转子平衡、临界转速与强度
第一节 转子平衡
在旋转机械中，由于转子质量偏心引起的强迫振动是很常见的。关于偏心质量引起
的强迫振动，在振动理论中得到系统的稳态响应为：
me
x
M
r2
1  r    2 r 
2 2
tan  
2 r
1 r2
2
sin t   
(4-1)
(4-2)
式中M为系统的等效质量，m为转子偏心质量，e为偏心矩。从中可以看出振幅x与偏
心质量和偏心矩成正比，要减小振动就要使转子质量分布尽可能均匀。
化工机械强度与振动
一、转子刚性动平衡
叶轮机械转子的质量偏心来源于材质的不均匀，加工、装配误差等，实际上很难消
除。但如偏心量过大，则会使叶轮机械在运转中剧烈振动。所以转子在运行前都是
作平衡试验，力求偏心量尽量小，使得叶轮机械能平稳运行。
对于一个完全平衡的转子，理论上要求转子旋转时的离心惯性力的合力与合力偶都
等于零。转子对轴承只有自重引起的静力作用。反之转子即处于不平衡状态。
转子偏心质量可引起转子的
静不平衡或动不平衡。
1.静平衡问题
当偏心质量全部处于一个
平面内，如薄圆盘，在旋
转时将产生离心惯性力F力
在圆盘平面内，并通过转
轴，所以只有一个合力，
无合力偶，如图4-1a
图4-1
这种不平衡可用静力实验法来找，将转子放到一对水平轨道上，轻轻滚动，转
子总是在偏心质量垂直向下的位置停下来。这时只要在轮子相反的方向加配重
或在相同的方向钻孔，去掉一些重量就可以达到目的。最后要使转子在重力作
用下能随遇平衡。此时就称转子已达静平衡了。
化工机械强度与振动
2.动平衡问题
如图4-2转子，两个薄圆盘各有一同样大小的偏心质量m，其偏心距e也相等。显然
此转子是静平衡的（ΣF=0）。
但当转子旋转时，就会有一合力偶 M  me l ，此合力偶最终作用到支承上，引
起机组振动。这就是所谓动不平衡。转子动不平衡需用动平衡机做试验才能检验。
2
薄圆盘装斜了也可产生动不平衡。在转速较高的情况下,只要有很小的偏斜（约
1°），就会引起超过静反力百倍以上的反力。
现有如图4-3所示长转子，长度为l，半径为R。在距左端l/3的平面内垂直方向有偏心
2
量 m1e1，在中间平面内水平方向有偏心量 m2 e2  m1e1
3
化工机械强度与振动
偏心质量产生的离心惯性力总可以合成一通过旋转轴并与之垂直的合力和一个合力偶，
要平衡它们一般可选转子的两个端面和加配重或钻削掉一些重量。重量的大小和方位
很容易确定。
设转子以转速ω旋转，令
F1  m1e1 2
F2  m2 e2 2 
2
m1e1 2
3
将 F1 用同在垂直平面且又分别位于两端面的平行力 FⅠ FⅡ 代替，则应有
FⅠ 
1
FⅡ  m1e1 2
3
2
m1e1 2
3
同理，对 F2 有
1
FⅠ  FⅡ  m1e1 2
3
将 FⅠ FⅡ FⅠ FⅡ 几何相加，可得
2
2
2
2
5
2
 1

