Progress in Mathematics
Vol. 51
Edited by
J. Coates and
S. Helgason
Sbminaire de
Theorie des
Nombres,
Paris 1982183
MarielJosé Bertin,
Catherine Goldstein, editors
Birkhauser
Boston Base1
Stuttgart
Birkhauser
Boston Basel
Stuttgart
Editors:
Marie-José Bertin
Institut Henri Poincaré
11,rue Pierre-et-Marie-Curie
F-75005 Paris
France
Catherine Goldstein
Mathématiques, Bâtiment 425
Université de Paris-Sud
Centre d'Orsay
F-91405 Orsay Cedex
France
Ce l i v r e reproduit l a plupart des conférences f a i t e s au Séminaire
de Théorie des nombres de Paris, 1982-83.
Une démonstration analytique p-adique du théorème de
Ferrero-Washington, d'après Daniel Barsky
Y. Amice
1
Sur l'arithmétique du corps des fonctions e l l i p t i q u e s
de niveau N
R. Behndt
21
Arithmetical properties of Picard-Fuchs equations
F. B e u h m
33
...................................................
..................................................
.................................................
Abscisse de convergence de certaines s é r i e s de Dirichlet
associées à un polynôme
P. Cabaou-Noguèb
..........................................
Enoncés heuristiques sur l e s groupes de classes
H. Cohen
...................................................
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Séminaire de Théorie des Nombres:
Séminaire de Théorie des Nombres. - Boston ; Base1 ;
Stuttgart : Birkhauser
Teilw. auf d. Haupttitels. auch : Séminaire DelangePisot-Poitou
1982/83. Paris 1982-83. - 1984.
(Progress in mathematics ; Vol. 51)
ISBN 3-7643-3261-1 (Basel. . .)
ISBN 0-8176-3261-1 (Boston .. .)
NE: GT
Arithmetic v a r i e t i e s and r i g i d i t y
G. F a e t i n g s
................................................
Autour du Théorème de Bombieri-Vinogradov
E. Fouvhy
..................................................
Gauss sums
A. Fhokecch
................................................
On the f i r s t , second, and t h i r d asymptotic formulas f o r the
dimension of the spaces of Siegel modular forms of degree n
K i - i c f h o HankUnato
........................................
Fonctions multiplicatives e t équations intégrales
A. HZdebhand
..............................................
On automorphic forms f o r
T. ibukiyamu
Sp(2,R)
and i t s compact form Sp(2)
...............................................
Al1 rights reserved.
No part of this publication may be reproduced, stored in a
retrieval system, or transmitted, in any form or by any means,
electronic, medianical, photocopying, recording or otherwise,
without prior permission of the copyright owner.
@ 1'984 Birkhauser Boston, Inc.
Printed in Germany
ISBN 0-8176-3261-1
ISBN 3-7643-3261-1
987654321
p-adic Points on Shimura Curves
B. W. Johdan
...............................................
~ é o m é t r i eautour d'un théorème de Bernstein
M. Langevin
................................................
A c r i t e r i o n on Automorphic Forms f o r GL1
global f i e l d s
Wen-Ch'ing W i n ~ eL i
and GL2 over
.......................................
Automates e t nombres transcendants
M. Mendea F m n c e
...........................................
Courbes de Shimura
J . F . Uichon
..............................................
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
Whittaker Models of Generalized Theta Series
S. J. Pattehbon ...........................................
Hauteurs p-adiques
B . P h n - R i o u ............................................
Une démonstration analytique p-adique du théorème
Additive relations in number fields
A. J . van d m P O O ~ .....................................
E ~
de Ferrero-Washington, d'après Daniel Barsky
Sets of sums and differences
7 m e Z. Ruzda .............................................
Yvette AMICE
The Iwasawa theoretic version of the conjecture of Birch
and Swinnerton-Dyer
P. Schneidm ..............................................
On Drinfel'ds modular curves
U. S t u U m
................................................
Liste des Conférenciers ...................................
Introduction.
Rappelons d'abord le théorème de Ferrero-Washington [31. Etant donnés un corps de nombres abélien K, et un nombre premier p, on leur
= K(p
) des extensions de K par les racines pnassocie la suite
pn
ièmes de l'unité. Soit hn le nombre de classes d'idéaux de Kn et
en= v ( ) l'exposant de la plus grande puissance de p divisant hn,
P h"
K. Iwasawa a montré [SI qu'il existe trois constantes p (K), $(K)
et
P
v (K) telles que pour n assez grand on ait
P
Théorème (Ferrero-Washington [ 31) . Pour tout corps de nombres abélien
K et tout p premier, up(K) = O.
Ces auteurs obtenaient en outre une majoration de h (K) dans le
P
cas particulier où K = Q(up).
Nous présentons ici un résumé du travail de D. Barsky 121 dont le
principal résultat peut s'énoncer :
Pour tout corps de nombres abélien K et tout nombre premier p,
P (K) =O. Si.deplus K est totalement imaginaire de conducteur m ou
P
"'cl,
à
Ici, corne dans toute la suite, m est un entier positif premier
p et q = p si p#2, q = 4 si p=2.
Une majoration de
hP'
voisine de celle-ci, a été obtenue par
ment plongé de façon dense dans 1'anneau Zp(m)
Metsankyla, sous des hypotheses plus restrictives. D'autre part,
W. Sinnott 161 a également trouvé une démonstration analytique de la nullité de u (K) pour K abélien.
P
Le travail de D. Barsky utilise des méthodes analytiques : le lien
entre les constantes
(K), $(K)
et certaines fonctions L p-adiques
P
a été établi par K. Iwasawa [SI.
Soit K abélien et F = û)(c.)
que contenant K, alors
où
cwh
=
-
L (mf est le groupe des unités de $(m).
P
= (Z/mZ) x Lp, pl et p2 sont les projections naturelles de
L (ml sur Z/mL et Z respectivement.
P
P
x est un caractère de Dirichlet de conducteur mqpn, prolongé de façon continue (localement constante) à Z (m) : le prolongement, enP
core noté x est nul sur Lp(m) \Up(m) , c'est un caractère continu
de U (m) .
Up(m)=
-
1, un corps cyclotomi-
Soit O l'ensemble des caractères de Dirichlet 0, pairs, primitifs, non triviaux, de conducteur divisant mq, alors
où p(0) et X(0) sont deux constantes définies par la fonction L padique associée à 0 (cf. paragraphe 1 , Définition 1 .2.2) .
On voit ainsi comnent une étude analytique des fonctions L monP
trant que (0) = 0 pour 0 E O et permettant de majorer X(0) conduit
au résultat de D. Barsky.
'AUparagraphe 1, on introduit les fonctions Lp et les constantes
~(0) et h(0), et on présente certains outils analytiques.
Au paragraphe 2, la première étape de la démonstration consiste à
montrer que LJ (0) = 0 pour certains 8 E O (Théorème 2.1 )
.
.
P
-
K = $(x)
est l'extension de Q par les valeurs de X, O est
X
P
X
l'anneau de valuation de K
-
o est le caractère de Teichmuller sur L
de conducteur q : si
P' n
t
w(t)=O si Itl<l et w(t)= limtp si Itl=l, alors
P'
nw(t)P = w(t) et 1 t - w(t) 1 < 1.
-
pour t E ZP (ml
-
pour tEZ$,(m)
x'
i
$(t)
-
=
-
=
et c t > = <p2(t) >.
w(p2(t))
et < t > # O (i.e.
&.
pourTECP'
L
, w(t)
Ip2(t)l=l)
onpose
Si Ip2(t)l < 1 on convient que $(t) =O.
IT-ll<l, $(Tl=
-&.
indique une sommation où l'on omet les indices non premiers à mq.
si F(T)
=
L a,(T-aln
est une fonction analytique bornée pour
n>iî
-
hi établit au paragraphe 3 le lien entre ~(8) et ~ ~ ( 0 u - 5
où w
En particulier si
est le caractère de Teichmuller modulo q, on montre que ~(8)= 0 pour
tout 0EO, et donc que u (K) =O. Enfin le paragraphe 4 est consacré
P
aux majorations de X(0) qui donnent celle de $(K).
un polynôme
1
pour tout
Notations.
- $, Zp sont le corps p-adique élementaire et son anneau d'entiers.
- 5 , OP , MP sont le complété de la cli3ture algébrique de $, son
anneau de valuation, son idéal de valuation.
-
pour m>l, (m,p)=l, ZZ (m)=lim(Z/
) et Z estcanonique4P
n
mpnZ
1
-
Fonctions L et outils analytiques.
Caractères de U (m) .
P
La décomposition naturelle U (m) = (Z/mZ) x (L/qZ) x (1 +mqZp)
P
induit une décomposition des morphismes continus 6 : U (m) + a* en
P
P
1 .l.
5
produit d'un caractère de Dirichlet x (prolongé) de conducteur mq et
d'un morphisme continu n : 1 + m q Z + (C*.
