MONTE CARLO
ALGORITHM
FOR SIMULATION
OF PHONON TRANSPORT IN
SILICIUM NANOWIRES
Scattering mechanism
18 June 2013
Jérôme LARROQUE
1
Context
Heat engine
Thermoelectric effect
Hot Source
Fluid -> electrons + phonons
QH
electricity
heat waste
w
Qc
Cold Source
Small device
+
Low mechanical wear
But low efficiency now …
Standard Mechanical heat engine
=> Mechanical wear
2
Applications
Generation of electric power
Harvesting of heat waste
of computing processor
to supply low-consumption devices
like fans
Long-life generators
for implanted medical devices
like sensors or prosthesis
Cooling
Avoiding heating of electronic devices
to increase their reliability
Cooling electronic devices
below ambient temperature
for devices which need it
3
Why is phonons transport studied?
Seebeck coefficient
Electrical conductivity
𝑆 2 𝜎𝑇
𝑍𝑇 =
κ
Figure of merit
Thermal conductivity
Phonons transport
= thermal transport
≠ electric charge transport
Limiting factor for the thermoelectric efficiency
4
Outline
1.Harmonic oscillation in sillicon
2.Monte Carlo algorithm
3.Ballistic regime
4.Scattering processes
5
Outline
1.Harmonic oscillation in sillicium
2.Monte Carlo algorithm
3.Ballistic regime
4.Scattering processes
6
Phonon dispersion in silicon
First Brillouin zone
Quadratic fit
along the
direction [100]
Dispersion relationship (6 phonon modes)
Spherical first Brillouin zone
2𝜋
with radius 𝑙𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
4 isotropic dispersion relations :
𝜔 = 𝑎 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑘 2
Low computational time
8
Phonon dispersion in silicon
First Brillouin zone
Quadratic fit
along the
direction [100]
Dispersion relationship (6 phonon modes)
Spherical first Brillouin zone
2𝜋
with radius 𝑙𝑎𝑡𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
4 isotropic dispersion relations :
𝜔 = 𝑎 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑘 2
Low computational time
9
Outline
1.Harmonic oscillation in sillicium
2.Monte Carlo algorithm
3.Ballistic regime
4.Scattering processes
11
Monte Carlo algorithm
Random draw
of phonon states
Initialization of
phonon states in
cells
Time step
𝑡𝑝 = ∆𝑡
Random draw
of phonon states
Inject phonon through
each side
Random draw
of times of free-flight
Motion of phonons
during the time step
15
Algorithm for motion
Legend :
𝑡𝑣 : time of free-flight
𝑡𝑠 : cell exit time
Time step
𝑡𝑝 = ∆𝑡
Random draw: 𝑡𝑣
Calculation : 𝑡𝑠
𝑡𝑝 = 𝑡𝑝 − 𝑡𝑚
𝑡𝑚 = min(𝑡𝑝 , 𝑡𝑣 , 𝑡𝑠 )
Scattering processing:
Random draw of the
scattering mecanism and
the final state
𝑡𝑝 = 𝑡𝑝 − 𝑡𝑚
interface processing
𝑟 = 𝑟 + 𝑡𝑚 × 𝑣
𝑡𝑚 = 𝑡𝑠
𝑡𝑚 ?