FⅠ   m1e1 2    m1e1 2  
m1e1 2
3
3
 3

2
1
1
2
2
FⅡ   m1e1    m1e1  
m1e1 2
3
3
 3

化工机械强度与振动
现可在端面Ⅰ半径R处，去掉质量为 mⅠ ，则
方位为
FⅠ
5m1e1
mⅠ 

R 2
3R

1
1 FⅠ
Ⅰ  tan
 tan 1  26 35
2
FⅠ
端面Ⅱ半径R处钻孔，去掉质量为 mⅡ ，则
FⅡ
2m1e1
mⅡ 

R 2
3R
FⅡ
Ⅱ  tan
 tan 1 1  45
FⅡ
1
也可在相反的方向加配重，这样转子就可达到刚性动平衡。如 F1 , F2 不垂直，则可将
它们分解到垂直与水平方向，而后如上所算。
化工机械强度与振动
二、转子柔性动平衡（高速动平衡）
由离心惯性力引起的动挠度是和转速有关的。因此，在低速时平衡（又称刚性平衡）
的转子，到高速时又可能会失稳而剧烈振动。校正这种动不平衡必须把离心惯性力
引起的动挠度影响考虑进去，故称为柔性动平衡或高速动平衡。
图4-4为一经过低速动平衡的转子，不平衡重量为 m0 ，配重为 m1 , m2 ，转子半径
为R。设转速提高后转子旋曲如图4-4（b）所示，这时离心惯性力为
F  m1  R  r1   2  m2  R  r2   2  m0  R  r0   2
  m1  m2  m0  R 2   m1r1  m2 r2  m0 r0   2
化工机械强度与振动
由于已经过静平衡，所以
m1  m2  m0  0
代入上式有
F    m1r1  m2r2  m0r0   2
(4-3)
由上式知，当转速提高后由于动挠度的影响，经过低速动平衡的转子又出现了新的
不平衡惯性力，使转子产生振动。如转速进一步提高，使转子二阶以至更高振型出
现，那么由于振型的变化，将又有新的不平衡。
对柔性转子的平衡，常用的是振型平衡法。首先对转子进行低速平衡，以消除一些
明显的不平衡量，然后使转速接近第一阶临界转速，在转子中部配量以消除一阶振
型时的不平衡量（设为对称转子）；再使转速接近第二阶临界转速，在二阶振型的
反节点处加配重以消除二阶振型m不平衡量，这样一直进行到稍超过转子的工作转
速。然后再对转子进行一次刚性动平衡。
化工机械强度与振动
第二节 转子的临界转速
一、单圆盘转子的临界转速
现考察一单圆盘无重量轴系统，如图
4-5所示，圆盘放置在中点。
在转子的加工及平衡过程中，使转子的重
心与其几何轴线完全重合是很难做到的，
总有残余不平衡度。设圆盘的质量为m，
对称安装在轴上，盘的质心c的偏心距为e，
即O’C=e，O’为圆盘的几何中心。轴承中
心线穿过盘平面O点。
图4-5 由质量不平衡产生的对称弓状旋曲
设转子以匀角速度ω绕AO’B轴线旋转，由于离心力的作用，使转轴产生动挠度，
呈弓状。由图可见，轴中心的挠度为OO’。此弓状平面又以一定角速度绕轴承连心
线AOB旋转，这两种转动的角速度并不一定相同。此种现象称为转轴的弓状旋曲，
或称涡动，进动。这里仅讨论转速相等的情况，即所谓同步正进动。同步正进动是
工程中最为常见的。
取o点为坐标原点，O‘点的坐标为（x，y），则圆盘质心C的坐标为
（x+ecosωt,y+esin ω t），可得质心C的运动方程为
化工机械强度与振动
d2
m 2  x  e cos t   kx  Cx
dt
d2
m 2  y  e sin t   ky  Cy
dt
或
mx  cx  kx  me 2 cos t

2
my  cy  kx  me sin t
(4-4)
式中k为转轴的横向弯曲刚度，c为阻尼
其解为

x 


y 


er 2
1  r    2 r 
2 2
er 2
1  r

2 2
  2 r 
tan  
式中
r
2
2
cos t   
sin t   
2 r
1 r2

k
c
, n 
, 
n
m
2 mk
(4-5)
(4-6)
化工机械强度与振动
O’(x,y)点的运动轨迹是一个圆，其半径即转轴的动挠度
OO  R  x  y 
2
er 2
2
1  r    2 r 
2 2
2
(4-7)
从以上两式可见动挠度R随频率比r的变化而变化。当r值较小时（r<<1），线段O‘C=e
比盘心位移段OO’=R导前的相位角    / 2 ,动挠度R值亦较小。当r=1，即   n
时，   / 2，如在无阻尼情况下，此时动挠度趋于无限大，实际上由于阻尼的作用，
动挠度为有限值。这个较大的动挠度仍将会导致转子的破坏，并使机组受到巨大的激振
力而剧烈振动。这时的转速称为临界转速，以 k  nk  表示，及临界转速 k 在数值上
等于转子横振动的固有频率，所以它的数值可以用计算转子横振动固有频率的方法来计
算。
k  n 
或
nk 
当r>1即   n 时，  
30


2
k
k
m
(4-8)
rpm
，如r>>1,    。
化工机械强度与振动
具有粘性阻尼的弓状旋曲转轴的振幅和相位的关系见下图
图4-6 具有粘性阻尼同步正进动时转轴的振幅和相位关系
为了明显，忽略系统的阻尼，
er 2
R
1 r2
当r<1时，R为正的有限值，表示动挠度与偏心距同向。当r>1时，R为负值，表示动
挠度与偏心距反向。当r→∞，R→e，这时轴绕圆盘质心旋转，质心C与O点重合，
称为自动定心。其幅值和相频图见图4-7 。
化工机械强度与振动
图4-7 无阻尼时单盘转子弓状旋曲的幅频图(a)与相频图(b)
由于在转子的同步正进动中，转子绕AO’B轴线旋转的角速度与弓状平面绕轴承连心线
AOB旋转的角速度相等，所以圆盘相对弓状平面并无旋转。因此转轴受拉伸的纤维始
终受拉而受压缩的总是受压，并无交变应力产生。此点和轴的横向弯曲振动是不同的，
所以说弓状旋曲的转轴并无振动。但转子的离心惯性力却对轴承产生一个交变力，并
导致支承系统发生强迫振动。这是在临界转速时感到剧烈振动的原因。正因为这样，
工程上常把临界转速是支承发生剧烈振动的现象和共振不加区分。实际上这是两种不
同的物理现象。
化工机械强度与振动
二、等直径轴的临界转速
1.振动的微分方程及解
求等直径轴的临界转速，也就是求相应等
截面梁的横振固有频率。一般滑动轴承都
可视为铰链支坐。这样滑动支承的轴便可
作为简支梁讨论，如图示：
图4-8 简梁的挠度和转角
从材料力学中知梁某截面上参数间的静力关系为
转角
弯矩
剪力
分布力