P
P
On convient que tout caractère de U (m) est prolongé par O sur
P
$(m) \ Up (m) , et on a
Les caractères de
1
1 < 1, posons nT(t)
1 + m q Z satisfaisant
P
1 + mq Z sont de cette
P
Pour T = 5 E p
1 + mq Z sont faciles à décrire : soit T E (C
P
P'
T$(~) : nT est l'unique caractère de
nT(l+mq) = T-1, et tous les caractères de
forme.
et on montre qu'il existe une unique fonction continue sur Z
P'
s -t B (s,~) telle que, pour kll,
P
BP(k,x)
=
'Xk
x
(1
- xk(p)p k-1 1
Si x est non trivial, BP(O,x) = 0, sinon soit a-l= BP(O,x),
dans les deux cas, par définition, la fonction L p-adique associée à
x est, pour S E Z s#1,
P'
=
le caractère n ainsi défini coîncide sur Z
P"'
5
avec le caractère de Dirichlet de seconde espèce (noté n5 par
K. Iwasawa) de conducteur qp" associé à 5.
On vérifie que, pour t E Z (ml
P
on a uniformément
et (t ,pl = 1
(i.e. p2(t) 5! pzp),
Si (t,p) # 1, la série ci-dessus donnerait nT(t)
présentation (1 ) n'est plus valable.
=
1, et la re-
On montre qu'elle est analytique (resp. méromorphe) pour
151 < 1q1-lIPI
P - si X # E (resp. avec un pdle simple de résidu -a-1
en s = 1 si X = E , le caractère trivial).
Pour
x
impair, les fonctions B (s,x) et L (s,x) sont nulles.
P
P
Proposition 1.2.1 (K. Iwasawa).
Soit x de conducteur m ou mq, il existe une unique fonction
IX(T) , analytique pour 1 T-1 1 < 1 si x # E (resp. méromorphe pour
J T - I ] < Isi X = E ) telieque 21 1 (~+z)EO [[LI] et que, pour SE^
X
X
P
et Isl < 1 ~ 1 - llpll/p-' on ait
On démontre aisément par récurrence que, pour n 2 1 et (t,pl = 1 ,
(resp. telle que : 21 (Z-mq) IE (1 +Z) E Z [ [ZII et que (4) soit satisP
faite pour (s,~)# (1,l) si x = E est trivial)
.
On montre aussi à l'aide de (1) que si IT-11 Crh= p ph@-1 1 =T
h
est localement analytique de rayon p 2 1 qp 1 .
1.2. Fonctions L.
Rappelons la définition de la fonction L p-adique associée au cah
ractère de Dirichlet x de conducteur mqp . Pour kll, on note
xk= X U - ~ ,on sait que le k-ième nombre de Bernoulli associe, %ixk'
satisfait
(A'Tn
xw-k(a)ak)
a=i
= li,,,
Bk,~k n- mqp
Remarque.
Soit C E U
P*'
s + (~+mq)~r,où
[SI
<q
1 1p
1 est un pa-
ramarage du plus grand disque contenant 5 et ne contenant aucune autre
racine de l'unité. Pour x et 5 fixés, la fonction L (s,xn ) est
P
5
analytique par rapport à T = (1 +mq)'<
sur ce disque. La Proposition
sont
1.2.1 signifie que, pour x fixé, toutes les fonctions L . ,
P
où
le
parachacune la restriction au plus grand disque autour de xn5
métrage en s est valable, d'une même fonction 1 analytique sur le
X
disque {xnTl IT-11 < 1) du groupe des caractères de U (m).
P
On indiquera ci-dessous cornent cette proposition peut être démontrée par les techniques de convolution (paragraphe 2, Propriété (8)).
Définition 1.2.2.
Soit 050, un caractère de Dirichlet non trivial, pair, de conducteur m ou mq, on note
(iii) F(T)
et X(0)
le nombre de zéros de I0 dans
1 T-1 1
<1
1.3. Approximation des fonctions analytiques.
Soit D = {T E (C 1
P
tiques sur D et B(D)
Toute FEA(D)
et FE B(D)
(T-1 1
< 1 1 , A(D) 1'espace des fonctions analyle sous-espace des fonctions analytiques bornées.
est sonnne d'une série convergente sur D
si et seulement si
II FI/
=
)T(FI
SU
/T-17<1
lim (B (FI (T) ) , uniformément sur tout disque
h+,,
O,h
=
.
On sait par la Proposition 1.2.1 que
10(1 +Z) E 00[ [Z]1 : il en
résulte que ~(0)2 0 et que X (0) est fini. Le théorème de Ferrero1
Washington devient donc équivalent à "pour tout 0 E 0, 11 2 I0 11 = 1".
1=
Sup lan[ < c".
n20
Rappelons que la topologie usuelle sur A(D) est la suivante :
On dit qu'une suite Gk E A(D) , Gk(T) = E b (T-1)", converge vers
nzo n,k
F E A(D) si, pour tout r < 1, Gk tend vers F uniformément sur le di*
1 On sait qu'alors, pour tout n, bnSk + an. Par exem
que -
le nombre de zéros de F dans D, alors
(ii) soit n(F)
La suite des polyn6mes BnPh s'obtient nécessairement par divih
sion euclidienne de F par les puissances successives de x(T) = TP -1.
La continuité de la division euclidienne montre que 11 ~ ~ , 5
~ l11 Fl11 ,
la convergence de la série en résulte. La somne de cette serie est une
fonction analytique dont les dérivées de tous ordres en un point C.EM
P
coîncident avec celles de F : c'est donc F. On en déduit que
Conune %(l+Z)
exemple)
F =1,
II II
=
h
h
(I+Z)P - 1 = ZP mod. p Z [Z], on a, si (par
P
Or on sait que
1,
;
a,(~-l)"
ple la suite des sonnes partielles
n=O
topologie de A(D)
.
tend vers F pour la
D'autres approximations des fonctions analytiques bornées sur D
nous seront utiles ici.
F(~+z) = z~(~)G(z) mod. MP[[LI]
Soit F une fonction analytique bornée sur D et h 21 :
(i) il existe une unique suite de polyn6me BnSh(F) tels que
deg (BnSh(F)) <ph et que, pour T E D
11 G 11 =
IG(O) 1
et la propriété (ii) s'obtient en comparant ces congruences.
[T-1
Proposition 1.3.1.
où
Enfin, quand h +
. d'où (iii) .
w,
Qh(T)
+ O uniformément sur
1 5 r < 1,
Soit F(T)
=
E an(T-1)"
et BO,h(F) (T) =
nz0
alors, titaprès (iii), an = lim (bo n),
h-~x, ' '
nhr 1u
E b
(Tn = ~O,h,n
pour chaque n 2 0.
Corollaire 1.3.2.
F(T) =
E B
n o n,h
h
(F) (T) (TP - 1 )"
Soit FEB(D)
h
définie
et,pour kE[O,p-11,
soit 0
k,h
=
1,
-
et la propriété (iii) de 1.3.1 permet de conclure.
1.4. Convolution.
dans
Soient f et g des fonctions continues sur ïZ (m)
P
$. Pour n, O on pose
et à valeurs
On démontre que la fonction ainsi définie sur les entiers positifs
admet un (unique) prolongement continu à ïZp(m), encore noté f * g,
et que cette opération de convolution a, entre autres, les propriétés
suivantes [Il :
(il pour toutes f et g continues, f * g(-1) =O.
k,h
Eh reportant la représentation (i) de F dans la définition de
on trouve
et la propriéte (a) résulte de ce que, pour le polyn6me BnYh(F) on a
(ii) si f et g sont localement analytiques, f * g 1'est aussi.
(iii) (f*lIf(x)= (fl*l)(x)+(f*l)'(-1)
(f(n-l)* Il1(-1).
(f* 1)(~)(-1)=
et, pour nll,
(iv) soit a E Zl (m) , fa(t) = f(t+a) où f est localement analyP
tique de rayon r 2 l al et soit g localement analytique,
alors
Exemples 1.4.1.
Pour obtenir (b) on remarque que, si F(T)
on a
=
1 Bn,h+a(F) (~lQh+~('I'l
n20
Soit x un caractère de Dirichlet de conducteur m ou mq et
TE D, et soit XnT le caractère continu de U (m) défini en 1.1, pre
P
longé par O sur ïZ (ml \ Up(m) , alors
P
(x nT * 1) ' (-1)
h
corne Qh+R(T) = Q~(TP
)
on en déduit que
en particulier
Bo,R("k,h)
=
1
j=O bo,h+a,k+jph(f)
=
mWh-i
E
X(a)~$'a').
w mqp
a=O
lim
En particulier si T = < E U
P
et kzl, soit S k = (l+mq)k5, ona
où (xTT<)~=Xn<u-k. Ceci exprime donc les valeurs des fonctions L padiques en termes de convolution.
1
7
Pour T E D et I ~ - î l < r ~p =P (P-11, nT est localement analytique de rayon ph 2 Iqph 1. Doncsi aEZID(m) et la I (lsphl, on peut
appliquer au translaté n (t) = nT(t+a) ' la relation (iv) ci-dessus,
T,a
ce qui compte tenu de l'expression (2) de np) donne
Cette relation nous sera utile au paragraphe 3.
2
- Première étape de ladémonstration.
Théorème 2.1
.
Pour tout caractère de Dirichlet 8 primitif pair de conducteur
1
m ou mq, ilexiste j€[O,l,
q-21 telque 1121
1 1 = 1 où
eu-j
1
est la série dl Iwasawa définie en 1 .Z.I.
eu-j
Remarques
(7)
et que l'on a
GX (Tl
=
lim (FX,
/Wh)
On peut d'ailleurs aisément retrouver cette propriété en utilisant la
convolution : on montre que si fA est une famille de fonctions localement analytiques sur ZI (ml dépendant de façon analytique du paramètre
P
A, h parcourant undisque D de (C A + [fA*l)'[-l) est aussi une
P'
fonction analytique sur D. Comme T + fT= XcnT satisfait aux hypothèses ci-dessus, on en déduit que
...,
.
