MATHEMATICS OLYMPIAD 2012
Grades10–12
1. A triangle ABC is drawn in the plane. Chose a point
D inside the triangle. Show that the sum of distances
AD+BD+CD is less than the perimeter of the triangle.
Solution. Let us consider the case when D belongs to the segment AB. Construct parallelogram CASB by drawing side BS parallel to CA, and side AS parallel to CB. Extend ray CD to the
intersection with BS. Let K be the intersection point of CK and BS
(see Fig).
qS
qK
Dq
q
A
q
B
q
C
Note that CD ≤ CK ≤ CB + BK ≤ CB + BS = CB +
AC. Hence, AD + BD + CD ≤ AB + AC + BC, or, equivalently,
CD ≤ AC + BC.
Let now D is a point inside the triangle ABC. Extend segment
CD to CK where K is the intersection of ray CD with side AB (see
Fig. below). Draw segment LM parallel to the base AB, segment
DS parallel to side AC and segment DK parallel side BC (see Fig.)
Sq
Kq q
q
A q
q q B
L D
M
q
C
Then, as we discussed above, CD ≤ CL + CM . By triangle
inequality, AD ≤ AL + LD = AL + AS, and BD ≤ BM + M D =
BM + BK. Adding all inequalitis we obtain,
AD + BD + CD ≤ AC + BC + AS + BK ≤ AB + BC + AC.
1
2
2. In a triangle ABC the bisector of the angle C intersects the side AB at M, and the bisector of the
angle A intersects CM at the point T. Suppose that
the segments CM and AT divided the triangle ABC
180◦ , но
это невозможно,
в этом
случае
и сумма
углов
и
into
three
isosceles поскольку
triangles.
Find
the
angles
of Athe
C исходного треугольника будет равна 180◦ . Значит, AT M — угол при
triangle
ABC.
основании этого
треугольника. В этом случае сумма углов треугольника AT M равна 5α. Из равенства 5α = 180◦ получим, что α = 36◦ , тогда
∠BAC
= ∠BCA From
= 72◦ ,the
∠ABC
Solution.
Fig.= 180◦ − (∠BAC + ∠BCA) = 36◦ .
C
C
α
αα
α
TT
α 2α
α
α
α
A
A
M
M
B
B
В этом случае
треугольник
CMB (третий
разбиения)
we conclude
that 5α
= 180. Hence,
α = 36, треугольник
therefore angles
are 36◦
также оказывается
равнобедренным, так как ∠MCB = ∠MBC = 36◦ .
◦
and 72 .
Отметим, что можно проводить аналогичные рассуждения, рассматривая треугольники разбиения в другом порядке.
Н. Мартынова, П. Мартынов
3. You are given 100 weights of masses 1, 2, 3, . . . , 99, 100.
6. Первый
способ. Рассмотрим
произCan
one distribute
them два
into
10 piles having the
вольных подчёркнутых числа A и B. Из услоfollowing
property:
the heavier
the pile,
fewer
вия задачи следует,
что они расположены
в разA
A the C
C
ных строках и в разных столбцах. Пусть на пеweights
it contains?
ресечении строки, в которой находится число
B
B
D
D
A, и столбца, в котором находится число B,
Solution.
Answer:
impossible.
стоит число C, а на пересечении строки, в которой
B, иisстолбца,
в котоThe находится
sum of allчисло
masses
5050. The
heaviest pile must weight
ром находится число A, стоит число D (см. рис.). По условию задачи
more
hence
contains more
Therefore
B 6 C than
6 A и505,
A 6 and
D 6 B.
Следовательно,
A = than
B = C 6=weights.
D.
Таким образом, любые два подчёркнутых числа равны. Рассмотthe next pile contains at least 7 weights, the next at least 8 weights,
рим теперь произвольное число таблицы, которое не подчёркнуто. Оно
and
so on числа,
and soподчёркнутого
forth. We obtain
that the
number
weights
не меньше
в его столбце,
и не
большеof
числа,
под- is
чёркнутого в его строке, следовательно оно им равно. Значит, все чисat
least 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 105 which
ла, записанные в таблице, между собой равны.
contradicts
to the Пусть
condition
there
is only 100
weigths.
Второй способ.
средиthat
чисел,
записанных
в таблице,
наибольшим является число A. Если оно одно, то оно подчёркнуто, а если таких чисел несколько, то подчёркнуто хотя бы одно из них (так как в
своей строке это число должно быть наибольшим).
Рассмотрим это подчёркнутое число A (выделено цветом, см. рис.).
Так как (по условию) оно подчёркнуто дважды, то в своем столбце k
оно является наименьшим, значит, в этом столбце все числа равны A
(чисел, больших A, в таблице нет), причём остальные числа столбца k
не подчёркнуты. Выберем одно из них, тогда в строке m, где оно находится, должно быть подчёркнутое другое число A. Это число, в свою
12
3
4. Each cell of a 10 × 10 table contains a number. In
each row the greatest number (or one of the largest, if
more than one) is underscored, and in each column
the smallest (or one of the smallest) is also underscored. It turned out that all of the underscored numbers are underscored exactly twice. Prove that all
numbers stored in the table are equal to each other.
Solution. Let A be the the greatest number. If A is underscored
twice then all integers in the column containing A are equal to A.
Let another column contains the least integer B such that B < A.
Then B is underscored only once. Hence, all numbers are equal to
each other.
5. Two stores have warehouses in which wheat is stored.
There are 16 more tons of wheat in the first warehouse than in the second. Every night exactly at
midnight the owner of each store steals from his rival,
taking a quarter of the wheat in his rival’s warehouse
and dragging it to his own. After 10 days, the thieves
are caught. Which warehouse has more wheat at this
point and by how much?
Solution. Let x + δ, x be amounts of wheat in the first and
the second warehouse. Then the next day amounts of wheat are
3/4x + 3/4δ + 1/4x = x + 3/4δ and 3/4x + 1/4x + 1/4δ = x + 1/4δ.
The difference becomes 3/4δ − 1/4δ = δ/2. Each day the difference becomes twice smaller. Therefore after 10 days the difference
becomes 16 · 2−10 = 2−6 = 1/64 ton.