第17章
圆波导和同轴线
Circular Waveguide and Coaxial Transmission Line
我们已经讨论了圆波导的TE 波
m——表示方向变化的半周期数；n——表示r方向
变化的准半周期数。
另外，还应有TM波型。
一、圆波导中TM波型
TM的最大特点是Hz=0，其场分量很易写出
一、圆波导中TM波型
cos m z


e
  kc r 
 Er   k E0 J m
sin m
c


sin m z
m
e
 E   2 E 0 J m  k c r 
cos m
kc r


cos m z

e
 E z  E0 J m  k c r 
(17-1)
sin
m



cos m z
jm
E0 J m  k c r 
e
Hr  
2
sin m
kc r


cos m z
j
 H  
E0 J m  k c r 
e
sin m

kc

一、圆波导中TM波型
完全类似，用边界条件确定 kc
在r=R处， E=0，Ez =0也即
Jm(kcr)=0
(17-2)
设第一类Bessel函数m阶第n个根为υmn，则
kcR=υmn
(n=1，2，3，…)
即可得到
(17-3)
kc 
R

mn
,
2R
c 

mn
一、圆波导中TM波型
圆波导TE波截止波数kc
波 型
 mn
c
E01
E11
E21
2.405
3.832
5.135
2.62R
1.64R
1.22R
一、圆波导中TM波型
最后写出场方程

Er   j E0 J m  mn
 R
kc

 cos m  jz
r
e
 sin m

E   j 2 E0 J m  mn
 R
kc r
m
 sin m  jz
r
e
 cos m
  mn  cos m  jz
E z  E0 J m 
r
e
 R  sin m
jm

H r   2 E0 J m  mn
 R
kc r

H   j
E0 J m  mn
 R
kc

Hz  0
 cos m  jz
r
e
 sin m
 cos m  jz
r
e
 sin m
(17-4)
二、圆波导波型的一般性质
1. 圆波导中TE波和TM波有无限多个
n=0表示第0个根，也即， m0   m0  0 也即TEm0，
TMm0波不存在。
但是它却可以存在TE0n，TEmn，TM0n 和TMmn 波，
其中m=0表示在圆周方向不变化。
2. TE波截止波长取决于m阶Bessel函数导数第n个根
CTE 
2R
 mn
TM波截止波长取决于m阶Bessel函数第n个根
CTM 
2R
 mn
二、圆波导波型的一般性质
H
1
1
E
0
1
H
0
1
E
1
1
0
R
C
u
t
o
f
fR
e
g
i
o
n
H
2
1
2
R
3
R
4
R

c
图 17-1 圆波导的截止与传播区域
3. 圆波导中的两种简并
·极化简并——即sinm 和cosm 两种，相互旋转90°
圆波导波型的极化简并，使传输造成不稳定，这是圆
波导应用受限制的主要原因。
二、圆波导波型的一般性质
·E1n和H0n截止波长λc相同。
这是因为Bessel函数有递推公式
xJ ' n  nJ n  xJ n1
取n=0，有
(17-5)
J ' 0   J1
而根据前面讨论：Hon是 J'0 的第n个根，E1n是J1的第n
个根，很显见，这两类波型将发生简并。
Note：和矩形波导不同，由于TE，TM截止波长的
不同物理意义，TEmn和TMmn不发生简并。
二、圆波导波型的一般性质
4. 波型指数m，n的含义
m——代表沿圆周分布的整驻波数;

n——代表沿半径r分布场的最大值个数。
三、圆波导中三种主要波型
我们将讨论圆波导中三种主要波型，即H11模，H01
模和E01模。
1. 传输主模——H11模
在圆波导中，H11模截止波长最长，λc=3. 412R，
是最低型波也即传输主模。
o
9
0
o
1
8
0
o
0
o
2
7
0
图 17-2 圆波导H11模
三、圆波导中三种主要波型
其场表示为
Er   j
E  j
 11 
 jz
H
J
r
sin

e


0
1
 R 
k c2 r


kc
Hr   j
H  j

kc


H 0 J '1  11 r  cos e  jz
 R 


H 0 J '1  11 r  cos e  jz
 R 
 11 
 jz
H
J
r
cos

e


0
1
 R 
k c2 r



H z  H 0 J 1  11 r  cos e  jz
 R 
式中，11 =1.841
H11模中的m=1，n=1
(17-6)
三、圆波导中三种主要波型
m=1
  0
  90
  180
  270
r0
n=1
Er  0
Er
Er  max
Er  0
Er   max 0o
E  max
E
J`
1

rR
180o o o
270 360

90o
E  0
0
R
r
三、圆波导中三种主要波型
g 

  
1 

 3.41R 
(17-7)
可以注意到圆波导中H11波与矩形波导TE10波极相
似，因此微波工程中方圆过渡均采用H11模。
但是，H11模有两种极化方向。因此一般很少用于
微波传输线，而只用于微波元件。
图 17-3 方圆过渡
三、圆波导中三种主要波型
2. 损耗最小的——H01模
图 17-4 圆波导H01模
三、圆波导中三种主要波型
其场方程是
E   j
Hr  j
R
.
 3832