dy
dx
d2y
M  EJ 2
dx
dM
d3y
Q
 EJ 3
dx
dx
dQ
d4y
q
 EJ 4
dx
dx
(a)
(b)
(4-9)
(c)
(d)
式中y=f(x)为梁的挠度函数
化工机械强度与振动
在系统自由振动中，惯性力是作用在系统上的唯一载荷，惯性力的线集度
m为单位长度梁质量。从4-9(d)式中有
4 y
2 y
EJ 4  m 2  0
x
t
(4-10)
根据系统具有与时间无关的确定的振型之特性，可设上式的解为
y  x, t   Y  x  T  t 
T(t)为简谐函数
故
代入4-10式，得
或
式中
T  t   sin t   
y  x, t   Y  x  sin t   
d 4Y
EJ 4   2 mY  0
dx
d 4Y
4

k
Y 0
4
dx
m 2
4
k 
EJ
(4-11)
(4-12)
(4-13)
化工机械强度与振动
式4-12是四阶常微分方程，它的解可取为 Y  x   esx ，代入可得特征方程
它的四个根为
s4  k 4  0
s1,2   k , s3,4  ik
该式的解为
Y  x   Aekx  Be kx  Ceikx  Deikx
又
e kx  chkx  shkx, eikx  coskx  isinkx
故通解形式为
y  x, t    Asinkx  Bcoskx  Cshkx  Dchkx  sin t   
(4-14)
上式有A、B、C、D四个积分常数和 、 两个待定系数，但简梁有四个端点条
件，再加上两个振动初始条件，恰好可决定这六个常数。
化工机械强度与振动
2.固有频率和主振型
对于等截面简支梁端点条件为
1) x  0, Y  0   0
2) x  l , Y  l   0
3) x  0, Y   0   0  M  0 
4) x  l , Y   l   0  M  0 
由1）可得
BD 0
由3）可得
B  D  0
由2）可得
得
BD0
由4）可得
Asin kl  C sh kl  0
 Asin kl  C sh kl  0
由上两方程可得
C sh kl  0
shkl  0  C  0
A sin kl  0
A  0  sin kl  0
(4-15)
此即简支梁横振动的频率方程，它的根为
knl  n
 n  1, 2,3, 
化工机械强度与振动
又
m n 2
k 
EJ
4
n2 2
n  2
l
EJ
m
 n  1, 2,3, 
(4-16)
n
x
l
(4-17)
相应的主振型为
Yn  x   An sin kn x  An sin
 n  1, 2,3, 
对于两端铰支等直径轴而言，据式416，各阶临界转速有如下关系
1 : 2 : 3
 12 : 22 : 32
由以上可见，当把轴看做是连续体时，其临界
转速有无限多个。其基频为 1 。当转轴的工
作转速   1 时，称此轴为刚轴。当转轴的
工作转速  1 ，则称为柔轴。一般柔轴的
工作转速多在 1与2 之间，且要求
1.31    0.72
图4-9 等直径轴及其1，2，3阶振型
化工机械强度与振动
三、轴的强度计算
对叶轮式机械主轴的要求主要是刚度，即要求准确地计算出主轴的临界转速，确定
合理的工作转速，同时进行尽可能精确的动平衡。一般只要刚度合乎要求，轻度总
是足够的。主轴常规的强度计算，仍按材料力学中的介绍，考虑弯矩及轴向力的联
合作用，并由选用的强度理论得出相应的相当应力值。
主轴的扭矩为
M n  9549
N
n
 N m
(4-18)
因扭矩 M n 所引起的剪应力为
n 
Mn
Wn
 MPa 
式中Wn 为轴的抗扭截面横量 Wn 
d3
对外径为d，内径为 d1 的空心轴 Wn
(4-19)
m 

16


d  d  m 

16d
3
4
4
1
3
在因转子自重所引起的弯矩M和轴向力P共同作用下，主轴横截面上所产生的正应
力为

M P

W A
(4-20)
化工机械强度与振动
式中W为抗弯截面横量。对实心与空心轴分别为
Wn 
d3
32
Wn 

d

32d
4
 d14 
如按第三强度理论，相当应力为
 xd   X2  4 n2
强度条件为
 X2  4 n2   
(4-21)
对于合金钢，[σ]=100~130MPa。对于碳钢[σ]<100MPa。轴要求较高的安全系数。
轴除了对刚度和强度有较高的要求外，还有下列要求
1）良好的工艺性
2）结构的稳定性，保证在运转期内有不变的机械性能
3）有足够的抗腐蚀能力
化工机械强度与振动
第三节 传递矩阵法求系统固有频率
一、基本概念
传递矩阵法可用计算系统各种振动形式的固有频率，诸如叶轮机械翼型叶片振动问
题，轴系的扭转和横振即临界转速问题。
传递矩阵法是一种试凑方法。首先根据系统的性质，确定截面上的一组特性参数，
称为状态向量，然后根据时段截面的边界条件，给定该截面状态向量的一组参数值，
选一个试验频率，通过传递矩阵计算下一截面的状态向量，直至末端截面。下面可
以看到传递矩阵包含了系统的自由振动微分方程，如所得到末端截面向量能满足该
截面的边界条件时，则表示所选定的频率就系统的固有频率。传递矩阵法可用来求
系统任意阶固有频率，且计算过程完全一样。
对于扭转轴,n截面上的状态向量为
 
z

  
 M n
 , M 分别为n截面的扭转角和扭矩。
化工机械强度与振动
对于横振动的梁，n截面上的状态向量为
 zn
y 
 
 
 