𝑡𝑚 = 𝑡𝑣
𝑡𝑚 = 𝑡𝑝
End
16
Outline
1.Harmonic oscillation in sillicium
2.Monte Carlo algorithm
3.Ballistic regime
4.Scattering processes
17
Results in ballistic regime
My result
4
𝑇𝑏𝑎𝑙𝑙𝑖𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 =
𝑇ℎ + 𝑇𝑐
2
1
4 4
Lacroix, 2005
18
Results in ballistic regime
fortran
matlab
Thermic flux through a silicon nanowire at 300K in an hypothetic ballistic regime
as function of the difference of temperature (Mainly Acoustic modes)
19
Outline
1.Harmonic oscillation in sillicium
2.Monte Carlo algorithm
3.Ballistic regime
4.Scattering processes
20
Phonon-phonon scattering
Three-phonon scattering
2 ways of scattering
Normal process
A
O
A
Umpklapp process
A
O
A
Brillouin zone
Conservation of wave vector
Low-impact on thermal transport
Brillouin zone
« No conservation » of wave vector
High-impact on thermal transport
22
Phonon-phonon scattering
Scattering rates
Acoustic modes
Optical modes
LA N et U processes 𝜏𝐿𝑁𝑈 −1 = 𝐵𝐿 𝜔2 𝑇 3
TA N process
TA U process
𝜏 𝑇𝑁 −1 = 𝐵𝑇 𝜔𝑇 4
𝜏 𝑇𝑈
Holland 1963
−1
=
À 300 K,
𝜏𝑜 = 3,5 𝑝𝑠
𝐵𝑇𝑈 𝜔2
ℎ𝜔
sinh 𝑘 𝑇
𝐵
Menéndez 1984 et Lang 1999
23
Scattering simulation
Acoustic modes
Holland’s scattering frequency
Optical modes
Low group velocity
Low impact on thermal transport
Lacroix’s model
for post-scattering processing
Ignore optical mode
Holland’s and Lacroix’s approach for phonon-phonon scattering
is easy to implement
gives thermal conductance coherent with experimental results
ignores optical phonons (who are the most reactive with electron)
24
Scattering simulation
Lacroix’s model for post-scattering processing
Scattered phonon vanishes
Random draw of a new phonon
with a new mode and a new norm of velocity
Normal process
Keep direction of the phonon
Umpklapp process
Random draw of the new direction
In mean, conserves thermal flux
In mean, does not conserve thermal flux
25
Scattering simulation
Cumulative distribution function for random draw of new phonons
(Most obvious way)
temperature
state
𝐹𝑠𝑐𝑎𝑡 𝑇, 𝑖 =
𝑖
𝑗=1 𝑁𝑗
𝑁𝑏
𝑗=1 𝑁𝑗
𝑇
𝑇
density of phonon
in state j and at temperature T
26
Scattering simulation
But need to respect Kirchhoff law (creation balances destruction)
Cumulative distribution function for random draw of new phonons
temperature
state
𝐹𝑠𝑐𝑎𝑡 𝑇, 𝑖 =
density of phonon
in state j and at temperature T
𝑖
𝑗=1 𝑁𝑗
𝑁𝑏
𝑗=1 𝑁𝑗
𝑇 𝑃𝑠𝑐𝑎𝑡 (𝑚𝑜𝑑𝑒 𝑗 )
𝑇 𝑃𝑠𝑐𝑎𝑡 (𝑚𝑜𝑑𝑒 𝑗 )
Probability of disappearance :
𝑃𝑠𝑐𝑎𝑡
−∆𝑡
𝑚 = 1 − 𝑒𝑥𝑝
𝜏𝑚
Time step
Time of mean
free path
27
Scattering test
Simulation of a cube (500×500×50 nm3) of silicon insulated
28
Scattering test
Final distribution of phonons wave vector
29
Conclusion
 Optical phonons can be ignored for thermal transport (6%)
but they are essential for electrical transport (soon)
 Holland’s and Lacroix’s models of scattering are easy
enough to ensure the speed of the Monte-Carlo algorithm
32
Simulation de Monte-Carlo de
phonons
34
Monte-Carlo de phonons
Réalisation d’un simulateur de Monte-Carlo
de phonons
Code parallélisé en Fortran 90
Etudier le transport thermique dans les nanofils
Etudier le transport thermoélectrique dans les nanofils
35
Sommaire
1. Description du simulateur
2. Vérification de fonctionnement
36
1. DESCRIPTION DU SIMULATEUR
37
Structure à simuler
Maille parallélépipédique rectangle
Paramètres:
Position x, y et z
Dimension dx, dy et dz
Matériaux
Type des 6 faces
Exemple :
38
Matériaux
6 modes de phonons : 1 longitudinal et 2 transversal pour optiques et acoustiques
Relation de dispersion parabolique isotrope :
