A GLOBAL CONSTRAINT CAPTURING THE OBJECTIVE FUNCTION

!#"#"%$'&)(*&,+-$./+0&213$4"#!#(*0&65
78:9;=<?>A@B7C
DFEGH<:I J> KL@NM=O=>F@QP=MR8SG)CTA>F78?C
P>VUC<:TF78SKWCX:9YM=OZ)9PC74[L9]\N<?8SPC7%M=8 ∗
^-_2`badcfehgB`jiBk-_2lSm=n2oqp,a
`ja/rtsup,vwg/_kxmy/_g/_2i
1
2
zH{|''}~H%-,6'f2Rq6'd6f6%6%
{ 6%{6%), {%¡4%6q¢¡6f64%q2664'£¤
6d¥%64%¦¡§'¨j,% y = Σx © {26w66ª46¤
{ 6H,'£«6f¬64%, 6«6%¥6
}®
q{,x ){¡66¡/2%6,%%6q%Hx2f−x
66≤qc6
, %ª2#6h6%¯°,±²³)´µ·¶¹¸¥¯°B/4%6{#¨666º'}~H/
4, {'{,§q{6wª4% 6j,», %¦¡§4
N,
{H{ %6¡
{6%}/¼,,¡{{%64 ,½{6¾¿´¡À ±¿,6¨
¦#66ªb{¥6)¡ 6¡%%64|64%N y }~Hf 2{Áj|6,
{f6 4qHº64x6¹{26{)6%, {6{6w%¡%¤
%'6#¨}ÂÃ,6'f6bÄ4¿´Å6±4¿À6´²Æ6¶¹Ç,±{¸½²¶6H%6w Áf
,b# %4%,¨6q2, {b¨f6 © h6' © ¨f%b
q6
¬6%6%ª{)6§%B{6% 2Ã6%q4%B {6
6%¡|}2®R°½ÈAÀ¸É°²¶2±4¿ Ä´{Ç¸½¶¥Ê¯ © f6¡xº64ÌËd £Á', fÍ ,%,6y6
{ª46#6% d,6'%%¡Î6 /664{,6¨
46ª4{
4, {'¡© }
Ï»Ð?4ÑfÒ-Ó-z«Ô4'ÕÖÑ4Ñ×%ØHÙ4Ú{ÛBÜ4Ú © Ý Ü4¼HÞÚ
i
i
j
i
i
ß àá a/âBiãNrjy/vdâBp,ãNa
äæåfçèé'ê
ë|é'çêì'íjêîèFï ð|ññè4ïïìfíòó'ôõ¡ö÷øù¹ô|öBú÷óûf÷øüÎüù¹ôûÃêèñîýþ½ÿðèïþºý ïì þºýå
ñì þ¥ý|é'êìfçþ½é ëçì è ïbþ½ï ð|èêìêî|èñ{éfë|é |þ þêþºè4ï/ìfí êè{çþ¥ýåé å%ìfçþêî ïwêìhëçðýè
êî|èVï è4é'çñî ï ë|é%ñè Bìfðå%î ï ëèé þºýå Bé êèçþ¥ýå?é åfì%çþºêî éêêè Îëêïêì?çè ì è
&6( !#(( ¡3 !#&65Ñ&6(
5 ¡34+& &6( ¡"#! &6( ¡10! +*!#1 ¡"#!#(
5 6& '5& ¡! !#" 5
4! & 5Ñ(*! + 4& -! & ¡140! +!#1 ¡"#!#( |5 &,+
5 ¡34+& &6( ¡"#"#&6(
¡10! {+!#1 ¡"#!#( 5 & '5Ñ3&60&65 &6((*! 5
"#$ &
∗ !#" $&%'$&()*,+.-/#,01$2*(325467$08),9#:79);0=<>1#(.?@<#" $&05791A)*6BDC'E FG*G*G'HJI>K
SRT
1 LNMOPQM
m 5T/V@n ;`
2 s
V
t
i9` !U
po eVq
>U @V
eU;o
5uZa Zv
:a
|U
XWZY8[]\#^;_9\;`
r
en 1w9fU
8xY
gTyxNhZV
z
U
#`@z
\p*ji;^ i
!U
ba
5Uy{
fU
}|
dcZU
eV
O zl~ L v
gTyxNhV
U
SfU
gT3hZV
LJ f@;|8v~Zfx L vZ~
`m >T/V9n ;`
U
'i;^;j;^;iklT
U;V9V ;`
| f`f@f L `
L hx!|8l~} L
1q
r

,,*
8 , ,
é ðèïqíÉçì êîè ì é'þ¥ý|ïìfíwé é'çþ¥é è4ïqìñ{ñ{ðççþ¥ýå=þºý éRñì%ý|ï6êçéfþºýê!wîèýè è{çqêîè
ì éfþºýhì'íìfýèNìfíêîèïè éfçþ½é è4ïdþ¥ï ì þ |è
äBçñ:ñì%ý|ï þ½ï êè{ýñ êèçþ¥ýå é åfì%çþºêî ïÃì%ý |þºý|éfç ñìfýï6êçéfþºýêï=éfçè èç ëì%ëð é'ç
ðêqïþºå%ýþ ñ{é'ýê/åé'þ¥ý|ïBþ¥ýVëè{çíÉìfç é'ý|ñ{èî|é è§é ï ì èè{ýFì êé'þ¥ýè ðçþ¥ýåçèñ{è{ýê èéfçï
wþºêî êè{çþºý|åAé å%ìfçþêî ïÎé%ïïìñþ½éêè "wþºêî ìfçèhñ{ì ë è$# ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêï&%('*),+ îè4ï è
ý-è êè{çþºý|åAé å%ìfçþêî !ï ìfç Fì%ý ï /ì .ñé è 106å ì |é ñì%ý|ï6êçéfþºýêï32 Hè å 2ñð ð é'êþ è
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%4ê % + )è åf$è 5 |ý è{ç§é å%ìfçþêî 6% 7/+ )é . (þ 8·ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ý9
ê %(':'$+ )ñ{é'ç þ¥ý|é þºê ñì%ý5
ï êçé'þ¥ý%;ê %=< $' + îè êé %èþ¥ýêì=éfññì%ðýêbêîèçè é'êþ¥ìfý|ï èê è{è{ýVêîè >þ 8è{çè{ýêNìññðç?5
çè{ý|ñ{èïì'íêîèïé è é'çþ¥é èbþ¥ý=éå%þ è{ýÃï è{êwì'í)ñìfýï6êçéfþºýêï
ýêîþ¥ïë|éfëèç è/þ¥ýêçì ð|ñèjé§ý-è å ì é ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêêî|éêwñ{éfýéfñîþ¥è è/ïþºå%ýþ ñ{é'ýê
ì éfþºýÎëçðýþ¥ýåqþ¥ý=òó'ôõ¡ö÷øù¹Aô @CBÎóúöù¹üÎ(ù D4øö*ùÑóôú÷:ó E$FG@üHõ wîè{çèêîèBì I6èñêþ èíÉðý|ñêþ¥ìfý
éfý Jwîèçè
êîèþ¥ýêèåfè{ç éfçþ½é è4ï é'çèï ð KI6èñ¡êêì
þ½ï è |ýè
éRïð
(þ 8èçèý|ñèñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêïdyìfí=êîΣx
èqíÉiìfç x − x ≤ c ì
þ ëìfçêéfý%ê/éfëxë i þ¥ñéêþºì%ý|ï wîè{çè
ïð|ñî ñì%ý|ï6êçéfþºýêÃï ï êè ïìññðçÃé'çè?j üÎù¹ô|ù¹iüÎ(ù D{ù¹ôû·Lü @øJ
ô Md/ó N ö*ù¹;ü @é'ý üù¹ôù¹ü(ù D{ù¹ôû
ö,ø?÷ B'ù¹Aô @õõþ¥ý èêèç þ¥ýþ½ï6êþ¥ñïñîè ð þºý|å/ëçì è ï îèíÉì ,ì wþºýå/ëçè4ï èýêéêþºì%ýì'íêîèïè
é'ë|ë þ½ñ{é'êþ¥ìfý|ïþ½ïBé |é'ëêè íÉçì O% )/+
ý P|,ì xêþ èþ¥ï è |ýè
wîè{çè éfý
éfçè
îè èé'Q
1 Pn
çèïëè4ñ¡êþ è êîèñì ë è{êþ¥ìfýFêþ èé'ý VFêî=è
çnèé j=1êþ (Cè
j ì'−írêéfj )ï J 4RbC(þ 8j èçèý|ñè
rjñì%ý 5
ï êçé'þ¥ý%êï2é'çè ð|èBêìêîèbëçè4ñè è{ý|ñ{è/ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%êï2é'ý êîè þ½ï6êé'ý|ñ{èï jèê è{èýêîè/êé%ï ï
S éfý Ãêîè{çèíÉì%çè è{ê èè{ý=êîè{þ¥çqñì ë èêþºì%ý=êþ èCï T îè èé'1
ý P|,ì xêþ èÎñ{çþºêèçþ¥ìfý=þ½ï
þ ÎëìfçêéfýêíÉçì êîèðï è-ç U ïdëì%þºýêBìfí þº-è ïþ¥ý|ñèqþºêï þ¥ýþ ÎGþ Vé'êþ¥ìfý þºè |ïwé Îþ¥ýþ (þ V4,é 5
êþ¥ìfý ì'íBêîè Îè4é'ý çè4ï ëìfý|ïèêþ è=é'ý :êî|è è4é'ý þ¥ý 5ëçìñ{èïïqêþ èÃì'íBêîè=ïñî|è ð è
êé%ï ïdïèê
Pn
wîè{çè
îè èéfýÃêéfç þ¥ýè4ïïdþ½ï è |ýè
1
é'ý 1wîèçè d þ¥ïjêîè ðè é'êèÎì'íêDéfï =JnXWRj=1
þºýþ (D
(þ Vj þº)ý|åêîþ½ïqDñçjþê=è{çþ¥max(C
éþ¥ïjð|ïèj íÉ−ð dwîj ,0)è{ý
j
j
ëè{ý|é ê íÉð|ý|ñ¡êþºì%ý|ïBé'çè è |ý|è hþºý=é%ñ{ñì%ç |é'ý|ñ{è wþºêî ðè é'êè4ï
ï % ) 3Z,+
ì'êîëçì è ïwéfçè N P 5î|é'ç þ¥ý ì%ï êBþºýêèçè4ï6êþºý|åÎñéfïèY
äBýìfêîèçBð|ïèíÉð é'ëë þ½ñ{é'êþ¥ìfýhì'íêîþ½ï/ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêþ½ïBé
ïð ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê è |ýè Ãìfý=é'ý
ìfç èçè ïèêwì'í é'çþ¥é è4ï
[ ðççèý%ê þ¥ý=êîèñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê/ëçìfåfçé þ¥ýåÎíÉçé Î-è ì%ç ï ð|ñî=ì%ëêþ (þ V4éêþºì%ý=ëçì 5
è ï/éfçèNêéfñ è
ïì þºýåéï è4ÿ%ð|è{ý|ñ{èqì'í èñ{þ¥ïþ¥ìfý=ëçì è -ï \êîè§ïì ðêþ¥ìfý=ìfí)èéfñî
è4ñþ½ï þ¥ìfýAëçì è ð|ï êNý|ì'êìfý ïéêþ¥ï í êîè
þºý|þêþ¥é ñì%ý|ï6êçéfþºýêqï ï êè ðêþºê §ð|ï ê
é ïìëçì þ èÎé èêêèç ì%ðý =êî|é'ýFêî|è èï ê 5 ý,ì wýVïì ðêþ¥ìfý ýVìfêîè]ç ìfç ï èéfñî
ý-è è4ñþ½ï þ¥ìfý·ëçì è §ð|ï êïé'êþ½ï6í é'ý é þêþºì%ý|é ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêïëè4ñþºí þºýåLêî|éê
êîè
é ðèqì'í þ½ï èêêèçBêîé'ýhêîèñðççèýê ìfð|ý ìêé fèé é'ýêéfåfèNì'íêî|þ¥ïbé þºêþ¥ìfýé
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%yêjêìRñ{ðêqêî|èï è4é'çñîFïë|éfñ{è éfý Fêîð|ïjêìRé ìfþ Rçè ìfþ¥ýå=é Îìï6êé dé ï/êîè
ïé è ìfç íÉì%çwèéfñî èñ{þ¥ïþ¥ìfýhëçì è Kèjþ¥ýêçì ð|ñèNîèçèqéÎý-è å ì |é ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê
ý è çï ê è{êé'þ êîè ìfêþ é'êþ¥ìfý=ìfí2ìfðç/éfëëçì%é%ñî
ý=êî|è§çè é'þ¥ý èçBì'íHêî|þ¥ïjï è4ñ¡êþºì%^
èíÉìfçèqï î|,ì wþºýåÎî,ì þê ìfç ïì%ýhéïîìfçêw$è #é ë è
S

y
>
1
1
1
;
1
/
9
]