1.
Pour p z 2 ou 3, w2=1 et pour tout j pair 18w-j = Io,
comme 1
= O pour j impair, on a dans ce cas ~(8)= O pour tout
eu-j
8 E O et donc p (K) = O pour tout K abélien.
P
2. Comme 1
= O pour j impair, pour p z 5 l'énoncé ci-deseu-j
sus signifie qulil existe j pair, 0 5j <p-3, tel que p ( d ) = 0.
La seconde étape de la démonstration consistera 3 prouver que si
p ( 8 ~ ~=)0 alors p(8) = O : la nullité de pP (K) en résulte.
est analytique sur D. En comparant avec la définition des fonctions L
rappelée en 1.2 on voit que cette fonction G satisfait (7). L'unicité
X
d'une fonction analytique sur D satisfaisant (7) est évidente, car la
différence entre deux telles fonctions devrait être nulle en tous les
points (1 +mq) k5, 5 E p , k ~ l ,donc avoir un infinité de zéros dans
P
des disques IT-1 1 5 r < 1 , elle est donc nécessairement nulle.
Comme ici X#E, L (s,xn ) n'a pas de pale en s = 1 et on a donc
P
5
par continuité pour s + 1 ,
on en déduit que
Principe de la démonstration.
Soit x un caractère de Dirichlet non trivial de conducteur m
ou mq et hz0, posons
wh
(T) = 1' x(a)nT(a)
~ , h
a=O
F
h
=
a=O
est analytique'sur D.
x(a)c(a)nT(a1
Or,pour y € p h, FX,h(y) = O car Xcn est non trivial : il exisY
P
te donc une fonction analytique sur D, JX,h(T), telle que
1
où
E
désigne le caractère unité modulo mp.
On sait [5] qu'il existe une unique fonction analytique sur D,
GX, telle que pour 5 E p on ait
P='
et conme F
on a aussi J (1
X
x Yh
En passant à la limite sur h on obtient
x ph (1
+ Z) E O [[Zll
+
Z) E OX[[Z1l.
Donc
et llona,pour IT-ll<rh
Soit maintenant 8 E O et pour R 1 1 tel que (2,mp) = 1 , on pose
Comme Tn = T + (1 +mqph)" - 1)T, on obtient en développant
Ie,R(Tn) en série de Taylor au point T
On vérifie que
à coefficients binômiaux, des k + 1
séries
On définit de même
i = O,...k. Plus précisément
k
On remarque que les valeurs $(a) figurant dans la dernière sommation sont deux à deux distinctes, un lemme dl indépendance dl exponentielles (lenune 4.1 infra) permet d'en déduire que
On en déduit que 11 Ckll (1, 11 ckll + O pour k + , donc
la représentation ci-dessus de F
est valable pour IT-11 < 1 et
9,hYR
D'autre part, les relations (2) et 1.4 (iii) montrent que, pour
IT-l
1 < rh>
F (TI= (eanT*i) (mqph-1)
8,h
On a donc
=
(ûenT*l) ("1 (-1)
n!
n>O
I
(mqph)
mais dlaprèsla définition de le,a,
II 21
, II
Ie,all ( Sup
1
II
eu-j
, d'où
le théorème.
3
- Nullité de
LI (K).
P
Compte tenu du Théorème 2.1, la démonstration de la nullité de
1
pp(K), c'est-à-dire du fait que 11 2 Iell = 1 pour tout 8 € O, se ramène à celle du Théorème suivant.
Théorème 3.1 .
Soit 8 primitif pair de conducteur m ou mq, si
1121 1 -211 = 1 alors 1121 Iell = l .
8w
Les calculs détaillés se trouvent dans [21, on se contente ici d'en
indiquer le fil conducteur.
L'astuce pour comparer ces normes consiste à dédoubler la variable.
Plus précisément, pour tout x et tout TED, on a
Pour hzl, U E D et IV-11 Crh on pose
A partir de la définition de G(U,V)
on montre que cette fonction
est analytique pour (U,V) E D x D, bien que la représentation (1 1 ) ne
r . Il en résulte que K(U,V) est aussi
soit valable que pour 1
analytique sur Dx Dy et on montre que
1 K(U,V) est borné sur
Dx D.
Jim
On remarque d'autre part, que pour y E LI h, G (yu,V) = G (U,yV) et
donc aussi K(U,yV) = K(yU,V).
P
On utilise alors systématiquement les représentations des fonctions
h
analytiques bornées en séries de puissances de %(Tl = TP -1, décrites
en 1 .3.1 et (aisément) généralisées au cas de deux variables. Soit
h
où B* .(U,V) E\[U,VI
et degU BiPj< p , degVBi,j<p .
n,J
On déduit de l'unicité de représentations en puissances & Qh que,
et donc qu'il existe un polyname
pour y E ~ h ,Bi,j(yUyV) = B*
n,J.(U,yV)
dluneseulevariable B
telque B* .(U,V)= Bn .(UV).
n,j
nyJ
,J
On pose
D'après la relation (6) on a
et, pour X = 8w cela donne
(n)
où les Bi,h(e),
inférieur à ph
.
(n)
Bi,h(~,8)
et AiYh(~.8) sont des polyn8mes de degré
On démontre successivement les congruences suivantes, toutes
modulo mqph Op[[T1 1 :
est nulle pour n pair, on en déduit
Comme 1
eu1-n
G(U,V) = K(U,V)
=
$(VI( 1 (mqph)n(Ji(~l))l
"21
modulo Ji (U) .
1 -n(Wn+l))
8w
D'autre part, d'après (1 7)
Ces congruences s'obtiennent en développant $(V) en puissances
et en évaluant la taille des termes qui sont négligeables
de %(V)
modulo mqph dans les différentes représentations ci-dessus. Cette évaluation utilise en particulier les approximations fournies par la Proposition 1.3.1 et le Corollaire 1.3.2.
Il est à noter que la relation (16) fait intervenir simultanément
(1
et ,
)
~
o
ef
h
~
ce qui va mener au résultat.
des polynômes BiYh(0)
1
Soit
,: en comparant les deux expressions de $qyj K(Y .VI
D
fournies par (1 2) et (1 3), on obtient
D'après l'unicité du développement en séries de puissances de Qh,
et les propriétés de ce développement relatives à la norme, on obtient
mais d'après (14) on a aussi
II A 2 , h ~ 05 P-~(')
Ainsi, si
Il 21 1 -211
< lyPh-I 1
, d'où une contradiction.
1, on a aussi 1 21 1
= 1, le Théorème
0w
3.1 est démontré, et, compte-tenu du Théorème 2.1 et de la formule analytique pour ci (FI donnée dans l'introduction, la nullité de j~ (K)
P
P
pour tout K abélien en résulte.
=
Remarquons que la démonstration donne une information supplémentaire. On a en effet montré que si h est tel que ~ ( 0 6 <~ p)h , l'un
des polyndmes B(') (01, 58") (01, B:;b(0)
est de norme 1. Cela signifie
O&
1 ph
3h
que 10(T2) et donc aussi 10(T) a moins de p zéros.
Corollaire 3.2.
Supposons que
21 1 -211 = 1 et choisissons h tel que
0w
1 (n)
= 1, en par
~(0w-~)
< ph , on sait qu'alors, pour tout n, \/ 2
1
(3)
ticulier 11 2 Bo,h(9)\l = 1.
II
II
1
Soit Il 2 1 ~ 1 1 = p-u(e) et supposons que ~(0)> O : on peut ahoih
sir y €
tel que lyP -1 1 > p-ci(0). Fixons un tel y, on a d'une
part
pm
Soit 0 € 0 et p#2,3. Si 111 -211=
0w
h(0) < pSh.
1 et ~ ( 0 w - ~ )h< p ,
hi voit ainsi que si l'on peut majorer l'un des A (0~-~j),on en
déduira une majoration de chacun d'entre eux.
4 - Majoration de X (K) .
P
On suppose ici K abélien imaginaire, et que son conducteur n'est
pas divisible par pq. Soit K+ le sous-corps totalement réel maximal
de K, Kn = K(cinn),
son sous-corps totalement réel maximal, hn et
KA
'l
et on déduit de (16) que, pour p Z 2,3,
et de (15) que
hi leurs nombres de classes d'idéaux. (hi sait [4l que . h i = hn/hi est
un entier, et qu'une formule analytique pour
v (h-) = ei = b+ A+ v- donne $(K) 5 2 $(K)
et
P n
P
P
P
On obtient donc une majoration de $(K)
si 1'on peut majorer les A(0).
et d'après le Lemme 4.1, le nombre de zéros de F est majoré par ph-1
où
Lem 4.1.
n
Bi où Bi E 21.
ai E (C
les Bi étant deux
P'
P
i=l
à deux distincts. Alors F est analytique sur D = (T E (C 1 1 T-1 1 t 1 1 et
P
l'on a
Soit F(T)
(a)
IIFII= Si.
