Computation of order conditions for symplectic
partitioned Runge-Kutta schemes with application to
optimal control
J. Frederic Bonnans, Julien Laurent-Varin
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J. Frederic Bonnans, Julien Laurent-Varin. Computation of order conditions for symplectic
partitioned Runge-Kutta schemes with application to optimal control. [Research Report] RR5398, INRIA. 2004, pp.18. <inria-00070605>
HAL Id: inria-00070605
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Submitted on 19 May 2006
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INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE
Computation of order conditions for symplectic
partitioned Runge-Kutta schemes with application to
optimal control
J. Frédéric BONNANS — Julien LAURENT-VARIN
N° 5398
Décembre 2004
ISSN 0249-6399
ISRN INRIA/RR--5398--FR+ENG
Thème NUM
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°²ˆIº¯º­ˆ#f¼)ƒ­l£>€1Φ1”ˆI1{~C}f‚f’ƒ¯1nF“ˆ’‘|}fƒ¯mQŠIRº&”<ˆ’H×}„‚fIˆ’RºÛ‘l‚f→ˆ’1Iº¯RnFm# cR → IR
m
∞
n
n
n

 Min Φ(y(T ));
ẏ(t) = f (u(t), y(t)),

y(0) = y 0 .
t ∈ [0, T ];
(P )
¬ n‚fnF{¸}„‚fƒ­”})}„jln’1Šº­y|{¸ƒ†{;}„ˆ'”<ˆ’H}„ƒ­z€lˆ’€1{r”ˆ’H}f‚„ˆIº¢°²€11”9}fƒ¯ˆI1{<¿Œtn<lˆ’}„nzy y, p) := p · f (u, y)
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Ë1Î’È %$ >Ê ÍÃÈ#Ì¢Ê#Ì=ˆ’°+}fjln‘l‚fˆ’1º¯nFm¿4ij1n1‚ {~}rˆI‚f“ln<‚4lnK”nK{„{fŠ‚fy'ˆ’H(u,
‘l}„ƒ­mo’º¯ƒ¯}~y”ˆ’¢“|ƒ±}fƒ¯ˆI1{4ˆ’°
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





ẏ(t) = f (u(t), y(t)),
ṗ(t) = Hy (u(t), y(t), p(t)),
0 = Hu (u(t), y(t), p(t)),



p(T ) = Φ0 (y(T )), y(0) = y 0 .
t ∈ [0, T ],
(OC)

¬ n{„Ðyd}fj1#} (ū, ȳ, p̄) ƒ†{)Š
n<Åz}„‚fn<mQŠºÛƒ¯°ƒ¯}){f#}fƒ­{ 1nK{ (OC) µ ū ¢nFƒ¯1£od”ˆIH}„ƒ­H€1ˆ’€1{*°²€l1”9}fƒ¯ˆI¢¹9¿ n}
¢n’n<ÅH}f‚„nFmQŠº[¿ 3Á°
(ū, ȳ, p̄)
ƒ†{)ƒ­z®’n<‚„}„ƒ­lº­ng’º¯ˆIl£d}„jln}f‚fŠ‰~nF”}„ˆ’‚fy ,
µ¸¡K¹
u 7→ H (u, y, p)
}fjln<´Hy}fjln>ƒ­mo‘lº­ƒ­”<ƒ±}g°²€l1”}„ƒ­ˆ’1{r}„jlnFˆ’‚fn<m»Ûƒ¯›
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j¢Ð®’nd}„j1Š}
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=0
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Ê ÍÃÈ#Ì1Ê Šy(t),
Ìǐ’{ p(t))
¿dqr{„ƒ¯l£ H (φ(y(t), p(t)), y(t), p(t)) = 0 »
H(y, p) := H(φ(y, p), y, p)
ˆI|}f’ƒ¯
µMžI¹
H (y, p) = H (φ(y, p), y, p); H (y, p) = H (φ(y, p), y, p).
ŽˆI1{„nF…H€ln<H}fº¯yI»1€l1“ln<‚gjHyz‘XˆŠ}fjlnF{„ƒ­{>µ~¡Ð¹9» (OC) ƒ­{tº¯ˆ|”FŠº­º¯ynF…H€lƒ­®#Šº­n<H}4}„ˆ
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,9ÍÃË ẏ(t) = H (φ(y, p), y, p), t ∈ [0, T ],
µ¶˜I¹
−ṗ(t) = H (φ(y, p), y, p), t ∈ [0, T ],
¬ nlˆ#¼ }„€l‚f
}fˆo}„jln“lƒ­{fp(T
”€1{f{„)ƒ¯ˆI=ˆ’°Φ}fjln(y(T
“|ƒ†{„”<)),‚„n<}„ƒ­³Fy(0)
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uu
∞
∞
u
u
y
y
p
p
p
y
0
0