:
#
d
;
#
9
.
>
b

]
y
.
9

d
*

:
9

y
3
/
8
}
S
1
X
1
y
]
/ 9
y
/
/
9
b
*
&
y

9
y
1
8
&
9
"
)
' G'
èñ{ìfý|ïþ è{çdêîèñì%ý|ï6êçéfþºý|è ì%ëêþ þ(V4éêþºì%ýëçì è \
W=þ¥ýþ ÎGþ V{è
ïð I6èñêwêì f (x) p (x) ≤ 0
(i = 1, . . . , m)
i
q
(x)
=
0
(i
wîèçè f þ¥ï§é=ïñé é'çNíÉðý|iñêþ¥ìfý:ìfídé èñ¡êìfç =x1,ìfí. .n. , ñr)ì ëì%ýè{ýêï p (x) é'ý q (x) é'çè
íÉðý|ñêþ¥ìfý|ï wîþ½ñî é èBýìfKý 5 þºý|èé'ç èjéfïï ð èdêî|éêdé'ý
þ¥ýþêþ¥é iì # D þ½ï2å%þ iè{ý S þ è
êî|è ì éfþºý|ïì'í éfçè ìfð|ý è T2é'ý ;è/ïè{è §êîèBå ì |é þ¥ýþ §ð ¾ì'í
þ¥ý ì%ç
êî|èdïé %èìfíïþ ë xþ½ñþºê /èwé ï ìNéfïï ð Îèþ¥ýêîèdçè4ï6ê)ìfí|êî|èëé'ëè{çHêîéê f fþ½ï)(x)éNï ð ÌDì'í|êîè
íÉìfç y = Σi=nx S ý è4ñ¡êþºì%;ý Z è þ½ïñ{ð|ïï)éqïð uì'íêîèdíÉì%ç y = Σi=na x ý èïï
ì'êîè{ç wþ½ï è Îi=1
èýêþ¥ìfi ýè /èdé%ïïð èþºýêîèwçèï êHì'í|êîþ½ïHë|é'ëè{çêîéêé êîi=1
è éfçiþ½é i èï-êé fè
þ¥ý%êè{å%è{ç é ðè4ï ñ{þºèý%ê êè{çþ¥ýåé åfì%çþºêî ï/é'çèé éfþ é èNíÉì%çbïð æñìfýï6êçéfþºýêï ðê
þ¥ýVìfð|çNñéfïè§êîèïè
é åfì%çþºêî ïjé'çè èé fè{ý|è
êîèÎíÑéfñ¡êNêî|éê é'çþ¥é èï þ¥ý ì è
þ¥ýVêîèì I6è4ñ¡êþ èíÉðý|ñêþ¥ìfý:é ïììñ{ñ{ðçNþºý é'ý ì'êîè{çñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêï §ä ì%ýxå=i é êîèïè
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%êï êîè{çèVþ½ïé ï ð ï è{êì'í þ¥ý|éfç þºý|èÿð|é þºêþ¥èïêî|é'êìfý þºý ì è é'çþ½é èï
ìñ{ñ{ðççþ¥ýåþ¥ýêîèqì I6èñêþ èjíÉðý|ñêþ¥ìfý ðñîhþ¥ýè4ÿ%ðé þêþºè4ï é ñìfççèïëì%ý êì þ¥ï êéfý|ñè
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%êïqéfYï è é%ïNêìRñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêYï wîþ½ñî:î|é è è{èý:þºýêçì ð|ñ{è Fêì çèé ,ì wý
ï èêçþ¥èïìfíêîèqëçì è êì
ï ì è
ìfêèêî|é'êêîè |þºý|éfç þ¥ýèÿð|é þºêþ¥èïéfý Lêî|èhïð ìfý ì è éAï ð .ëçì è ì'í
éçèé é'ëë þ½ñ{éêþºì%ý ä þºêþ¥ìfýé ñì%ý|ï6êçéfþºýêïbéfçèÎçè4ÿðþºçè =êìÃñ{é'ëêðçèÎé êîèçè4ï6êçþ½ñ 5
êþ¥ìfýï§é'ý AíÉèéêðçèï ì wî|éêþ¥ï§ýè{è è Lþ½ï§éfý @·òù @{ô|ö F3ö @÷¡ù¹ôûF/ø F û%ó'÷¡ù¹ö ü íÉìfçêîè
ñì%,ý I6ðý|ñêþ¥ìfýhì'í þ¥ý|é'ç þºý|èÿð|é þºêþ¥èïBéfý êîèïð ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê
R/è4ñîêè{çèêé % +î|é èBïî,ì wýêîéêïîìfçêè4ï6êë|éêîé åfìfçþºêî ï2ñé'ý
è ñ{þºèý%ê êé%ñ è
ïð|ñîRï ï êè ï/ì'í2þ¥ýèÿð|é þºêþ¥èï/þºýRêè ëìfçé ñì%ý|ï6êçéfþºýêBýè{ê ì%ç ïwë|çì è ï î|è§ëð?ç 5
ëì%ïèì'í|êîþ½ïë|é'ëè{çHþ½ï-êìbþ¥ýêçì ð|ñèé/ý|è ?å ì |é ñì%ý|ï6êçéfþºýê 4ýé è *wîþ½ñî§î|éfý èï
éfïNéhï þ¥ýå èå ì é ñì%ý|ï6êçéfþºýêjêîè
ïð ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêNéfý Féhï ï êè tì'í þ¥ý|é'ç þºý|èÿð|é 5
þºêþ¥èï uä/ý è ñ{þºèý%ê=é åfì%çþºêî ð|ïþºýåSé ïîìfçêè4ï6êhë|éêî é å%ìfçþêî ì%ý é?å%çéfëî ì'í
çè ð|ñ{è hñìï6ê!ï þ½ïwþ¥ýêçì ð|ñè êìéfñîþ¥è èNþºýêèç é ñì%ý|ï þ½ï êè{ýñ S ï èè è |ý|þêþºì%"
ý '*Tìfý
êî|þ¥ïwå ì |é ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê èíÉìfçèNåfì%þºýåÎþ¥ý%êìêîè èêéfþ ï è{êBð|ïdìfðê þºýèNêîèé éfýêé'å%èï
ì'íêîþ½ïBéfëëçì%éfñîìfýÃéï îì%ç êwè #é ë è
.
9
d
9
8

9
3
'
9
/
9

9
X
S
]
X
]

5
X
y
3
*
#" $%$'&()*+
+-,.,0/1
32546$%,
'
[ ìfý|ïþ è{ç/êîèÎñìfýï6êçéfþºýêBýè{êì%ç
: (x1 ≤èýxì'2êè−ïdê1)}
1 : x1 + x2 = ý
wîèçè D(x ) = [0, 6], D(x ) = [1, 7] Céfý = {C
îè
y,êè{ç Cé 2 [a,
D(y)
=
[1,
13]
b]
ïèêwì'íHþºýêè{åf1èç S = {k : a ≤2 k ∧ k ≤ b}
þ¥ïdïèêêì )äBçñ
[ ìfýï6êçéfþºýêýè{êì%ç þ½ïéfçñbñì%ý|ï þ½ï êè{ýê ì, ïðëëì%ïèbêî|é'ê
ñì%ý|ïþ¥ï êèý|ñ þ½ïðý|é èjC êì
é%ñîþºè èNé'ý ì éfþºýhëçðýþ¥ýå îþ½ïdmin(y)
þ½ï ðèjêìÎêî|èbíÑé%ñ¡6êdêîéê
é'çñÎñìfýï þ½ï6êè{ýê êè{çþºý|åhîé'ý èïjêîè
ñì%ý|ï6êçéfþºýêïbì%ýè ìfýè ì, è{êð|ïNè$#é Îþ¥ýè
wî|é'êdîé'ëëè{ý|ï wî|è{ý=ñì%ý|ï6êçéfþºýêï C éfý C éfçèjî|éfý è héfïwéï þ¥ýå èqñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê ì
ïéêþ½ï í ñì%ý|ï6êçéfþºýê C êîè é ðè
ìfí 1 x §ðï62ê èï6êçþ½ñ¡ê è4ïïjêî|é'ýAêîè é ðè
ì'í x
é'ý hêîð|ï ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê 2 C ñ{éfýýì'ê è§ïé1êþ¥ï |è wîè{ý x êé fè4ïwþºêï é ð|èïBþ¥ý [1, 3] ì2
é ðèï
þ¥ý
ñ1é'ý è è èêè 87býFêîþ½ïq$è #é 2 ë è éÃå ì |é î|é'ý þ¥ýå=ìfí C
1
é'ý C2[1,ç3]éfï êþ½ñ{é D(xç2è )ð|ñ{èïêî|èï è4é'çñîïë|éfñ{è

9
9
d
] 3
#
9
9
8
7
#" *,.()&252 3* .3&1**+
2 , 3*
' )
éfý
þ½ïè #éfñ¡ê wîéêwþ èNëè{çíÉìfç è ì%ýå ì |é
îè êè{çþ¥ýåë|çìñè4ïïìfý
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê KW=ìfçèbë|çè4ñþ½ï è C1 è{ê-\ C2
éÎïð ñìfýï6êçéfþºýê
è ýè
• éÎïèêBìfí |þºý|éfç þ¥ýè4Sÿ%um
y = Σi=n
i=1 xi
ð
é

ê
º
þ
4
è
ï
• éÎïèêBìfí ì é'þ¥ýhñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêï Ineq = {xi − xj ≤ cji , (i, j ∈ [1, n])}
•
ê þ½ï è |ýè DomI = {l∪i D≤ xi ≤∪ u{Si, (i} ∈ [1,
éfñî
n])}
êþ èbé ì%ðý
îèbå ì |é ñì%ý|ï6êçéfþºý5
ì'í y þ½ï Îì þ |è êîè êè{çþºýåì%.
ý ï êé'çêneqï ëè{çom
íÉìfç þºýåêumî|èNíÉì ì,wþ¥ýåÎìfëè{çéêþ¥ìfýï \
S '*T þ êè{çþ¥ýå
þ¥ýêè{ç é ñ{ìfý|ïþ¥ï êèý|ñ } é ñì%ý|ïþ¥ï êèý|ñ S T þ êè{çþ¥ýå {Ineq ∪ Dþ¥ý%om

ê
{
è
ç
S ):T ë éêþºýå?Sêum
îè ìfðý ïìfíjè è{ç x wþêî çè4ï ëèñê
êì?ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê
ïèê I ∪
y
*
Z
=

S
9
8
b
'
y
i
neq
êè{ë'ñé'ý èéfñî|þºè è wþºêî éVï îì%ç êèï ê§ë|é'êî?é åfì%çþºêî ì%ýLêîèåfçé'ëî:éfïïìñ{þ¥é'êè
wþºêî {I ∪ D } S è{è èñêþ¥ìfý ) T þºý|ñ{èjêîèqå%çéfëîþ½ï þ fè êì
ñìfýêé'þ¥ýéÎýè{åé,5
êþ èqñ ñ neq
è êîþ½ïBom
ï êèëÃñé'ý èé%ñîþ¥è è þ¥ý
çðý|ýþºý|åêþ è
èNëè{çíÉìfç è &wþêîhéÎï þ ë èNé å%ìfçþêî ¾êîéê
êwþ¥ïwé ïì§è4éfï êì
ïîì, êîéêBï6êè{ë ñ{é'ý O(mn)
çðý|ïdþ¥ý O(n) wîè{çè n þ½ïêîèqýð èçwì'í é'çþ¥é è4ï S è{è è4ñ¡êþ¥ìfý^) (' T
îè
ñì%ýêçþ ðêþ¥ìfýVìfíêîþ¥ïë|é'ëè{çNþ½ïqé'ýAè ñþ¥è{ýê Fö3@{÷¡ù¹ôûVø/F ûó÷¡ù¹öü íÉì%çNè{ýíÉì%çñ{þºýåhþ¥ý5
êèç é ñìfýï þ½ï6êè{ý|ñ ìfýhêî|èqå ì |é ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê ÓÖÑ§ 4ÎH èñêþ¥ìfý þ¥ýêçì ð|ñè4ï-êîèdýì'êéêþºì%ý§é'ý §çè4ñ{é ïêîè |éfïþ½ñ{ï
ì'í [ é'ý Ãìfíï î|ìfçêèï ê/ë|é'êî|ïBêî|é'êjéfçèý|è{è è =þ¥ý=êî|è§çèï ê/ì'í)êîè§ë|éfëèç èñêþ¥ìfQ
ý )
ïð|ñ{ñ{èïï þ è ï î,ì Bïbî,ì xþ¥ý%êè{ç é ñìfýï þ½ï6êè{ý|ñ ñ{é'ý èéfñîþ¥è è Ãì%ýVéïð tñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê
é'ý :ìfý |þºý|éfç þ¥ýèÿð|é þºêþ¥èï èñêþ¥ìfý 7 è ýèïþºýêè{ç é ñ{ìfý|ïþ½ï6êè{ý|ñ ì%ý?êî|èå ì |é
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê wîþ è èñ¡êþºì%ý è{êéfþ ï)êîèbé å%ìfçþêî ÌíÉì%ç |ý þºý|åé þ¥ýþ ð é ðèBì'í
wþºêîÃçèïëè4ñ¡êwêìñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêï I ∪ D ∪ {S }
x
Dom ∪ {Sum }
9
9
y
*
'
:
i
neq
om
um
à `wvBoqiãNyba/r
ý
ìfç è{çêì é fèdêîþ¥ï2ë|é'ëè{çïè í 5,ñìfýêé'þ¥ýè èwýì, þºýêçì ð|ñ{èdêîèwçèÿðþ¥çè |éfñ 5
åfçìfð|ý ìfí [ éfý ìfíHïîì%ç êèï êë|é'êî|ï
/
G'
8

/
3( ( \
ä |ýþºêè %{Ñ |"! P = (X , D, C) þ¥ï è |ý|è
éÎïèêBìfí$# ø÷¡ùÑø:E$FG@¡õ X = {x , ..., x } • éhïèê
ì'íñ{ðççèý%ê4Bfó'üø'ù¹ôõ]wîè{çè
• ï è{êBì'íD
ëì%=ïïþ {D(x
è é ),ðè...,ïíÉD(x
ì%ç é'ç)}þ¥é è x éÎïèê ìfíHñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêï èêè{è{ýêî|è éfçþ½é è4ï
.
*
1
1
n
n '
i
D(xi )
þ½ïqé |ýþºêè
ä êì'êé ì%ç èçþ¥ýå ≺ ñ{é'ý è è |ýè =ìfýhêî|è ì éfþºýïwþêîìfðê ìïï/ì'íHåfè{ý|è{çé þê è
x
wþ èýì'êè min(x
é'ý max(x ) êîè þºýþ é éfý êîè é,#þ é é ð|èjìfí D(x )
i)
i
i
ç ê êì ≺
è

