第6章 正弦交流电路的分析
第6章 正弦交流电路的分析
6.1
 6.2
 6.3
 6.4

阻抗和导纳
正弦交流电路的分析
正弦交流电路的功率
三相电路
本章要求:
1.掌握阻抗的串、并联；
2.熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法；
3.了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功
率、功率因数、复功率的概念及表达形式；
4.掌握最大功率传输的概念及在不同情况下的最大传
输条件；掌握三相电路的概念及对称三相电路的计算
方法，会计算三相电路的功率。
6.1 阻抗和导纳
1 阻抗（导纳）的定义
在角频率为的正弦电源激励下
I
I
＋
U
－
无源
线性
网络
N0
＋
U
Z
－
定义阻抗：
def U Uu U
Z

 u  i  Z  Z 
Ii
I
I
阻抗模
U
Z 
I

阻抗角
z  u  i
Z 也称为一端口网络的等效阻抗或输入阻抗。
1 阻抗（导纳）的定义
I
I
＋
U
也可定义导纳：
－
无源
线性
网络
N0
＋
U
Y
－
I
I
Y 
 (i  u ) | Y |  y S
U U
I
1
显然： Y  1
导纳模 Y  U  Z
Z
导纳角  y  i  u  z
则：
U  ZI
或
I  YU
欧姆定律的相量形式
当无源网络内为单个元件时有：
IR
R
＋ UR －
IL
1
R： Z R  R ，YR   G
R
L： Z L  j  L  jX L ，
jωL
＋ UL －
1
1
YL 
j
  jBL
jL
L
1
j C
＋  －
UC
IC
C： Z C 
1
  jX C ，
jC
YC  j  C  jBC
表明：Z 是复数。Z 可以是实数，也可以是纯虚数。
当无源网络内有多个元件时，例如RLC串联电路：
.
.
.
.
U S  U R  U L  UC
.
.
1 .
 R I  j L I  j
I
C
1
 [ R  j ( L 
)] I
C
 [ R  j ( X L  X C )] I
 ( R  jX ) I
I
＋
R
＋ U R － ＋ U L －
U
－
1
j C
＋
U C
－
则：
US
Z
 R  jX
I
R —电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)。
注意：Z 是复数。故Z也称为复阻抗，但Z不是相量，
不能代表正弦量。
2、阻抗三角形
U
Z   Z z  Z cos z  j Z sin z  R  jX
I
 | Z | R 2  X 2
转换关系：
X
 z  arctan

R
或
R=|Z|cosz
X=|Z|sinz
U
Z 
I
z  u  i
阻抗三角形
|Z|
z
R
X
3、阻抗的性质
Z  Z z  R  jX （R  0）
（1）X>0， z>0，电路为感性， 电压超前电流。
U  IZ  I i  Z Z  I Z i  Z
U  IZ  I ( R  jX )  U R  U X
j Leq
R

I
等效电路
＋
相量图：串联时，
一般选电流为参
考向量，
i  0
＋U R － ＋ U X －
U
－

U

UX
z
U  U R2  U X2
U X
U R
I
电压
三角
形
3、阻抗的性质
Z  Z z  R  jX （R  0）
（2）X<0， z<0，电路为容性， 电流超前电压。
I
等效电路
相量图：
U X
z
＋
U R
U
R
j C
＋U R － ＋ U －
X
I
U X
1
U
－
U  U R2  U X2
（3） X=0， z=0，电路为电阻性， 电压与电流同相。
U  IZ  IR  U R
等效电路
I
＋
R
U
－
U  UR
I
4、阻抗与导纳的转换
Z
R
jX
Z  R  jX | Z | z
Y

B  R2XX 2
jB
Y  G  jB | Y | φ y
R jX
1
1
Y  Z  R jX  R2  X 2  G  jB
 G  R2 RX 2 ,
G
G —电导
B —电纳
注意一般情况G1/R ，
B1/X。若Z为感性，
I
Y   I  UY  U ( G  jB ) X>0，则 B<0，即仍
U
为感性。
【例6.1】 已知无源一端口网络的端口电压和电流分别为
，
u  220 2 cos(314t  20)V
i  4.4 2 cos(314t  33)A
求该一端口网络的阻抗和导纳，以及一端口网络由两个元件串
联的等效电路和元件的参数值。
解：由题意得 U  22020V
端口阻抗
I  4.4 - 33A
U
22020
Z 
I 4.4  33
 5053Ω  (30.1  j 40)Ω
I
＋
R
30.1Ω
U
0.127H
－
该一端口网络可等效为一个电阻和电感串联的电路，其参数为
XL
40
R  30.1Ω ，感抗 X L  40Ω ，对应的电感为
L
端口导纳
1
Y   0.02  53S
Z


 0.127H
314
L
5、阻抗（导纳）的串联和并联
① 串联
Z1
Z2
Zn
＋U 1 － ＋ U 2 －
I
a
＋
Zeq
＋ U n －
－
U
等效阻抗
I
a
b
n
n
k 1
k 1
＋ U
Z eq  Z1  Z 2    Z n   Z k   ( Rk  jX k )
分压公式：
Zk 