Min Φ(yN );


P
 y
= yk + hk Psi=1 bi f (uki , yki ),
k+1
s
yki = yk + hk j=1 aij f (ukj , ykj ),



y0 = y 0 ,
(DP1 )
°²ˆI‚Šº­º k = 0 }fˆ N − 1 Š¢“ i = 1 }fˆ s ¿'Örn<‚fn h > 0 ƒ†{g}„jln'{„ƒ¯}„nQˆŠ°;}„j1n k}„jÄ}„ƒ­mon'{~}fn<‘&»+Š1“
ƒ­{g}fjlnQ{¸n<}ˆŠ°;4€ll£’n<·Á¾€l}¸}f”ˆzn1Q”<ƒ¯nFH}f{F¿ n}€1{€l1“ln<‚fº¯ƒ­lnd}„jlnQ” jlˆIƒ­”<n>ˆ’°€1{„ƒ­l£S“|ƒ(&Ûn<‚fn<H}
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k
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} ŠÀIn<”ˆ’¢{~} ŠH}F»|ˆI‚;ˆIlº­y
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kj
kj
1

Min Φ(yN );



s

X

 0=h
bi Kki + yk − yk+1 ,
k
i=1

Ps


0 = f (uki , yk + hk j=1 aij Kkj ) − Kki ,



0 = y 0 − y0 .
P
yk + hk sj=1 aij Kkj
yki
3Ã'}„jlntnÅ|‘l‚fnF{f{¸ƒ­ˆ’QXn<º­ˆ#¼¼ng”ˆ’H}f‚fI”9}
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Φ(yN )+
N
−1
X
(
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(DP )
2
pk+1 ·
hk
s
X
(DP2 )
bi Kki + yk − yk+1
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+
s
X
)
ξki · (f (uki , yki ) − Kki ) +p0 ·(y 0 −y0 ).
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C’‚„ƒ†Šp1º¯nK{ pξ ¼)ƒ­º­ºXnpƒ­H}„n<‚f‘l‚fn}fnF“S’{4}„jlnd“|ƒ†{„”<‚„n<}„ƒ­³F#}fƒ¯ˆISˆŠ°C”ˆ’·Á{¸}fŠ}„nˆ’°C”ˆ’H}fƒ¯z€lˆI€1{)°²ˆI‚„m>€l(DP
º­Š}„ƒ­ˆ’&¿
w|n}¸}fƒ¯1£}„ˆ>³<nF‚„ˆ}fjln“|n<‚fƒ¯®#Š}„ƒ­®’n4ˆ’°ï}„jlƒ†{ Š£I‚f’l£’ƒ†Šd°²€l1”}„ƒ­ˆ’¼¿ ‚K¿ }K¿?}fjlng‘l‚„ƒ­mQŠºX®#Š‚fƒ­’lº¯nK{ y » y »
°²ˆI‚ k = 1 }„ˆ N − 1 » K ’1“ u °²ˆ’‚ k = 0 . . . N − 1, i = 1 . . . s »|¼;nˆ’l}fŠƒ­
y
k=0
k+1
i=1
0
ki
i=1
2
k
0
N
k
ki
ki
= Φ0 (yN ),
0
= p
P,s
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pk − pk+1 =
i=1 fy (uki , yki ) ξki ,
s
X
0 = hk bi pk+1 + hk
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pN
p1
j=1
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i=1
”<ˆ’1“lƒ±}fƒ¯ˆI1s{
0 = fu (uki , ykj )> ξki , k = 0 . . . N − 1,
i
ki
ki
k i
ki
Ps