ý
'
ì

ê
è

è
ý
ð

{
è
H
ç
f
ì

í
ñ
%
ì
|
ý
ï

ç
'
é
¥
þ
%
ý

ê
wîþ è
ï
è

ý
'
ì

ê
è

è
ý
ð

{
è
H
ç
f
ì
í
'
é

ç
¥
þ
é
è
ï
ä
|C|
|X|
•
C
y
b 9

"
þ¥ïéïð |ïèê
f{|Ñ ìfý
êîè/ì%ç èçè ï è{êìfí éfçþ½é è4ï
'ì íêîè [ é'çêèïCþ½é'ýqëçì ð|ñ¡ê D(x )×...×D(x ) êî|X(C)
é'êïëè4ñ=þ |(x
èï-1ê,î|...,
èNø/xF Fºró,)N@CBdñì þ¥ý|é'Têþ¥(C)
ìfý|ï
ì'í é ðèïíÉìfçdêîè é'çþ¥é èï (x 1, ..., x ) 2äBýhr è è èý%êwìfí D(x ) × ... × D(x ) þ½ïwñ{é è
r
éÃö 4úAF(@Bìfý X(C) é'ý Ãþ½ïBýìfêè 1 τ τ [k]
þ¥ïBêîè kth é ðèì'í τ1 |X(C)| þ½ïwêrî|èhø÷¡ù¹ö Nì'í
C ä
é ðè íÉì%ç þ½ïwìfí¹êè{ý èýì'êè
wîþ è
ù¹ô B @ S C, xTwþ½ïdêîèqëì%ïþºêþ¥ìfýhì'í x
(x, a)
þ¥ý X(C) a x
èAéSñì%ý|ï êçé'þ¥ý%êhýèê ìfç îèVêðë è
þ¥ïÃé
è{ê
í P, D,þíêC)îèNéfïï þ¥åfý Îèýê ((x , v ), . . . , (x , v )) ïé'êþ½ï τ|è4ï=é (vê1î,èj. .ñ{.ìf,ý|vï nê)çé'þ¥ýêï
4ÖÓ-P4Ñ= ì'(X
ì'í C )ä é ðè v þ½ïdé 4ÉzHÖÑ ÖÑÓ 1íÉìfç 1x þºí-êî|è{çèbn è #nþ½ï êïdéïì ðêþºì%ýþ¥&
ý wîþ½ñî x = v
ï #,ø Fù BNþºí ∀(x, a) ∈ τ, a ∈ D(x)
ä
è{ê C èéñì%ý|ï6êçéfþºýêwì'í C 2ä êðë è τ ì'í X(C) þ½
é ðè a ∈ D(x) þ¥ïòóô|õù½õ¡3ö @ôö N)ù¹ö C è{þºêî|è{çjþí x 6∈ X(C) ìfç/þºí)êî|è{çè$è #þ½ï6êï/é é þ
êð|ë è τ ⊂ T (C) ï ð|ñîRêî|é'ê a = τ % þ¥ý è # S C, xT + §ä ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê/þ½ï Af4Ñ >þ 8
é'ý
þ½ïwñìfýï þ½ï6êè{ýê wþêî
∀xi∈
þ êX(C),
èçþ¥ýå D(xéfçiñ) 6=ñì%ý|∅ï þ½ï êè{ý∀añ ∈þ¥ïND(x
ìfí¹êèiýR) êaììÃñìï6ê íÉìfçNýì%ý 5 þºýCé'ç ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêïjé'ý
å ì é ñì%ý|ï6êçéfþºýêï 4% Öf4Ñ % ,+jñ{é'ý èRéfñîþ¥è è ì%çèÃè ñ{þºèý%ê
ýêèç é ñ{ìfý|ïþ¥ï êèý|ñ þ½ï èçþ è íÉçì éÎçè ,é #éêþºì%ýì'í)é'çñbñ{ìfý|ïþ½ï6êè{ý|ñ íÉìfçwñì%ý%êþºýðì%ð|ï
ì éfþºýï ê2þ¥ï éfïè ìfýé'ý
é'ëë|çì #þ é'êþ¥ìfýì'í ýþêè ì éfþºý|ï |ýþºêèBïèêï2ì'íïð|ññèï 5
ïþ èjþ¥ýêèåfè{çï W=ì%çèqëçèñ{þ¥ïè |þí þ¥ïbé ì éfþºý |þºýêèç é ñì%ý|ï þ½ï êè{ýñ ìfç ïdìfý D∗
êî|èjïèêdì'íþºýêèåfèçï {k : min(D) ≤Dk ≤ max(D)} wîè{ç]è wîè{çè min(D) éfý max(D)
èýì'êèbçèïëè4ñ¡êþ è êîè þºýþ §ð é'ý ,é #þ §ð é ðè4ïdþºý D ýêîèjíÉì ,ì wþ¥ýå D∗
þ½ïwñ{é è hé'ýhþºýêèç é ì'íHþºýêèåfèçïdé'ý è{ýìfêè
ä ñì%ý|ï6êçéfþºýê C þ½ïwþ¥ýêè{ç é .ñ{ìfý|ïþ¥ï êèýêþºíêîèNíÉì [min(D),
,ì wþºýåÎëmax(D)]
çìfëè{çêþ¥èïdîì \
S '*T ìfçBé
þ¥ý
S T ìfçBé xi þ¥ý X(C) min(D(x
þ½ïwé'çñ 5,ñi ))ìfý≤ï þ½ï6max(D(x
êè{ýê wîè{ý i ))D∗(x ) þ½ïwçèï êçþ¥ñêè êì
xi
X(C)
C
é'ý
þ½ïwè #êè{ý è êì D∗(x ) íÉìfçBié i 6= j
) é'çñ 5,ñìfýï þ½ï6êè{ý
jþ½ïw
S ):T {min(D(x
ê wîè{ý j ∗ ) þ½ïwçèï êçþ¥ñêè êì
ìfçBé xi iþ¥)}ý X(C)D(x
C
'
é
ý
¥
þ
d
ï
è
#êè{ý è êì ∗ D íÉ(x
ìfçBi é i 6= j
{max(D(xi )}
D(xj )
D (xj )
ì%çïëè4ñþ ñVñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêï ï êè ï wþºýêè{ç é ñ{ìfý|ïþ¥ï êèý|ñ é'ý éfçñVñìfýï þ½ï6êè{ý|ñ éfçè
èÿðþ é è{ýê ýLë|éfç êþ¥ñ{ð é'ç «êîþ½ïqþ½ïNêî|èñ{éfïèÎíÉìfç§ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêï I ∪ D ∪ S
þºíêîè ì éfþºýïBé'çè |ýþºêè§ïèêïwì'í)ïð|ñ{ñ{èïï þ èNì'í)þ¥ýêè{å%è{çï S þ è þneq
í D∗(x ) =omD (x ) um
íÉìfç
é éfçþ½é èCï T ,ì è è{ç íÉìfç ìfçè/ñì ë è #ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêïHêîþ½ïëçìfëè{0çê i ìèïý0ì'êiî|ì
éfý
[ ìfýï þ è{çíÉìfç§þ¥ý|ï êéfý|ñèñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê
îþ½ï§ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêþ¥ï
þ¥ý%êè{ç é .ñì%ý|ïþ¥ï êèý%ê ðêý|ì'ê§é'çCñ .ñì%xý|2ï þ½=ï êè{4ýêqï þ¥ý|ñ{D(x)
è (x, 0)= [−2,
þ½ïqýì'2]êñ{ìfý|ïþ¥ï êèý!ê wþêîFêîþ½ï
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê
y
9

9
y
p
9
d
1
1
X

y
9
9
3
;
9
'
> 9
b
8
b
9
3( ( ( *', () 4 (
è çþºè P çè4ñ{é îè{çèéíÉè »þ èé%ïbé ì%ðêjïîì%ç êèï êbë|é'êî|ï/êî|é'êjéfçèýè{è è =þ¥ýRêîè
çèï êdìfí-êîèqë|é'ëè{ç HW=ì%ï êBì'íêîè è |ýþºêþ¥ìfýïBé'çè ðèNêì é'ç I é'ý %('-7/+
è{ê G = (X, U ) èé þ¥çèñ¡êè Lå%çéfëî wî|è{çè X þ¥ïé=ï è{ê§ì'íwýì è4ï§é'ý U éVï è{êì'í
é'çñ{ï è{ýìfêèï wî|è{çèéfï è{ý|ì'êè4ï
þ½ïNéfïï ìñþ½éêè wþºêîAé'ý
éfñîVéfçñ
þ¥ý%êè{å%è{mçñé è êîèj|Uñ{ì%| ï êìfíêîèNé'nçñ/éfý èý|X|
ì'êè c 2ä ú|øö(i,NíÉj)çì ýì è v êì§ý|ì è v
1
þ¥ý þ½ï/é þ½ï ê/ì'íHýì èï
ï ðñîêî|éê (v , ijv ) þ½ïBé'ý=éfçñbíÉìfç i ∈ [1..k
ä k
ië|é'êi+1
ë|é'êGîÃþ¥ïqõù¹ü/Aú FG@wþºíHé þºêïB[vý1ì ,...,èïBvéfkç]è þ½ï êþ¥ý|ñ¡ê äx
î=þ½ïwéRò fò F(@wþºí k > 1 éfý v−1 =1] vk
9
9
3
*

9
1

9
Z
îè&F(@ôû'öìfíéë|é'êî
è{ýìfêè
þ¥ï/êî|èÎïð ì'í)êîèÎñ{ì%ï êï/ì'í)êî|èÎéfçñï
ñ ì%ýêé'þ¥ýè Rþ¥ý p Îä õ ó'p÷¡ö @õ¡öHú|øöíÉçì length(p)
éý|ì è s êì=éý|ì è t þ¥ïqéhë|é'êîFíÉçì s êì t
wîìï è è{ýåfêî:þ½ï þºýþ §ð =ä ñ ñ è
ì'íwýè{åéêþ è è{ý|å'êî:þ½ïñé è AéLô @û%ø'öù #,@Ãò fò F(@
îèçèþ½ï§é=ïîìfçêè4ï6êqë|é'êîLíÉçì s êì t þ>8Sýì=ë|é'êîLíÉçì s êì t ñì%ýêé'þ¥ý|ïéÃý|è{å%é'êþ è
ñ ñ è d(u, v) èýì'êèï)êîè/ïîìfçêè4ï6êë|éêî þ¥ï êéfý|ñèBíÉçì ýì è u êì§ýì è v þºý G wîþ è
èýì'êèïêîèï ì%ðçñèNýì è
s
þ¥ïÎêîèÃåfçé'ëî è{çþ è ?íÉçì
çè{ë éfñ{þºýå )íÉìfçè4éfñî éfçñ v) c wþºêîSþêï
G
çè rcð|ñ{è hñìï6ê rc = c + d(s, u)G− d(s, v) î|èNïîì%ç êèï êdëéêî (u,
þ½ï êé'ýñèjuvíÉçì ýì è
uv
uv
êìýì è b þ¥ý G þ¥ï è{ý|ì'êè
îèBíÉì ,ì wþºý|åëçìfëè{çêþ¥èï%G'$+îì þ¥ý G \
a
d0 (a, b)
9
8
9
9

S '*T
\
rc
S T
'
9

rc
∀(u, v) ∈ G rcuv ≥ 0
d(a, b) = d0 (a, b) − d(s, a) + d(s, b)
àá aBâB_2i-`jk vwãNa/lp,lâB_2a/vHp,kâB_2iBp,abo
îþ½ïjïèñêþ¥ìfýVïð|ññèïïþ è ïîì,Bï/î|ì, þ¥ýêèç é ñì%ý|ïþ¥ï êèý|ñ ñ{éfý èÎé%ñîþºè è ÃìfýVé
ï ð ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%êBéfý ì%ý |þºý|éfç þºýè4ÿð|é þêþºè4ï
&12 +3( *+
) G'
9
è wþ ñì%ý|ï þ èçêîèNíÉì ì,wþºýå è |ýþºêþ¥ìfýÃì'íHéï ð ñì%ý|ï6êçéfþºýê*\
EC@Îø
õ @{öó#ø'÷¡ùÑø E F(@õ
ù½õø
h%×HÉØ
@{ö
Sum = SU M (X, y)
ïð òó'ôõ¡ö÷øù¹ô|ö B @ 2ô X@ B&=E {xö1 ,@N...,õ @xöwró}Nö 4úAFG@¡õ T (S ) ù½õ§ø
ö 4úAFG@§ó X ∪ {y} ∧ Pr umτ [i] − τ [index(S , y)] = 0}
T (S ) = {τ : τ
um
um
i=1
EC@:ø?õ @{öó #ø÷¡ùÑø:E$FG@¡õJN3 óõ$@"B%óü
øù¹ôÌø'÷?@
+
# # @ v õ |ò =öø'ö P min(D(x )) ≤ v ≤
öK @{÷?@ @ %ù½õ¡öõ
ø'ô ¹ù ôõ¡ö,øôöùÑø'öùÑó'ôSóö @ #ø÷¡ùÑø:E$F(@õhó X õ |ò Löø'ö
max(D(x ))
N|4É4ÑØ
@{ö
ù¹ô|ö3@{÷ ø/Fó ù¹ô|ö3@û:@{÷õ X@ô=ó{x÷L1@ , ...,
@{÷ xr}ø,F
#
P
Pxi ∈X
N
xi ∈X
xi = v
i
xi ∈X
i
P
P
{è ê
[ ì%ý5
èî|é è
≤ v ≤ x ∈X max(D(xi ))
|
î
{
è