M 
Q 
n
y,  , M , Q 分别为n截面上的挠度，转角，弯矩和剪力。
各变量的符号规则规定如下：
对于图4-10(a)中的扭振系统，
规定截面n的外法线与坐标正
向一致时为正面，如扭转角与
扭矩的矢量方向（按右手规则）
与正面外法线方向一致时为正。
对于图b中的弯曲系统，挠度y，
剪力Q向上为正，转角θ与弯矩
M逆钟向为正。
图4-10 状态向量、广义力与广义位移
化工机械强度与振动
二、传递矩阵法求轴系临界转速
求轴系的临界转速即是求轴系横振固有频率。用传递矩阵法求轴系临界转速，一般
称为普劳尔(Prohl)法。
图4-11表示轴的一个典
型段，它包含无质量跨
距与集中质量。段的弯
曲特性用跨距的场传递
矩阵来描述，段的惯性
效应用集中质量的点传
递矩阵描述。
图4-11 轴的传递矩阵的推导
(a)跨的分离体简图 (b)质量分离体简图
第i跨距 Li 和集中质量 mi 受力分析见上图。Li 段梁的弹性变形也示意出来。从分离
体图可得剪力和弯矩的平衡方程式如下：
QiR1  QiL
 R
L
L
 M i 1  M i  Qi Li
(4-22)
化工机械强度与振动
该梁段端面的位移y与θ可表示如下：
 L
L2i
L3i
R
R
L
L
 Qi
 yi  yi 1  Lii 1  M i
2 EJ i
3EJ i


L
2
M
L
L
L
R
L
    i i  Q
i
i
i 1
i

EJ i
2 EJ i
(4-23)
联合22与23式得：
 L
L2i
L3i
R
R
R
R
 Qi 1
 yi  yi 1  Lii 1  M i 1
2 EJ i
6 EJ i

2
 L
L
L
R
R
R
i
i
i  0  i 1  M i 1 EJ  Qi 1 2 EJ
i
i

 M iL  0  0  M iR1  QiR1 Li
 L
Qi  0  0  0  QiR1
化工机械强度与振动
用场传递矩阵表示为
L
y 
 
 
M 
 
Q  i

1


 0

0
0

0
L2
2 EJ
L
EJ
1
0
0
L
1
L3 
R

y


6 EJ 
 
L2   
2 EJ   M 
  
L  Q 
i 1

1 i
(4-24)
对集中质量 mi 有
yiR  yiL
M iR  M iL
QiR  QiL   2 mi yiL
iR  iL
可导出点传递矩阵如下：
R
y 
 1
 
 0
  
M 
 0
 
 2
Q
  i  m
L
0 0 0  y 
1 0 0   
0 1 0  M 
  
0 0 1  i Q  i
(4-25)
化工机械强度与振动
将24代入25式可得联系状态向量 Z i 1 与 Z i
R
R
y
 1
 
 0
  
M 
 0
 
 2
Q
  i  m
0 0
1 0
0 1
0 0

1
0 


0 
0

0
 0
1i 
0


L2
L
 1
2 EJ

L

0
1

EJ

0
1
 0

2
2

mL
2
2
 m  mL
2 EJ

R
0
L2
2 EJ
L
EJ
1
0
0
L
1
的传递矩阵：
L3 
R

y
6 EJ   
 
L2    
2 EJ   M 
  
L  Q
i 1
1  i


R
 y 
 
 
 M 
 
Q  i1
3 
L 
1   2m
6 EJ 
L3
6 EJ
L2
2 EJ
L
(4-26)
化工机械强度与振动
或简写为
Z i
R
 H i Z i 1

L2
L
 1
2 EJ

L

0
1
Hi  
EJ

0
1
 0

2
2

mL
2
2
 m  mL
2 EJ

R







L3 
2
1  m
6 EJ  i
L3
6 EJ
L2
2 EJ
L
(4-27)
H i 即为所求传递矩阵
使用递推公式4-26，便可将梁的末端与始端状态向量 Z n , Z 0
R
Z n   H n H n1
R
H 2 H1 Z 0
R
联系起来
R
(4-28)
化工机械强度与振动
对于梁（轴）的问题，一般边界条件是
简支
自由
固定
y
0
y
0
θ
θ
θ
0
M
0
0
M
Q
Q
0
Q
可见在梁的始端与末端都有两个非零的边界条件，哪个参数非零则取决于支座类
型。在计算固有频率即临界转速的计算过程中，逐次代入ω进行试凑。当某个ω
能同时满足梁两端的边界条件，即为所求的临界转速。
传递矩阵法在求系统的高阶固有频率时精确度会下降。解决的办法是增加分段数和
使用双精度（在编程时）运算。并把固有频率截断在某一阶（即振型截断法）。不
去求系统振动过程中次要的，也不很可靠的高阶固有频率。实践证明，在计算时分
段数高于所求临界阶数的5~6倍即可。即分段数n≥K(5~6)。
化工机械强度与振动
例题：如图所示悬臂梁集中质量系统的固有频率。设 m1  m2  20Kg
梁的弯曲刚度 EJ  3 103 N m2
解：所用递推公式为
{Z }1R  H1{Z }0R
{Z }2R  H 2{Z }1R  H 2 H1{Z }0R
始端截面即固定端的状态向量为
{Z}0R  0 0 M 0 Q0 
M 0 , Q0 为固定端的未知弯矩与剪力。在传递矩阵中始端状态向量中的非零参
数均为未知数。
化工机械强度与振动
由下式
R
y
 
