Binomial Theorem
What happens when you multiply a binomial by itself ... many times?
n
æ nö
n
a
+
b
=
(
) å ç ÷ a n-k b k
k=0 è k ø
Binomial Theorem
The Binomial Theorem shows what happens when you multiply a binomial by itself (as many
times as you want). It works because there is a pattern.
Example 1: Exponent 0.
When an exponent is 0, you get 1: (a+b)0 = 1
Example 2:
Exponent of 1

When the exponent is 1, you get the original value, unchanged: (a+b)1 = a + b.
Exponent of 2

An exponent of 2 means to multiply by itself: (a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2 + 2ab + b2
Exponent of 3

For an exponent of 3 just multiply again: (a+b)3 = (a+b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
The Pattern
In the last result we obtained: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Now, notice the exponents of a. They start at 3 and go down: 3, 2, 1, 0:
Likewise the exponents of b go upwards: 0, 1, 2, 3:
If we number the terms 0 to n, we get this:
Example: When the exponent, n, is 3. The terms are:
k=0:
k=1:
k=2:
an-kbk
an-kbk
an-kbk
= a3-0b0
= a3-1b1
= a3-2b2
3
2
=a
=a b
= ab2
Which can be brought together into this: an-kbk.
k=3:
an-kbk
= a3-3b3
= b3
In essence, The Binomial Theorem can also be written in its expanded form as:
æ nö n 0 æ nö n-1 1 æ nö n-2 2 æ nö n-3 3
æ n ö 1 n-1 æ nö 0 n
a
b
+
a
b
+
a
b
+
a
b
+
...+
çè 1 ÷ø
çè 2÷ø
çè 3÷ø
çè n -1÷ø a b + çè n÷ø a b .
è 0÷ø
( a + b )n = ç
æ nö
n!
Remember that ç ÷ = n Ck =
and that
è kø
( n - k )!k!
æ nö
æ nö
and
=
1
çè 0 ÷ø
çè n ÷ø = 1 .
Finding a Particular Term in a Binomial Expansion
What if I need to find just "one" term in a binomial expansion? Let's call the term we are looking for the rth
term. From our observations, we know that the coefficient of this term will be n Cr-1 , the power of b will be
(r – 1) and the power of a will be n minus the power of b. Putting this information together gives us a formula
æ n ö n-( r-1) r-1
n
for the rth term: ( a + b ) = ç
a
b .
è r -1÷ø
Example EXERCISES.
1. Expand ( x + 2 ) .
5
Solution: Let a = x, b = 2, n = 5 and substitute. (Do not substitute a value for k.)
æ 5ö 5-k k
÷ x ×2
k=0 è k ø
5
( x + 2 )5 = å ç
æ 5ö 5 0 æ 5ö 5-1 1 æ 5ö 5-2 2 æ 5ö 5-3 3 æ 5 ö 1 5-1 æ 5ö 0 5
x ×2 + ç ÷ x ×2 + ç ÷ x ×2 + ç ÷ x ×2 + ç
x ×2 + ç ÷ x ×2
è 0÷ø
è1 ø
è 2ø
è 3ø
è 5 -1÷ø
è 5ø
( x + 2 )5 = ç
( x + 2 )5 = 1x 5 ×1+ 5x 4 × 2 +10x 3 × 4 +10x 2 × 2 3 + 5x1 × 2 4 +1× 25
= x 5 +10x 4 + 40x 3 + 80x 2 + 80x + 32
2. Find the 5th term of ( 3x - 4 ) .
12
Solution: Let a = 3x, b = -4, n = 12 and substitute.
æ 12 ö
( 3x )12-(5-1) × ( -4 )5-1 =
÷
è 5 -1ø
( 3x - 4 )12 = ç
æ 12 ö
8
4
8
8
çè 4 ÷ø ( 3x ) × ( -4 ) = 495 × 6561x × 256 = 831409920 x .