ç
/
è
$#þ½ï6êïéfýþ¥ý è # ïð|ñî
è
ïþ èçSmin
éfý ì%=ç è{çþºxý∈X
å§ì'ímin(D(x
êîè éfçþ½é i ))èïì'í X \ {xSmin
1 , ..., xr }
êîéê v = Smin + Pi−1 (max(D(x ) − min(D(x
wþºêî p ≤ max(D(xi )) −
))
+
p
i
j
j
þºý|ñ{è Dj=1∗ (x ) þ¥ïêîèFþºýêè{ç é ì'íþ¥ýêèåfè{çï [min(D(x )), max(D(x
min(D(x
))
i
i
i
êî|è{ý p ∈ D∗(x ) éfý êîèþ¥ý|ï êé'ýêþ¥é'êþ¥ìfýhì'í X è |ýè
þí j <i ))]i
x
=
max(D(x
))
i
j
j
|éfý x = min(D(x )) þºí j > i ïé'êþ½ï |è4ï P x = v xi = p + min(D(xi ))
j
j
x ∈X i
çì êîþ½ïwëçìfëì%ïþêþºì%&ý èNî|é :è \
õ N3|óõ @QB%óü
øù¹ô ø'?÷ @Ãù¹ô Õ|ÖÑÖ Ø @{ö X = {x1, ..., xr } E @VøAõ @öó #ø÷¡ùÑ:ø E$FG@¡1
3ö @÷ #,ø F/ó Ãù¹ô|3ö @*û @{÷õ +K@{ô @õ¡ö:ø E$Fù½õ ù¹ôû ö @Rù¹ôö @{÷ #/ø Fbòóô|õù½õ¡3ö @ôò ?ó =ö @Vòóô|õ¡ö÷ø'ù¹ô|öõ
P
ø'Aô B P
ù½]õ @ ù #,ø FG@ôöö,;ó @¡õ¡ö,ø E Fù½õ ö @jù¹ô|3ö @÷ #,ø F«òóôõ¡ù½õ¡3ö @ôò
ó Nxö K∈X
@Îòxóô|i õ≤ö*÷vø'ù¹ô|ö P x ∈X xi ≥ v
x =v
çì [ ì%çì é'ç 'Yx è∈Xqþ i Îè þ½éê î|é è \
y
i
*
i
9
p
i
i
i
i
]
9
"
<
E @FøAõ @öÎó #ø'÷¡ùÑø E F(@õFøAô BFG@ö
ù½õ
ù¹ô|ö3@÷ #ø,Fòóôõ¡ù½õ¡ö3@ôöbù ø'ôABRó'ô F =ùSumöK@ =ó,FSU
Fºó/N)M
ù¹ôû(X,ó y)
÷
Ø {@ ö
EC@øhõ ü òó'ôõ¡ö*÷øù¹ôö òóô B ù¹ö*ùÑóôõ |ó,F(B
N|4É4Ñ
X ∪ {y}
Sum
P
min(y) ≥ xi ∈X min(xi )
P
max(y) ≤ xi ∈X max(xi )
P
∀xi ∈ X : min(xi ) ≥ min(y) − xj ∈X−{xi } max(xj )
P
∀xi ∈ X : max(xi ) ≤ max(y) − xj ∈X−{xi } min(xj )
(1)
(2)
(3)
(4)
ýêè{ç é ñìfýï þ½ï6êè{ý|ñ êè{çþºýåì'í M (X, y) ñ{éfý èNéfñî|þºè è Îè ñ{þºèýê þ¥ýéfý
þºý5
ñçè èý%êé dé îèqè4ïïè{ýêþ¥é ì |ïè{SU
ç éêþ¥ìfýþ¥ïwêî|é'ê P
þ½ïwèÿð|é êì
max(xj )
x
∈X−{x
}
P
éfý P
þ½ïèÿð|é êì P min(x ) −
j ) − max(xi )
j)
x ∈X max(x
x
∈X−{x
}ëmin(x
¥
þ
|
ý
ñ
q
è

ï
ð
ì
{
è
ç
{
ñ
'
é
ý

§
è
ñ
ì
ð

ê
è
h
f
ì
ý
ì%ý|ñè êîèé xì ∈Xèqñìfý þêjþºì%ý|ï
min(x
)
X
i
ñ{éfý èñî|èñ fè Aþºý
îðï êîèhñìï6êìfídð|ë é'êþ¥ýå=êîèþ¥ý%êè{ç é ïéí¹êè{ç§é ì þ(5
ñéêþ¥ìfýLìfí ìfðý ïO(n)
ìfíwïè è{çé é'çþ½é èïNþ½ïþ¥ý O(n) î|é'ê§þ½ïþ¥ý|ï6êçðñ¡êþ Lè wþºêîLêîþ½ï
ñì ë è #þê þ½ïjêîèÎíÑéfñêNêî|é'êjþºê ìèïjýìfê èëèý AìfýVêîè
ï(þ Vèìfíêî|è ì é'þ¥ý|ïbì'íêîè
é'çþ¥é èï
è ìfð þ %èBêìè ëî|é%ï Gþ V{è/êî|é'êþºíêî|è ì é'þ¥ý|ïìfí«êîè é'çþ¥é èïéfçè/ýì'êdñìfýï þ 5
]
è{çè Ãé%ïwþºýêè{ç é ìfíHþ¥ýêèåfè{çïdþºê èñì èï þ ñð ê/êìèï êé þ¥ïîÃêîèñìfýï þ½ï6êè{ý|ñ ìfíêîè
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%êwéfïwïî,ì wý êîèNíÉì ,ì wþ¥ýåë|çì%ëìï þºêþ¥ìfý \
N|4É4Ñ
Ø ù¹ô Bù¹ôûøö 4úAFG@óô=ö K@ #ø'÷¡ùÑø E F(@¡õ§ó X õ |ò hö |øö P xi = v ù½õ
x ∈X
ø
ô 2óü/Aú FG@3ö @Bú÷:ó E$F(@{ü ù¹ôhû @ô @÷,ø F N îþ½ïë|çì è þ¥ïì þ¥ìfð|ï þ¥ý S è4éfï ëì ýì Îþ½é ñèç êþ ñ{éê*è T èAêçé'ý|ï íÉìfç
W 5 W êìRêîþ½ïëçì è
W 5 WQþ½ï \ \ |ý|þêèïèê A 2ï Gþ V{è
º
þ
ý
»
É
í
f
ì
B
ç
4
è
f
é

ñ
î

ë
ì
ï
º
þ

ê
þ
è§þºýêèåfèç "!#$%'&)(\þ½ï/êîèçè§éï ð ï è{ê A0 ì'í
s(aï ið)ñîêî|éêwêîèqï ð
aì'ií∈
A

ê
|
î

è
ï
Gþ V{è4ïdì'í-êîèqè è èký%êïdþºý 0 þ½ïd$è #éfñê
A
ì%çVè4éfñî ai ∈ A è è |ýèSé é'çþ¥é è xi wîìï è Aì é'þ¥ý þ¥ï {0,k * s(ai)} î|è{ý
$è #éfñê ï ì èï 5 W
sum
(x ) = k
j
j
'
i
9
j
i
l
j / 9
b

]
X
i
&
*
y
xi ∈X
i
* 1,,+&
3$' , (
)
äBçñ§ñ{ìfý|ïþ¥ï êèý|ñ ñé'ý èé%ñîþºè è Ãìfý þ¥ý|éfç þ¥ýèÿð|é þºêþ¥èï þ fè
ðï þ¥ýåïëè$5
ñ þ ñ êèçþ¥ýå=é åfì%çþºêî ïNïð|ñîAé%ïqä [ 5! %G' ,+ ì,è è{ç êîèñ{ì Ië neqè$#þºê ì'íwï ð|ñîLé 5
åfì%çþºêî ï èëèý ïjìfýVêîèï þGV{èÎì'í ì é'þ¥ý|ïbì'í2êîè é'çþ¥é è4ï îð|ï êîè é'çè§çéêî|è{ç
þ¥ýè$8èñêþ è
íÉì%ç è{êèñêþ¥ýåVþ¥ý|ñ{ìfý|ïþ¥ï êèý|ñþ¥èï ýêèç é ñì%ý|ï þ½ï êè{ýñ ñ{é'ý èé%ñîþ¥è è Aþºý
wîèçè þ¥ïwêîèýð èçBì'í é'çþ¥é èïwé'ý
îþ½ïBþ½ï ðèêìé
O(mn)
çèïð êdì'í R/è4ñîênè{çdè{ê/é A% +ì%ýêîè0 þ ë è è Îëìfmçé =[ |Iì%neq
ý|ï6ê|çéf+þºý2n
ê éêþ¥ï íÑéfñêþ¥ìfý çì 5
è X2 S [ T Bìfðå%î ï ëèé þºýå þ¥ý%êè{ç é ñ{ìfý|ïþ½ï6êè{ý|ñ ñ{éfý èÎéfñîþ¥è è
ïèé'çñî5
þ¥ýåqíÉìfçï î|ìfçêèï êë|é'êî|ïþºýéqë|é'çêþ½ñð éfç2åfçé'ëî G = (N, E) ñé è Îêîè þ½ï6êé'ý|ñ{èBåfçé'ëî
wîèçèjýì èqï è{ê N çè{ëçèïè{ýêï2êîè éfçþ½é è4ïéfý hé'çñbïèê E ï6êé'ý ïíÉì%çdêîèNþ¥ýèÿð|é þºê
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%êï
W=ì%çèwíÉì%ç é
è{ê
èbé [ wîèçè è{ýìfêè4ïéï è{êì'í-ñ{ìfýêþ¥ýð 5
∗
ìfðï ì é'þ¥ý|ï îè Pþ¥ï =êéf(X
ý|ñèq, Då%çcéf, ëIîneqG) = (N, E) é%ïïìñþ½éDêè c∗&wþêî P þ½ï è |ýè þ¥ýÃêî|è
íÉì ,ì wþºýå dé S ïè{è |å%ðçè ) T \
9
*l
9
X

9
'
>
9
}

d
b
.
9
10
−8
x5
10
x1
x4
−3
s
−2
2
8
−2
−5
5
x3
−3
−1
x2
3
−1
3&1*,
R/þ½ï êé'ýñèqåfçé'ë|îhé%ïïìñþ½éêè
êìêîè [ 9
P = {{x, y}{[1, 6], [2, 5]}, {x ≤ y − 3}}
îèqýì èqï è{ê N ñ{ìfýêéfþºýï \
ä ï ëèñ{þ¥é ýì è |ý|é è Võ{ó ÷òC@ wþêî=é ì é'þ¥ý D(s) êî|éêBþ½ïdçè ð|ñ{è
êìéï þ¥ýå è é ðè s {0}
7býèqýì èjíÉìfçwè4éfñî éfçþ½é è xi þ¥ý X

è
'
é
çñbïèê ñì%ýêé'þ¥ý|ï-\
•
äBý=é'çñ E(x , x ) wþºêî=ñìï6ê c íÉì%çwèé%ñîþ¥ýèÿð|é þºê x ≤ x + c
ji
äBý=é'çñ (xj, s)i wþºêî=ñìï6ê − min(x
íÉìfçwè4éfñî é'çþ¥é i è jþºý ji
äBý=é'çñ (s,i x ) wþºêî=ñìï6ê max(x )iíÉ)ìfçwèé%ñî éfçþ½é è x xþ¥iý XX
äBçñ{ï (x , s) é'ý é'i çñ{ï (s, x ) çè4ï ð êíÉçiì ¾êîè è |ýþºêþ¥ìfýì'í i ì é'þ¥ý D∗(x ) =
i
êîèVi þºýè4ÿð|é þêþºè4ï \ 0 ≤ x − min(x ) S ïì s ≤c xi −
[min(xi ),
i )]
i T
i
i
S ïì
Tdmax(x
f
é
ý
min(xi )
xi ≤ max(xi )
xi ≤ s + max(xi )
îþ½ïHëçì è uï6êéêè è{ýê2çè4ï ð êïíÉçì »êî|èdíÉì ,ì wþ¥ýåNìfëêþ é þºê ñ{ìfý þºêþ¥ìfýÎì'í«ïîìfçêè4ï6ê
ë|é'êî|-ï \ d(s, x ) ≤ d(s, x ) + c íÉì%çbé (x , x ) ∈ N îþ½ïjþºý|èÿð|é þºê ï êé'êèï/êîéê
j ìfíêîè§ïîìfçêè4ï6êBëéêîÃêì
ýì è
íÉìfç/è èç é'çñ j(x , x ) þ¥ýÃiêîèqýijè{ê ì%ç êîè è{ý|i å'êî=
þ½ï
i
j
ýìfêdå%çè4éêè{çêî|éfýhêîè è{ýåfêîhì'íêîèïîì%ç êèï êdëéêîêì
ý|ì è x ë ð|ïdêîè èýå'êîìfxíjêîè
i
é'çñ (x , x T Rbèñîêè{çwèê/é Hî|é èqï î,ì wý% +«êîé!ê \
•

Z
;

;
i
j
Ð Ø
Bù¹÷?@ò{ö @CBhòfò F(@õ
·ù½õbòó'ôõ¡ù½õ¡ö @{ô|öù
ù¹öõBù½õ¡ö,øôòC@dûf÷øú |øõ/ôóô @û%ø'öù #,@
Ð Ø @ö G EC@öK@ Bù¹÷?@ò{ö @CBÃûf÷øú ?÷ @ú÷?@¡õ @{ô|ö,øö*ùÑóô óhøFòóô|õ¡ù½õö3@{ô|ö
N3K@{÷?@ ù½õÎøõ @{ö/ó;Eù¹ôø÷ hù¹ôA@ |ø/Fù¹ö*ù @¡õ + @õ @öBó
C
$@øõ¡ù E$F(@ #Pø,F =@õ(Xó, ÷ D, C)ù½õ
N3K@{÷?@
B @{ôó'ö @õ
ö @
x
[−d(x
d(xi , xj )
i
õ |ó÷¡3ö @¡õ¡ö-úø'ö ÷óü ô*ó B @ x ö,ó
ôi ,ó*s),
B @ +d(s,
xi )]
x
i
j
R/è4ñîêè{çwè{ê/é Hî|é èj$è #êèý è ý|èêìfç éfïè Îè{êîì ïwíÉìfçwï ì ¥þ ýå þ>#è 5*þ¥ýêè{å%è{ç
ºþ ýè4é'çNëçì è ï %G' ,+ ì þºêþêqþ½ïjêçþ þ½é êì=ïîì, êî|éêqêîè{þ¥çqçè4ï ð ê ïbî|ì QwîèýVêîè
ì éfþºýïéfçèNçèï êçþ¥ñêè êìÎþ¥ýêèç é ïdì'íþºýêè{åfèçï
9
1
9
y