1
=
1 ai T
Corollaire 4.3.
bil
Pour CI E O et h =
(b) le nombre de zéros de F dans D est majoré par
[ (p-1)
log(ml-l)]
log P
alors
On a en effet pour T E D
En effet la démonstration du Théorème 2.1 montre qu'il existe j,
O 5 jt
tel que A ( 9 2 ) 5 ph-1 . D'après le Corollaire 3.2 ( corne
on peut supposer p # 2,3, sinon il y a une seule série 1ew2j = '9) 3
si h(902) 5 Ph-1, A(6) 5 3ph-1 5 phtl-l.
On a donc
9,
1
Soit h telquepour i#j, I B . - B . ~ > ~ -et
~ ,soit k leplus
l .J
pour lequel
grand entier tel que k <ph et qu'il exlste i € 1 .1
h
lail = Maxla. 1 et k = Bi mod p
:
J
7
-
I($
Pour un tel k,
B-
.
.
=1
et, pour j #i,
~(kll
cl. Alors
n
B.
-Z ai(;<l) satisfait Ickl = Maxla.l. Comme on a évidement
ck=
i=O
II Fil < Max1 aj1 ,
Théorème 4.4.
j
la propriété (a) en-résulte.On a de plus trouvé un in-
IIFII
dice k !ph
tel que ck =
, donc le nombre de zéros de F est
d'où la
majore par ph- 1 où h est défini par Inf \Bi-Bjl =
i#j
propriété (b) .
Soit K un corps de nombres abélien totalement imaginaire de conducteur m ou mq, (m,p) = 1 , alors
Corollaire 4.2.
mq
Soit 9 E O et F (T) = El 9(a)~'(~)
'$0
a=l
dans D est majoré par ph-1 où
.
Le nombre de zéros de F
Cela résulte immédiatement des majorations précédentes
p-l
puisqu'il y a au plus @(ml caractères 9 de conducteur m.
(a,-)=
Il suffit de minorer les quantités (+(a)
(b,mq)=l et l ~ a t b t m q .
- +(b))
où
Or onvérifie que pour a et b entiers, aPb, ltatbtmq-1
I$(d -$(b>l
=
- tb>1
1- <a>9
=
q 1 a ~ - -lb ~ - l 1 > L
(mq-1 )p- l
Dans le cas particulier où K =
Ap(K)
(
Q[p
P
1 , PL 5, cela donne
2p3p/2
ce qui améliore la majoration de 131 ($,(K)
les grandes valeurs de p.
5 plog p.4 m(p-l)
4
)
pour
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
[ 11
Y. Amice .- Prolongement analytique des sommes de Gauss 1 et II.
Groupe d'étude d'analyse ultramétrique.9ème année. 1981-82.
SUR L W ~ ~ É T I Q UDUE CORPS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES
[21
131
D. Barsky.- Sur la norme de certaines séries dlIwasawa (une démons
tration analytique p-adique du théorème de Ferrero-Washington)
Groupe d'étude d'analyse ultramétrique, lOème année, 1082-83,
no 13, 7-14 et 21 mars 1983.
B. Ferrero et L. Washington.- The Iwasawa invariant I+, vanishes
for abelian number fields - Annals of Math. vol. 109,1979,377335.
[41
H. Hasse.- Number theory. Springer Verlag. Grundlehren de Math.
Wissen. Bd 229 - 1980.
151
K. 1wasawa.- Lectures on p-adic L functions. Princeton Univ.
Press. Annals of Math. Studies. no 74, 1972.
[61
W. Sinnott.- A proof of the Ferrero-Washington theorem. Preprint
mai 1983.
DE NIVEAU N
Rolf BERNDT
Il s'agit d'étendre des résultats sur les corps de fonctions modulaires elliptiques, énoncés dans Shimura [IO], aux corps de fonctions elliptiques - regardées comme fonctions de deux variables, l'une dans (C
et l'autre dans le demi-plan M Après quelques définitions, les résultats de deux notes de 1'auteur [ 2,31 sont rappelés, qui s'appuient en sus
de Shimura sur des travaux de Fricke C61, Land [91 et Mumford [ 1 1 ou
Deligne-Rapoport 151. Quelques problèmes et conjectures concernant d'autres généralisations dans ce cadre sont énoncés.
1
-
Définitions
Soit
X=
(CxM=
{(v,w); Im w>O)
G = R 2 .GL;(R)=
Yvette Amice
U.E.R. de Mathématiques
Université Paris 7
2, place Jussieu
F 75251 PARIS CEDEX 05
G opère sur X de la façon suivante
=
Soit en outre
a(w)
23
Ce sont des sous-groupes distingués de G(1).
k désigne un corps de caractéristique O (les cas les plus importants : k = (C et
k = % = Q(cN), cN =
et G un sous-groupe de G(1), qui contient
G(N) . Alors on a la définition principale
kG(k)
=
pour (1;1) EG
b) f(c~,a(o))
pour (0,d E G
=
2niw
(3) Pour qN = e
et
f(v,o)
E
=
kh'k'
=
kG
(k) kN = kN(%)
9
kGl(N) (k) , kfu= kN(%)
Le but de ce qui suit, sera de transporter les résultats de Shimura
concernant Fr(k) au corps kG(k), qui a évidement un degré de transcendance augmenté de un relativement à Fr(k). Peut-être on ne sera pas
surpris de découvrir que dans beaucoup de cas, tout fonctionne de la même
manière.
(2) f G-invariante, c'est-à-dire
a) f(v+llw+12,w)= f(v,w)
=
(pour k' on peut exiger dans la condition (3) d'avoir
E ~ ( E I E, = eZniV).
)
f
(
:
b
corps des fonctions f sur X avec
f méromorphe
(1)
kN(k)
2niv
e N
2 - Résultats
N
f a un développement méromorphe en qN avec des coefficients dam
k(~~), c'est-à-dire : Pour chaque g E G(1) il y a des constantes
R,K,L>O telles que
Pour N > 2 soit
y = X/G ' (N)
A
Y le compactifié de Y à la Deligne-Rapoport [ S I ou Mumford [Il
M(Y)
le corps des fonctions méromorphes sur Y.
Alors on a le
pour tout (v,o) avec O < lrl < R et O < l q l <rlEIL.
La condition (2) (ainsi que les groupes GIN) et G' (N)) apparait déjà
dans Klein-Fricke [81 et Fricke [6]. Elle est d'ailleurs aussi contenue
dans la définition de la forme de Jacobi chez Zagier [Il 1. La condition
(3) exprime la méromorphie à l'infini et sera l'objet d'un théorème plus
bas. Elle est posée en généralisation de la condition analogue chez - par
exemple - Shimura pour les corps des fonctions modulaires :
Pour
r
Fr(k)
=
(1)
un sous-groupe de SL2(Z?) , qui contient
r (N) ,
soit
corps des fonctions f sur IH avec
f méromorphe
(2) f r-invariante
(3) f a dans chaque pointe de r un qN-développement méromorphe à coefficients dans k.
Pour compléter, encore les notations suivantes
La démonstration s'appuie sur [Il et est contenue dans [31. Pour donner
une idée, on rappelle le diagramme suivant, ou on regarde un 'Voisinage.
U de la pointe i .." dans M/r(N) et un ouvert a dans Y au-dessus
-
Ici on a
D;
=
{qN,O < lqNI < r}
-
Dr = {q,lqNl < r)
Dr la variété obtenue en recollant les cartes
(ne n)
vn +
t2
P
(xn,yn) lxnl lynl < r
La comparaison avec ( * ) donne c . E t (x ) et avec x = E et .y = qN
J
0
O
- 1 on a le théorème (pour
la validité de ces calculs formels
yo= qN0 E
voir [31).
par les fonctions de transition
Le corps Fl (k) des fonctions modulaires de niveau 1 est un corps
de fonctions rationnel
y z x - 1 ; x = x2
n
n+l
n
n+l Yn+l
Fl(k) = k( j1 avec j 1' invariante modulaire.
L ' injection Dr -+
Dr est donnée par
Soit z
(&,qN)
+
(xn=
E
la première fonction de Weber, c'est-à-dire
-1 n+l
qin , yn= E qN 1
et a' agit de la manière suivante
N
av(~9qN>= (& qN> qN)
bo= 1
+%,
(1 -E)
b et par conséquence
Par analogie avec FN(k)
bn= 12 I m ( ~ ~ + ~ - ~;-n2>)O ; d n E Z
mln
.
on a pour le corps kl(k) le
Théorème 2.
La méromorphie d'une fonction f dans la carte Vo entraîne pour la
fonction fo, qui représente f dans Vo, une représentation
fO (X y
) =
I
j>-
c.yj avec c. =
J
0
J
I
i>-
i
c. .x
13
0
.
La méromorphie de f dans V-l donne avec le théorème de Poincaré une
représentation
La démonstration n'est pas difficile. Elle s'appuie sur le fait qu'une
fonction fEkl(t) est, pour w fixe, une fonction elliptique. Les détails de cette preuve et des preuves des deux théorèmes suivants sont donnés dans 121.
Dans ce qui suit, soit N > 2 fixe et posons
2
-1
Avec les fonctions de transition x = xoyo,
y = xO on a dans Vo ilV-l
On a, toujours par analogie avec le cas des fonctions modulaires, le
avec
Théorème 3.