H 0 J1 
r  e  jz
 R 
3832
.
R
.
 3832

H 0 J1 
r  e  jz
 R 
3832
.
(17-8)
.
 3832

H z  H0 J 0 
r  e  jz
 R 
截止波长
c 
2R
 1641
.
R
3832
.
(17-9)
三、圆波导中三种主要波型
m=0
圆对称在
 方向不变
E

, H
r
E , H r 沿r方向有一最大值
J 1 ( x )在x  1841
.
有极大值
n=1
3.832
r  1841
.
R
1841
.
r
R  0.48 R
3.832
0
0
.4
8
R
R
r
H
z
0 0.48R
r
三、圆波导中三种主要波型
g 

  
1 

 1.64 R 
2
(17-10)
为了揭示H01的小衰减特点，让我们考察其壁电流



J s  n  H z   r0  H z | H z |
可见电流只有—方向分量，也即H01 模壁电流只有横向分
量，衰减a随f上升而下降
a H 01 
Rs

R

  


 c 
2
  
1 

 c 
2
 8.686
(17-11)
三、圆波导中三种主要波型
作为对比
2



8.686 Rs
1
   0.42
a H11 

2  

 c




R
1  

 c 
dB / m
(17-2)
所以，H01波可以做高Q谐振腔和毫米波远距离传输
三、圆波导中三种主要波型
3. 轴对称波型——E01模。
虽然H01模E01模都是轴对称模，但E01模是截止波长最
长的模式。
图 17-5 圆波导中E01模
三、圆波导中三种主要波型
其场方程为
  01
Er   j
E0 J ' 0 
 R
kc

  01
E x  E0 J 0 
 R

r  e  jz

  jz
r e

  01   jz
H   j
E0 J ' 0 
r e
 R 
kc
其中，υ01=2. 405，λc=2. 62R

(17-13)
三、圆波导中三种主要波型
E01模的m和n
m=0
轴对称型
沿 方向场分量不变

E,
r H

0
Er , H 沿r方向有一最大值
J ' 0 ( x )在x  1841
.
有 max
n=1
2.405
r  1841
.
R
1841
.
r
R  0.765 R
2.405

三、圆波导中三种主要波型
g 




1 

 2.62 R 
2
(17-14)
由于E01波的特点，常作雷达的旋转关节，见图所示。
图 17-6 旋转关节(Ratation Junction)
三、圆波导中三种主要波型
a E01 

8.686 Rs

R


1
  
1 

 2.62 
(17-15)
E01
H
11
H
01
0
图 17-7 圆波导波型衰减
f
三、圆波导中三种主要波型
f11c为TE11波的截止频率。
TE11波衰减极值点：
f=3.15092f11c
λ=0.317368λ11c=1.08304R
TM01波衰减极值点：
f=2.25437
f11c=1.7320508f01c(TM)
λ=0. 443583λ11c=1. 51376
R=0. 57735λ01c(TM)
三、圆波导中三种主要波型
圆波导波型设计
H11模
 CE01 ＜＜ CH11
2.62 ＜＜ 2.62 R
E01模
H01模
CH21 ＜＜CE01
2.06 R＜＜2.62 R
CH21 ＜＜CE01
122
. R＜＜164
. R

＜R＜
3.41R

2.62
1
一般选R 

3

2.62

164
.
＜R＜
＜R＜

2.06

122
.
三、圆波导中三种主要波型
现在，再转向另一个课题——即同轴线。
历史上常常出现这样一种有趣的现象：即愈是简单
的事物，认识最迟。在人类历史上，距离最远的太阳
、星球是最早认识；而距离最近的自己“人”则近年依
然争论极大。
Einstein说过: 我之所以创立相对论，其中重要原
因之一是少年时思维迟缓。别人一听就懂的东西，我
却要考虑半天，结果反而对大家认为最简单的概念，
如Time，Space有了较深入思考。
四、同轴线的主模—TEM模
同轴线，双导线早就认为是TEM传输模式，研究
业已结束，但是当我们把精力转向矩形波导、圆波导
时，人们又突然想到既然在波导中可以存在无穷多种
模式，那么同轴线为什么就不行呢？于是，又对同轴
线打——“回马枪”同轴线与波导不同，它有着中心导
体 。 因 而 其 主 模 均 是 TEM 模 ， 当 然 ， 这 又 必 须 由
Maxwell方程导出。
四、同轴线的主模—TEM模
y
z
r

x
a
0
b
图 17-9 同轴线
四、同轴线的主模—TEM模
波导一般方程


2

 E  kc E  0

 2 
2

 l H  kc H  0
2
l
同轴线一般方程(kc=0)


 E  0
 2 

 l H  0
其中，k2c=k2－β2
2
l
四、同轴线的主模—TEM模
同样建立柱坐标，即


 1   E  1  2 E
0
r   2

2
 r r  r  r 



2
 1   r H   1  H  0
 r r  r  r 2  2

(17-16)