]
"
îè{ì%çè ' ï êé'êè4ï«êîéêêîèëçì è î|é%ïýì/ïì ðêþºì%ýqþí ñì%ýêé'þ¥ý|ïéwý|è{å%é'êþ è2ñ ñ è
ý èè éýè{åéêþ èNñ ñ èqþºý þ¥ñéêè4ïwêî|éê/ïì èqì'íHêîèþ¥ýèGÿð|é þºêþ¥èïBéfçèñ{ìfýêçé þ¥ñêìfç
\
îèjíÉì ì,wþºýåëçìfëè{çê çèïð êïíÉçì îèìfçè
EC@Bø ·øô BYF(@{ö
EC@döK@Bù½õ¡öø'ôòC@
N|4É4Ñ-Ø {@ ö
C)
GõR=
(N,
ûf÷øú øõõó4ò{ùÑøö3@ B )N ù¹ö P P=∗(X=, D,

ò
ó
|
ô
,
ö
ø
¹
ù
|
ô

ô
ó
A@ûE)
ô
ø
*
ö
ù
@:ò fò$FG@ öK@{ô
∗
(X , D , C)
G ù½õqù¹ô|ö3@ ÷ ø,F òóôõ¡ù½õ¡ö3@ ôö
∗
8
#
# ∀xi ∈ X : (D (xi ) = [−d(xi , s), +d(s, xi )]) ⇒ P
N
/ä ïïð èbêî|éê
þ¥ý|ñè G ñì%ý%êé'þ¥ý|ïdýìýèå%éêþ èqñ ñ èï
+d(s, xié')]ý
þºêBçè4ï ð êïíÉçì D ∗(xîè{iì%)ç=è [−d(x
êî|é'iê, s),
éfçèjíÉè4éfïþ è é ðèï îð|ï P
−d(xi , s)
d(s, xi )
þ½ïdþºýêèç é .ñìfýï þ½ï6êè{ýê äwñ{ñ{ìfç þºý|å/êì î|è{ìfçè þºýêè{ç é ñì%ý|ï þ½ï êè{ýñ ñ{éfý èBéfñîþ¥è è ñ{ì ëðêþºý|åbêîè
ïîìfçêè4ï6êëéêîï èê è{èý s é'ý êîè x wîè{ý G ìèïýìfêdñ{ìfýêéfþºýéfý ýèå%é'êþ èbñ ñ è
[ ì ëðêþ¥ýå
ï îì%ç êèï êëéêîïwîè{ýêîièNëçì è åfçé'ëîþ¥ï þ fè êìñ{ìfýêéfþºýhéÎýè{åéêþ è
ñ ñ èÎñ{é'ý èéfñî|þºè è Ãþ¥ý
çðýýþ¥ýåêþ Îè %G' 7/+ îè{ýFêî|èå%çéfëîVñì%ýêé'þ¥ý|ïbýì
ýèå%éêþ è/é'çñ{ï R/þ I ï6êçé U ïé O(mn)
åfì%çþºêî ñ{ì ëðêèïï îì%ç êèï êë|é'êî|ïþ¥ý O(m + n log n) 7/í
ñì%ðçï è Rbþ I ï êçKé U ïwé åfì%çþºêî ñ{éfýhé dé ï èqð|ïè hìfýhêîèqåfçé'ëîì'íHçè ð|ñ{è hñì%ï êï 2ä
ýþ½ñèëçì%ëèç ê ì'í)êîè þ¥ï êéfý|ñèåfçé'ëî G = (N, E) éfïïìñ{þ¥é'êè wþêî P ∗ = (X , D∗ , C)
þ½ïêî|é'êwêîèqçè ðñè hñìï6êïwñ{éfý è èçþ è íÉçì êîè þºý|þ é é'ý ,é #þ é é ð|èïdì'í
êî|è ì é'þ¥ý|ï
EC@Îø øô B4FG@ö
EC@ö @LBù½õ¡öø'ôCò @
N|4É4Ñ«Ø @{ö
, D, C)
G
=òó(N,
E)
u
½
ù
õ
¹
ù
|
ô
ö
3
@
÷
#
ø
,
F
|
ô

õ
½
ù
¡
õ
ö
3
@
ô
ö
jö @ô ö @ ,ó F ûf÷øú øõõ{ó4òùÑø'ö @CBQN)ù¹ö PP =∗ =(X(X
, D∗ , C)
Fº/ó N)ù¹ôû?÷ @$F¥øö*ùÑóôõ |,ó F(B
1
9
]
b
p
p
/
9
3
9
8
∀xi , xj ∈ X :
∀xi , xj ∈ X :
rcij = cij + max(xi ) − max(xj )
d(xi , xj ) = d0 (xi , xj ) − max(xi ) + max(xj )
îèïèë|çì%ëèç êþºè4ïqêçþ þ½é
îèìfçè
çèïð ê§íÉçì
êî|è è |ýþºêþ¥ìfý?ìfíwêîèhçè ð|ñ{è ?ñ{ì%ï êïÎé'ý
à k-ã
`bk vwãjablâBiw`jp,aBâ
ì, è{êbð|ïjïîì,xîì, þºýêè{ç é ñ{ìfý|ïþ¥ï êèý|ñ ì'í)êîè§å ì |é ñì%ý|ï6êçéfþºýê ñé'ý è
éfñî|þºè è ä å ì |é ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê çèëçèïè{ýêïêîè§ñì%ý,I6ðý|ñêþ¥ìfý=ìfí)éï ð ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê
é'ý §éNï è{ê)ì'í |þºý|éfç þºýè4ÿð|é þêþºè4ï è ýè ìfý é'çþ¥é è4ïþºý ì è qþ¥ýÎêîèwïð ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê
W=ì%çèbíÉìfç é èNî|é è \
EC@øhõ ü òóô|õö*÷ø'ù¹ô|ö bøAô B
E @øhõ @öjóLEù¹ôø÷
h%×HÉ Ø @{ö
y)
ù¹ôA@ |ø,Fù¹ö*ù @õ B @ 2ô @ BASU
óô MX (X,
Fº:ó E/ø Fdòó'ôõ¡ö÷øù¹ô|Iö ù½õ B:@
(X, y, I )
2ô @CB4E ö K@õ @ödó qö 4úAFG@¡õ T=(IS)(x , . . . , x )
ù½õ§ø
ö 4úAF(@Îó X(IS) ∧ P τ [i] − τ [index(IS, y)] = 0 ∧
T (IS) = {τ : τ
∀(x ≤ x + c ) ∈ I
: τ [i] ≤ τ [j] + c ç èbî|é èdêì§$è #êè{ý þºýè4ÿð|é þêþºè4ï2ìfí çì%ëìï (þ 5
ì è ýè/þ¥ýêè{ç é ñì%ý|ï þ½ï êè{ýñ íÉìf5
êþ¥ìfý þºý=ì%ç èçwêìêé fèqþ¥ý%êìéfññì%ðýêBêîè þºýé'ç þ¥ýèÿð|é þºêþ¥èï è{ê èè{ýÃêîè é'çþ½é èï

y
*
neq
1
r
i
*
y
neq
r
i=1
j
ji
neq
ji
.
'
" þ¥ý ì è þ¥ýêîèï ð ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê
ñì%ý|ïþ èçþ¥ýåéfå%éfþºýhêî|èþ¥ýþºêþ½é è$#é ë è ì, |êîè
è{êbð|ïbîþ¥åfî þºå%îêBêîþ½ïjëì%þºýê
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%êdýè{ê ì%ç þ½ïd$è #ëçèïï è 9wþºêîÃì%ýèNå ì |é ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê \
1, x2}, y, {(x1 ≤ x2 − 1)})
wî|({x
è{çè
éfý
S ):T7]ì'í çìfD(y)
þ¥ïB1ïè)êd=êì [0,6 6] ýD(x
èÿð|é 2 )þºê = [1,
ëì%ïþêþº=ì%ý [1, ï 13]
êéêèïêî|éê*\
ðë|ëìï èjêîéê min(y)D(x
P
} max(xj )
\ : min(xi ) ≥ min(y) − x þ¥ý|∈X−{x
ñè max(x
ì íÉìfç x èq∀xî|ié ∈:è X
îþ¥ï/þºý|èÿð|é þºê
min(x
)
≥
6
−
max(x
).
îì ï wî2è{ý min(x ) þ½ïèÿð|é 2 ê&
ì 'bé êîìfðå%î
1êî|èjñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê (x1 ) =≤ 6x − 1) þ½ï þ¥ì éêè
1
2
íÉìfç x = 1 é'ý x 2= 6
î ð|ï 2%þ¥ýèÿð|é þºê 1S ):T §ð|ï ê è Îì þ |è þºýìfç è{ç2êìêé %èBþºýêìéfññì%ðýê2êîèNñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê
W=ìfçèjëçè4ñþ½ï è êîè é ðèNì'í éfý êîèqðëëè{ç ìfð|ý ïdì'í ñìfýï þ 5
(x
è{çè 1≤þ¥ýx2þ¥ý−èÿ1)ð|é þºê S ):Tdïîìfð hïé'êþ½ï6í êîèñ{ìfý|xï iêçé'þ¥ýêï (x ≤ x − c ) ì'í I xj
i
j
ji
neq
è {ê min
'
é
ý

ç
è

ï
ë
4
è
¡
ñ

ê
þ
è
R
è

î
è
¥
þ

ý
þ
§
ð
é'ý êîè
(x
jï6)í
(x
←a)
,é #þ §ð (xé ←a)
ðèï(xì'jí )D∗(x max
wî

½
þ

ñ
î

ï
'
é

ê
½
þ

ê
|
î
è

¥
þ
|
ý
'
é
ç
¥
þ

ý
4
è
%
ÿ
ð
é

ê
º
þ
4
è
ï
wî
è{ý
j ) êî|þ¥ï§ýì'êéêþ¥ìfý þ¥ýèÿð|é þºê
S ):Tñ{é'ý èçè wçIneq
þ½ïqþºýï6êé'ýêþ½éêè Aêì a ïþ¥ýå=
þêêèý:þºýLêîxè i
íÉì ,ì wþºýåíÉìfç \
P
−
j6=i max(x ←a)
î þ½ï/ý|è »þ¥ýè∀x
ÿð|ié ∈þºê X : ì(xèïbi ý←ì'êNa)îì ⇒RaíÉìf≥ç xmin(y)
'
é
ý
îèï(xjé ) èï ê é ðèì'í
=
1
x
=
6
1
êî|éê/ïéêþ¥ï |èïêîþ¥ïBþºýè4ÿð|é þê þ¥ï 2
D∗ (xì 2)þ¥ýêèç é 5,ñìfýï þ½ï6êè{ý|ñ ì'í ñ{é'ý è 4 è ýè hþ¥ýêîèNíÉì ,ì wþ¥ý;
å dé \
E @
øõ @{
ö #ø'÷¡ùÑø E F(@¡õ
øô B F(@#ö y, I ) EC@
ø/û Fº:ó E,ø F
N|4É4Ñ
Ø @ö
õ ü òóô|õ¡ö÷ø'ù¹ô|ö IS ù½õqXù¹ô|∪3ö @{y}
÷ #,ø F òó'ôõ¡ù½õ¡ö @{ô|öù ö K@ ,ó F Fº/ó N)ù½ôûRò(X,
óô Bù¹ö*ùÑóôneqõ |,ó F(B 9
9

9
j
i
:
S

9
/
d
i
i
}
y
#
i

3
*
P
(1b) min(y) ≥ xi ∈X min(xi )
P
(2b) max(y) ≤ xi ∈X max(xi )
(3b) ∀xi ∈ X : min(xi ) ≥ min(y) −
X
X
(4b) ∀xi ∈ X : max(xi ) ≤ max(y) −
N
max
(xj )
min
(xj )
(xi ←min(xi ))
xj ∈X−{xi }
xj ∈X−{xi }
(xi ←max(xi ))
çì þºýè4ÿð|é þêþºè4ï S ' Tdé'ý S TþºêBçè4ï ð êïêî|éêBñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê SU M (X, y) îì ïwîèý
þ½ï2ïèê)êì
é'ý wîèý þ¥ïï è{ê2êì
þ¥ý|ñè ìñ{ñ{ðçï2ìfý þ¥ý
yþºêíÉì ì,Bïqmin(y)
êî|é'ê Rþ½ïþ¥ýêè{ç é y5ñ{ìfý|ïþ½ï6êè{ýmax(y)
êNíÉìfç y ýè4ÿ%ðyé þê S ) ATNè{ý|ïðçèSU
ïêM
î|é'(X,
ê ìfy)êî
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê SU M (X, y) é'ý êîèjþºýè4ÿð|é þêþºè4ïìfí I îì 4wîè{ý x þ¥ïdïèêêì min(x )
i
i
îþ½ïdçè4éfïìfýþ¥ýåÎçè é'þ¥ý|ï é þ íÉìfçwþ¥ýèÿð|é þºê S 7 T neq
[ ìfý è{çï è %þºêBþ¥ïêçþ þ¥é êì
ïîì, êîéêBþ¥ýèÿð|é þºêþ¥èï S ' T S AT S ) T |é'ý S 7 Tîì þí
Îþ¥ïBþºýêèç é 5,ñì%ý|ï þ½ï êè{ýê êè{çþºýåAé åfì%çþºêî ì'í/ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê Rþ½ï
îèïñîè Îèì'íwêîèþ¥ýêè{ç é ñìfýï þ½ï6êè{ý|ñ
åfþ èýþ¥ýhä å%ìfçþêî ' îþ½ïdé åfìfçþºêî ¾þ½ïï êéfç êè 9wîè{ýè èçì%ýè ìfð|ý ìfíé éfçþ½é è
þ¥ý X ∪ {y} éfçè ì þ |è ì'êèêî|éêÎï6êè{ë|Lï 'é'ý é'çèï ï êè éêþ½ñ{é ëè{çíÉìfç è
wîèýþ¥ýêè{ç é ñ{ìfý|ïþ¥ï êèý|ñ ì%ý þ½ïwéfñî|þºè è íÉìfçdêîè |çï êdêþ è èå%é'êþ èqñ ñ èïdéfçè
*
*
;
*
9

