
0
 S 0
2s  1
s 3  7 s 2  14s  8
19
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Observable canonical form
‫فرم کانونی رویت پذیر‬
0
1

x   0

 ..
 0
y [ 0
0
0
1
..
0
0
0
x   1
 0
y  [0
...  
0 ...  
0 ...  x  u
  
.. ... ..   . 
0 1   
0 ... 1]x
0
 8 1 
0  14  x  2u
1  7  0 
0 1]x
0
0
V 
 ..

1
0 1
0 ... 1 
 V 0
.. .. ... .. 

  ...  
0
...
0
G( s) 
2s  1
s 3  7 s 2  14s  8
20
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Jordan canonical form for systems with distinct eigenvalues
‫فرم کانونی جردن برای سیستم با مقادیر ویژه مجزا‬
1 0 0
0  0
2

x   ..
.. ..

.. ..
 ..
0 0 0

y  [ c1 c2 c3
... 0  b1 
... 0  b2 
... ..  x   . u
  
... ..   . 
... n  bn 
... cn ]x
Checking the controllability
and observability is very simple
All modes are controllable
and observable
‫تمام مودها کنترل پذیر‬
‫و رویت پذیر است‬
0
0   7 
 4
x   0  2
0 x   3 u
(0.17)( 7) (0.5)  (3) (0.33)  (1)
g (s) 


 0
0  1  1 
s4
s2
s 1
y  [0.17  0.5 0.33]x
21
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Extended Jordan canonical form
‫فرم کانونی جردن تعمیم یافته‬
1 1 0
0  0
1

x   0 0 2

.. ..
 ..
0 0 0

y  [ c1  c2
... 0   
... 0  b1 
... 0  x  b2 u
  
... ..   . 
... r  br 
... cr ]x
1 and 1 are conrollabl e iff b1  0 1 and 1 are observable iff
2 is conrollabl e iff
.
.
.
.
r is conrollabl e iff
b2  0
br  0
2 is observable iff
c1  0
c2  0
.
.
.
.
22
r is observable iffDr. Ali KarimpourcrFeb20130
Lecture 7
Transforms to controllable canonical form
‫تبدیل به فرم کانونی کنترل پذیر‬
1  1 1
x  
x   u

0  1 1
 q
P 
qA
q  [0 1]S
1 0 
S

1

1


1
0
1
ˆ
A  PAP  
1
0 1
0 
w  
w   u

1 0
1 
S  1  0
System is
controllable
q is last row
of S-1
1
0
1  1
P

1
0


 0
ˆ
b  Pb   
 1
Controllable
canonical form
23
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Transforms to observable canonical form
‫تبدیل به فرم کانونی رویت پذیر‬
 1 2 1
x  
x   u

 2 1 1
y  [0 1]x
0 
q V  
1 
1
0  5
1
ˆ
A  PAP  

1
2


 0 1 System is
V 
 observable

2
1


q is last
column
of V-1
 3
ˆ
b  Pb   
1 
0  5
 3
w  
w   u

1 2 
1 
y  [0 1]w
P  q Aq
1
 2  1
P

0
1


cˆ  cP 1  0 1
dˆ  d  0
Observable
canonical form
24
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Transfer function of controllable and observable systems.
‫تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر‬
x  Ax  bu
y  cx  du

G(s)  c( sI  A) 1 b  d
Let A be n  n
Suppose the system is controllable and observable
‫فرض کنید سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر باشد‬
There is no pole zero cancellation in transfer function
‫حذف صفر و قطب در تابع انتقال نداریم‬
The degree of transfer function is n
.‫ است‬n ‫درجه تابع انتقال برابر‬
25
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Transfer function of controllable and observable systems.
‫تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر‬
x  Ax  bu
y  cx  du