Uk 
U
Z eq
,
k  1,2,3, n
－
b
②并联
a
＋
I
U
b－
I1
I2
In
a
＋
Y1
Y2
Yn
U
I
Yeq
b－
等效导纳
n
n
Yeq  Y1  Y2    Yn   Yk   (Gk  jBk )
k 1
，
分流公式：
k 1
I  Yk I , k  1,2,3, n
k
Yeq
Z1 Z 2
例如：两阻抗Z1、Z2的并联： Z 
Z1  Z 2
分流公式为
I1 
Z2 
I
Z1  Z 2
I2 
Z1 
I
Z1  Z 2
【例6.4】 图示电路中， R1  10Ω
， L  0.5H，R2  1000Ω
C  10μ F U S  100V   314 rad/s ，求各支路电流和电压 U10
I
解：设 U S  1000V
Z R1  10 Ω
Z R 2  1000 Ω
Z L  j L  j157 Ω
R1
jωL
＋
U S
－
1
ZC   j
  j 318.47 Ω
C
1
I1 ＋
1
U10
j C
－
0
Z R 2  Z C 1000  ( j 318.47)
Z10  Z R 2 / / Z C 

Z R 2  Z C 1000  ( j 318.47)
 303.45  72.33 （92.11  j 289.13）Ω
总阻抗 Z eq  Z10  Z R1  Z L  (102.11  j132.13) Ω
 166.99  52.30 Ω
I2
R2
U S  1000V
R2  1000 Ω
ZC   j318.47 Ω
I
＋
Z10  303.45  72.33Ω
U S
－
R1
jωL
1
I1 ＋
1
j C
Z eq  166.99  52.30 Ω

U10
－
0
U
I
 0.6052.30 A
Z eq
U10  Z10 I  182.07  20.03 V
U10
I1 
 0.5769.97 A
ZC
U10
I2 
 0.18  20.03 A
R2
I2
R2
6.2 正弦交流电路的分析
电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
电阻电路 :
正弦电路相量分析 :
 KCL :  i  0

 KVL :  u  0

 元件约束关系:

 u  Ri 或 i  Gu









KCL :
 I  0
KVL :
U
0
元件约束关系 :
U  Z I
或
I  Y U
可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦
电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广应用于
正弦稳态的相量分析中。
解析法步骤：
① 画相量模型 R , L , C  复阻抗， u , i 
RR
1
1
C  j
或
 C j C
•
U
•
I
L  j L
② 设参考相量。
并联电路设电压；
串联电路设电流；
混联电路设已知条件。
③与电阻电路的分析方法、思路相同。
参考方向的标法、结点、回路的选择完全和直流分析相同。
结点方程、回路方程的列法与直流分析相同，但电压、电流
均用相量表示，电阻代之以阻抗，电导代之以导纳。
列相量模型的复数形式的代数方程，计算时采用复数计算。
④ 需要时，将相量还原为正弦量。
⑤注意相量值和瞬时值不要混淆。
例：已知正弦电流电路中 iS  4 2 cos(10t ) A，求i1 和 u S
0.3H
解：IS  40 A

  10rad / s
iS
 j
3

IS
US
j 2

0.1F 0.1H
i1
uS
0.2H
2

电路相量模型见下图：
j 3
3
j1 
I1
2
2  ( j2)
Z  3  j3 
2  ( j2)
 4  j 4  4 245
US  I S Z  40  4 245  16 245 V
所以
uS  32cos(10t  45) V
j 3
 j
3

IS  40 A

I1 
IS
US
j 2
j1 
I1

j2
290


 IS 

4

2
2

45
A

2  j2
2 245
所以
i1  4cos(10t  45o ) A
2
3
u

10
2
cos
10
t V，求解
（以下略）【例6.6】 电路如图所示，已知
S
i1 (t ) 和 i2 (t )
i1 3Ω ＋ 2i1 －
故解：由题意得 U S  100 V
i2
＋
3
i1(t1000
)  1.24
 29

rad/s2 cos(
Z L10
 tj
L .7j)4ΩA uS
－

1cos(103 t  56.3) A
i2 (t )ZC 2.77
2
j
  j 2Ω
C
I1
＋
U S
－
3Ω
300
I1
＋
300
I2
j4Ω
500μF
建立网孔电流方程
作相量模型图：
2I1
4mH
－
I2
- j2Ω

(3  4 j ) I1  j 4 I2  100





 j 4 I1  ( j 4  j 2) I 2  2 I1
10

 I1  7  j 4  1.2429.7 A

 I  20  j 30  2.7756.3 A
 2
13
【例6.7】 电路相量模型如图所示，试列出结点电压相量方程
U1
10 A
-j5Ω
①
5Ω

② U2
j10Ω
-j10Ω
j5Ω
10Ω
-j0.5A
解:
1
1
1
1 
1
1 


)U1  (

)U 2  10
结点1： ( 
5  j10 j10  j5
 j5 j10
1
1 
1
1
1
1 

)U1  ( 


)U 2  ( j 0.5)
结点2：  (
 j5 j10
10 j5 j10  j5
2(1  j )U1  jU 2  10
整理得： 
 jU1  (1  j )U 2  j 5
【例6.8】单口网络如图所示，试求输入阻抗及输入导纳
I e 1S U 1
ie 1Ω
＋
u
1Ω
1F 1Ω
＋
aie
U
－
－
1S
jωS
1S
解：由结点电压法得
(3  j )U 1  U   Ie
  3  j   I



(
3

j

)

1
U
e
 

U  U 1  I e
U 3    j 6  2   2
(1   )
Z  

j
2
2
I
2

j

4


4


e
1
2  j
6  2  
(1   )
Y 

j
2
2
Z 3    j (3   )  
(3   )2   2
2
aI e
【例6.9】 试求如图正弦稳态单口网络的戴维南等效相量模型。
4I1
200I1
＋
50Ω
＋
600V
－
50Ω
I1
＋
U0
j300Ω
－
－ 50Ω
I1
50Ω
＋
＋
U0
j300Ω
－
600V
－
(b)
(a)
解 求开路电压： 600  100 I1  200 I1  j 300 I1  0
I1 
60
2