y
" ''
è{êèñêè þ¥ýÃï6êè{ëJN' ì'í)ä åfìfçþºêî O'
ýFêîè
çèï êqì'íêîþ½ïqë|é'ëè{ç è;wþ ìfý èêéfþ êîè
ïèé'çñîVë|çìñè4ïïNìfíêîè þºýþ §ð
é ðèNì'íHé é'çþ½é è S ï êè{ë )ÎþºýÃä åfì%çþºêî O'*Tïþºý|ñ{èjêîèïé è þ¥ý ì'íHçè4éfïìfýþ¥ýåîì
íÉìfçBïèéfçñî|þºýå é,# þ ð é ðè4ï S ï êèë 7þ¥ý=ä åfìfçþºêî O' T
9
9
þ êè{çþºý|å ï
;
þºýêèç é ñ{ìfý|ïþ½ï6êè{ý|ñ
ýêè{ç é ñìfýï þºêèý|ñ þ¥ïjéfñîþ¥è è hìfý SU M (X, y) wþºêîFé'ýRé åfì%çþºêî
è{çþ è íÉçì çìfëì%ïþºêþ¥ìfý wî|è{ýè è{çwé ìfðý hìfí þ½ï ì þ |è
ýêè{ç é ñì%ý|ïþêè{ý|ñ þ½ï
éfñî|þºè è ?ìfý?êîè=ñì%ý,I6ðý|ñêþ¥ìfyýSì'í þ¥ý|éfç þ¥ý5
èÿð|é þºêþ¥èï I ∪ D wþºêîVéï îì%ç êèï êBë|éêîVé åfì%çþºêî wîèýè è{ç/é
ì%ðý hì'íHï ì neq
è éfçþ½om
é èNì'í þ½ï ì þ è
ì%çhè èç é'çþ¥é è x ∈ XX/êîè þºý|þ ð é ðèAì'í x ïéêþ½ï í þ¥ýå
þºý|èÿð|é þºê S ) Twþ èñì ëðêè ì%çè è{ç éfçþ½é è
dêîè ,é #þ ð é ðèVìfí x ïéêþ½ï í þ¥ýå
þºý|èÿð|é þºê S 7 Twþ xè∈ñì Xëðêè
Ö É4Ð
S '*T
] S T
S7 T
d
Q

&
8
8

.
S ):T
d

X
xi = min(y) −
S '*T
max (xj )
xj ∈X−{xi }
(xi ←xi )
ì èqî|é è/êì èêè{ç Îþ¥ýèjêî|è éfçå%èï ê é ðèqìfí x wîþ½ñîÃþ¥ïwñ{ìfý|ïþ¥ï êèýêwþºêî x
i
îèé åfì%çþºêî þ¥ï éfïè ìfýêîèNíÉì ì,wþºý|åëçìfëè{çjêþ¥èï-\
B @{ôó'ö @öK@õ ó÷¡ö3@õö2úø'ö ÷ó'ü öó
¹ù ô ö @
N|4É4Ñ Ø @ö
s
xj
ûf÷øú 1B @{÷¡ù #,@ B ÷ó'ü G dE G
ù¹ôõ¡ö,ø(s,ôöùÑxø'jö)ù¹ôû x N)ù¹ö x +K@{ô y
d
xi ←xi
i
i
wîèý
ìèïýìfêdñ{ìfýêéfþºýé'ý
N îþ½ïë|çì%ëèç ê çèïð êïíÉçì îè{ì%çè
ýèå%éêþ èjñ ñ è èå%éêþ èqñ ñ èïwéfçè èêèñêè hþ¥ý=ï6êè{ëJ'NGì'xí)←x
ä åfìfçþºêî O' ì þºíêîèçè
è$#þ½ï6êïbéýèå%éêþ èñ ñ è þêqî|é%ï è{èýFþ¥ýêçì ð|ñè
êîèþ¥ý|ï6êé'ýêþ½éêþºì%ýRì'í x wþºêî x
i
i
þ¥ý G
x
←x
ðë|ëìï èdêî|éê)êîèwþºýï6êé'ýêþ½éêþºì%ýÎìfí x wþºêî x þºýêçì ð|ñ{èï)éNýèå%éêþ èwñ ñ èdþºý G
è ìfð ?ñì%ýêé'þ¥ý x 2ïìQèi9ìfð :i î|é è d(s, x ) + d(x , s) < 0 éfý Lx ←x
êîð|ï
îþ½ïñ ñ 9
i èqþ¥ýhñ{ìfýêçé þ¥ñêþ¥ìfý wþêî i
i
wî

¥
þ

ñ
î
ì
f
ð
xi − min(xi ) < 0
xi ∈ [min(xi ), max(xi )] è ñ{þºèý%ê èÎîé èêìÃèï êé þ½ïîFé þ¥ý èê è{èýVêîè
ì=ñ{ì ëðêè
ïîìfçêè4ï6êë|éêî|ïdþºýdGG éfý (s,êîxèNjìf) ýè4ïþ¥ý Gx ←x ìfêîè?ç wþ½ïè è]ìfð î|é è/êìñì ëðêè
êî|èïîìfçêè4ï6ê/ëéêîïjé'êbè4éfñîRï êè{ëVìfýVéýè å%çéfëî î|èíÉì ,ì wþºýåëçì%ëìï þºêþ¥ìfýïBîè ë
ð|ïêìÎè4ï6êé þ½ï î=ïð|ñîhéñ{ìfýýè4ñ¡êþºì%ý
max(xi ←xi ) (xj ) = dGxi ←xi (s, xj )
b
i
.
9
i
i
i

i
i
xi ←xi
i

'
" -Ø @ö
N|4É4Ñ
G = (X, U ).
∀s, xi , xj ∈ X : dG (s, xj ) = min (dG (s, xi ) + dG−{s} (xi , xj ), dG−{xi } (s, xj ))
þºçï6ê èêðïçè4ñ{é êî|é'êþºý éAåfçé'ë|î wþºêîì%ðêýè{åéêþ èhñ ñ è4ï þêè #þ¥ï êï
é
ïþ ë èbïîìfçêè4ï6êë|éêî4wîèýè è{çdé§ïîìfçêè4ï6êëéêîè$#þ½ï6êï ì :èbîé èwêì§è$#é Îþ¥ýè/êì
ñ{é%ï è4ï \
S '*T ìBïþ ë èïîìfçêè4ï6ê«ë|é'êîNíÉçì
êì ñ{ìfýêéfþºýï x îèý *è)î|é è d (s, x ) =
sïþºêþ¥ìfxýj î|ì ï
i
G
j
f
é
ý

î
q
è

ç
f
ì

ë
%
ì
d
(s,
x
)
j
G−{x
}
S T ì èVïþ ë èVïîìfçêè4ï6êëéêî
íÉçì s êì x ñì%ý%êé'þ¥ý|ï x î|éê*U ïêì ïé
P
º
þ
ý
ñ
è
ñì%jýêé'þ¥ý|ï x s iñ{éfýýìfê è ì%ýåêì
P = dG (s,é'x
)
+
d
(x
,
s)
d
(s,
x
)
i
G
i
G
i
ý èNî|é è d (s, x ) = d (s, x ) + d i(x , x ) d (x , s)
N
9
i
X
G
þ¥ïþ¥ý|ï6êé'ýêþ½éêè §êì
i
j
G
i
åfìèïêî|çì%ðåfî x
'ì'êîè{ç wþ½ï è i
s
xj
max(xi ←xi ) (xj ) = xi +dG−{s} (xi , xj )
xi
i
max(xi ←xi ) (xj ) = max(xj )
j
êì
êîè{ý
x
i
G−{s}
è #ê
ëçìfëè{çê ï6êéêèïêî|é'êÎþºí/êîè=ï î|ìfçêèï êëéêî íÉçì
wîèý
G
-Ø ö @{÷qö @ø%ò ù @ #,@{ü;@{ô|öBójõ¡ö3@úõøô B=ó F û ó÷¡ù¹öü4N@ |ø #,@ N|4É4Ñ
max(xi ←xi ) (xj ) = min (xi + dG−{s} (xi , xj ), max(xj ))
çìfëì%ïþêþºì%ý
N
ï êé'êèïíÉì%çdêîèqå%çéfëî
Gxi ←xi
\
þ¥ý|ñèjêîèNþºý|ï êéfýêþ½éêþ¥ìfýhì'í êì ìfý ì þ |èïêîè é ð|èïdì'í
éfý ìfí êîè
ï îìfçêè4ï6êë|éêî|ïdþºý
é'çèbè4ÿ%ðé êìêîèqïîìfçêè4ï6êdë|é'êî|ïþ¥ý
ì è
î|é è
7býLêî|èdGì'êîè{ç(s,
î|é'ý xj )Hé'=í¹êmin
èçêî|(dèGéfñîþ¥è (s,è xè{iý)ê+ìfdí/G−{s}
ï6êè{ë (xìfi ,íwxä j ),å%dìfG−{x
çþêî }(s,
' xjî))è{ì%çè
è{ýï ðçèïqêî|é'êêîèhï è{ê§ì'ídíÉè4éfïþ è é ðè4ïqíÉìfç x þ¥ï [−d(x , s), +d(s, x )] î|èåfçé'ë|î
þ½ïêîèVå%çéfëî G wîèçèVêîè é ð|èïì'ií c éfý i ì'í c î|é i èRçèïëèñ¡êþ è
Gx ←x
è{è{ý?ïèê§êì xi é'ý Aêì −xi þ¥ý|ñè xi ∈ [−d(xi ,sxs), +d(s, xi )]x sxi þ½ï§é é þ é ðè
é'ý Sêîð|ï îè{ì%çè
ì%ý Gx ←x ï êé'êèïêî|é'êêîèVïèêìfíjíÉè4éfïþ è é ðè4ïìfí xi þ½ï
ì d
[−dG
(xi , s), +dG
(s, xi )] = [xi , xi ]
(s, xi ) = xi
G
W=ì%çèì è{ç íÉçì îèìfçè
èwîé è d(s, xj ) = max(x
îè{çèíÉì%çèêîèwëçìfëì%ïþêþºì%ý
j)
îì ï êî|é'-ê U ï
è{ê èBêîèNï è{êì'í éfçþ½é èï íÉì%ç wî|þ¥ñî + d
jè)
G−{s} (xi , xj ) > max(x
êìïé dS (x , x ) > max(x )x−j x = c +xid(s,
ý
f
ì

î
ç
ì%ç |ï
x
i é'çþ½jé
jþ½ñîRêiî|èÎïî
xìf,s
j ) = d(xi , xj )
G−{s}
½
þ
b
ï

î
è

ï
è
N
ê
'
ì
í
è
B
ï
É
í
f
ì
ç
Y
wî

ê
4
è
6
ï
j
ê
|
ë
é

ê
î
¥
þ
ý
þ¥ï
S
dG−{s} (xi , xj )
G − {s}
åfçèé'êèçêî|é'ýhêî|èï îì%ç êèï êwë|éêî d(x , x ) þ¥ý G
ý 'Nj þ½ïdèÿðþ é è{ýêwêì \
îè{ý
çìfëì%ïþêþºì%ý ÿð|éêþºì%i dGxi ←xi (s, xj ) = min (dGxi ←xi (s, xi ) + dGxi ←xi −{s} (xi , xj ), dGxi ←xi −{xi } (s, xj ))

xi
xi
csxi
c xi s
G − {s}
Gxi ←xi − {s}
X\
xi ←xi
xi ←xi

9
i
i
i
x1 ←xi
1
x1 ←xi
i
1
i
y
x1 ←xi
i
} xi = min(y) −
X
xk ∈S
max(xk ) −
X
xj ∈X−(S∪{xi })
xi + dG−{s} (xi , xj )
S T
" '-)
wî|þ¥ñîÃþ½ïdèÿðþ é èýêêì

X
1

xi = 
max(xk ) −
 |X| − |S| min(y) −



X
dG−{s} (xi , xj )


xj ∈X−(S∪{xi })
xk ∈S
S ):T
èé'çèqýì, þ¥ýÃëìï þºêþ¥ìfýÃêì è ýè§é'ý=é å%ìfçþêî íÉìfç/êîèñ{ì ëðêéêþºì%ý=ì'í þ¥ýRé'ý
þºêè{çéêþ èXdé îè %è þ èéhìfíêîèé åfì%çþºêî æþ½ïjêîéê!èñé'ý |ý Fêî|è é xð|iè
ì'í x
ïè{è þ¥ýåhíÉìfçNêîè þºýþ é ïèê S ñì%ý|ïþ¥ï êèý%ê!wþºêî ÿð|é'êþ¥ìfýJ) èê T èé=ïèêqì'ií
é'çþ¥é èïdé'ý
*
]

í

X
1

α(T ) = 
max(xk ) −
 |X| − |T | min(y) −

xk ∈T

X
dG−{s} (xi , xj )


xj ∈X−(T ∪{xi })
þ½ï þºýþ é éfý Îþí T þ½ïêî|èBï è{ê2ì'í éfçþ½é èï x íÉì%çHwîþ¥ñî α(T )+d (x , x ) >
êîèý
·ä þºý|j þêþ¥é ï è{ê ñ{é'ý è G−{s}
è |ýè i j êîè
î min(x ) +i ),dα(T )) (x , x ) > max(xT ) îèý êîèíÉì ì,wþºýå
é'çþ¥é èï x íÉìfçYxiwî=þ½ñmax(min(x
ëçìñè ðçè
þ½jïçèëè4éêè \
ñì Îë|iðêè G−{s}
é'ý i ñì jëðêèêîèý|j è ïèê é%ñ{ñ{ìfç þºý|åÃêì
êî|è é ðèì'í α(T ) î|þ¥ï§ëçìñ{è ðα(T
çè
þ½ï) çè{ëèéêè Lðýêþ é K#Lëì%þºýê§þ½ïT çèé%ñîè -êî|é'ê
þ½ï T þ½ïýì ìfý|åfè{ç ì þ |è
êîèý|è ¾ëçìñ{è ð|çè Rä åfìfçþºêî
þ Îë è Îèýêï§êîþ½ï
èñî|éfýþ½ï îè/ëìfþ¥ýêþ½ï)êîéêdýè é'çþ¥é èï é èjé è êì T wîèý
êîè é ðèBì'í
þ½ïjï îþºí¹êè Rðë ý è{è
è ìfýåïBêì èïïbéfý èïïbïîì%ç êèï ê/ë|éêî|ï é%ï
α(T
êî|è ) é ðè§ìfí x þ¥ý|ñçèé%ï è4ï ì'xêiè=êîα(T
éêjê)îè é ð|è§ì'í α(T ) ñì ëðêè
êîèíÉðý|ñêþ¥ìfý
i
é
è
ï
é
è
b
ç