 
M 
 
 Q i

L2
L
 1
2 EJ

L

0
1

EJ

0
1
 0

2
2

mL
 2 m  2 mL
2 EJ



R
 y
  
  
 M 
  
Q  i 1
3  
L 
1   2m
6 EJ  i
L3
6 EJ
L2
2 EJ
L
有
R
 1
y

 
   0
 0
M 

 
2
Q
 1  20
0.25
10.4 10 6
1
83.3 106
0
1
5 2
208.3 10 6  2
 0
  
10.42 10 6   0 
 M 
0.25
  
1  17.36 10 6  2  i  Q  0
0.87 10 6
化工机械强度与振动
R
 1
y

 
   0
 0
M 

 
2
Q
  2  20
0.50
41.7 10
1
166.7 10 6
0
1
5 2
833.3 10 6  2
R
 y
  
41.7 10 6
  
 M 
0.5
  
1  138.9 10 6  2  i  Q 1
6
6.9 10
6
由{Z }2  H 2 {Z }1  H 2 H1{Z }0  H {Z }0 得
R
R
R
 H11
y
H
 
    21
 H 31
M 

 
Q
  2  H 41
R
R
H12
H13
H 22
H 23
H 32
H 33
H 42
H 43
R
H14   0 
H 24   0 
 
H 34   M 
 
H 44   Q  0
梁自由端处弯矩，剪力必为零，即
M 2R  0  H 33 M 0  H 34Q0
Q2R  0  H 43 M 0  H 44Q0
化工机械强度与振动
欲使线性齐次方程组有非零解，则的系数行列式必为零，即
H 33
H 34
H 43
H 44
0
这就是系统的频率方程式。对于已知数据，相应的方程式为：
1  104.2 106  2
0.75  8.68 106  2
2.08 10   28.9 10 
3
或
2
9
4
1  4.86 10   2.4110 
6
2
9
4
0
 4  73.3 103  2  75.4 106  0
固有频率为 1  32.4rad / s , 2  268.8rad / s
或
f1  5.16Hz , f 2  42.8Hz
化工机械强度与振动
用传递矩阵法求轴系临界转速问题，在理论上已解决。下面讨论工程中常遇到的典
型情况。
1.单跨两端铰支，支坐为刚性支承
集中质量o和n分别放置在左右两刚性铰
链支承上，轴为单跨。与固定端梁一样，
我们把支坐反力（动反力）视为未知数。
在下面的叙述中，为了简便，将状态变
量左上角标R省掉。于是始端状态向量
的初参数为
Z0
图4-12
y0  0,0  0, M 0  0, Q0  0
按递推公式有
zi  Hi zi1
递推公式是状态变量的线性方程，而一般梁的边界条件总有两个为零的初参数。铰
支的非零初参数为  0 ,Q0 ，因此第i截面的状态变量可表示为初参数  0 ,Q0 的线性组
合。选定一试算转速ω后，可先令  0  1 ，而 y0  M 0  Q0  0 得到第一项计算
值 Z  I  ，如下式。
i
Z i   H 0
Ⅰ
1 0 0
化工机械强度与振动
再令 Q0  1，而 y0  M 0  Q0  0 ，得到第二次计算值
Z i
Ⅱ
 H  0 0 0 1
Ⅰ
Ⅱ
Z i  H Z 0  Z i 0  Z i
则有
Q0
(4-29)
递推到末端截面，有
Z n  Z n  0  Z n 
Ⅰ
Ⅱ
Q0
(4-30)
yn  0, M n  0
据末端的边界条件应有
yn  ynⅠ 0  ynⅡ Q0  0
Ⅰ
Ⅱ
M n  M n 0  M n



Q0  0

(4-31)
上式有非零解的条件为
yn 
Ⅰ
Ⅰ
Mn
由上式可得残矩
yn
Ⅱ
Ⅱ
0
此式即两端刚性铰支单跨梁的频率方程
Mn
Ⅰ
R  Mn 
yn 
Ⅰ
Ⅱ
yn
M n
Ⅱ
(4-32)
(4-33)
临界转速的搜索同样可采用二分法。
化工机械强度与振动
2.两端自由，中间支承为刚性支坐
应从
 Z 0
L
起算，对于自由端有
y  0,   0, M 0L  0, Q0L  0
L
0
L
0
选定试算频率ω后，利用点传递矩阵得
Z 0
R
 1
 0

 0
 2
 n
L
0 0 0  y 
1 0 0    
0 1 0  M 
 
0 0 1  Q  0
图4-13
L
L
然后按递推公式计算。以上均用两次法进行。非零初参数为 y0  y0 和  0   0 ，
在算到左支承i时，因挠度、转角和弯矩保持连续，有
yiL  yi  yi  y0  yi  0  0
Ⅰ
y0  
可得
Ⅰ
  i  i
L
i
Ⅱ
y0  i
Ⅱ
yi
Ⅱ
Ⅰ
yi
(4-34)
0
Ⅱ
 Ⅱ
yi  Ⅰ 
 0   i   Ⅰ i  0
yi