  45
300  j300 10
2


U o  j 300 I 1  30090 
  45  30 245
10
200I1
＋
50Ω
－ 50Ω
I1
50Ω
＋
I SC
j300Ω
600V
50Ω
＋
I SC
600V
－
－
(d)
(c)
求短路电流： I1  0A
50 245Ω
I SC  60 100  0.600 A
U 0 30 245
Z eq 

I SC
0.6
 50 2450 
0
＋
30 245V
－
(e)等效相量模型
（以下不略）6.3 正弦交流电路的功率分析
1 瞬时功率
i
＋
u
－
无源
线性
网络
N0
u  U m cos(t  u )
i  I m cos(t  i )
u与i的相位差为   u  i
p  ui  2U cos( t  u )  2 I cos( t  i )
 UI cos(u  i )  UI cos(2 t  u  i )
 UI cos  UI cos(2 t  2 i   )
恒定分量
正弦分量
1 瞬时功率
p  UI cos   UI cos(2 t  2i   )
p
UIcos 恒定分量。
u
o
i
t
 p 有时为正, 有时为负；
 p>0, 电路吸收功率；
 p<0，电路发出功率；
UIcos (2 t －)
为正弦分量。
p  UI cos   UI cos(2 t  2i   )
电阻元件的瞬时功率 (  0)
p R  UI [1  cos(2 t  2i )]  0
瞬时功率以2交变，始终
大于零，表明电阻始终吸
收功率,为不可逆量。
pR
uR
i
o
t
p  UI cos   UI cos(2 t  2i   )
电感元件的瞬时功率 ( 

2
)

pL  UI cos(2 t  2i  )  UI sin(2 t  2i )
2
瞬时功率以2交变，
有正有负，一周期内
刚好互相抵消，表明
电感只储能不耗能。
pL
uL
o
i
 t 2
p  UI cos   UI cos(2 t  2i   )

电容元件的瞬时功率(   )
2

pL  UI cos(2 t  2i  )  UI sin(2 t  2i )
2
瞬时功率以2交变，
有正有负，一周期内
刚好互相抵消，表明
电容只储能不耗能。
pC
iC
o
u
2
t
瞬时功率p随时间t变化，所以用来讨论正弦稳态电路
的功率就不是很方便。为此，定义了有功功率和无功
功率等概念。
2 平均功率P，又称有功功率
1 T
1 T
P   pdt   [UI cos  UI cos(2 t  2 i   ) ]d t
T 0
T 0
 UI cos
W（瓦）
 =u-i：功率因数角。对无源网络，为其等效阻抗的
阻抗角。
cos  ：功率因数λ。一般地 , 有： 0cos1
无源一端口网络:
U
U
Z   R  jX  Z   
I
I
P  UI cos  Z I cos  I R
2
2
可见无源一端口网络吸收的有功功率就是网络中电阻
所消耗的功率。若一端口网络中有n个电阻，则网络
吸收的总有功功率等于各电阻吸收的有功功率的和。
电感元件或电容元件的
体现它们不消耗功率
cos   0 ，所以它们的P=0，
通常，平时说的功率都是指有功功率。
在工程上通常用功率表（瓦特表）来测量电路的有功
功率。
3 无功功率Q
瞬时功率 p  UI cos  UI cos(2 t  2u   )
 UI cos 1  cos2( t  u )  UI sin  sin 2( t  u )
不可逆分量，有功分量，
与R有关
可逆分量，无功分量 ，
与L,C有关,反映网络N0与
外电路之间周期性地交
换能量
定义无功功率Q来衡量电路中能量交换的规模。用瞬
时功率可逆分量达到的最大值表征，即
Q
def
UI sin  Var（乏）
无源一端口网络:
U
U
Z   R  jX  Z   
I
I
Q  UI sin   Z I sin   I X
2
2
可见无源一端口网络吸收的无功功率就是网络中电抗
的无功功率 。若一端口网络中有n个电抗，则网络吸
收的总无功功率等于各电抗吸收的无功功率的和。
电阻R： QR  UI sin 0  0
电感L: QL  UI sin

R不与外界交换能量
 UI  0 称为感性无功功率
2

电容C: QC  UI sin( )  UI  0
2
称为容性无功功率
4 视在功率S
S  UI V  A （伏安）
S衡量一个电气设备在额定电压、电流条件下最
大的负荷能力，或对外输出平均功率的最大能力
有功功率P、无功功率Q、视在功率S的关系
P  S cos
Q  S sin 
S  P Q
2
S
2
Q
  arctan( )
P
Q

P
功率三角形
【例6.11】 电路及其相量模型如图所示，已知 U  1000 V
，求一端口网络的有功功率、无功功率、视在功率和功率因数
I
解：
U
1000
I1 