ê
|
î
'
é
ý
wî

{
è
ý

ì
4
è
j
ï

ý
'
ì
N
ê
º
þ
ý
êçì ð|ñ{èÎéfý
min(y)
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê îé-ê U ï wî êîþ¥ïwíÉðý|ñ¡êþºì%ýÃmin(x
çè{êðçiý|)ï max(α(T
ä åfì%çþºêî ñì ëðêèï x þ¥ý
é'ý
éê ì%ï ê n þºêèçé'êþ¥ìfý|ï)ï),þ¥ý|min(x
ñèBé'ê iè4))éfï êHì%ýè é'çþ¥é èþ½ï
i
ëðêþºý T éêèéfñîï6êè{ë îè/ê ìÎï ð ïñ{éfý èbðë éêè þ¥ý O(1) wîè{ýé§ýè è è è{ýê
þ½ïwé è êì T
T
max(x
j)
9
#
&
9
9
8

9
/
:
8
9

9
}
9

9
*

Ö É4Ð [ ì ëðêþ¥ýå xi
^\ TT
-Ó' S S \
∆, xi
xi
\2ï ì%ç êè þ½ï6êBìfí
∆
∆ = max(x ) − d
(x , x )
j
j
G−{s}
i
j
T ←∅
α(T ) ← min(xi )
T ← T ∪ {xj : ∆j < α(T )}


X
1

α(xi ) ← 
max(xk ) −
 |X| − |T | min(y) −

Ó ÑÖ ìèïdýì ìfçèqñî|é'ý|åfè
Ó max(α(T ), min(xi ))
]
xk ∈T
X

dG−{s} (xi , xj )


xj ∈X−(T ∪{xi })
'7
" èíÉìfçè2ï êé'çêþ¥ýåêî|þ¥ïé åfìfçþºêî è)î|é èêìBñì Îë|ðêèHêîèïîìfçêè4ï6êë|é'êî|ï
î èëì%þºýêþ¥ï§êî|é'êêîè d (x , x ) ñ{é'ý èÃñì ëðêè :ìfý êîèhåfçé'ë|î:dì'G−{s}
í/çè ð(xñèi , xj )
i
j
G−{s}
ñìï6êï S è{è çì%ëèç ê T W=ìfçè{ì è{ç êîè4ï è§ïîì%ç êèï ê/ë|éêî þ½ï6êé'ý|ñ{èïBîé èqìfý êì è
ñì ëðêè Vì%ý|ñèïþ¥ý|ñèÎêî|è ìhý|ì'ê èëèý AìfýAêîè é ðè4ïNì'íêîè ì é'þ¥ý|ï ì êîè
åfçèé'êè4ï6ê é ðèìfí x wîþ½ñîRþ½ï/ñì%ý|ïþ¥ï êèý%êwþêî x ñ{é'ý è èêèç þ¥ýè
ñì ëðêþ¥ýå
jîèhåfçé'ë|î?ì'í/çè ð|ñè ?ñìï6êï i
f
ì
ý

ê
F
ì

ç
f
ì
ë
'
é
%
å
'
é

ê
¥
þ
f
ì
:
ý
ï

ê
{
è
ë
¥
þ
Î
ï
çèÿðþ¥çè \
dwîG−{s}
(xi , xj ) þ½ï§þ¥ý|ñçèé%ï è Aþê§þ½ïðï è è4ïïêìRçèñ{ìfý|ïþ è{ç
èý min(x
º
þ
í
|
î
%
é
ï

è{è{ý:ð|ë5
é'êè èíÉì%çè i )x ð|çþ¥ýåï êè{1
ë )ìfíHêîèþ¥ýêèç é ñìfýï þ½ï6êè{ý|min(x
ñ êjè)çþ¥ýåxé j å%ìfçþêî S è{è
ä åfì%çþºêî ' T i î|þ¥ïjçèïð êïbíÉçì çì%ëìï þºêþ¥ìfQ
ý 7&wîþ½ñîFï êé'êè4ï/êî|éê −d(x , s) þ¥ïbêîè
i
,ì èç ìfðý ìfí ∗
D (xi )
é åfìfçþºêî
èçèþ½ïBéïîì%ç êBè #é ë èNêî|éêbþ ðï6êçé'êèïwêîèëçìñ{èïïdëèç íÉì%ç è

è
|

ý
è

î
N
è
É
í
ì
,ì wþ¥ýå þ¥ï êéfý|ñèqñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê]
ï
\
[ ìfýï þ è{çêîè [ P

9
9
3

9
9
9
9
*

9
1
∗
∗
∗
∗
∗
D(x
= [3, 10] D(x
= [1, 3] D(x
= [3, 5] D(x
= [5, 8] D(x
= [8, 10]
1)
2)
3)
4)
5)
x2 ≤ x3 − 1 x3 ≤ x4−
2
x
≤
x
−
2
x
≤
x
+
2
4
5
1
4
[ P1
îè þ½ï6êé'ý|ñ{èNåfçé'ëîÃéfïï ìñ{þ¥é'êè êìÎêî|è
þ¥åfðçè
þ½ïdåfþ èý
10
−8
10
x5
x1
x4
−3
s
−2
2
8
−2
−5
x3
5
−3
−1
x2
3
−1
3&1*, /R þ½ï6êé'ý|ñ{èNåfçé'ëîÃéfïï ìñ{þ¥é'êè êìÎêî|è
[ ä/ïï ð Îèêî|é'êè!dé'ýêwêìñì ëðêè éí¹êè{ç/é ì þ ñ{é'êþ¥ìfýÃì'í
ñì ëðêè èíÉì%çèjêî|èé åfìfçþºêî ï êéfç êïdé'xç4èjçè{ëìfçêè þ¥ý é è '
b
)
'
þ
]
9
'
)
53)
'
∞

P1
min(y)
max(i) dG−{s} (x4 , i) ∆i = max(i) − dG−{s} (x4 , i)
Z
5
$%,
<
−∞
îè é'êé
" '
ðëëì%ïèêî|éê min(y) þ½ïbïèêbêì 26 þ¥ý|ñè min(x ) = 5 éfçþ½é èï x þ½ïbé è Rêì
îð|ï α(T ) ← d 1 (26 − (10) − (2 − 3 − 2))e = 54 ì é'çþ¥é èbþ¥ïdé 5è êì T éfý
T
êî|èNé å%ìfçþêî çèêðçý4 ï min(x )
,ì ïðëëì%ïèwêî|é'ê min(y) 4þ½ïïîþ(8êè ð|ëêì 35 îè/ïèê T ï êþ ñì%ýêé'þ¥ý|ï x5 éê2êîè
è{åfþ¥ýýþ¥ýå ðêbý,ì α(T ) þ½ïwèÿð|é êì d 1 (35 − (10) − (2 − 3 − 2))e = 7 îð|ï x þ½ï
é è êì T é'ý α(T ) þ½ïdï è{êêì d 1 (35 −4 (10 + 3) − (2 − 2))e = 8 îèý x þ¥ïdé 2 è
3
êì T éfý α(T ) þ½ïïèê2êì d 1 (35 − (10
î|è K#è ëìfþ¥ýê3þ½ï2çèéfñî|è
+
3
+
5)
−
(2))e
=
8
3
é'ý êîè§é åfì%çþºêî çè{êðçý|ï êîéêbé%ñ¡êðé ñ{ìfççè4ï ëìfý ïêìêî|èï é èï ê é ð|èqì'í x
4
wîþ½ñîþ½ïdþ¥ý%êè{ç é ñì%ý|ïþ¥ï êèý%êw8þ¥ýhêîèñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýêwï ï6êè P ∪ {min(y) = 35}
]

d
#
32546$%,0/ ( ( &1, (
G'
1
é'ý Aé ì'êî|è{çqýì è4ïqñ{é'ý èñ{ì ëðêè
îè
ï î|ìfçêèï ê þ½ï6êé'ý|ñ{è èê è{èýAè èç
wþºêî;R/þ I ï6êçé U ïHïîìfçêè4ï6êHë|éêîÎé å%ìfçþêî xìfýxiêîèdå%çéfëî§ìfí|çè ð|ñ{è Îñì%ï êïþ¥ý n×O(m+
7/íbñ{ìfðçïè )ï þ¥ý|ñ{è&èî|é èêìFñîè4ñ wî|èêî|è{çêîèhåfçé'ëî ñìfýêé'þ¥ý|ï§ý|è{å%é'êþ è
n
ñ log
ñ è4ïn)êîè§ñ{ì%ï êBì'íHêî|èï îì%ç êèï êBë|éêî|ï èêè{èýÃêîè |çï êbñì%ý|ï þ èçè x é'ý hé ì'êî|è{ç
ýì è4ï wþ èbþºý O(nm) î|è/ï î|ìfçêèï êë|é'êî|ïî|é èwì%ý êì èbçè4ñì Îë|iðêè ;wîè{ýêîè
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%êïdñî|é'ýå%èï
ñ{éfý è
ñì ëðêè Fþ¥ý
êþ è ì%ç êþºýå ñ{ì%ï êï
wîè{çèé%ï
ñ{éfý ∆j èñ{ì ëðêè Ãþ¥ýRñìfýï6êé'ýO(n)
êdêþ ÎèéêBèé%ñîÃþêè{çéê∆þ¥ìfý=ï êèë O(n
èý n)êîè§ñ{ì ëðêα(x
éêþ¥ìfiý )
îlog
ì'í x ñé'ý èé%ñîþ¥è è þ¥ý O(n) êþ è
iì êîèñì%ï êbèýíÉìfçñþ¥ýåþºýêèç é ñ{ìfý|ïþ¥ï êèý|ñ ì%ýRêî|è IS ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%êjþ¥ï n × O(m +
êþ Îè
n
WRlog
éfþºýn)
êéfþºý|þºýåþ¥ýêè{ç é ñ{ìfý|ïþ½ï6êè{ý|ñ ìfý IS éí¹êèçwêî|è ì þ ñéêþºì%ýhìfíHïì è ìfðý =ñ{é'ý
è ìfýèNþ¥ý n log(n) êþ è
3
p
9
d
/

b
3
9
9
X*
9

3
3
&
à p,lvwybllp,ãNa
êþ½ïé ïìqþºýï6êçð|ñêþ èwêìçè é'ç qêîéêì%ðçé å%ìfçþêî ï êþ ìfç ï wî|è{ýêî|èBíÉðý|ñêþ¥ìfý
êì èÎì%ëêþ þ(Vè Fþ¥ïNìfíêîèÎíÉìfç y = Σi=n α x wîè{çèêîè α é'çè§ýì%ý5*ý|è{å%é'êþ èçè4é
ýð è{çï ì,è è{ç þ¥ýêè{ç é ñ{ìfý|ïþ½ï6êè{ý|i=1ñ ì'i í iIS ñ{é'ý·ýì ì%iýåfèç èRè4ï6êé þ½ï îè Sþºý
ëì ý|ì þ¥é êþ Îèïþ¥ý|ñèqþ¥ýhêîþ½ïwñ{é%ï èjêî|èï ð ñì%ý|ï6êçéfþºýê è4ñì Îè4ï 5 [ ì ë èêè \
ô B'ù¹ôû
øö 4ú F(@jóôhö @ #ø÷¡ùÑ:ø E$FG@¡õqó õ |ò ö |øö P a x = v
N|4É4Ñ Ø ù¹A
ù½õøô )ó'üBú F(@{ö @Bú÷ó E F(@ü @ #,@ôAù ö K@;Bfó'üø'ù¹ô?ó qö K@X#ø÷¡ùÑø E F(@õó Xx ∈X
ø÷ @Îù¹iô|3ö i@÷ #,ø F
óNù¹ôö @û @÷õ N îþ½ïë|çì è þ¥ïì þ¥ìfð|ï þ¥ý S è4éfï ëì ýì Îþ½é ñèç êþ ñ{éê*è T èAêçé'ý|ï íÉìfç
W 5 W êìRêîþ½ïëçì è
W 5 WQþ½ï \ \ |ý|þêèïèê A 2ï Gþ V{è
º
þ
ý
»
É
í
f
ì
B
ç
4
è
f
é

ñ
î

ë
ì
ï
º
þ

ê
þ
è§þºýêèåfèç "!#$%'&)(\þ½ï/êîèçè§éï ð ï è{ê A0 ì'í
s(aï ið)ñîêî|éêwêîèqï ð
aì'ií∈
A