3
-
3.1. Généralisation de la suite exacte de Shimura et de sa loi de
réciprocité
La démonstration peut suivre celle de Lang (page 63 ff dans 191 -qui
suit d'ailleurs celle de Fricke [61) pour le théorème analogue sur les
corps de fonctions modulaires. Un point central est qu'on a, pour
g = (1,a) EG(1) et LI= cu+d,
Peut-être sera-t'il encore intéressant de donner l'exemple suivant, qui
caractérise le corps utilisé par Hasse dans sa première preuve de "la
conjecture de Riemann" pour les fonctions zeta de congruence [ 71 :
Problèmes et conjectures
Soit
le produit restreint relativement au sous-groupes compacts ouverts
ILp2 SL (Z) . Alors on a, corne pour GL2(/Af) ,
2 P
I(/A ) - G U avec $ = Q2 GL2($)
f - Q
U= n
(Z 1.
P
2 P
ZAGL
I
Q
et Ü agissent sur k de la façon suivante :
Pour ~ E Get f E k ondéfinit .r(g)EAutk
Q
par
et k 3 Q12. Alors on a le
Théorème 4.
Pour Ü = (h,u) E Ü on peut définir i(Ü) E Gal(k/k 1 par
1
29
-
En conséquence, cela donnera un homomorphisme
T :
G(/Af)
Aut k ,
qui permet de s'attendre au
"(V*W) et za(v,w) = z(Nv + a(;) ,w)
q
z1(a('5 1 -,o>
(pour la notation au + X il faut se rendre compte de Q2/=2 ' gQ;/Z2,
P
voir par exemple [91 page 77).
avec za(w)=
O
~(a(~),w>,
wa(w>=
- - -
Théorème 6. La suite
1
En conséquence de
G(/Af)
Aut k
1
est exacte.
-
U = l?
(Z/N)
GL2(
72
g r (l,a(Ay)).
Alors
Soit (v,o) E X un point fixe d'un élément gE$,
v et w sont des éléments d'un corps quadratique imaginaire k et on
a une injection
le Théorème 3 admet aussitôt le
Corollaire :
qui s'obtient en prenant pour SEk* q(S)
Le calcul suivant le Théorème 3 a donné
tel que
ZaWg= Z
pour g = (1,a) EG(1) ,
aa+~
et l(5)
ce que montre
a
~(1).
~ ( g )= '~(g) pour g ~ nü=
q
\
I
On peut alors s'attendre à avoir en généralisation des théorèmes correspondants de Shimura pour le corps F ([IO] Proposition 6.22, Théorème
6.23 et Théorème 6.31) :
Théorème 5. Pour g, g' E G
Q
et
Ü,Üi
comme solution de l'équation
1
1
q peut être prolongé par continuité aux ideles de k :
l
1
It
E Ü avec
g ü ' Cfg'
Avec ces notations on peut énoncer le
Théorème 7. Soit (v,w), k et q corn en haut et f E k définie et finie au point (v,w) . Lors on a f(v,o) E kab et
pour chaque s E /Ai où (s,k) désigne le symbole dlArtin.
Pour le moment, il me semble qu'on peut directement étendre les
preuves de Lang pour les théorèmes correspondants aux Théorèmes 5 et 7.
La preuve du Théorème 6 me semble un peu plus difficile. J'espère pouvoir
y revenir bientôt dans une autre note [41.
3.2. Géodésiques G-invariantes sur X
On a sur X un forme fermée G-invariante
qui donne pour a,B > O avec
une métrique kahlerieme
On peut en déduire le système d'équations différentielles pour les géodésiques
1
il fi= -(c-ct)
r 1 2
ii)
iii)
Je n'ai pas encore trouvé de solutions suffisament générales.
3.3. Le Laplacien G-invariant et représentations de &(/A)
Le Laplacien suivant se déduit de la métrique ds2 donnée en 3.2
La fonction z, ainsi que la fonction p de Weierstrass et les séries
d'Eisenstein généralisées
sont des solutions de l'équation
Il s'impose de regarder ici aussi des 'Wellenformen" à la Maass, c'està-dire, les solutions de
et d'étudier la relation avec les représentations de G R
J'ai l'intention d'y revenir plus tard.
&(/A).
respectivement
BIBLIOGRAPHIE
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
A. Ash, D. Mumford, M. Rapoport, Y. Tai.- Smooth Comfactification
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ARITHMETICAL PROPERTIES OF PICARD-FUCHS EQUATIONS
.
R. Berndt - Meromorphe Funktionen auf Mumfords Kompaktifizierung
der universellen elliptischen Kurve N-ter Stufe, J. reine angew.
Math. 326 (1981) 95-103.
F. BEUKERS
...
Consider the recurrent sequence u0,ul,u2,
given by
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P. Deligne, M. Rapoport.- Les schémas de modules de courbes elliptiques, Lecture Notes in Math. 349 (1973) 143-316.
and uO=l, u1=3. We obtain 1,3,13,321,1683,... and in general,
R. Fricke.- Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen 1 und
II, Leipzig und Berlin 1916-22.
H. Hasse.- Beweis des Analogons der Riemannschen Vermutung für die
Artinschen und F.K. Schmidtschen Kongruenzzetafunktionen in gewissen elliptischen Fallen, Nachr. Akad. Wiss. Gottingen 42
(1 933) 253-262.
which is the value of the Legendre polynomial
z = - 1. Let p be an odd prime. We then have,
(&nzn(l
-zln in
F. Klein, R. Fricke.- Vorlesungen über die Theorie der Modulfunktionen, 1 und II Stuttgart 1890/92.
and
(mod 4)
S. Lang.- Elliptic functions. Reading. Mass. 1973.
[IO1 G. Shimura.- Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic
Functions. Princeton 1971.
[Il 1 D. Zagier.- Sur la conjecture de Saito-Kurokawa (d'après H. Maass),
Séminaire Delange-Pisot-Poitou 1979-80 371-394.
R. Berndt
Mathematisches Seminar der
Universitat Hamburg
Bundesstrasse 55
2000 HAMBüRG 13
ALLEMAGNE FEDERALE
L
2
(O (mod PI
if p.i3 (mod 4).
These congruences can be proved by noticing that
For p a 3(4) the congruence follows by cancellation of t e m in the sunt
nation. For p =1(4) we use E
~)l-(~:(
=
(-l)n
and the con-
(n)
(?(P-'
) ) = Za(mod pl, which was known to Gauss 131 (see also
gwnce
(P-1
Barnes [ 1 1) . However, we think there is more, namely,
(4a2 - 2p (mod p2)
7
if p i 1 (mod 4)
the latter trivial congruence being added for completeness. We have checked this congruence for al1 primes up to 181, but are unable to prove it
in general.
Let p be an odd prime, and denote the right hand side of (4) by
f(x,t). Let c (t) bethecoefficientof xP-1 in f(x,t) lvp-1)
P-1
It is not hard to prove that
It turns out that there is a large class of such congruences
mod p2 By way of example we state these congruences for a particular
recurrence and prove them only mod p. At the end of this paper we state
some more congruences. Consider the recurrent sequence uO,ul,u2,. . given by
.
.
which is the Frobenius factorisation of dt) mod p. From this congrugruence fO1lows,
= y (mod p) , where y = coefficient of tp-1 in c
(5) ue
and uo = 1, ul = 5. We obtain the Apéry nunbers
P-1
2
.
We now proceed to count the number N of finite points in IFp on the
P
algebraic surface (4). To do this we check for each pair (x,t) €IF2
P'
whether f(x,t) is a square in IF . Thus,
P
which Apéry used in his irrationality proof for ~(2). We conjecture,
O
(t)
2 if p = 3 (mod4).
(modp)
First we sum over x. It is clear, that al1 terms different from
xo,xP-1 yield zero modulo p. Hence,
These congruences are true for al1 primes up to 181, but again we are
unable to give a general proof. Perhaps we should remark that we also h*
ve u = 1 (mod p2) for al1 odd primes p, which is easy to prove. Hep-l
re is a sketch of the proof of the congruence (3) modulo p.
It is easy to check, that c (t) has degree 2p-2, and that the coefP-1
ficient of tZp-' is 1. Hence,
Consi.der the family of elliptic curves
parametrised by t. It has two periods, which are functions of t. One
of them is regular near t = O and its Taylor expansion is exactly the
generating function of the un's Al1 this is proved in Beukers [ 21 by
using the Picard-Fuchs differential equation which is satisfied by the
two periods. We naw replace t by tZ and consider the family
The regular period around t = O is now given by
Combined with (5) this yields,
u
p-l
f
= N - 1 (modp).
P
L
The jnumber N can also be obtained by geometrical considerations. It
P
turns out that surface (4) is doubly covered by a singular K3surface. Such surfaces are completely described by T. Shioda and H. Inose
[41. The zeta functions of these surfaces are products of Dedekind zeta
functions and some Hecke L-series with suitable grossencharacters. From
this it is not hard to derive the number of finite points mod p on (4).
By keeping track of the siiigularities of (4) we derive from its zeta
function that
( 0 (mod p21
up-l ' [IT~+??~(mod p2) if p=1,3(mod 8 ) , p = n n in
Finally, we give some more examples of congruences, which we are
able to prove mod p only, along similar lines as above. In each example
we give a family of elliptic curves parametrised by t. Let r un tn be
the regular period around t =O. We give a recurrence relation for un
and the conjectured congruences. The recurrences are obtained from the
Picard-Fuchs differential equation which is satisfied by the two periods
of the elliptic curves.
Example 1.