 20  53.1 A
R  j L
3  j4
I  U  jC  1000  2090
2
 j5
＋
U
－
I1
3Ω R
I2
-j5Ω
j4Ω
I  I1  I2  12.6518.5 A
有功功率：解法一：
P  I12 R  202  3  1200 W
解法二： P  UI cos( u   i )  100  12.65 cos(0  18.5)  1200 W
解法三：P  UI1 cos0  (53.1)  100  20  cos53.1  1200 W
【例6.11】 电路及其相量模型如图所示，已知 U  1000 V
，求一端口网络的有功功率、无功功率、视在功率和功率因数
I
解： I  12.6518.5 A
＋
无功功率 Q  UI sin(u  i )
 100 12.65sin(0  18.5)
 401.4 Var
U
I1
3Ω R
－
视在功率 S  UI  100  12.65  1265 VA
功率因数   cos  P  1200  0.949
S
1265
电流超前（容性电路）
I2
-j5Ω
j4Ω
5 提高功率因数λ
功率因数低带来的问题：
(1) 设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；
P=UIcos=Scos
S
负载
75kVA
cos  =1,
P=S=75kW
cos  =0.7, P=0.7S=52.5kW
设备容量 S (额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。
一般用户： 异步电机 空载 cos  =0.2~0.3
满载 cos  =0.7~0.85
日光灯
cos  =0.45~0.6
(2) 当输出相同的有功功率时，线路上电流大，
I=P/(Ucos)，线路压降损耗大。
P  UI cos 
cos  
供电局一般要求用户的
否则受处罚。
I
P  I 2 r 
cos  0.85
解决办法： （1）高压传输
（2）改进自身设备
（3）并联电容，提高功率因数 。
5 提高功率因数λ
＋
I
IL
R
U
IC
C
IC
1
2
I
L
－
U
IL
IC
特点：
并 联 电 容 后 ， 电 源 向 负 载 输 送 的 有 功 功 率 UIL
并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸
cos1=UI
cos2 不变，但是电源向负载输送的无功功
收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工
率UIsin
2<UILsin1减少了，减少的这部分无功由电容
作状态不变。但电路的功率因数提高了。
“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功功率不变，
而功率因数得到改善。
并联电容的确定： I C  CU
I C  I L sin 1  I sin 2
IC
P
P
将 I
, IL 
代入得
U cos  2
U cos  1
1
2
I C  CU  P ( tg1  tg2 )
U
C  P 2 ( tg1  tg2 )
U
补偿
容量
不同
U
I
IL
IC
欠
全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)
过——功率因数又由高变低(性质不同)
6 复功率
以有功功率P为实部、Q为虚部构成的复数称为复功率。
Q
S  P  jQ  P  Q  arctan  S
P
2
+
I
负
载
U_
还可表示为
或
2
V  A（伏安）
S  S   UI (u  i )  U u  I   i
 UI
*
I* ： I
的共轭复数
S  U I*  Z I I*  Z I 2  R I 2  jX I 2
S  U I*  U ( Y U )*  U 2Y *  G U 2  jB U 2
注意：  P  0
Q  0
守恒
S  0
S  0
不守恒
【例6.13】端口电压
u (t )  100 2 cos(314t  30) V
输入电流
i(t )  50 2 cos(314t  60) A
电压、电流为关联参考方向，求 S 、P、Q。
解：由题意得
U  10030 V
＋
u
－
I  5060 A
S  U I *  10030 50  60
 5000  30  4330  j 2500 VA
 P  4330 W
i
Q  2500 Var
一端口
7 正弦电流电路的最大功率传输
正弦稳态电路中的最大功率，指的是最大有功功率。
I
有源
一端
口NS
Zeq  Req  jXeq
等效电路
＋
Z
Z  R jX
U OC
－


U
U
oc
oc

I


负载电流
Z  Z eq ( R  Req )  j ( X  X eq )
2
有功功率 P  I R 
2
U oc R
( R  Req )  ( X  X eq )
2
2
讨论正弦电路中负载获得最大功率Pmax的条件
2
U oc R
P
2
2
( R  Req )  ( X  X eq )
若Z= R + jX可任意改变
22
RLU
U
OC
OC
P

Pmax( R  R )2
eq
L
4Req
a) 先设 R不变，X 改变
显然，当Xeq + X=0，即X = -Xeq时，P 获得最大值。
b)再讨论 R改变时，P 的最大值
当R= Req 时，P 获得最大值
负载获得最大功率的条件
最佳
匹配
条件
Z  Req  jX eq  Zeq
*
【例6.15】 电路如图所示，若ZL的实部、虚部均能
变动，若使ZL 获得最大功率，ZL 应为何值，最大功
率是多少？ 1Ω
a
a
＋
14.10 V
－
j1Ω ZL
b
解：
U OC
Zeq
＋

ZL
UOC
b
－
j
190
 14.10 
 10 20 
 1045 V
1 j
245
1 j
1
Z eq 

45  0.5  j 0.5 Ω
1 j
2
*
当 Z L  Zeq
 0.5  j 0.5 Ω 时
ZL获得最大功率： Pmax
2
10

 50 W
4  0.5
6.4 三相电路
三相电力系统由三相电源、三相负载和三相输
电线路三部分组成。
三相电路具有许多优点：
（1）发电方面比单相电源可提高功率50％；
（2）输电方面比单相输电节省钢材25％；
（3）配电方面三相变压器比单相变压器经济且便于
接入负载；
（4）运电设备如生产中广泛使用的三相交流电机比
单相交流电机的性能更好，经济效益更高。
以上优点使三相电路在动力方面获得了广泛应用，
是目前电力系统采用的主要供电方式。
研究三相电路要注意其特殊性，即：
（1）特殊的电源
（2）特殊的负载
（3）特殊的连接
（4）特殊的求解方式
前面讨论的单相交流电路的所有分析计算方法完
全适用。
1 三相电源
1) 三相电源的产生
单相交流电动势的产生
在两磁极中间，放一个线圈。
N
让线圈以  的角速度顺时
针旋转。

e
根据右手定则可知，线
A
圈中产生感应电动势，
X
S
其方向为由AX。
合理设计磁极形状，使磁通按正弦规律分
布，线圈两端便可得到单相交流电动势。
eAX  2 E cos t
三相交流发电机产生三相电动势
定子中放三个线圈：
•
Y
A  X
B  Y
C  Z
首端
定子
A
•
S
•
Z
+
_
末端
C
N
三线圈空间位置各差120o
转子装有磁极并以
 的角速度旋转。三个
线圈中便产生三个单相电动势，
从而形成对称三相电源。
B
转子
X
三相交流发电机的原理图
三相电源是三个频率相同、振幅相同、相位彼此
相差1200的正弦电源。
①瞬时值表达式
A
B
C
+
+
+
uC
uA
uB
–
–
–
X
Y
Z
u A  2U cos t