 yk+1 = yk + hk Pi=1 bi f (uki , yki ),
s
p
= pk − hk i=1 b̂i Hy (uki , yki , pki ),
 k+1
0 = Hu (uki , yki , pki ),
yki
pki
y0
Ps
= yk + hk j=1 aij f (ukj , ykj ),
Ps
= pk − hk j=1 âij Hy (ukj , ykj , pkj ),
= y0,
pN = Φ0 (yN ),
(DOC)
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b
b̂ := b , â := b − a ,
b
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’‚„nÕº­ˆ|”<’º¯º­yrnK…I€1ƒ¯®#Šº­n<H}&}fˆ
»
}fjln< (DOC) ƒ†{gnF…H€lƒ­®Ð’º¯nFH}t}fˆ'}„Hj1no(u{fŠmo,n>y ‘1Š, p‚„}„ƒ¯}„)ƒ­ˆ’=lnK0“´)€1l£’n<·Á¾€|}„}f{„” jlnFmond’u‘l‘lº­ƒ¯=nK“φ(y}„ˆ}„jl, nop ‚fn)·
“l€1”nK“'{¸y|{¸}„nFmÓµM˜I¹¿ij1ƒ­{;Š‘l‘1‚„ˆH’” jo1’{„nF“oˆIQ°²ˆ’‚fm€1º­Š}„ƒ­ˆ’ (DP ) ƒ†{{„º­ƒ¯£IjI}fº¯yQ{„ƒ¯mo‘lº­n<‚K»Hl€|}nF…H€lƒ­®I·
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¾€l}¸}fÄ{f” jln<monF{Q{f#}fƒ­{¸°²yzƒ¯1£µ¶ H¹dŠ‚fn{¸yzmo‘lº­nF”9}fƒ­”’»{„n<n9"¯¡KŸ|»ijln<ˆI‚„nFm 1¿ Ô $Á¿ ¬ nˆI|}f’ƒ¯Ç}„j1Š}Q}„jln
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zy“|ƒ­{f”‚fn}fƒ¯³K#}fƒ¯ˆIˆ’°‘l‚fˆ’lº­n<m ƒ†{){¸yzmo‘lº­nF”9}fƒ­”’¿ 3Ñ1Š‚„}„ƒ†”€1º­’‚}fjln°²ˆ’º­º­ˆ#¼)ƒ¯l£
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“lƒ­{f”‚fn}fƒ¯³K#}„ƒ­ˆ’
(P ) −−−−−−−−−−→ (DP )
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ˆ’‘|}fƒ¯mQ’º¯ƒ¯}~y 
”ˆ’¢“|ƒ±}fƒ¯ˆI1{ y
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(D)
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I{„{„ˆ|”ƒ†#}fnF“”<’º­”<€lº¯€¢{4ˆ’´lƒ­”<ˆ’º­ˆ’€l‚fnF“‚fˆzˆŠ}„nK“}„‚fn<nK{<»Û{¸nF/n " š $Á¿tijlnº†#}„}„nF‚g’º¯º­ˆ#¼4{}„ˆ{~} #}fn}„jln>ˆ’‚ “|n<‚
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µ¶¼)jlƒ†” jŠ‚fn*ƒ­°¶’”}{„€lm ˆŠ°¢mdˆIlˆ’moƒ†Šº†{&¼)ƒ¯}„j>€llƒ¯}”<ˆHn 1'”ƒ­n<H}f{ ¹ïƒ­}fjlnF{„n*®#Š‚fƒ†Šlº­nF{?j1Ð®’nÕ}fˆtXn*nK…H€1Šº
}fˆ4”nF‚¸} Šƒ­t°²‚ ’”}„ƒ­ˆ’1’º#z€lmXn<‚ {<¿+ijlnC{„€l1{¸}„ƒ¯}„€|}fƒ¯ˆIˆŠ° â»#Š¢“ b̂ µ¶€1{„ƒ¯l£dµ² z¹¸¹Û¼;ˆ’€lº†“g£’ƒ­®’nՔˆImo‘lº¯ƒ†”<Š}„nK“
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’º¯º­ˆ#¼4{r'}„‚fn<mon<¢“|ˆ’€1{g{„ƒ¯mo‘lº­ƒ X”<#}fƒ¯ˆIS}„j¢#}‘¢nF‚„moƒ¯}f{t€1{t}„ˆ“lƒ­{„‘lº†Ðy}fjlnF{„n>”<ˆ’1“lƒ±}fƒ¯ˆI1{r€1‘O}„ˆˆ’‚ “|n<‚
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V