G(s)  c( sI  A) 1 b  d
Let A be n  n
Suppose the system is not controllable or is not observable
‫فرض کنید سیستم کنترل پذیر یا رویت پذیر نیست‬
There is pole zero cancellation in transfer function
‫حذف صفر و قطب در تابع انتقال داریم‬
The degree of transfer function is less than n
.‫ است‬n ‫درجه تابع انتقال کمتر از‬
26
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Example 4: Transfer function of controllable and observable
systems.
‫ تابع انتقال سیستمهای کنترل پذیر و رویت پذیر‬: 4‫مثال‬
1 1 0 0
x  0 1 0  x  1 u
0 0 3  1 
y  [1 0 2]x
1 2 3  1 
x  1 2 0 x  1 u
0 0 1 0
y  [1 1 1] x
G( s) 
2s  3s  1
s 3  5s 2  7 s  3
2
2
G( s) 
s 3
System is
controllable
and
observable
System is not both
controllable and
observable but 3 is
controllable and
observable
But we can not know much more information about the system by this method
.‫اما نمی توان اطالعات بیشتری از این روش بدست آورد‬
27
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Controllability and observability from block diagram and state diagram
‫کنترل پذیری و رویت پذیری از طریق بلوک دیاگرام و دیاگرام حالت‬
1- Find the numbers of s-1in the block diagram or state diagram.
‫ را در بلوک دیاگرام و یا دیاگرام حالت بدست آورید‬s-1 ‫ ابتدا تعداد‬-1
2 - Find the transfer function by Mason’s rule
‫ تابع انتقال را با توجه به قانون گین میسون بدست آورید‬-2
3 – If the numbers of s-1in the block diagram or state diagram
is equal to degree of transfer function then the system is
controllable and observable.
‫ در بلوک دیاگرام و یا معادالت حالت با درجه تابع انتقال برابر‬s-1 ‫ اگر تعداد‬-3
.‫شد آنگاه سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر است‬
28 ‫با‬
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Example 5: Check the controllability and observability of following
function.
.‫ کنترل پذیری و رویت پذیری سیستم زیر را بررسی کنید‬:5 ‫مثال‬
SD
TF
Mason’s rule
G( s) 
c( s )
1
 2
r ( s ) s  5s  4
The numbers of s-1in the state diagram is 2 and the degree of
transfer function is also 2 so the system is controllable and
observable.
‫ است لذا‬2 ‫ بوده و درجه تابع انتقال نیز‬2 ‫ در دیاگرام حالت برابر‬s-1 ‫تعداد‬
.‫سیستم کنترل پذیر و رویت پذیر است‬
29
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Exercise
1- Find the modes of following system.
 2 1 3 0
x   0  3 2 x  1 u
 1 4  1  0
2-a)Find the eigenvalues of following system.
b) Find the pole of transfer function.
c) Are the eigenvalues controllable and observable?
 2
x   0
 1
y  [1 2
3 0
 3 2  x  1 u
4  1  0
0] x
1
 3  6  4  6 
 x   3u
3- Check the controllability and observability x   1 2
2

  
of every mode in the following system.
 1  6  6   4 
y  [ 2 2  1]x
30
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Exercise (Cont.)
4- Check the controllability and observability of every mode in the
following system and compare it with exercise 4.(Note that the
system in this exercise and exercise 4 are similar that shown in
example 2
  2 0 0
2
w   0
 0
 1 0 w  0 u
1 
0  4
y  [1 1 0]w
5- Examine the controllability and observability of each mode of the
following system.
  1 0 0
1 
X (t )   0  2 3 X (t )  0 r (t )
 0 0  4
1 
c(t )  [1 0 1] X (t )  r (t )
Answer: All modes are controllable. -1 and -4 are observable but -2 is not
31
observable.
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Exercises (Cont.)
 3  6  4  6 
x   1
2
2  x   3u
 1  6  6   4 
y  [ 2 2  1]x
  2 0 0
2
w   0  1 0 w  0 u
 0 0  4
1 
y  [1 1 0]w
6- Consider the following system.
a) Find the controllable canonical form.
b) Find the observable canonical form.
7- Check the controllability and
observability of every mode in
the following system by direct
inspection (without calculation).
S-1
8- Check the controllability and
observability of the following
system
1
1
r(s)
1
-1
S-1
-3
S-1
-2
3
-2
c(s)
1
32
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Exercises (Cont.)
9- Check the controllability and observability of the following system
by transfer function method.
1
s2
+
+
3
1
s
+
+
10- Check the controllability and observability of every mode in
exercise 5.
11- The eigenvalues of a system are -3,4,-5 and the poles of its
transfer function are -3 and -5.(Midterm spring 2008)
a) What is your idea about the observability of each eigenvalue.
b) What is your idea about the controllability of each eigenvalue.33
Dr. Ali Karimpour Feb 2013
Lecture 7
Exercises (Cont.)
12- Find a state space realization for following system such that it is
neither observable nor controllable.(Final 1391)
g (s) 
s2
s 1
34
Dr. Ali Karimpour Feb 2013