u B  2U cos t  120
u  2U cos t  120
 C
u
uA uB
uC
②波形图
o
t
③相量表示
U A  U0


2 

U B  U  120  a U A



U

U

120

a
U
 C
A


120
120o 为单位相量算子
其中 aa 
④对称三相电源的特点
u A  u B  uC  0



U A U B  U C  0
U C
120°

UA
120°
120°
U B
U A  U B
⑤对称三相电源的相序
三相电源各相经过同一值(如最大值)的先后顺序。
B
C
正序(顺序)：A—B—C—A
A
A
B
C
负序(逆序)：A—C—B—A
相序的实际意义：
A 1
B 2
C 3
正转
D
三相电机
A 1
C 2
B 3
D
反转
以后如果不加说明，一般都认为是正相序。
2). 三相电源的联接
（1）星形联接(Y联接)
把三个绕组的末端 X， Y， Z 接在一起，把始端 A，
B，C 引出来。
X

A
–
N

UB
B
C
B

UB
Z
C
–
+
UC
UA
+
– Y
X
Z
C

Y
UA

–
+
A
+
A

UC
N
X, Y, Z 接在一起的点称为Y联接对称三相电源的中
性点，用N表示。
（2）三角形联接(联接)
三个绕组始末端顺序相接。
Z
A
A

+

X

+
Y –
B
B
UB
C
+
C
UC
X
+
B

UB
–
Z –
–
UA

UA

UC
A
Y
三角形联接的对称三相电源没有中性点。
C
（3）名词介绍
A
+
–

UCA
B
U BC
UB
Z –

UA

UC
C
–

UA B
X
+
B


U BC
UB
Y
C
+
Z


–
UA
Y

UA B
A
+
+

+
–
–
X

UC
N
①端线(火线)：始端A， B， C 三端引出线。
②中线(地线)：中性点N引出线， 连接无中线。



③相电压：每相电源的电压。UA, UB, UC



④线电压：端线与端线之间的电压。U AB, UBC, UCA

UCA
（4） 相电压和线电压的关系
X



设 U AN  U A  U0o

UBN  UB  U  120


o

Z
UCA
B
U BC
UB
o


C
–
+
UCN  UC  U120
–

UA B
UA
Y
+

–
+
①Y联接
A

UC
U AB  U A  U B  (1  a )U A  3U A30
2
U BC  U B  UC  (1  a )U B  3U B30
2
UCA  UC  U A  (1  a )UC  3UC 30
2
N
利用相量图得到相电压和线电压之间的关系：


UCA
UC

U AB
30o
30
o
o
30

UB

UBC
U B

UA
一般表示为：
U AB  3U A30 

U BC  3U B 30 

U CA  3U C 30 
结论：对Y联接的对称三相电源
（1）线电压也对称（大小相等，相位互差120o）
（2）线电压的有效值是相电压的 3 倍，即 U l  3U p


（3） 线电压相位领先对应相电压30o。
所谓的“对应”：对应相电压用线电压的
第一个下标字母标出。
U AB  U AN




UBC  U BN
U CA  U CN
②联接
显然
A
+

UA

UC
–
Z –

UA B
X
+
B

UCA


U BC
UB
Y
C
U AB  U A 

U BC  U B 



U CA  U C 
线电压等于对应的相电压
+
–
注意：联接电源始端末端要依次相连。
正确接法

UA

UC

I



U A UB  UC  0
I =0

UB
电源中不会产生环流
注意：联接电源始端末端要依次相连。
错误接法





UC
UA


U A UB  UC  2UC
I 0
电源中将会产生环流
I


U总 UB

 UC
以上关于线电压和相电压的关系也适用于对称
星型负载和三角型负载。
2 三相电路的分析
1)．三相负载
三相电路的负载由三部分组成，其中每一部分
称为一相负载，三相负载也有二种联接方式。
（1） 星形联接
A'
ZA
ZC
N'
B'
C'
A'
ZB
B'
ZA
ZB
C'
N'
ZC
当 Z A  Z B  Z C  Z  Z 称三相对称负载
否则称为不对称三相负载
(2) 三角形联接
A'
A'
ZA'B'
ZC'A'
ZA'B'
B'
B'
C'
ZB'C'
ZB'C'
C'
当 Z AB  Z BC  ZCA 称三相对称负载,否则称
为不对称三相负载
ZC'A'
2)．三相电路
三相电路就是由对称三相电源和三相负载联接起
来所组成的系统。工程上根据实际需要可以组成：
Y
电源
负载
Y
△
Y
电源
△
负载
△
当组成三相电路的电源和负载都对称时，称对
称三相电路
三相四线制
U A
－ ＋A
Zl
IA A' ZA
Y0  Y0
U B
N － ＋B
Zl
IB B' ZB

U
－ C＋
Zl
IC C' ZC
C
IN ZN
三相三线制
U A
－ ＋A
Zl
IA A' ZA
U B
N － ＋B
Zl
IB B' ZB

U
－ C＋
Zl
IC C' ZC
C
N'
YY
N'
三相三线制
YΔ
U A
－ ＋A
N
U B
－ ＋B
U C
－
－
UCA
＋
＋
U AB
－
＋
U BC
－
＋C
A
Zl
IA A'
ZA
B
Zl
IB B'
ZB
C
Zl
IC C'
ZC
Zl
Zl
Zl
IA A'
IB B'
IC C'
N'
IAB
Z AB
IBC
ZBC
ΔY
ICA
ZCA
线电流和相电流
线电流：流过端线的电流。 IA , IB , IC
相电流：流过每相负载的电流。 IA , IB , IC
星形(Y)负载: 
UA
－ ＋A
Zl
IA A' ZA
U B
N － ＋B
Zl
IB B' ZB

