'
$
Quantile Regression:An Introduction
Roger Koenker
Kevin Hallock
Abstract
There is more to econometric life than is dreamt
of in the philosophies of Gaussian regression and
least squares estimation.
&
Journal of Economic Perspectives
Symposium on Econometrics Tools
New Orleans: January, 2001
1
%
'
$
Regression is Demeaning
'De mean is 'de meaning.
Regression is demeaning.
&
Regression is de-meaning
2
%
'
Quantile Regression
$
Just Enough to be Dangerous
&
3
%
'
$
Quantile Regression
Univariate th Quantile
^ ( ) = argmina2<
where
X (y , a)
n
i=1
i
(u) = ( , I (u < 0))u
ρτ(u)
τ−1
τ
Regression th Quantile
&
^( ) = argminb2<p
4
X (y , x b)
n
i=1
i
>
i
%
'
$
2000
Engel's Food Expenditure Data
•
1500
1000
•
•
•
•
•
500
Food Expenditure
•
•
•• •
•
•
• •
•
•• •
•
•
••• ••
•
• ••
•
•
• •••••• • •• ••
• • ••• •••••• • •
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••••••••••••• • ••• •
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•
•
••• •• •••••••• •••
•••••••••• •••• •
•
••••••••••••••••• • •
•
• •••••• •• ••
•••••••• •• • •
•••••••••• •
1000
&
•
•
•
2000
3000
Household Income
5
4000
5000
%
'
$
Engel's Food Expenditure Data
800
•
•
600
500
•
• •
300
400
Food Expenditure
700
•
•
• •
••
•• •
• • •
••
•
• •
•
•
• • •
•
•
•
• •
•• •
•
•
•
• •
• • •
•
•
•
•• •
•
•
400
&
500
•
•• • •
•• •
• ••
• •
•
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•
•
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•
•
•• •
•
•
• •
•
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• •• •
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•
•
•
•
• •
•
•
•• ••
•
•
••
•
••
•
•
•
•
600
700
Household Income
6
800
900
1000
%
'
A Model of Infant Birthweight
$
Reference: Abreveya (2001)
Data: June, 1997, Detailed Natality Data of
the US. Live, singleton births, with mother's
recorded as either black or white, between
18-45, and residing in the U.S. Sample size:
198,377.
Response: Infant Birthweight (in grams)
Covariates:
{ Mother's Education
{ Mother's Prenatal Care
{ Mother's Smoking
{ Mother's Age
{ Mother's Weight Gain
&
7
%
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
80
•
•
•
•
•
•
60
•
•
• • • •
•
•
• • •
•
• •
•
•
•
-350
40
40
•
•
-300
•
60
•
2500
•
• • •
• • • •
• • •
•
80
•
100
•
•
•
-200
•
100
120
•
•
3500
• • •
•
•
•
3000
•
Black
-150
140
Married
-250
4000
Boy
'
&
Intercept
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
8
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
Mother’s Age^2
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
High School
0.4
0.6
0.8
1.0
Some College
•
•
• • •
•
30
•
• • • •
• •
50
-0.4
60
Mother’s Age
0.4
•
•
40
•
20
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
•
• •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
10
-0.8
40
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
30
-0.6
50
•
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
10
30
•
• •
-1.0
• •
0
•
•
20
•
•
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
$
%
Prenatal Second
Prenatal Third
60
100
0
No Prenatal
• •
• •
•
• • •
•
40
•
•
•
•
-300
•
• •
•
•
•
• •
• • •
0
•
•
• •
•
-500
•
• • •
•
•
•
•
• •
•
-20
0
•
• •
• •
•
•
-50
0
•
•
• • •
•
-400
•
•
•
20
•
• •
•
20
•
•
50
•
•
• •
-200
60
• • •
40
•
• •
100
•
150
•
-100
80
•
•
'
&
College
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
9
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
Cigarette’s/Day
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
Mother’s Weight Gain
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Mother’s Weight Gain^2
• • •
•
•
•
•
•
0.0
•
•
•
•
10
-5
•
•
•
•
•
• •
•
• •
•
• •
0
-6
-200
•
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
•
•
20
-180
•
•
•
•
•
•
•
•
0.8
•
•
-0.1
•
•
• •
•
•
-4
•
•
•
•
• •
•
•
-0.2
•
•
• •
•
•
•
•
•
-0.3
•
30
•
• •
0.0
• •
•
•
•
•
•
-3
-160
•
0.1
40
-2
-140
Smoker
0.4
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
•
•
•
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
$
%
'
$
Conclusions
Quantile regression methods complement
established mean regression (least-squares)
methods.
By focusing on local slices of the conditional
distribution, they oer a useful
deconstruction of conditional mean models.
They provide a more exible role for covariate
eects allowing them to inuence location,
scale and shape of the response distribution.
In applications a variety of unobserved
heterogeneity phenomena are rendered
observable.
&
10
%