Hitelderivatívák: Kereskedés a kockázattal
1. Asset Valuation, Eszközértékelés
Def.: Contingent claim vagy származtatott követelés:
Egy fT= fT(ω) valváltozó ilyen, ha fT(ω) = fT(S(0,ω),…, S(T,ω)), azaz ha
értéke az eszköz aktuális értékpályáján keresztül függ a véletlentől. Ha
csak a végső eszközértéktől függ, akkor európai típusú származtatott
követelés.
Megj: Az opció származtatott követelés.
Def: Az fT származtatott követelés valós vagy fair ára:
CfT=inf{v>0: létezik olyan önfinanszírozó stratégia, amelynek kezdőtőke
igénye éppen v, és amely végső tőkeként reprodukálja fT -t}
Megj: Ez az az ár, amely kizárja az arbitrázs lehetőséget.
Def: P* Martingál mérték vagy rizikósemleges mérték:
Olyan valószínűségi mérték, amely mellett a diszkontált (jelenértékre
számított) eszközár, illetve az önfinanszírozó befektetési stratégiák
diszkontált értékfolyamatai egyaránt martingálok.
Állítás: Elég általános feltételek mellett egy fT= fT(ω) származtatott követelés ára
0-ban, illetve t-ben:
~
~
CfT=E*(f T) , CfT(t)=E*(f T|Ft) azaz a diszkontált követelés rizikósemleges
mérték szerinti várható értéke, illetve a filtráció szerinti feltételes várható
értéke..
Ha tehát egy cég csődje ellen biztosítok, és így véletlen ideig (a csődig)
szedhetek díjat, és ezzel szemben egy véletlen nagyságú kifizetésem keletkezik
ugyanebben az időpontban, akkor a korrekt (fair) díj az az összeg, ami a
rizikósemleges mérték mellet várható értékben egyensúlyt tart a két oldal között.
Nincs kockázati prémium, mert azt a kockázatsemleges mérték kezeli. A
kockázatsemleges mérték melletti eszközárdinamika abból határozható meg
matematikailag, hogy szerinte a diszkontált eszközár-folyamat martingál (lokális
martingál, szigma martingál) .
2. Credit Default models, Csődmodellek
2.1 Reduced form models
Define a portfolio with I names (I=125 for the CDX and iTraxx indices) and
denote by τi, (i=1,…,I ) the default time of the i-th name in the portfolio, and by
Fi its cumulative probability distribution function (under the risk-neutral
measure P*)
Fi (t )  P * ( i  t )
In practice, Fi can be obtained by calibrating Fi (tj) to CDS market prices for a
fixed set of times tj and then interpolating to get Fi(t) for an arbitrary t. For
simplicity suppose Fi(t) to be continuous and strictly monotone. In order to
specify the portfolio loss distribution, we define the codependence structure of
the individual defaults through a Gaussian copula of default times, as follows.
For each name i=1,…,I , we define a creditworthiness index:
where the random variables Zk and εi have standard normal distributions and are
mutually independent. Thus Yi has a standard normal distribution. The Zk are
referred to as systematic factors, and the coefficients βik are the factor loadings.
The systematic factors can represent the health of the economy as a whole, as
well as the performance of specific sectors. The factor model is used to define
the codependence between two names. Thus, defaults between two names are
more highly correlated if their loadings are large (and positive). When K=1, we
say that we have a single-factor model, while K > 1 corresponds to a multifactor model.
In a reduced form model, it is assumed that the default time τi for the ith
company is related to the creditworthiness index Yi so, that for any given time t,
there is a corresponding value y, such that
P(Yi < y) = P(τi < t)
Since Yi is standard normal (instead, a known G(y) continuous invertible
distribution function suffices here), one can ensure that each name has the
correct marginal distribution Fi (t) by setting
 i  Fi 1 ((Yi )), i.e. F ( i )  (Yi )
If ρ is the asset correlation, i.e. the correlation of the creditworthiness indices,
then the joint default probability until times t1, t2 for credit A and B is calculated
as follows,
P(τ1 < t1, τ2 < t2)= P(Y1 < y1 ,Y2 < y2)=Φρ(y1,y2)
where Φρ(y1,y2) is the bivariate normal density corresponding to the correlation ρ.
If (z1,z2) is an arbitrarily chosen point of the unit square, then we have
P (F1(τ1) < z1, F2(τ2) < z2))= P(Φ(Y1) < z1 , Φ(Y2)< z2)=Φρ(Φ-1 (z1), Φ-1( z2)=
CG,ρ(z1, z2)
where Φρ(y1,y2) is the two dimensional Gaussian distribution function with
standard normal marginals and covariance ρ, and CG,ρ(z1, z2) is the Gaussian
copula of covariance ρ.
Rem.:(If X,Y are two random variables with F(x), G(y) continuous distribution
functions their copula is the joint distribution of (F(X), G(Y)), where the
marginals are uniform(0,1) distributions)
If we use G instead of Φ then we shall have a G-copula, corresponding to the
interdependence of the creditworthinesses. The second most popular choice is
the student t-copula. Clearly ρ is not the correlation between τ1 and τ2, in general
the correlatin between is much τ1 and τ2 weaker and this is one shortcoming of
the model.
2.2 Stochastic intensity models=Loss process models
Defaults arrive at random, as the first jump of a Cox process, so the default time
τ is the time of the first jump of that process.
2.3. Structural models
This is the simplest case, the value of the company follows a geometric
Brownian motion. Instead,
1) let μ and σ be time dependent adapted stochastic proceses:
dS(t)= S(t)(μ(t, S(t))dt+ σ(t,S(t) dw(t))
~
dσ(t) = a(t, σ(t))dt+ b(t, σ(t))d w(t )
~
where w(t ) is also a Wiener proces independent of or correlated to w(t).
2) Exponential Lévy models
S(t)=exp{rt+X(t)}
where X(t) is a Lévy process (stoch. cont. process with stationary indep.
increments and cadlag trajectories)
a) jump diffusions (BM+Compound Poisson)
Merton – Gaussian jumps
Kou – double exponential jumps
b) infinite activity models
time rescaled (with Lévy subordinator) BM-s
Variance Gamma (Carr, Madan)
NIG (Barndorff-Nielsen, Shephard)
hyperbolic processes
4. Credit Default Swaps (CDS)
5. Collateralised Debt Obligations, CDO-s
CDOs are classified as cash CDOs and synthetic CDOs, the latter so named
because the collateral manager does not actually own the pool of assets on
which it has the credit risk exposure but instead the exposure is obtained by
establishing a portfolio of short positions in CDSs.