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‘¢Š‚„}„ƒ¯}„ƒ­ˆ’lnK“Q)€ll£In·Ã¾€|}¸} {„” jlnFmonK¹n<Å|”<n<‘|}}„j1Š}*¼;n4j1Ð®’n ƒ­1{¸}„nK’“Qˆ’° »H¼)jlƒ†” j'¼;ˆ’€lº†“o¢n
}fjln€1{„€1ŠºÛ}fn<‚fm8ƒ¯°+}fjln“|ƒ­‚„nK”9}„ƒ­ˆ’ˆ’°+Š‚ ”gj1’“Xn<n<S” j1’l£’nK“ïa»lŠ¢“’I{„{„ˆ|”ƒ†a#}„nK“'moƒ­H€¢{4{¸ƒ­£’?¿
prˆ#¼ ¼)jln<lnF®’nF‚tŠO’‚f”ƒ­{g“|n<º­n}fnF“ï»Ûƒ¯}t°²ˆIº¯º­ˆ#¼4{)°²‚fˆ’mº­n<momQžo}fj1#}t}„jln>}„nF‚„mӃ†{r
‘l‚„ˆ|“|€¢”9}tˆ’°
nFº¯nFmon<H}f’‚„y¼;n<ƒ­£’jH}f{t°²ˆ’‚g}f‚„nFnF{gˆŠ°{¸mQŠº­º­n<‚{¸ƒ­³<nI¿dwzƒ­1”nolº†’” Àlˆ|“|nK{j1Ð®’ndŠº­ºÕ‘¢ˆH{„{„ƒ­lº¯ndº­ˆz”F#}fƒ¯ˆI1{<»
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¼;n<ƒ­£’jH}f{)ˆ’°*Šº­º&}f‚„nFnF{4ˆ’°
¼;n<ƒ­£’jH}4#})moˆI{¸} p − 1 j1Ð®IntXn<nFS”ˆ’mo‘l€l}„nF“&¿
ijlnƒ­“lnFSlˆ#¼ ƒ†{}fˆO°²ˆ|”€¢{ˆ’½}„jlƒ†{£I‚f’‘ljƃ¯H}fn<‚f‘l‚„n<}fŠ}„ƒ­ˆ’&»ÕŠ¢“=”ˆ’mo‘l€l}„n
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v∈V iv =1 k∈V
ÊB ∈P (EB )
B
(k,`)∈EW
(k,`)∈ÊB
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24
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120
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1
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120
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b3m
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1
60
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X
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1
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Unité de recherche INRIA Rocquencourt
Domaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)
Unité de recherche INRIA Futurs : Parc Club Orsay Université - ZAC des Vignes
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Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique
615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)
Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)
Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334 Montbonnot Saint-Ismier (France)
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis : 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)
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ISSN 0249-6399