Notice that (0,O) is a point of order 7.
2
(mod p
if p = 3,5,6 (mod 7)
2 if p=1,2,4 (mod 7), p = n < i n
CIT~+?;~(modp)
Example 2.
+
(t2-2t-1)xy + t(t2-1)y
=
x3 - (t-1)tx 2
Notice that (0,O) is a point of order 8.
~(m)
((m).
n n+k n 2
) Ck))
,
k=O
i.e. the squares of the numbers mentioned at the beginning of this paper.
{un)
combining this with (6) yields the desired congruences mod p.
if p=5,7 (mod 8)
=
1 , 9, 169, 3969, 102465,.
..
, in general, un =
( 1 (
This paper would not have been written without the many
valuable discussions with J. Stienstra, which have made my first exposure
to algebraic geometry a very pleasant and instructing one.
ACKNOWLEDGEMENT.
Added in proof : We like to inform the reader of some further developments on this subject. The congruences we have discussed can be widely
generalised to congruences which are similar to the Atkin, SwinnertonDyer congruences. At the moment J. Stienstra and the author are preparing
a paper in which these congruences are proved. See also section 1 of [SI.
Also, it turns out that the Apéry numbers connected with 5(3) occur as
coefficients in the period expansion of a family of K3 surfaces, see
i61.
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
BIBLIOGRAPHY
[21
Barnes.- A construction of Gauss, 1'Enseignement Math. 20 (1 074) ,
1-7.
Beukers.- Irrationality of IT2, periods of an elliptic curve and
r (5) , Proc. Conf "Approximations diophantiennes", Luminy, P m
gress in Mathematics, BirkhCluser, vol. 31.
[31
Gauss.- Werke Bd. 2, 90-91.
[41
Shioda, Inose.- On singular K3-surfaces, Complex Analysis and Algebraic Geometry (Baily, Shioda eds.) Cambridge 1977.
i51
Beukers.- Some congruences for the Apéry numbers (submitted to J.
Ibnber Theory) .
[61
Beukers and Peters.- A family of K3 surfaces and ~(3) (submitted to J. reine angew. Mathematik) .
[1 1
Abscisse de convergence de certaines
.
séries de Dirichlet associées à un polynôme
Pierrette CASSOU-NOGUES*
En 1900, Mellin [31 a étudié des séries du type
est un wlvnôme à coefficients dans un sous corps K de a.
Notons
Mellin supposait Re(aa) > O, pour tout a E Supp P , et montrait que cette série,convergente dans un demi-plan,se prolonge à tout le plan complexe,
en une fonction méromorphe dont tous les pôles sont sur la droite réelle.
Avec les mêmes hypotheses et en utilisant essentiellement les mêmes méthodes, nous étudions dans [2]
F. BEUKERS
Dept. of Mathematics
University of Leiden
Wassenaarseweg 8
2300 RA LEIDEN
PAYS-BAS
où (BI,B2) E R:
(R+ désignant l'ensemble des nombres réels strictement positifs). Le résultat essentiel de E21 est que la position et l'ordre des pôles est donnée de façon précise à l'aide des équations des faces du polygone de Newton à l'infini du polynôme P (mais dépend que ch*
que a E Supp Pl .
Considérons maintenant un polynôme P vérifiant
mr + R(Xl,. .,Xr), les ~~-~onômes
i) P(X1,. ..,Xr) = '{la
+ .. + arX,
de R vérifiant la propriété
.
xa
1
- Notations et rappels
Nous rappelons ici les résultats obtenus dans [Il et [21.
ii) Si Pl(XI,...,Xr1 = t aaxCL, la sommation étant prise sur tous
1 ) Polygone de Newton de P
Soit K un sous-corps de
les ciESuppP tels que
et
t ailmi = 1, alors
.
Re(Pl (fi,...,tr) > O, pour tout (tl,.. ,tr) E IRr , ti 9 et
(tl,...,tr) (O,. . .,O).
un polynôme appartenant à KIX1,...,Xr].
Alors, on montre dans [ 1 1 que Z(P,B) (s) se prolonge sur (C en une fonction méromorphe et la position des pôles est donnée de la même façon que
précédemment à 1' aide du polygône de Newton de P à 1' infini (qui n'a
alors qu'une seule face dans ~ f. ) Ce dernier résultat se montre en
cherchant le développement asymptotique de la transformée de Mellin de
Nous appelions polygone de Newton de P, noté c(P),
vexe des sous-ensembles de IRr
'
lorsque t tend vers 0, t > O, à l'aide de la formule d'Euler
Mac Laurin.
Notons
l'enveloppe con-
(IR+ désignant l'ensemble des nombres réels strictement positifs). Notons FI,...,FR les faces de c(P). Nous écrivons les équations de ces
faces sous la forme fi(xl,...,xr) = 1 , où
Après avoir rappellé précisément les résultats de [ 1 1 et [ 21 nous
considérons un polynôme P à coefficients réels tel que
P(tl ,t2) > 0 pour tout (tl,t2) E R+2
et P(tl ,t2) + lorsque (tl,t2) +=, et nous donnons une condition suffisante pour que l'abscisse de convergence de la série Z(P,B)(s)
soit donnée exactement par le polygone de Newton de P.
00
( t
Pour tout vp= (va)
l'ensemble des
Supp P , vaErni, nous définissons
m
1
s) où cette cont
m1 --1 m2=1 ((ml-m2)2+m1)
dition n'est pas réalisée et où l'abscisse de convergence (3/2) est
strictement supérieure à ce qu'aurait donné le polygone de Newton (1).
sur
Tout ceci ne permet pas de dire si l'on peut prolonger Z(P,B)(s)
(C.
A la fin, nous donnons des hypothèses qui semblent raisonnables pour
obtenir le prolongement sur (C ainsi que les résultats de [21.
Nous donnons un exemple
(certains des m.
pouvant être infinis). Notons V(P)
1,j
sommets de 6(P) et Vi (P) 1' ensemble Fi f i V(P) .
A chaque face Fi de c(P) , nous associons 1'ensemble Si(B)
si(B,vP), pour tout vp. Nous notons encore
des
2) Résultats sous les hypothèses de Mellin et r = 2
Nous supposons dans tout ce paragraphe r = 2 et Re(aa) > O
pour tout a E Supp P Alors l'ensemble des p61es de Z(P,B) (s) --estconR
tenu dans U Si(B). Ces pôles sont au plus d'ordre deux, et au plus
i=l
d'ordre un en un entier négatif. Supposons que nous ayons indicé les faces de ((P) par pente croissante. Nous allons donner les résidus au
p61e s = soE Si(B) tel que so= si(B,vp) soit différent de
si+l(B,vP) et
si-1(6,~~).Cette condition nous assure que le @le
en s=so est simple ou que le point s = sO est un point régulier
(c'est un point régulier si -soEN).
Si la droite qui passe par l'origine et le point de coordonnées (Bl,B2)
coupe Fi en un point intérieur, alors
.
Posons encore, pour 2 5i5 - 1
Définissons
...,RI
Alors pour j €Il,
pour 2 ~ i l R - 1
la sommation étant étendue à tous les i et vp tels que si(B,vp) = so
et ci(P,vp) désignant des nombres algébriques sur K indépendants de
B
En particulier 1'abscisse de convergence est s = fi(B1,B2) où i
est l'indice d'une face de c(P) coupée par la droite passant par l'origine et le point de coordonnées (BI ,B2) . Le pole en s = fi(Bi ,B2) est
simple si cette droite coupe c(P) en un point intérieur de Fi et le
résidu est
n
où a i et aOi sont les éléments de Vi(P) et IE est le contour de
Hankel qui part de 1 suit l'axe réel jusqu'au point E, contourne l'origine sur le cercle de centre O et de rayon E dans le sens inverse
des aiguilles d'une montre et suit de nouveau l'axe réel de E à 1. On
2 tels que
remarque que G (Bl,BZ) est définie pour tout (B1,BZ)E R +
pour tout va, va€ N
a E Supp P
a E Supp P
Nous ne discutons pas ici les valeurs aux entiers négatifs.
3) Résultats de 11 1
Nous considérons ici
m
P(X ,,..., X,) = cl<' + ... + crXr'+R(X~ ,...,Xr) où chaque monôme X" de
R vérifie (mi/mi)5 1 et ai # mi. Alors S(P) n'a qu'une seule face
non parallèle aux axes, qui coupe les axes en des points de V(P) . Nous
faisons les hypothèses suivantes : Re (P(tl ,...,tr) 1 > O et
Re(Pl (tl,...,tr)) > O pour tout (tl,...,tr) E R~ , tel que ti2 O p u r
tout i et (tl,...,tr) * (O,.. .,O). Posons m = ml . m, et
B = (Bl /ml)+ . + (Br/m,) . Nous montrons des résultats du même type que
convergente pour
sous les hypothèses de Mellin : la série Z(P,B)
Re(s) >B, se prolonge sur (C en une fonction méromorphe dont tous les
1
pôles sont simples et appartiennent à l'ensemble rnZZ;
les entiers négatifs sont des points réguliers. Les résidus de r(s)Z(P,B)(s)
s'expriment comme combinaison linéaire à coefficients dans K d'intégrales du
..
..