几何上轴对称性，使 H /   0 ，E /   0 进一步有
1

r

1
r


  E 
r
  0
r  r 

  H 
r
  0
r 
r 
(17-17)
四、同轴线的主模—TEM模
一般解可写成由位函数表示


 jz
E  r, e
 Et r, e jz
于是得到
 1     1  2  
 
0
r
 2
2 
 r r  r  r  
选择位函数的任意性有
1    
r
 0
r r  r 
  A ln r  B
(17-18)
四、同轴线的主模—TEM模
a  jz
Er  E0
e
r
E 0 a  jz
H 
e
r
图 17-10 同轴线场分布
(17-19)
五、主模参量
同轴线内导体的轴向电流
2
2 0 a  jz

 I  l H dl  0 H ad  2aH |r a   e


b
U  E dr  E a ln  b 
0
a r

 a
五、主模参量
特性阻抗
衰
减
功率容量
U
60  b 
Z0  
ln 
I
r  a 
ac 
1
b
a
8.686 Ra
b
2b 
120
ln



a
Pmax 
r
 b
2
E max
a 2 ln  
 a
120
Ω
dB / m
W
六、同轴线高次模
根据简正模(eigen modes)思想，同轴线一般解完
全与圆波导相同，所不同的只是r=0的条件约束不复
存在。
1. TE modes
H z  [ A1 J m ( k c r )  A2 N m ( k c r )]
cos m
sin m
e  jz
(17-20)
六、同轴线高次模
边界条件要求r=a，b处， H z / r  0
 A1 J ' m ( kc a )  A2 N ' m ( kc a )  0

 A1 J ' m ( kc b)  A2 N ' m ( kc a )  0
J ' m ( kc a ) N ' m ( kc a )

J ' m ( kc b) N ' m ( kc b)
(17-21)
(17-22)
六、同轴线高次模
上面即同轴线TE模的特征方程
CTEm1 
 (b  a )
m
( m  1,2,  )

CTE11   ( a  b )



2
(
b

a
)

CTE
01

(17-23)
(17-24)
六、同轴线高次模
2. TM modes
E z  [ B1 J m ( k c r )  B2 N m ( k c r )]
cos m
sin m
e  jz
(17-25)
边界条件要求r=a，b处，Ez=0，即
 B1 J m ( kc a )  B2 N m ( kc a )  0

 B1 J m ( kc b)  B2 N m ( kc b)  0
(17-26)
J m ( kc a ) N m ( kc a )

J m ( kc b) N m ( kc b)
(17-27)
CTM 01  2( b  a )
(17-28)
六、同轴线高次模
l CTE11
l CTE01
l CTM01
2(b-a)
p(b+a)
图 17-11
lC
七、同轴线设计原则
·保证在给定的工作频带内只传输TEM模
·衰减小
·功率容量大
b
·优化的原则是b=constant，求优化的内外径比 x 
a
七、同轴线设计原则
单 模
衰
减
功率容
量
确保只传输TEM模
 min ≥ ( b  a )
  min

x≤ 
 1
 b

优化x


x  0.9 min  1
 b

1 x
ln x
1
ln x  1 
x
f ( x )
0
x
x=3.591125
1
lnx
x
1
ln x 
2
g( x )
0
x
x=1.64872
f (x) 
g( x ) 
典型取x≈2. 3
七、同轴线设计原则
上表的优化原则是b=constant。实际上，如果把不出
现高阶模作为优化原则，也即a+b=constant。
令 y  c ，c=a+b
a
七、同轴线设计原则
衰减a
功率容
量
maxP
y2
K( y) 
( y  1) ln( y  1)
x 1
ln x 
x 1
1
S( y) 
ln( y  1)
2
y
1
2 ln x  1 
x
Opt·x
x=4.68
Opt·x
x=2.0935
附 录
1. H11模
令
x

c
APPENDIX
2



8.686 Rs
1
   0.42
a H11 


 c 




R
1  

 c 
计及

c 1
Rs 


2
c
x
所以，其极值函数
f (x) 
x 2  0.42
x  x3
附 录
APPENDIX
且取极值范围是x＜1，由
f ( x )
 0可知
x
x 4  4.26 x 2  0.42  0
x
4.26 
( 4,26) 2  168
.
2
计及λc=3.412R，得到最佳情况下
  1843
. R
 0.31778
附 录
2. H01模
a H01
极值函数
APPENDIX

 
 c 
2
8.686 Rs

2


R
 1    
c
g( x ) 
x
2
x  x3
dB / m
附 录
APPENDIX
g( x )
 0得到
x
由
在x＜1的区域只有
x 4  3x 2  0
x=0
最佳，也可以说无极值。
3. E01模
a E01 
8.686 Rs

R

1

1  
 c 
2
dB / m
附 录
极值函数
APPENDIX
h( x ) 
x2
x  x3
由 dh( x ) /dx=0 可知
3x 2  1  0
3
x
 0.57735
3
. R
计及 c  2.62 R ，  1513
衰减最小。