U
－ C＋
Zl
IC C' ZC
C
N'
Y联接时，
线电流等于
相电流
IN ZN
中线电流：中线上通过的电流 IN
中点电压：负载中点N' 到电源中点Ｎ之间的电压 U N'N
线电流：流过端线的电流。 IA , IB , IC
相电流：流过每相负载的电流。 I AB , I BC , ICA
三角形（△）负载:
U A
－ ＋A
N
U B
－ ＋B
U C
－
＋C
Zl
Zl
Zl
IA A'
IB B'
IC C'
IAB
Z AB
IBC
ZBC
△联接时，线电流不等于相电流
ICA
ZCA
3）三相电路的计算
（1）对称 Y  Y连接三相电路的分析与计算
U A
－ ＋A
Zl
IA A' ZA
U B
N － ＋B
Zl
IB B' ZB

U
－ C＋
Zl
IC C' ZC
C
IN ZN
设：
N'
U A  U 0

U B  U   120

U C  U 120
Z l ：端线阻抗，
三相对称负载：
Z N ：中性线阻抗
Z A  Z B  ZC  Z
由结点电压法得



1
1
1
1
U
U
U
A
B
B
(



)U N 'N 


Z N Z A  Zl Z B  Zl ZC  Zl
Zl  Z A Zl  Z B Zl  ZC
1
3
1

(

)U N ' N 
(U A  U B  U C )
Z N Z  Zl
Zl  Z
U A  U B  UC  0
U A
－ ＋A
Zl
IA A' ZA
U B
N － ＋B
Zl
IB B' ZB

U
－ C＋
Zl
IC C' ZC
C
IN ZN
U N ' N  0 则：
为对称
电流
  U

U
U
A
N
'
N
A
IA 

Z  Zl
Z  Zl
N'
UB
IB 
 I A  120
Z  Zl
UC
IC 
 I A120
Z  Zl
U A
－ ＋A
结论：
Zl
IA A' ZA
1、对称情况下，各相（线）
U B
－ ＋ B Zl IB B' ZB
N
电压、电流都是对称的

U
2、UN'N=0 ，电源中点与负
Zl IC C' ZC
－ C＋ C
载中点等电位，IN'N=0，
IN ZN
有无中线对电路情况没
有影响。
对称情况下Y—Y和Y0—Y0的分析相同。
N'
3、或将N‘N短路，可将三相电路的计算化为单相电路的计算。
只要算出一相（A相）的
电压、电流，则其它两相
的电压、电流可按对称关
系直接写出。
N
－
U A
＋A
Zl
IA A' ZA
U NN   0
N'
【例6.16】 对称三相电路如图所示， uAB  380 2 cos(t  30 ) V，
各相负载阻抗均为Z=5+j6Ω，端线阻抗为Zl=1+j2Ω，试求三相负
载上的各相电流，相电压。
U A

解：线电压和相电压相量分别为
U AB  38030 V
U A 
U AB
3
  30  2200 V
＋A
Zl
I A A' ZA
U B
N － ＋B
Zl
IB B' ZB

U
－ C＋
Zl
IC C' ZC
－
C


U
220

0
A
相电流： IA 

 22  53.1 A
Z  Zl
6  j8
根据对称性，得 I  22  173.1 A
B
IC  2266.9 A
N'
【例6.16】 对称三相电路如图所示， uAB  380 2 cos(t  30 ) V，
各相负载阻抗均为Z=5+j6Ω，端线阻抗为Zl=1+j2Ω，试求三相负
载上的各相电流，相电压。
U A

I A  22  53.1 A
Z  5  j 6  7.8250.15 
相电压：
＋A
Zl
I A A' ZA
U B
N － ＋B
Zl
IB B' ZB

U
－ C＋
Zl
IC C' ZC
－
C
U AN   I A Z
 22  53.1  7.8250.15  165.842.95 V
根据对称性，得
U BN  165.84  117.05 V
U CN  165.84122.95 V
N'
Y

Y
（2）不对称
连接三相电路的分析与计算

UA
－ ＋A
IA
ZA
U B
N － ＋B
IB
ZB

U
－ C＋
IC
ZC
C
设：
N'
IN ZN
三相负载：Z A、Z B、ZC 不对称
U A  U 0

U B  U   120

U C  U 120
ZN≠0
U A U B UC
1
1
1
1
UN 'N ( 


)


Z A Z B ZC Z N
Z A Z B ZC
U N 'N
U A U B U C


Z A Z B ZC

1
1
1


Z A Z B ZC
U A
－ ＋A
IA
ZA
U B
N － ＋B
IB
ZB

U
－ C＋
IC
ZC
C
U N'N  0
IN ZN









U AN'  U A  U N'N
负载各相电压：
可能不对称
U BN'  U B  U N'N
U CN'  U C  U N'N
N'

相量图

UC N'
UC

U N 'N
N
N'

U AN'

UA

UB

UBN'
中性点位移









U AN'  U A  U N'N
U BN'  U B  U N'N
U CN'  U C  U N'N
负载中点与电源中点不重合。
注意：在电源对称情况下，可以根据中点位移的
情况来判断负载端不对称的程度。当中点位移较大
时，会造成负载相电压严重不对称，使负载的工作
状态不正常。
例：电源相电压UP= 220V，负载为额定电压为220伏的白炽灯组,
若：RA=5  ，RB=10  ， RC=20  。求：负载相电压；。
U A
－ ＋A
U B
N － ＋B