Théorème. Si la droite passant par l'origine et le point de coordonnées
(BI ,BZ) coupe S(P) en un point intérieur de Fi et si Pi(t ,t2) > 0
pour tout (t ,tZ) E
, alors 1' abscisse de convergence de Z(P,6)
est fi(B1,B2). Si Fi n'est pas parallèle aux axes, le résidu au pôle
simple est
RI
( 0 )
sinon ce résidu est
( 0 )
k
Preuve. Notons
où IcIl,2,...,r), D I = I(tl ,...,tr)EIR+r It.=O
si ikI3, et lep*
1
lynôme P
s'obtient à partir de Pl en faisant Xi = O si i f?1.
1 ,I
En particulier l'abscisse de convergence se trouve en s = B avec
Z(P,B> (SI et f(P,B)(t) sont reliés par la transformée de Mellin : pour
Re(s) grande
comme résidu.
Pour montrer le théorème, il est nécessaire et suffisant de montrer que
Ce résultat s' obtient en cherchant le développement asymptotique de
00
Z
n1 =1
...
BI-1
E
nr=1
nl
Br-1 -P(nl,...,n r)t
... nr
e
pour t
'O, t > O.
Les intégrales (1 5) sont étudiées dans [ 51.
II - Abscisse de convergence de Z(P,B)
( 0 )
Nous considérons ici un polynôme à coefficients réels tel que
P(tl ,t2) > O pour tout (tl,t2) E R+2 et P(tl ,t2) + +- lorsque
(tl,t2)
W.
'
et ai est le résidu.
1) Nous allons tout d'abord faire la démonstration dans le cas où
Fi n'est pas parallèle aux axes.
Cl91
Notons
(BI ,B2)
mi = mi,lmi, et Bi = m.1f.
1
Montrer (18) est équivalent à montrer que
B.
m.
lim t '~(P,B) (t ')
t-to
=
On est donc ramené à étudier
ai I. (fi(B1 9 B 2 1 )
Nous homogeneisons le polynôme P par rapport à la face Fi. A chaque
"ESuppP nous associons ci3€ ïN défini par
où Pi est un polynôme quasi homoggne de poids (mi,
Pour montrer que
et nous définissons
il est nécessaire et suffisant de montrer que Z(Pi,B)(s)
a pour abscisse de convergence fi(B1 ,B2) avec un pôle simple en ce point de résidu
ai = bi/r(fi(B1 ,B2)).
Notons
Il est facile de montrer qu'il existe C > O tel que
Nous étudions
00
car on remarque que si l'on pose xl =
00
mi,2
t
, x2 = tmi,1 et y = t ,
IPi(tl,t2) 1 > C T Itl"
ami
pour tout (tl,t2) E IR2 ,
,.
si et seulement si Pi ne s'annukpas en dehors des plans de coordonnées.
Puisque par hypothèse Pi(tl ,t2) > O pour tout (tl,t2) E IR: , alors
I~~(t~,t~)1
> C T ta pour tout (tl,t2)5R2 Donc
"@ri
.
Nous avons donc a chercher
2
Tout dl abord, pour (xl,x2) E IR+ , la fonction
est continue sur
[ 0,ll
et donc
Donc Z(Pi,B)(s)
est convergente pour Re(s) >ao avec ootfi(B1,B2).
Pour montrer maintenant que l'abscisse de convergence est exactement
fi(B1 ,B2) avec un p61e simple en ce point de résidu bi, nous utilisons
une idée de Zagier [41. Nous étudions
En effet, on a
Remarque. Même si l'intégrale
Nous voulons montrer que f(SI qui est analytique pour Re (s) > fi(BI ,B$
se prolonge pour Re (s) > a avec a t fi(B1 ,B2)
est convergente, le théorème ne s'applique pas si Pi(tl,t2) s'annule
en dehors des axes de coordonnées. (exemple :
0
0
0
0
1
ml=l m2=1 ((ml-m2) +ml)
E
I
a pour abscisse de convergence a = 3/2)
Dans tout ce paragraphe, on a étudié l'abscisse de convergence,
mais rien ne permet de dire qu'il y ait prolongement méromorphe sur (C.
Il semble raisonnable de conjecturer que l'on peut obtenir les mêmes résultats qu'avec l'hypothese de Mellin en supposant que pour tout i,
1 ~ i ~ a
On en déduit donc que
Re(Pi(tl ,t2)) > O
est convergente pour Re(s) > fi(B1 ,B2) - +m
pour tout (tl,t2) E R:
.
.
1,1
Donc le théorème est démontré pour Fi non parallèle aux axes.
2) Supposons maintenant que Fi=F1
Montrer (18) est alors équivalent à montrer
Cet article a été écrit pendant que l'auteur était à l'IHES,
(*) p. 39
et remercie l'Institut de son hospitalité.
Nous faisons le même raisonnement que précédemment et nous sommes ramenés
à étudier l'abscisse de convergence et le résidu au pôle de Z(Pl,B) ( a )
où
Donc
d'où le résultat.
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
Enoncés heuristiques sur les groupes de classes
BIBLIOGRAPHIE
Henri C M N
P. Cassou-Noguès.- Prolongement de certaines séries de Dirichlet,
American Journal of Math. Vol 105, No 1 (1983) 13-58.
P. Cassou-Noguès.- Prolongement des séries de Dirichlet associées
à un polynôme à 2 indéterminées. Preprint I.H.E.S.
W. Mel1in.- Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funk-
tionen von endlichen Gischlecht, Acta Soc. Scient. fennicae 29
(1900) No 4.
D. Zagier.- A. Kroneker limit formula for real quadratic fields,
Math. ANI. 213, (1975) 153-184.
P. Cassou-Noguès.- Valeurs aux entiers négatifs des séries de Dirichlet associées à un polynôme. II. à paraître à l1American
Journal of Math.
9 1
-
Constatations expérimentales
Le travail que nous présentons ici a été fait en commun avec
H.W. Lenstra, Jr. Sa motivation provient du désir de comprendre, au moins
de façon heuristique, un certain nombre d'observations expérimentales sur
les groupes de classes de corps de nombres. Ces observations ont été faites par plusieurs auteurs depuis fort longtemps (voir [ 1311 , et ont été
confirmées par les tables beaucoup plus étendues dont nous disposons mai^
tenant (voir par exemple [ 1 1, [ 21, [ 6 1, [ 1 1 1) . Les trois suivantes sont
probablement les plus importantes :
A) La partie impaire du groupe des classes d'un corps quadratique imaginaire est presque toujours cyclique. D'ailleurs il est relativement difficile de trouver des groupes de classes dont le 3-rang soit supérieur
ou égal à 3, et on ne connait aucun exemple pour lequel il soit supérieur
à 5.
P. Cassou-Noguès
Mathématiques et Informatique
Université de Bordeaux 1
351, Cours de la Libération
F-33405 TALENCE CEDEX
B) Si p est un petit nombre premier impair, la proportion de corps
quadratiques imaginaires dont le nombre de classes soit divisible par p
est de façon significative supérieure à 1 /p (par exemple 43 % pour
p = 3 , 23,5 % pour p = 5 etc...).
C) On conjecture depuis Gauss qu'il existe une infinité de corps quadraavec p premier, p = 1 (mod 4) dont le nombre de
tiques réels ~(4)
classes soit égal à 1; les tables semblent même montrer qu'il en existe
une proportion p non négligeable, voisine de 76 %.
Dans le présent travail nous donnons des explications heuristiques
quantitatives de ces résultats ainsi que de bien d'autres, y compris pour
des corps de degré supérieur à 2. Dès à présent il est à noter deux points
importants :
- Tous les énoncés heuristiques que nous obtenons découlent essentiellement d'un unique principe général. Ce n'est donc pas une suite de
conjectures faites pour coller avec les faits expérimentaux et indépendantes entre elles.
En particulier
- Ces énoncés conjecturaux sont en très bon accord avec les tables,
avec les rares théorèmes dont on dispose sur le sujet ( [ 51 ) , et avec d'au-
Si l'on désire la probabilité g(p) pour que p divise le nombre de
classes d'un ordre quadratique imaginaire, on peut aussi obtenir une formule, trop compliquée à reproduire ici, et qui donne par exemple :
tres recherches heuristiques entreprises de façon complètement différente et uniquement dans le cas des corps quadratiques réels par C. Hooley
(i81).
S 2
(E3) La probabilité pour que r (H) = r vaut :
P
- Quelques énoncés heuristiques
Avant d'expliquer le principe général sous-jacent, je vais donner
un certain nombre d'exemples d'énoncés (conjecturaux) que l'on peut obtenir. Ceux-ci ont été annoncés dans [31.
(E4) Si n est un entier fixé, la valeur moyenne de
Il est sous-entendu que dans un ensemble de corps de nombres, ces
corps sont ordonnés en fonction de la valeur absolue de leur discriminant.
Notations :
est égale à 1.
r- (Hl
En particulier la valeur moyenne de p
est égale à 2, la valeur
Zrp(Hl
moyenne de p
est égale à p + 3.
En particulier
~(2)
= 0,288788;
~ ( 5 )r* 0,760332;
nw(3) = 0,560126;
~ ( 7 )= 0,836795.
Remarque : cet énoncé est un théorème pour n = l et p = 3, do à Davenport et Heilbronn ([SI).
II) Corps quadratiques réels
Nous conservons les notations du cas imaginaire.