化工机械强度与振动
Ⅰ
M  Mi  Mi
L
i
Ⅱ
y0  M i
Ⅱ
 Ⅱ
yi  Ⅰ 
 0   M i   Ⅰ M i   0
yi


(4-35)
剪力Q1在i截面处发生突跳，突跳值为支反力 Ri ，由于 Ri 未知，故新参数为
Qi  QiL  Ri
由以上两式可见，经过刚性支坐i后，将增加一个新参数 Qi 而减少一初参数 y0
因此I,s支坐间某截面状态变量就可表示为参数 0 , Qi
到K截面的状态变量：
的线性组合。用两次法来得
I 
第一次取 0  1, Qi  0 ，按递推公式可得 Z k
Ⅱ
第二次取 0  0, Qi  1 ，同样可得  Z k
则有
Z k  Z k  0  Z k 
Ⅰ
Ⅱ
Qi
同理，s支坐后各截面状态向量应表达为  0 , Qs 的线性组合
Z n  Z n  0  Z n 
Ⅰ
Ⅱ
Qs
化工机械强度与振动
或写成
 ynⅠ
 Ⅰ
 n
 Ⅰ

M n
 Ⅰ
 Qn
y
 
 
M 
 
 Q n
 0  ynⅡ Qs 

 0   n Qs 

 0  M nⅡ Qs 
 0  QnⅡ Qs 
Ⅱ
根据末端截面的边界条件应有
M n  M n   0  M n
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Qn  Qn  0  Qn
上式有非零解的条件为
M n 
Ⅰ
Ⅰ
Qn
Qs  0
Qs  0
M n
(4-36)
Ⅱ
Ⅱ
0
(4-37)
Qn
此即两端自由刚性铰支梁的频率方程，残矩为
R  M nⅠ 
QnⅠ
QnⅡ
M nⅡ
(4-38)
化工机械强度与振动
四、叶轮回转力矩的计算
在转子临界转速的计算中，较粗略的做法是把叶轮作为集中质量，因此只考虑叶轮
的离心惯性力。当要求计算更精确时，就必须将叶轮作为圆盘处理，因此不仅要计
算叶轮的离心惯性力，还要计算其惯性力矩，即回转力矩。
当叶轮处于轴的中点时，转子的弯曲并不使叶轮发生偏转，见图4-14a。当转子旋
曲时，叶轮上各点惯性力都在同一平面内，并不产生惯性力矩，只需考虑其离心惯
性力的作用，但当叶轮靠近一端支坐，或在外伸段上时，转轴的变形使叶轮产生倾
侧，见图4-14b，在这种情况下，当转子旋曲时，叶轮在空间摇摆。由于叶轮作空
间运动时动量矩矢量方向的改变，它必然受到转轴作用于它的一个力矩，因此转轴
就受到一个反作用力矩，这就是圆盘的惯性力矩，通常称为回转力矩或陀螺力矩。
图4-14 转子弓状旋曲
化工机械强度与振动
图a所示为一单盘悬臂转子。设转轴的挠曲平面xoy以
角速度ω绕水平轴ox转动。圆盘除了随xoy平面一起
转动外，一般而言，它还相对于挠曲平面还可以相对
角速度ωr绕对称轴o’x’转动。图b表示圆盘的绝对
角速度 a 和各分量之间的关系。为了计算圆盘对质
心o’的动量矩 Go ，把 a 分解为沿对称轴o’x’方向和
盘直径方向两个分量，当θ为小角时有
1   cos   r    r
2   sin   
因此圆盘沿这两个方向的动量矩分量为
G1  I p   r 

G2  I d  
图4-15 单盘悬臂转子的回转效应
式中 I p , I d 分别为圆盘相应对称轴的极转动惯量和对直径的轴转动惯量。再求出Go
的垂直分量V和水平分量H(相对于oxy坐标)。由图c有
V  I p   r    I d    I p   r   I d   



2
 H  I p   r   I d   I p   r 
H分量中将二阶微量略去。
化工机械强度与振动
当轴旋转时，水平分量H不改变大小和方向，而垂直分量V却因随同xoy平面以角速
度ω旋转而改变方向。根据动量矩定理：质点系对于某一固定点的动量矩矢量末端
的速度，等于作用于质点系的外力对同一点的主矩。垂直分量V的末端速度即为
V ω，得圆盘受到转轴的作用力矩
M  V    I p   r   I d   
(4-39)
因转轴所受的反作用
力矩 M G 就是回转
力矩。见图4-16
通常有可能发生以下两种运动情况：
图4-16 圆盘作用于转轴的回转力矩
1.同步正进动
当圆盘的绝对角速度垂直分量 1 和挠曲平面的转动角速度ω
相等且方向相同时，称为同步正进动。
1    r  
由该式得 r  0 。圆盘和挠曲平面以相同的角速度ω一起旋转。回转力矩
M G   I p  I d   2 对于薄圆盘，I p  2 I d
故
M G  I d  2
(4-40)
化工机械强度与振动
图4-16即为此种情况。可见在工程中最为常见的同步正进动中，圆盘的回转力矩
通常是减少轴的弯曲程度，因而相当于增加轴的刚度，即提高了转子的临界转速。
2.同步反进动
当 1 和  相等但转动方向相反时，称为同步反进动。
即
即有
回转力矩为
1    r  
r  2
M G    I p  I d   2
(4-41)
同步反进动相当于降低了轴的刚度，即降低了转子的临界转速。但这种情况工程中
很少发生。
化工机械强度与振动
五、弹性支坐转子临界转速的计算
由于轴承中油膜具有弹性，轴承坐和基础也有一定弹性。因此绝对刚性的支坐不存
在。把支坐作为弹性支坐对待，即考虑支坐弹性以后，使整个转轴系统刚度下降，
因此使转子临界转速降低。
1.支坐刚度的计算
支坐弹性可认为由两部分构成：轴
承油膜弹性与轴承坐的弹性。油膜
质量很小，可认为只有刚度，不计
质量。轴承坐则既有刚度又有参振
质量，见简图4-17a
其中 m j 为支坐处集中质量， k0 , ks 分
别为油膜刚度与轴承坐静刚度，m为轴
承坐的参振质量现介绍系统的动刚度
的概念。如上一无阻尼质量弹簧系统，
受到强迫力Fsinωt作用后产生受迫振
动，其振幅为
x
图4-17 弹性支坐力模型
F
K s  m 2
化工机械强度与振动
定义激振力幅F与振幅X之比为该系统的动刚度
kd 
F
 K s  m 2
X
(4-42)
可见当   0 时，有 kd  ks ，即外力为静力时，系统的动刚度便等于静刚度。而
当   ks / m 时， kd  0 ，意味着受迫振动振幅X无限增大。可见动力系统的刚度
应用动刚度来表示，它与激振力的频率有关。
如用轴承坐动刚度 k d 来代替其静刚度和参振质量m，系统简图4-17a可用b表示，
再求出与串连弹簧 kc , kd 等效的弹簧刚度 k p 。k p 即支坐的刚度，见c。
1
1 1
 