U
－ C＋
C
IA
IB
解： 负载不对称，先求中点电压
RA
RB
IC
N'
RC
各相负载电压：
U AN   U A  U N'N
U BN  U B  U N'N
U CN   U C  U N'N
U N'N
U A U B UC


RA RB RC

1
1
1


RA RB RC
 83.14  19 V
 14411
0
 249139
 288131
A相电压不足，灯不亮
；B、C相电压超过额
定值，C相灯会烧坏
加中线
且中线阻抗ZN ≈０
(1) 负载上的相电压仍
为对称三相电压；
U A
－ ＋A
IA
ZA
U B
N － ＋B
IB
ZB

U
－ C＋
IC
ZC
C
IN
(2) 由于三相负载不对称，则三相电流不对称；
UA
UB
UC
IA 
IB 
IC 
ZA
ZB
ZC
(3) 中线电流不为零。 I N  I A  I B  I C  0
N'
结论：
①负载不对称，电源中性点和负载中性点不等位，
中线中有电流，各相电压、电流不存在对称关系；
②要消除或减少中点的位移，尽量减少中线阻抗，
然而从经济的观点来看，中线不可能做得很粗，
应适当调整负载，使其接近对称情况。
③中线不装保险，并且中线较粗。一是减少损耗，
二是加强强度(中线一旦断了，负载不能正常工作)。
（3）Δ  Y 连接三相电路的分析与计算
＋
－
U AB
＋
U BC
UCA
－
＋
－
A
B
C
U A
－
U B
－
U C
－
＋A
＋B
＋C
可将△电源用Y电源替代但要保证其线电压相等，

1 
o
即
U

U


30
 A
AB
3

 
1 
o
U

U


30
 B
BC
3


1 

U

U CA   30 o
 C

3
化为 Y  Y 三相电路
后，参考前面的分析
方法进行相关计算
（4）三相负载的△形连接
根据阻抗的Y－△等效变换，可先把△形负载等效变
换为Y形负载，再参考前面Y形负载的分析方法进行相
关计算。例如：
U A
－
U B
N
－
－
U C
＋A
U A
IA
IAB
＋B
IB
ZΔ
I  
－
ICA
ZΔ
U B
N －
BC
＋C
IC
ZΔ
－
U C
＋ A IA
ZY
＋ B IB
ZY
＋ C IC
ZY
要注意△形负载的线电流和相电流的关系。
N'
△形负载的线电流和相电流的关系：
U A
－
U B
N
－
＋A
I AB
＋B
IB
Z AB
IBC
U C
－
根据KCL ，得
IA
＋C
IC
Z BC
线电流：IA , IB , IC
相电流：I AB , I BC , ICA
ICA
Z CA
IA  IA'B'  IC' A'
IB  IB' C'  IA'B'
I  I  I
C
C' A'
B' C'
由图示电路得 I A'B'
U AB

Z AB
U BC

Z BC
U CA

Z CA
I B'C'
I C'A'
可见对于对称三相电路，三个相电流必然对称
对于对称三相电路，三个相电流必然对称。可设
I A'B'  I 0
I B'C'  I A'B'  120
I C'A'  I A'B'120
则线电流：
I A  I A'B'  I C'A'  I A'B'  I A'B'120  I A'B' (1  1120)
I A  3I A'B'  30
同理得：
I B  3I B'C'  30
I C  3I C'A'  30
结论：△联接的对称电路：
线电流的大小是相电流的 3 倍，即 Il  3I p .
线电流相位滞后对应相电流30o。
【例6.18】如图对称三相电路。已知Zl=１+j2Ω，Z△=19.2+j14.4Ω，
线电压UAB=380Ｖ，求负载端的相电压和相电流。
U A
－ ＋A
N
U B
－ ＋B
－
U C
＋C
Zl
Zl
Zl
U A
IA A'
IB B'
IC C'
－
IAB
ZΔ
IBC
ZΔ
ICA
ZΔ
U B
N －
－
U C
＋A
Zl
IA A' ZY
＋B
Zl
IB B' ZY
＋C
Zl
IC C' ZY
解：先进行负载△－Y的等效互换，得Y－Y对称电路
Z
19.2  j14.4
ZY  Δ 
 (6.4  j 4.8)Ω
3
3
设 U A  2200 V ，则线电流


U
220

0
A
IA 

 22  42.58 A
Z Y  Z l (6.4  j 4.8)  (1  j 2)
由对称性得
IB  22  162.58 A
IC  2277.42 A
N'
【例6.18】如图对称三相电路。已知Zl=１+j2Ω，Z△=19.2+j14.4Ω，
线电压UAB=380Ｖ，求负载端的相电压和相电流。
U A
－ ＋A
N
U B
－ ＋B
－
U C
＋C
Zl
IB B'
Zl
Zl
由对称性得
IA A'
IC C'
IAB
ZΔ
IBC
ZΔ
I A  22  42.58 A
ICA
相电流：
ZΔ
I  1 I 30  12.7  12.57  A
A'B'
A
3
I B'C'  12.7  132.57 A
I C'A'  12.7107.43 A
Z Δ  19.2  j14.4
负载相电压
U A'B'  I A'B' Z   304.824.3 V
由对称性得
U B' C'  304.8  95.7  V
U C' A'  304.8144.3 V
 2436.9Ω
总结：各连接方式的三相电路，总可以通过Y－△
等效变换，将电路变换为Y－Y的三相电路求解。
注意要根据△接、Y接时线量、相量之间的关系，
求出原电路的电流电压。
3 三相电路的功率
1）三相有功功率，无功功率、视在功率：
三相总有功功率： P  PA  PB  PC
三相总无功功率：Q  QA  QB  QC
总视在功率为： S  P 2  Q 2
在对称三相电路中
PA  PB  PC  U p I p cos
QA  QB  QC  U p I p sin 
 P  3U p I p cos