(
)
3
3. Expand 2x 4 - y .
( 2x
( 2x
( 2x
4
3
3
2
1
0
æ 3ö
æ 3ö
æ 3ö
æ 3ö
0
1
2
3
- y ) = ç ÷ ( 2x 4 ) × ( -y ) + ç ÷ ( 2x 4 ) × ( -y ) + ç ÷ ( 2x 4 ) × ( -y ) + ç ÷ ( 2x 4 ) × ( -y )
è 0ø
è1ø
è 2ø
è 3ø
4
- y ) = 1( 8x12 ) + 3( 4x 8 ) × ( -y ) + 3( 2x 4 ) × ( y ) - y 3
4
- y ) = 8x12 - 12x 8 y + 6x 4 y 2 - y 3
3
2
3
(
)
7
4. Expand 2x 2 - 5y 3 .
( 2x
2
7
7
0
6
1
5
2
4
3
æ 7ö
æ 7ö
æ 7ö
æ 7ö
- 5y 3 ) = ç ÷ ( 2x 2 ) × ( -5y 3 ) + ç ÷ ( 2x 2 ) × ( -5y 3 ) + ç ÷ ( 2x 2 ) × ( -5y 3 ) + ç ÷ ( 2x 2 ) × ( -5y 3 )
è 0ø
è1 ø
è 2ø
è 3ø
3
4
2
5
1
6
0
7
æ 7ö
æ 7ö
æ 7ö
æ 7ö
+ ç ÷ ( 2x 2 ) × ( -5y 3 ) + ç ÷ ( 2x 2 ) × ( -5y 3 ) + ç ÷ ( 2x 2 ) × ( -5y 3 ) + ç ÷ ( 2x 2 ) × ( -5y 3 )
è 4ø
è 5ø
è 6ø
è 7ø
( 2x
( 2x
2
2
- 5y 3 ) = (128x14 ) + 7 ( 64 x12 ) × ( -5y 3 ) + 21( 32x10 ) × ( 25y 6 ) + 35 (16x 8 ) × ( -125y 9 )
7
+35 ( 8x 6 ) × ( 625y12 ) + 21( 4x 4 ) × ( -125y15 ) + 7 ( 2x 2 ) × (15625y18 ) - 78125y21
- 5y 3 ) = 128x14 - 2240x12 y 3 +16800x10 y6 - 70000x 8 y9 + 91000x 6 y12 - 262500x 4 y15 + 218750x 2 y18 - 78125y21
7
5. Find the 10th term in the expansion of ( x - 3) .
12
æ 12 ö 12-(10-1)
æ 12 ö
x
( -3)10-1 = ç ÷ x12-(10-1) ( -3)10-1 = 220x12-(9) ( -3)9 = -4330260 x 3
÷
è 10 -1ø
è9 ø
( x - 3)12 = ç
6. Find the middle term in the expansion of ( 5x + 9 ) .
8
æ8 ö
æ 8ö
8-( 4-1)
4-1
5x
×
9
=
(
)
( 5x )8-( 3) × 9 3 = 56 ( 5x )5 × 9 3 = 127575000 x 5
÷
ç
÷
è 4 -1ø
è 3ø
( 5x + 9 )8 = ç
7. Express (1.1) as a binomial of the form ( a + b ) and evaluate it.
n
7
æ 7ö 7
æ 7ö
æ 7ö
æ 7ö
æ 7ö
0
1
2
3
4
1 × ( 0.1) + ç ÷ 16 × ( 0.1) + ç ÷ 15 × ( 0.1) + ç ÷ 14 × ( 0.1) + ç ÷ 13 × ( 0.1)
÷
è 0ø
è1 ø
è 2ø
è 3ø
è 4ø
(1+ 0.1)7 = ç
æ 7ö
æ 7ö
æ 7ö
5
6
7
+ ç ÷ 12 × ( 0.1) + ç ÷ 11 × ( 0.1) + ç ÷ 10 × ( 0.1)
è 5ø
è 6ø
è 7ø
(1+ 0.1)7 = 1+ 0.7 + 0.21+ 0.035 + 0.0035 + 0.00021 + 0.000007 + 0.0000001
(1+ 0.1)7 = 1.9487171
8. Find the coefficient of
8
a)
x2
1
in æç x + ö÷ .
