張衡工數-第 7 次測驗 範圍：級數解(Bessel、Legendre 方程式)
學號：
就讀學校科系：
姓名：
目標：
1. Find the first five nonzero terms of the power series solution of the initial value
problem, about the point where the initial conditions are given:
y  e x y  x2 , y(0)  4 . (15%) 【99 成大光電＆交大機械丁(17%)】
3
解： y ( x)  4  4 x  x 
2. Let
1 4 7 5
x  x 
12
60
y be a real function of x . Find two linearly independent Frobenius
solutions of the following differential equation at x  0 :
2x2 y  x( x  3) y  3 y  0
(20%)
【99 台聯大(A)、(C) 、(D) (20%)】
1
1


 1

y  c1 x1  x  x 2     c2 x 2 1  x  x 2   
3
8


 2

3
解：
3. Use the power series method to solve the following equation
(1  x 2 )
where n is a nonnegative integer.

1
(20%)
2
d y
dy
 2 x  n(n  1) y  0
2
dx
dx
【98 中山電機乙＆台科化工(15%)】

1
2
4
解： y  c0 1  2 n(n  1) x  4! n(n  2)(n  1)(n  3) x  


1
1

c1  x  (n  1)(n  2) x3  (n  1)(n  3)(n  2)(n  4) x 5 
3!
5!




4. Bessel equation: x2 y  xy  ( x2   2 ) y  0 ;  is real and non-negative;
(20%)
(1) Are x  0 and x  1 ordinary, regular singular or irregular singular point?
(5%)
(2) If   n (integer), using Frobenius method to prove Bessel equation’s
solution y :
(15%)
y  J n ( x)  x

n

m0
(3) If
(1) m x 2 m
22 m  n  m !(m  n)!
  n (integer), Prove: J n ( x)  (1)n J n ( x)
(5%)
【98 暨南電機電子(25%)】
1
張衡工數-第 7 次測驗 範圍：級數解(Bessel、Legendre 方程式)
學號：
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目標：
解：(1) x  0 為 regular singular point, x  1 為 ordinary point

(1)n a0(n  1)  2n 2 m
(1)n a0n!2n
n
x  x  2m n
x2m
(2) y1  x  2 m  n
m!(m  n  1)
m!(m  n  1)
m 0 2
m 0 2

n
(1) n
x 2 m  AJ n ( x) （其中 A  a 0 n!2 n ）
2m n
m!(m  n)!
m 0 2

 Ax n 
(3)  Gamma函數( )之  0
(1) m
 x
 J  n ( x)  
 
m  n m! ( m  n  1)  2 

(1) k  n  x 

 
k  0 ( k  m)! k! 2 

2mn
2k  n
(1) m  x 

 
m  n m!( m  n)! 2 

2m n
(1) k  x 
 (1) 
 
k  0 ( k  m)! k! 2 

, 令mk n
2k  n
n
(1) k
 x
 (1) 
 
k  0 k!( k  n  1)  2 

2k  n
 (1) n J n ( x)
n
即 J  n ( x)  (1) n J n ( x) 得證
5. Let’s denote J v ( x) and Yv ( x) to be the Bessel functions of 1st kind and of 2nd
kind, respectively. I recall you that x2 y  xy  ( x2  v2 ) y  0 is called Bessel’s
equation where v is a real and nonnegative number. Find a general solution for
the ordinary differential equation xy  11y  xy  0 in terms of J v ( x) and Yv ( x) .
[Hint: use the substitution y  x5u in your derivation.]
【99 清大工科(15%)】
(1) n
x 2n  ）
n
!

(
n



1
)
n 0
解： y  x 5 c1 J 5 ( x)  c2Y5 ( x) （其中 J  ( x)  

6. Find the power series solutions about 0 for the differential equation.
( x 2  4) y   xy  x  2
(15%)
【98 台大化工(15%)】
解：
y  C 0 (1 
1 3
1 5
1 4
1
1 3 1 4
1 5
x 
x  )  C1 ( x 
x  )  ( x 2 
x 
x 
x )
24
320
48
4
24
96
160
2