k p k d k0
kp 
k0  ks  m 2 
(4-43)
k0  ks  m 2
对叶轮机械转子，油膜刚度值一般可取 10 ~ 2 10  N / cm 。通常轴承坐静刚度 ks
较油膜刚度 k0 大得多，因此支坐刚度主要取决于轴承油膜刚度。但无论轴承油膜刚
度还是基础动刚度的数值，都很难取准。
6
6
化工机械强度与振动
计算特点
图4-19a为具有外伸端的简
支梁，为弹性支坐。设i支
坐的挠度为 yi ，刚度为 ，
ki
则支反力
为 Ri
Ri  ki yi
图4-19 (a)弹性支坐转子力学模型(b)支坐点分析
(4-44)
2
L
R
(b)为i支坐受力图，mi 为i支坐点上的集中质量，于是 mi yi 为i点上之惯性力，Qi , Qi
分别为i点左右截面上的剪力，应有
(4-45)
QiR  QiL  mi 2 yi  ki yi
yi 可用始端截面参数 y0 ,  0 表示。故在弹性支坐情况下，通过支坐后不再出现新
参数，因此不必变换参数。这点是有异于刚性支坐的。这样在转子末端截面状态向量
任意初参数 y0 ,  0 表示。根据末端边界条件，可得具有外伸端的弹性简支梁的频率方
程
M n  M n  y0  M n   0  0
Ⅰ
Ⅱ
Qn  Qn  y0  Qn   0  0
Ⅰ
Ⅱ
化工机械强度与振动
M n 
M n
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Qn
残矩为
0
(4-46)
M nⅡ
(4-47)
Qn
R  M nⅠ 
QnⅠ
Ⅱ
Qn
碰到弹性支点时，剪力递推应按4-45式
六、影响转子临界转速因素的分析
1.支坐弹性的影响
由于支坐的弹性，使转子轴承系统
的刚度下降，因此通常是降低转子
的临界转速。
现分析图4-20(a)所示单盘转子。并设
A、B弹性支坐刚度相同。圆盘的竖直
位移由两部分组成，一是轴的弯曲变
形，一是支坐变形。设轴的弯曲刚度
kr
k
为
，支坐刚度为 p ，则可将上述
转子轴承系统简化为单质量弹簧系统。
如图25b。其中m为圆盘质量和轴的折
合质量之和。K为系统的相当刚度。按
振动理论有：
1 1
1
 