ê
|
î

è
ï
Gþ V{è4ïdì'í-êîèqè è èký%êïdþºý 0 þ½ïd$è #éfñê
A
A
k*
4(+5 ! +*( . *0 ¡& +w+0&q$5 0! (Ñ+*&61! ¡1+*!w! +! 145 ¡$"#&w(
¡5w! (+ 6&
(+5 ! {+ |x − y| ≥ 5 .!#&6" («+ (Ñ+*5 ! {+(.(+&w( &-! +0/+0& (Ñ+*5 ! {+ x − y ≥ 5
&
-! +*0B+0& 4(+5 ! + y − x ≥ 5
y
y
y
9
S
9
i
|8U;V
>T eV
XT
5T eV
:n#U;V
*
n
T/V@o 3T
8USnpU;V
y
5T/V@n
5T eV
ea
>T eV
&
npU;V
eV@o
eV
U;V
U
#T
eU;V
npU;V
5U
5T eV
r
U
eV
>T/V@n ;`T
` T/V9aU;V
'-Z
" ì%çbè4éfñî
[0, 1]
∈A
îèaý i sum
è è |ý|èé é'çþ¥é è x wîì%ïè ì é'þ¥ýVþ½ïbêîèþ¥ý%êè{ç é ì'íþºýêèåfèçï
è #é%ñ¡iê ïì è4ï 5 W
(s(a )x ) = k
]
*
xi ∈X
i
i
îð|ï [ ìfçì éfç '=ñ{éfýýìfê è=è$#êè{ý è íÉìfçêî|èÃñéfïè wîè{çèhêîèÃíÉðýñ¡êþ¥ìfýSêì è
ìfëêþ ÎþGV{è þ½ïwìfíêîèNíÉìfç y = Σi=n α x è èç êîè èïï èqñ{éfý ì þºí êîèëçè þ¥ìfð|ï
é åfì%çþºêî þºýÃìfç èçêìì êé'þ¥ýÃé i=1
èé fiè{ç i êèçþ¥ýåé åfì%çþºêî
ìjñ{éfëêðçè2êîèè #éfñ¡êHñì%ý%êçþ ðêþºì%ýì'íè4éfñî þ¥ýqêîèïð wîèýqêîè éfçè þ>8è{çè{ýê
íÉçì êîè é ðè 1 èqýè{è ì%ý þºýêçì ð|ñ{èbêîxèiñìè ñ{þºèýêBì'í x þ¥ý ÿ%αðiéêþ¥ìfý' \
]
9
9
y
/
9

i

1 
min(y) −
xi =
αi
ý S7 T

X
xj ∈X−{xi }
αj max (xj )
(xi ←xi )
è4ñ¡êþ¥ìfý ' è è |ý|è
éfïêîèFïð |ïèêì'í þ¥ý|é'ç þ¥ýè4ÿ%ðé þêþºè4ï
êîéêþ¥ý ì è
ìfý éfçþ½é èïNìññðççþ¥ýåÃþ¥ýFIneq
êîèì I6èñêþ èÎíÉðý|ñêþ¥ìfý f (x) ì,è èç I ñì%ð è
è$#êè{ý è qêì/êîèwï ð ï è{êìfí þ¥ý|é'ç þºý|èÿð|é þºêþ¥èïêî|é'ê)þºý ì èèþêîè{ç é'çþ¥é neq
èïìññðççþºýå
þ¥ý f (x) ìfç éfçþ½é èï)ñ{ìfýý|èñ¡êè §êì é'çþ½é èïHìñ{ñ{ðççþ¥ýåjþºý f (x) ì%ç2þºýï6êé'ý|ñ{è fé%ïïð è
êîéê x é'ý x ìñ{ñð|çþ¥ýêîèì I6èñêþ èé'ý è{ê {x ≤ y +c; y ≤ y +c0; z ≤ z +c00}
èêîèh1 ïèêÎì'í 2|þºý|éfç þ¥ýèÿð|é þºêþ¥èï îè{ý 2êîþ½ïÎ1è$#êèý 1è ï è{1êÎìfí/2þºý|èÿð|é 1þºêþ¥èïX2ì%ð
ñì%ýêé'þ¥ý {x ≤ y + c; y ≤ y + c0}
è{ê S è
1êîèï1èêìfí 1éfçþ½é 2è4ïNìññðççþºýå=þ¥ý f (x) ìVñ{éfëêðçèêî|þ¥ïè$#êèý|ïþºì%ý è
ýèè Ãìfxý êìçèë é%ñè X S þ¥ý P
ì'í ÿð|é'êþ¥ìfý|Xï '§éfý . [ ìfý|ïþ è{çþºýå
êî|þ¥ïdè #êè{ý è Ãï è{êBì'íþºýè4ÿð|é þêxþºè4ï é x è{∈X−{x
ýêéfþ é }èêêèçBëçðýþ¥ýåì'í-êîè ì éfþºýï
*
9
.

S
j
i
3
à ehãNa/vwky/lp,ãNa
îþ½ïë|éfëèç§î|é%ïþ¥ý%êçì ðñè :éRýè ¾å ì é ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê!wîþ¥ñî î|é'ý è4ïéfïéRï þ¥ýå è
ñì%ý|ï êçé'þ¥ý%ê2éqïð ñ{ìfý|ï êçé'þ¥ýê2é'ý éqï ï êè Ììfí þ¥ý|éfç þ¥ýèéfç)þºý|èÿð|é þºêþ¥èï Hä/ýè ñþ¥è{ýê
é åfì%çþºêî î|é%ï èè{ý ë|çì%ëìï è ·êì·éfñîþ¥è èFéfý þºýêè{ç é .ñì%ý|ï þ½ï êè{ýê êè{çþºý|å ì'í§êîþ½ï
ýè-Ìå ì é ñì%ý|ï6êçéfþºýê î|èñì%ï êqì'íêîþ½ïé åfì%çþºêî æþ¥ïqý|ì'êqîþ¥åfîèçNêî|éfýVêîèñìï6êqì'í
é êè{çþºýåÃé åfì%çþºêî wîþ½ñîVîé'ý èïjì%ý êîèþºýè4ÿð|é þêþºè4ï qä þ¥çè4ñ¡êqé'ëë þ½ñ{éêþºì%ýRì'í
êî|þ¥ïñì%ý|ï6êçéfþºýêñ{ìfý|ñ{è{çý|ïì%ëêþ (þ V4éêþºì%ýëçì è ï wî|è{çèþºêþ¥ýêçì ð|ñè4ï-é þ¥ý ìf:í 0 éfñ :2
ëçìfë|éfå%é'êþ¥ìfýëçìñè4ïï

9
l
9
X
p
/
m=_ H _2i/_2a/vw_2l
! 5 0{3 0 (
{+! w& ( 5Ñ"#! |5& +*! 6&
"#"
&6" ! 6& {3
+*& Ñ& {+5 3 6! ¡" ¡$ " (Ñ+*5 ! +*(H! 0!#1 !
" " 6&-! #
%$¡&65
0 w! + & §& ¡" 5 (' )
*
{15! ¡& 5 & 5Ñ"
'
+"
5Ñ"#!#&65
|! ( :15 6+! "3(& $( , (215&6&w14+! &w( 04& 43"#& ¡5)( ¡" 4! /+0&
¡$ ¹(*0 ¡1b15 ¡$"#&
!
./
0
\ =~}T#t eV@a 5T
WZT
[ =v

`\ ;
Y
ea en T/V
h
/{5T9`R
@U XT
M

T/o;V@T/V
`T/V9a
*T
Y
O
eV
#6 2*
" 2 0 z
pV
en
T/V@ab
|U;V J{ T/V
V 5Ua @n eV@oXo eU
T npU;V
5T eV
eVn
2;?9,();"254 );679
L
`[;i !\#[
w\#[ `\ ;
%S);6 $ 1);");(A B2;%Z?6N 2#A*"&" $&(
Y gT
en ;`
n
#` P
fn
ea `T/V@a
#o gT
,791A;?9" $&( S$( B2;%?6NZ);(A );( ?p4,)
eV9o k
gT/o@` \ ;
6 ?,$(
+;016N% 0 f
|8T
T/V9a
z eV >U;V
h
5T/n en#T
dU
{>T/n 5U;V
t
>n #a
U
5U t eV9o
r
r
{!U 9x 9U
!U
`[;^ 5\#[
[;^ w[;_
`\ ; i
Z
(
(
;
)
"
=
0
5
2
4

9
#
5
;
)
6
$
;
2
(
0

0
1
1)
;
,
7
" '<
& *0{+&65 N& !#5Ñ!
& 5Ñ" &w1 ¡5 " (+5 ! {+ &,+ ¡5 $( (
{3 5É.
¡(*04& 5 ¡5 h!#&6(*" H3$4!
¡" &6"#" " 0& 34"#! 0 ! 4(H+ w! !w!6& w&
=+*!w& 5 0 !
( " -& {+& 5Ñ. &6( & !#"#"#& 0& 5 ! "#! +¹. ¡1f&65 + ¡5 & " ¡! " & ,+*! &
¡5 4(+5 ! +H" ¡! )15 ¡5 w!
1 ¡&6( ! !
( " & +*& 5É. H! . 5 ( + & ( & !#"#"#& & (! «!w1"#&w& + +!
& "#3 +! +*04& (Ñ+*5 ! +)" ¡3 ¡& ! % %
,+ ¡$'& 5
N! 0&6" 3&60&65 ¡! ¡" ¡$ " (Ñ+*5 ! + $! ! B(*3 (+5 ! {+ ! f&65& 6&
(+5 ! {+(
' (
(
! 1 ¡5Ñ& 1 ¡&6(
' '
0 5Ñ"#& (
& !#(&65( " w&6( 4& w! 4& ¹! +& ¡&65"#! 4& 515 ¡5 w! -15 ¡$"#& -0! 0
!#(«& ! 6!#& {+" .j( ¡" $"#& "
¡! #"" +& 5Ñ! " ¡5! +0 ¡5 (Ñ+*5 ! {+( ! f&65& 6&)! (
1 ¡&6(
! & ++"#& (0! +
"
¡! & &65 "#! & 5 (*!#(Ñ+*& ,. ¡5 ¡" ¡$ " 5 4! "#! +¹. (+5 ! {+
%
¡5É+*"
5&
%$ 1 ¡&6(
{! !#( |5 ¡$4"#& 6" (*(! " +*! ( 0&w& ¡5 " ! +*& ! (Ñ+*5 ! {+B( ¡" 4!
' 1 ¡&& $( )( *
+ $45! ¡&
+
¡$f&65É+ 5 -, ' #
& +*& 5É. $ . &6( & 4!#"#"#& 0 ¡0 & ¡& &65! 5 (*!#(Ñ+*& ,. " ¡5Ñ! +*0 b! +*((*1'& 6! "#! +*! ( / ( ! ,+ ¡$f&65
j=~
c #n
#` L

`T/V@a
z #T
R
U >T }npU;V
5T
!\,x ^9\1w j9` *T/V
T
\ ; \
^=bU
Sc !U #`
gT
gT+$` T/@
V a zT/U eU c
, O dU
U
`@^9
\ ^ [ ! w
,(4,2;,%S);6 $2*(bC!210>01$( D#6 6N,0
R
8n#T !a eV T
! =zT >n#T klT/VSW pV pV %n $'T/V@a t lc ,t
U 8n#U;V
>T eV
eU;o en
!U;o 5T
eV@o
V C!2 254 /B
CSE I
r
L
_=zT >n#T kT/V
W pV pV 9
n $`}k {5T
fT >T T `T/V@a
t .c
\#i
\;\
\#[
\
\p
\#j
8U
fn
eV@obn
pa
i9\;`[;_S
U
`
5T >U
T/o
T !n
h
*jw
Z,6 $
T eV
\ ;
V
1( 6N"&" $ #( 1 `
$)*"
>U
eV
eU;o enT npU;V@V pn
j `\ ; \
#T/V
t
,t
c
eo;VD`
pV 1T eU;VD`T/V@a
=npU;V
5T eV
gT/V@o
T/o =npn mc
`
5\,x e\ w
2;?9,();"254 D2 ;$ :C8!2 ;5);% %'$&(
r
\#^/@` O n 5U
=\ ; _
= en
~
;xJ|
~upo eV
h
o eU
T npU;V
5T eV
npU
eV [email protected]
npU;V
5T eV
T/V@a3a
pV@n
npU;V
5T eV
V C!2 254 BDCSE F9G*G*G
$
*
&
6
7
,
(
N
6
#
,
(
;
)
6
$
;
2
(
;
)
"
B
;
2

(
,
4

!
(
>
2
*
d
(

C
,
&
$
(

$
"
0

;
)
(
=
A

C
!
)

6 $ 1
L
`
T/o
254ZB2;( 0165);$&( 6C!2 *!);%'%'$&(
B
I
,$( * ," )
_/yw j9`f eV@o*T U ;`[;i;i;i |
T

5U;V'T/V@a *T
Y
f9T
h
pa9x eV #o
eV T
5U;o 5T
eV@o
!U
en
M
dn pV
5U t;T
2;?9,();"254ZZ" *2;,$67% 0 ` !\ e\;\p'w \#[;_9`D\ _;_ /x!|
~}upo eV
h
eV@o'T eo;U
U 8npU;V
5T eV }U
a
pV@n
eV|f9z
V C!2 254Z ,I
`
r
r
L
T/o
`f #T
;`
T
eV@o 5U;VD`\ ;
^;[w ^
/x!|
~}upo eV
pV 5T
paT 5nnpU;V
pV@n
U o eU
T n#T 5a eV T
dnpU;V
5T eV
V C852 254Z
P
r
L
`
T/o Z[;i w[9\#j9`zU
gT/V9aD` O
po;U;VD`D\ ; ^
I
=W
f dU;V
z 5U
n gT
n#T eU;V
5n
U
@V
a@U XT eV]npU;V
5T eV
5U t eV9o
V
BDCI
r
L
2; ;05792,
2*(
B2;( 0165);$&( 6}C!2 *!);%'% $( b8*" $ >)*6$2;( 0 '( ,( -y( 6N2;,+b);(A
) 2;(2;%'+ ` @T/o
\1w[;^9`|8T
ea@o ;`@bh ` s fh `\ ; ^
=~U

RT &{>T/V
);6N)
6 ,? #6 ?9!0)*(A
#6 l2; =" 2;,$&67%'0 |8Y83fd;Xf L hZ ` \ _ =z
klT/V.W pV pV 9n ` t c ,t
;`T/V@a| @U 9xJ T/VXR pV@o
h
o pV
en:T !n,xNnpU;V
pV@n .T eo;U
T/V@a
pn gT
#T eU;V
`
j

[
w
[
1
\
w
9
[
;
\
`
n
5
U
:
\
[

;

O
Z,6 $ $)*" ,( 6 "&" $ ( >
,t;T

eV .V
T
eU;V
U

Download Report

A GLOBAL CONSTRAINT CAPTURING THE OBJECTIVE FUNCTION

Paperzz.com

Your Paperzz