𝜔 = 𝑎 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑘 2
Première zone de Brillouin sphérique
2𝜋
de diamètre 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒
39
Distribution volumique
À l’équilibre thermodynamique :
Nombre de phonons dans le volume V ayant un vecteur d’onde entre 𝑘 𝑒𝑡 𝑑𝑘 :
𝑛𝑘 𝑘 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧 = 𝑉 ×
𝑔
× 𝑓𝐵𝐸 (𝜔 𝑘 ) 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧
8𝜋 3
40
Surfaces
3 types de faces :
Légende
:
• Face transparente
• Face spéculaire (réflexion miroir)
• Face d’injection
41
Mécanisme d’injection
Face d’injection :
Face supposée en contact avec une autre maille de volume infinie,
à l’équilibre thermodynamique à une température fixée
Nombre de phonons injectées pendant dt ayant un vecteur d’onde entre 𝑘 𝑒𝑡 𝑑𝑘
à travers la surface S :
𝑔
𝑛𝑘 𝑘 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧 𝑑𝑡 = 𝑆 𝑣𝑧 (𝑘) 𝑑𝑡 ×
× 𝑓𝐵𝐸 (𝜔 𝑘 ) 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑑𝑘𝑧
8𝜋 3
Volume
𝐷𝑂𝑆(𝑘)
42
Principe du Monte-Carlo
Particules localisées dans l’espace réel et réciproque
Position et vitesse
Monte-Carlo =
Tirage au sort de la position et de la vitesse
d’un grand nombre de particules
à l’initialisation et après chaque collision
+
Tirage au sort du temps de libre parcours
44
Algorithme de Monte-Carlo
Pas de phonons
dans les mailles
Pas de temps
𝑡𝑝 = ∆𝑡
Ajout des phonons
injectés pendant le
pas de temps
Mouvement de tous les
phonons
45
Algorithme du mouvement
Légende :
𝑡𝑣 : temps de libre parcours
𝑡𝑠 : temps de sortie de maille
Pas de temps
𝑡𝑝 = ∆𝑡
Tirage au sort : 𝑡𝑣
Calcul : 𝑡𝑠
𝑡𝑝 = 𝑡𝑝 − 𝑡𝑚
𝑡𝑚 = min(𝑡𝑝 , 𝑡𝑣 , 𝑡𝑠 )
Traitement de la collision :
Tirage au sort du type de
collision puis de la nouvelle
vitesse
𝑡𝑝 = 𝑡𝑝 − 𝑡𝑚
Eventuel traitement
de l’interface
+
Changement de la
maille
𝑟 = 𝑟 + 𝑡𝑚 × 𝑣
𝑡𝑚 = 𝑡𝑠
𝑡𝑚 ?
𝑡𝑚 = 𝑡𝑣
𝑡𝑚 = 𝑡𝑝
Fin
46
2. VÉRIFICATION DE FONCTIONNEMENT
47
Paramètres communs
Maille cubique
Volume : 1mm3
1 type de collision : collisions élastiques isotropes
Fréquence moyenne de collision : 10-10 Hz
Vitesse des phonons entre 0 et 10000 m.s-1
Libre parcours moyen de l’ordre de 1011 km
Régime balistique
48
1er test : faces d’injection
1 maille cubique avec 6 faces d’injection
à température 300 K
Objectif : test des faces d’injection et
du mouvement des phonons
49
1er test
1er test : distribution des phonons injectés par 1 face
LA
TA
Vx
=
composante
normale
LO
TO
50
1er test
1er test : distribution des phonons injectés par 1 face
LA
TA
Vy
=
composante
tangentielle
LO
TO
51
1er test
1ème test : distribution des phonons dans le volume
LA
LO
TA
TO
52
2ème test : faces transparentes
7 mailles cubiques à 300 K
1 face d’injection (en rouge)
12 faces transparentes
29 faces spéculaires
Objectif : test des surfaces
transparentes
et des surfaces spéculaires
53
3ème test : faces de contrôle
2 mailles cubiques
2 faces d’injection, à 200 K (en vert) et à 300 K (en rouge)
1 face transparente de contrôle (en jaune)
Objectif : test des surfaces de contrôle
54
3ème test
3ème test : distribution des phonons traversant
LA
TA
Vx
=
composante
normale
LO
TO
55
3ème test
3ème test : distribution des phonons traversant
LA
TA
Vy
=
composante
normale
LO
TO
56
Prochain développement
Objectif à court terme :
•
•
•
•
Ajout de collisions plus réalistes
Vérification en régime diffusif
Optimisation du temps de calcul
Résolution 3D ↔ 2D
Objectif à long terme :
• Implémentation de matériaux plus complexes
• Implémentation d’autres interfaces
57
Conclusion
Premières vérifications concluantes
En bonne voie
58