k kr 2k p
图4-20 单盘转子弹性支坐分析
化工机械强度与振动
即
k
2k p kr
2k p  kr
弹性支承系统的固有频率可写为
k 
k
k
1
 r
m
m 1  k r / 2k p
(4-48)
而 kr / m 就是转子在刚性支坐条件下的固有频率，即刚之条件下的临界转速，以
s 表示，上式可写为
k   s
1
1  k r / 2k p
从上式可看出，当 k p   ，即刚支情况下，k  s 。在一般情况下 k  s ，
在上面的谈论中也得出同样的结论。进一步分析。可看出支坐弹性影响的大小，是取
决于轴的刚度与支坐刚度值比值。当轴的刚度比支坐刚度大时，支坐弹性对临界转速
的影响就明显；相反则不明显。特别是当 kr  k p / 2后是这样。可见支坐弹性的影响。
并不单纯取决于支坐的刚度，还与转子本身刚度有关。同一轴承系统，对不同转子来
说，对其临界转速的影响是不一样的。当支坐分别为刚性和弹性时，ALS-16000按压
缩机低压缸和高压缸转子的一阶临界转速如下：
化工机械强度与振动
表1 支坐弹性对氨压缩机高、低压缸转子临界转速的影响
某二氧化碳升压循环机转子的一、
二、三阶临界转速计算结果列于
表2.可以看到，支坐弹性对高阶
临界转速的影响要比低阶大。这
是因为高阶振型节点数多，相当
于轴的刚度增加，所以支坐弹性
的影响增大。
表2 支坐弹性对某二氧化碳升压循环机
转子各阶临界转速的影响
化工机械强度与振动
现分析一种支坐“负刚度”情况，由公式
kp 
k0  ks  m 2 
k0  ks  m 2
可看出支坐动刚度 k p 与转轴转速ω有关，令
b 
ks
m
为支坐（包括轴承坐及基础）的固有频率
2
可见当   b 时，则 ks  m  0
图4-21 支座振动与转子振动反相
此时在 k0  ks  m  0 情况下，支坐总刚
度 k p  0。由4-46式可看出，这时随着支坐刚度的
降低，转子的临界转速非但不下降，反而要提高。
这就是所谓负刚度的情况。这时支坐的振动方向与
转子的振动方向相反，相位差180°，见图4-21.其
中m‘代表转子质量，m为支坐的参振质量，其振动
情况见图4-22。将这种支承称为挠性支坐。
2
对支坐负刚度的挠性支坐，其临界转速一般接近于
刚性支坐时的值，因此在计算临界转速时，可不考
虑支坐弹性的影响。
图4-22 支座负刚度情
况转子一阶振型
化工机械强度与振动
2.叶轮回转力矩的影响
同步正进动时，叶轮回转力矩为
M G   I p  I d   2
对一般较薄的叶轮，有 I p  I d ，因此回转力矩的影响总是提高转子的临界转速。
对于高阶临界转速及叶轮安装在悬臂端，回转力矩的影响都比较大，应予考虑。如
某DH型双轴四级离心式压缩机的Ⅰ—Ⅱ级转轴，结构如图4-23示，转轴两端悬臂都
安装有叶轮，回转力矩的影响应计入。表6-5列出计入和不计入回转力矩情况下，一
阶与二阶临界转速的计算结果。
表3 叶轮回转力矩对某DH型离心式压
缩机转子临界转速的影响
图6-23 某DH型离心式压缩机Ⅰ-Ⅱ级转子
化工机械强度与振动
当叶轮较宽时， I p  I d 就可能出现，这时 I p  I d  0 。这样在同步正进动情况下，
回转力矩的影响亦使转子临界转速降低。按三元流理论设计的叶轮一般较宽，有时
会出现上述情况。
表4列出DA930-121离心式压缩机各级叶轮 I p , I d 值，其中一、二级叶轮便出现了
的情况。
表4 DA930-121离心式压缩机低压缸五个叶轮的Jp-Jd值
3.转子外伸段的影响
转子总有一定长度的外伸段，过去在能量法计算转子临界转速时常被略去，实际上
外伸段的影响是不小的，应当计入。外伸端的长度约为转子跨距的1/4~1/3，往往
又装有齿轮联轴器，对转子振型曲线的影响是很明显的。表5为ALS-16000低压缸
外伸端对临界转速的影响。由表可见外伸端使临界转速下降，尤其对二阶以上的影
响更大。
化工机械强度与振动
表5 外伸段的ALS-16000氨压缩机低压缸转子临界转速的影响
四、轴向力的影响
由于压差的作用，叶轮机械主轴都承受一定的轴向力。轴向拉力相当于增加了轴的
弯曲刚度，导致主轴临界转速提高；轴向压力则相反。对等截面简支轴而言，设轴
向力T使固有频率变化 n ，其增率为
n
n
TL2
 1 2 2
1
n  EJ
(4-49)
式中 n 为无轴向力时，主轴的固有频率，n是振型的阶次，L是跨距。如T为压力，
则当压力过大时，要进一步考虑失稳问题。
化工机械强度与振动
5.叶轮紧配对临界转速的影响
压缩机叶轮与主轴间常采用过盈配合。过盈配合增加了轴的抗弯刚度，使转子的临
界转速提高。为了计入这种影响，可在计算主轴紧配段的惯性矩时采用轮毂的外径
计算。
6.轴系临界转速的计算
大型透平压缩机组，通常是由几个缸串连而成，因此转子系统就是由各单缸转子通
过联轴节所构成的一个轴系。在多缸串联情况下，各个缸的振动互有影响，因此不
能单纯只计算各个单缸转子的临界转速，必须按整个轴系来计算临界转速。
但由于各缸主轴之间一般采用齿式联轴节。一般认为它只传递扭矩和剪力，而不
能传递弯矩，即将齿式联轴节作为中间铰处理。在采用这种联轴节的情况下，整
个轴系的临界转速，就是各单缸转子的临界转速按大小顺序排列而成。表6为某
油田空气压缩机高、中、低压缸构成的轴系，轴系及各单缸的临界转速计算计算
结果（刚支时）
化工机械强度与振动
表6 油田气压缩机单缸及轴系临界转速
7.轴承油膜阻尼的影响
透平式压缩机中轴承术语高速轻载轴承，油膜阻尼是一个很重要的因素，它对转子
振动影响很大。但是由于目前对油膜阻尼还缺乏准确的数据资料，所以一般计算临
界转速时，都没有计入油膜阻尼的影响。油膜阻尼的存在会提高临界转速值，所以
在计算时，可以采用适当增大油膜刚度的办法来弥补油膜阻尼的忽略。
油膜阻尼对转子振动的影响，不单表现在临界转速下，更重要的是降低振动幅度。
事实证明，阻尼的存在将大大降低共振振幅。如果有适当阻尼，甚至可使转子不出
现共振峰值。目前阻尼已成为用来控制转子的临界转速时振动的一个重要手段，在
阻尼适当，并且转子经过精细的动平衡，转轴就可以在临界转速附近安全运转。
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