Q  3U p I p sin 

 S  3U p I p
U p ：相电压有效值
I p ：相电流有效值
 ：相电压与相电流之间的相位差（负载的阻抗角）
当负载对称时： P = 3Up Ipcos
1
Ul , I p  Il
Y联接时： U p 
3
1
 联接时： U p  U l , I p 
Il
3
都用线电压和
线电流表示
 P  3U P I P cos   3Ul Il cos 
同理：
Q  3U p I p sin   3Ul Il sin 
S  P  Q  3U P I P  3U l I l
2
2
2）对称三相负载的瞬时功率
u A  2U p cos t
iA  2 I p cos(t   )
p A  u AiA  2U p cos t  2 I p cos(t   )
 U p I p [cos   cos(2t   )]
pB  uBiB  U p I p [cos   cos(2t    240 )]
pC  uC iC  U p I p [cos   cos(2t  240   )]
p  p A  pB  pC  3U p I p cos  P
表明对称三相电路的总瞬时功率是一个常数，
等于三相电路的平均功率
p
p
UIcos
ωt
o
单相：瞬时功率脉动
3UIcos
o
ωt
三相：瞬时功率恒定
电动机转矩: m p
可以得到均衡的机械力矩。避免了机械振动。
3）二瓦计法测功率
A
三相三线制
B
C
*
*
W1
*
*
W2
三
相
负
载
这种测量线路的接法是将两个功率表的电流线圈串到
任意两相中（图中为A、B端线），电压线圈的同名端
接到其电流线圈所串的线上，电压线圈的非同名端接
到另一相没有串功率表的线上 （图中为C端线）。
（有三种接线方式）
*
A * W1
*
B
W2
*
C
三
相
负
载
*
A * W1
B
C
*W
2
A
B * W1
*
C
* W2
*
三
相
负
载
三
相
负
载
*
若W1的读数为P1 , W2的读数为P2 ，则三相总功率为：
P=P1+P2
证明：

P1  Re[U AC I*A ]
A
P2  Re[U BC IB* ]
B

W1
C
*
*




P1  P2  Re[U AC I A  U BC I B ]
根据KCL：
又：
IA
IA  IB  IC  0
IA*  IB*  IC*
U AC  U A  U C
U BC  U B  U C


W2
IB
IC
三
相
负
载
得：P  P  Re[U I*  U I* ]
*
*
*






1
2
AC A
BC B  Re[U A I A  U B I B  U C I C ]
 Re[ S A  S B  SC ]  Re[S ]
即：
P  P1  P2  PA  PB  PC
注意：
（1）在三相三线制条件下，不论负载对称与否，
都能用二瓦计法；不对称三相四线制不能用两瓦计法
来测量三相功率，因为负载不对称时 IA  IB  IC  0
（2）两块表读数的代数和为三相总功率，每块表单
独的读数无意义；
（3）按正确极性接线时，二表中可能有一个表的读
数为负，此时功率表指针反转，将其电流线圈极性反
接后，指针指向正数，但求代数和时读数应取负值。
两功率表的读数
假设对称三相负载为Y形连接， 为负载的阻抗角。
设：U A  U A0 则：IA  I A  
U AC  U AC 30
I *  I   (  120)
IA*  I A U BC  U BC   90
B
B
P1  Re[U I ]  Re[U AC   30I A ]
*
AC A
 Re[U AC I A  30]  U AC I A cos(  30)
P2  Re[U BC I B* ]  Re[U BC   90 I B   (  120)]
 Re[U BC I B   30]  U BC I B cos(  30)
P1  U l I l cos(  30 )
P2  U l I l cos(  30 )
A
B * W1
*
C
* W2
*
三
相
负
载
*
A * W1
B
C
*W
2
三
相
负
载
*
P1  U BA I B cos(  30)
P1  U AB I A cos(  30)
P2  U CA I C cos(  30)
P2  U CB I C cos(  30)
P1  U l I l cos(  30 )
P2  U l I l cos(  30 )
如果   60 ，两表法中一个表的读数为负数
【例6.19】 如图电路，已知Ul =380V，Z1=30+j40，电动机
的功率P=1700W，cos=0.8(感性)。求：(1)线电流和电源发出
的总功率；(2)用两表法测三相负载的功率，画接线图求两表
读数。
I
解：(1)设 UA  2200 V
IA 2
A1
A
IA
B

UA
220 0



 4.41  53.1 C
Z1 30  j 40
电动机负载：
IA2
D
Z1
P  3U l I A2 cos  1700 W
I A1 
P
3U l cos 

P
3  380  0.8
 3.23
cos   0.8,   36.9
•
I A1  3.23  36.9 A


UA  2200 V
I A1  3.23  36.9 A
A
IA 2  4.41  53.1
B
总电流：
I A  I A1  I A2
IA1
IA
IA2
C
Z1
 3.23  36.9  4.41  53.1
 7.56  46.2 A
电源发出的功率
P总  3U l I A cos 总
 3  380  7.56 cos 46.2  3.44kW
D
(2)两表接法如图
A
B
*
* W1

•
IA
IA 1

*
I A2
D
* W2
C
表W1的读数P1：
Z1
P1=UACIAcos 1
= 3807.56cos(46.2– 30) =2758.73W
表W2的读数P2：
P2=UBCIBcos 2= 3807.56cos( 30+ 46.2 )
= 685.26W=P-P1