INC341
Steady State Error
Lecture 6
Transient Response
ถ้ าเราป้ อน step input เข้ าไปในระบบ เราจะได้ output หลายๆแบบ
1.4
Output ในแบบ
อุดมคติ
1.2
1
Output
0.8
0.6
0.4
If it has ‘dynamics’
there will be a transient
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
time
1.2
1.4
1.6
1.8
2
นิยาม steady-state error
Steady-state error is the difference between a prescribed input
And output as t →∞
1.4
1.2
Desired
1
0.8
t มาก
Transient
หายไป
0.6
0.4
Steady-state
error
Actual
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
ลองคิดดูถ้าลิฟท์ (elevator) มี response แบบนี้
อะไรละ
ที่ก่อให้ เกิด
ช่ องว่างตรงนี้
Step Response
15
desired
Level
Amplitude
10
Actual
5
0
0
2
4
6
Time
Time (sec)
8
10
12
Input Type
Steady-state
Error with different
type of inputs
Error Signal
error = input – output
จะวิเคราะห์ error ก็จะทาให้ error ให้ เป็ น signal
T(s)
Error signal =?
E ( s)  R( s)  C ( s)
E ( s)  R( s)  C ( s)
แต่
แต่
C ( s )  R ( s )T ( s )
C ( s )  E ( s )G ( s )
E ( s )  R ( s )  R ( s )T ( s )
E ( s )  R ( s )  E ( s )G ( s )
E ( s )  R ( s )[1  T ( s )]
R( s)
E (s) 
1  G(s)
Add summing junction
Unity feedback
ค่านีเ้ ลยคือ steady state error
Final Value Theorem
The value of a function f(t) as t goes to infinity (its final value)
is related to the Laplace transform F(s) by:
f     lim f (t )  lim sF ( s)
t 
s 0
พบว่ าสดวกในการใช้ หา steady-state error ใน time-domain
เพราะไม่ ต้องทาการ แปลง inverse Laplace
Example: Unity Feedback System
steady state error
R(s) +
-
E(s)
K /s
C(s)
What is e(t) in limit as t goes to infinity when
r(t) is a step?
r(t) is a ramp?
Step input: Au(t)
1
1
A
E ( s) 
R( s) 

1 G s
1 G s s
L.T. of
Step input
ใช้ Final-value Theorem

1
A
e     lim sE ( s )  lim  s 
 
s 0
s 0
 1 G s s 
A
A
 lim

s 0 1  G ( s )
แล้วแทนค่า G(s)
1  lim G ( s)
s 0

A
1  lim
s 0
K
s
0
Ramp input: Atu(t)
1
1
A
E (s) 
R( s) 
 2
1 G s
1 G s s
L.T. of
Ramp input
ใช้ Final-value Theorem

1
A
e     lim sE ( s )  lim  s 
 2
s 0
s 0
 1 G s s 
A
A
 lim

แล้วแทนค่า G(s)
s 0 s  sG ( s )
lim sG ( s )
s 0
A
A


Ks K
lim
s
s 0
Error from Different Inputs
Step:
A
e  
1  lim G ( s )
s 0
Ramp:
A
e 
lim sG ( s )
s 0
Parabola: e    
A
lim s 2G ( s )
s 0
Zero Steady
State error
Implications on G(s)
n
requires
  s  zi 
G ( s )  i n1
lim G( s)  
s   s  pi 
s 0
i 1
n
lim sG( s)  
s 0
G (s) 
  s  zi 
i 1
n
2
s   s  pi 
i 1
n
lim s G( s)  
2
s 0
G (s) 
  s  zi 
i 1
n
3
s   s  pi 
i 1
System Type
Transfer function จะมีรูปแบบ
n
  s  zi 
G ( s) 
s
 s  z1  s  z2   s  zm 
 p
  s  pi  s  s  p1  s  p2   s  pn p 
i 1
n
p
i 1
System type = p
Type 0
Type 1
Type 2
System type - Examples
• Type 0
G ( s) 
4
s 2  3s  5
• Type 1
s 8
G( s) 
s  s  1 s  6 
• Type 2
s 2  2s  1
G(s)  2
Two poles at s = 0
2
s  s  3  s  6 s  2 
One pole at s = 0
Static Error Constant
• Position constant
K p  lim G ( s )
s 0
• Velocity constant
K v  lim sG ( s )
s 0
• Acceleration constant
K a  lim s 2G ( s )
s 0
Relationship with System Type
Example
หา error จาก input แบบ step, ramp, parabolic
Type 1
1

0
1 K p
K p  lim G ( s )  
estep
100  2  6
K v  lim sG ( s) 
 100
s 0
3 4
K a  lim s 2G ( s)  0
1
eramp 
 0.01
Kv
s 0
s 0
1
e parabolic 

Ka
Design Problem
Find the value of K so that there is 10 % error in the steady state
System is type 1, Error is from Ramp input
1
eramp () 
 0.1
Kv
K 5
K v  10  lim sG ( s ) 
s 0
6 78
K  672
Steady-State Error for
Nonunity Feedback System
จะจัดรูป
Block ให้ เป็ น
Unity feedback
Example
หา system type และ steady state error
G( s)
100( s  5)
Ge ( s) 
 3
1  G ( s) H ( s)  G ( s) s  15s 2  50s  400
เป็ น type 0
100  5
5
K p  lim Ge ( s ) 

s 0
 400
4
1
e( ) 
 4
1 K p
Sensitivity
คือความไวของการเปลีย่ นแปลง parameter หนึ่งต่ อการเปลีย่ นแปลงของอีก parameter หนึ่ง
ความไวของ F เมื่อเทียบกับการเปลีย่ นแปลงของ P นิยามโดย
S F :P
P F
 
F P
Example
จงหาความไวของ closed-loop transfer function ต่ อการเปลีย่ นแปลงของ a
K
T (s)  2
s  as  K


a T
a
 Ks
 2

ST :a  

2 
K
T a 
  ( s  as  K ) 
 2

 s  as  K 
 as
 2
s  as  K
Example
จงหาความไวของ steady-state error จาก ramp inputs ต่ อการเปลีย่ นแปลงของ a และ K
Steady-state error
Sensitivity of error to changes of a
Sensitivity of error to changes of K
1
a
e( ) 

Kv K
S e:a
S e:K
a e
a
  
e a a / K
1
 K   1
K e
K  a
 

 1
2

e K a / K  K 