è
xø
8
æ 8ö 8 1 0 æ 8ö 7 1 1 æ 8ö 6 1 2 æ 8ö 5 1 3 æ 8 ö 4 1 4
1ö
æ
x
+
çè
÷ø = ç ÷ x × ( x ) + ç ÷ x × ( x ) + ç ÷ x × ( x ) + ç ÷ x × ( x ) + ç ÷ x × ( x )
x
è 0ø
è1 ø
è 2ø
è 3ø
è 4ø
æ 8ö 3 1 5 æ 8ö 2 1 6 æ 8 ö 1 1 7 æ 8ö 0 1 8
çè 5÷ø x × ( x ) + çè 6 ÷ø x × ( x ) + çè 7 ÷ø x × ( x ) + çè 8 ÷ø x × ( x )
æ 8ö 5 1 3
x5
x
×
=
56
= 56x 2 = 56
(
)
x
3
çè 3÷ø
x
9
bö
æ
b) a 5b 4 in ç 3a - ÷ .
è
3ø
9
æ 9ö
æ 9ö
æ 9ö
æ 9ö
bö
9
8
7
6
æ
b 0
b 1
b 2
b 3
3a
çè
÷ø = ç ÷ ( 3a ) × ( 3 ) + ç ÷ ( 3a ) × ( 3 ) + ç ÷ ( 3a ) × ( 3 ) + ç ÷ ( 3a ) × ( 3 )
3
è 0ø
è1 ø
è 2ø
è 3ø
æ 9ö
æ 9ö
æ 9ö
æ 9ö
4
5
6
7
5
4
3
2
+ ç ÷ ( 3a ) × ( b3 ) + ç ÷ ( 3a ) × ( b3 ) + ç ÷ ( 3a ) × ( b3 ) + ç ÷ ( 3a ) × ( b3 )
è 4ø
è 5ø
è 6ø
è 7ø
æ 9ö
æ 9ö
8
9
1
0
+ ç ÷ ( 3a ) × ( b3 ) + ç ÷ ( 3a ) × ( b3 )
è 8ø
è 9ø
æ 9ö
243a 5b 4
5
b 4
3a
×
=
126
= 378a 5b 4 = 378
(
)
(
)
(
)
3
çè 4 ÷ø
81
1ö
æ
9. Find the constant terms in efficient of ç 2x + ÷
è
xø
10
10
æ 10 ö
æ 10 ö
æ 10 ö
æ 10 ö
1ö
10
9
8
7
æ
1 0
1 1
1 2
1 3
2x
+
çè
÷ø = ç ÷ ( 2x ) × ( x ) + ç ÷ ( 2x ) × ( x ) + ç ÷ ( 2x ) × ( x ) + ç ÷ ( 2x ) × ( x )
x
è0 ø
è1 ø
è2 ø
è3 ø
æ 10 ö
æ 10 ö
æ 10 ö
æ 10 ö
4
5
6
7
6
5
4
3
+ ç ÷ ( 2x ) × ( 1x ) + ç ÷ ( 2x ) × ( 1x ) + ç ÷ ( 2x ) × ( 1x ) + ç ÷ ( 2x ) × ( 1x )
è4 ø
è5 ø
è6 ø
è7 ø
æ 10 ö
æ 10 ö
æ 10 ö
8
9
10
2
1
0
+ ç ÷ ( 2x ) × ( 1x ) + ç ÷ ( 2x ) × ( b3 ) + ç ÷ ( 2x ) × ( b3 )
è8 ø
è9 ø
è 10 ø
æ 10 ö
5
5
1 5
çè 5 ÷ø ( 2x ) × ( x ) = 252 ( 32x )
( ) = 8064
1
x5