1) Corps quadratiques imaginaires
(ES) La probabilité pour que p divise h vaut ici :
Soit H la parties impaire d'un groupe de classes de corps quadratique imaginaire, h = Card H, et p un nombre premier impair. Nous désignerons par r (H) le p-rang du groupe abélien H.
P
(El) La probabilité pour que H soit cyclique vaut :
(E6) La probabilité pour que r (H) = r vaut
P
p-r(r+1)riw(p)
Il
1tktr
-
(E2) La probabilité f(p)
pour que p divise h vaut
(1-P-
1
n
(l-p-k)-
1 tktr+l
(E7) La valeur moyenne de
(n fixé
rp(Hl
est égale à p-n. En particulier la valeur moyenne de p
est égale
Zrp(Hl
à 1 + p-l, celle de p
est égale à 2 + p-l + p-2.
Remarque : cet énoncé est un théorème pour n = l et p = 3, dQ à Davenport et Heilbronn ([SI ) .
(E8) Si L est un groupe d'ordre R impair, la probabilité pour que
ff soit isomorphe à L est égale à :
(2RCwig(2) Card (Aut L))-'.
En particulier la probabilité p(R) pour que le nombre de classes d'un
corps Q(6) soit égal à R (où p est premier congru à 1 modulo 4)
vaut :
où 5
(s) est la fonction zêta de Dedekind du corps cyclotomique
4(PJil
Ceci donne 75,446 % pour que p = 2 comme nous l'avons déjà vu,
85,O % pour p = 3 , et tend vers 1 quand p +W.
(Ell) Pour les extensions cubiques cycliques, la probabilité pour que le
nombre de classes soit pair (ou divisible par 4, cela revient au même)
est égale à
5 3 - Principe général de la méthode
a) Corps quadratiques imaginaires
La principale indication expérimentale dont nous nous servons
est l'observation A : les groupes non cycliques sont rares. Considérons
un exemple précis :
(E9) Notons h(p)
x + w :
le nombre de classes de Q(Ji).
Alors quand
a) n h(p)-g
X'P
b) La probabilité pour que h(p) > x est équivalente à 1/2x.
Dans ces deux conjectures, p parcourt l'ensemble des nombres premiers congrus à 1 modulo 4.
Remarque : Ces deux énoncés ont été obtenus à l'aide d'une méthode heuristique complètement différente par C. Hooley.
III) Corps de degré supérieur à 2
Tout se généralise sans difficulté aux extensions abéliennes de Q.
Nous ne donnons que deux exemples :
(E10) Pour des extensions cycliques totalement réelles de degré premier
p (y compris p = 21, la probabilité pour que la partie première à p
du nnmbre de classes soit égale à 1 vaut :
Supposons que le 3-sous-groupe de Sylow du groupe de classes
d'un corps quadratique imaginaire soit de cardinal 9 (ceci devrait se
3
produire avec une probabilité de %riw
(3) = 10,s %).Ce 3-sous-groupe
doit donc être isomorphe à ïZ/9 îZ ou a (Z/3 22)' . ûr les tables montrent que (ïZ/3ïZ)2 est beaucoup moins fréquent. Pourquoi ?
Une explication est que le proupe des automorphismes d'un groupe cyclique est plus petit que le groupe des automorphismes de tout autre
groupe abélien de même cardinal. Dans notre exemple, Card (Aut(Z/9 Z))= 6
= 48. L'hypothèse heuristique de base que
alors que Card(Aut(W3 z)~)
nous ferons dans le cas quadratique imaginaire (pour éviter d'avoir des
unités) est que les classes d'isomorphismes de groupes abéliens finis G
doivent être munies d'un ''poids" proportionnel à l/Card(AutG) . Ceci
est analogue aux "formules de masse" que l'on rencontre très fréquemment
en mathématiques, et où le poids convenable est effectivement l'inverse
du nombre d'automorphismes.
Pour notre exemple, cela est en bon accord avec les tables puisque
l'on rencontre le 3-sous-groupe iZ/9 ïZ environ 8 fois plus souvent que
(Z/3
?O2.
Une autre façon d'énoncer notre hypothèse heuristique est la suivante : soit E un ensemble de cardinal n. On montre facilement que le
nombre de structures de groupes abéliens sur E qui sont isomorphes à
un groupe abélien donné G à n éléments, est égal à n!/Card (Aut G).
Donc pour un cardinal n donné, mettre un poids proportionnel à
1/Card (Aut G) aux classes d'isomorphismes de groupes abéliens équivaut
poids sur les structures de groupes abéliens.
à mettre le
Si f est une fonction définie sur les classes d'isomorphismes de
groupes abéliens finis d'ordre impair et à valeurs positives ou nulles
(par précaution) notre hypothese heuristique, dans le cas des corps quadratiques imaginaires est que la moyenne de f pris sur les parties impaires de groupes de classes (en un sens évident) est égale à
d'autres termes, nous supposerons que la partie impaire d'un groupe de
classes ce corps quadratique réel se comporte comme un quotient G/cg>,
où G est un groupe abélien fini "au hasard1' (pour les poids
l/Card(AutG)),
et g est un élément pris au hasard dans G.
La justification de cette hypothese n'est pas très
lisant les idées de Shanks et Lenstra (voir [IO] et [91)
que G devrait être le "groupe" des formes réduites, et
principal. On interprète ainsi l'égalité h = hR/R, où
gulateur.
C)
M(f)
=
r f(Gimpair)/Card (Aut G)
limCard GLx E
1 /Card (Aut G)
X-fOO
Card Glx
facile. En ution peut dire
cg> le cycle
R est le ré-
Corps de degré supérieur à 2
Si K est une extension abélienne de 0, de groupe'de galois
r, son groupe de classes h(K) est non seulement un Z -module fini,
mais un Ar = Z [ F I / (Eu)-module fini, puisque la norme d'un idéal est
Ml''
où les somations sont prises sur les classes d'isomorphismes de groupes
abéliens de cardinal inférieur ou égal à x.
principal. Il faut donc remplacer dans ce qui précède "groupe abélien"
par ll~-modulell.
De plus il faut tenir compte de l'action de r sur le
groupe des unités. Les détails ne présentent pas de problèmes particuliers
Remarques :
1) Nous nous restreignons à la partie impaire, car le 2-sousgroupe de Sylow possède des propriétés très particulières dues à la thée
rie des genres et des classes ambiges.
2) On pourrait remplacer le poids 1 /Card (Aut G) par un poids du
type I)(Card G)/Card(Aut G) , où I/J est une fonction régulière (surtout
pas une fonction arithmétique ! ) . On peut montrer que pour une large famille de fonctions I) incluant les polynômes non nuls, la valeur de
M(f) donnée par la formule analogue à la formule ci-dessus ne dépend pas
de 9. Il est donc raisonnable de prendre JI = 1 .
b)
Corps quadratiques réels
Ici nous introduisons une difficulté supplémentaire provenant
de l'existence d'un Z-module de rang 1 d'unités. L'hypothèse heuristique que nous ferons dans ce cas est :
I
M(f) = lim Gard GLx
x*
(~ardG)-' 1 f( (G/<g>)impair) /Card (Aut G)
gEG
Z
1 /Card(Aut G)
Card GLx
où cg> désigne le sous-groupe cyclique de G engendré par g. En
5 4 - Résultats algébriques et analytiques
Il reste à évaluer le comportement asymptotique de sommes du type
f(G)/Card (Aut G)
Z
Card G5x
et de sommes analogues pour d'autres classes de corps que les corps quadratiques imaginaires.
outil essentiel est donné par le théorème suivant, dont la démonstration est facile :
Un
Théorème 4.1. Soient K et C deux groupes abéliens finis. Alors :
r Card {G1 sous-groupe de G : Gl=K et G/G1=CI/Card (AutG)
G à isomorphisme près
= 1 / ( (Card (Aut K) ) (Card (Aut C) 11 .
Si l'on pose
w(n)
=
r
Card G=n
à isom. près
1 /Card (Aut G)
on déduit du Théorème 4.1 les propriétés suivantes de la fonction W(n):
Théorème 4.2.
(il
(ii)
II w(d)=
dln
nw(n)
II w(n)n-s
n~1
=
=
(iii) w(n)
n
=
...
<(s+l)~(s+Z)
n n (1-p-k-s)-1
P l,k
1 (1 - 1
(p"(l
- -1
pall n
1
,(1 - -1)
-1
P"
P
(cette dernière formule est due à P. Hall, 171)
(iv)
E w(n)=
CLogx+D-+O
(
Log x)
nLx
où Cm= 5(2)5(3)
...=
2,29485659... et
Dao
est une constante explicite
Il résulte de ce Théorème qu'il existe des constantes strictement
positives A et B telles que
II w(n)nmS = 5(s+1 )5(s+2). .. doinll
vent intervenir, et donc en particulier des fonctions méromorphes d'ordre ? (et non pas 1 comme les fonctions L ou < de corps de nombres).
La fonction W(s) est d'ailleurs amusante à étudier : son produit Eulérein est formellement identique à celui de l'inverse des fonctions zeta
de Selberg (qui sont bien d'ordre 2 ! ) en remplaçant nombres premiers par
normes de matrices hyperboliques primitives (dont on sait qu'elles satisfont au théorème des nombres premiers). Bien sar, W(s) ne peut pas satisfaire à l'hypothese de Riemann. Toutefois elle possède une espèce
d'équation fonctionnelle :
tions du type de la fonction W(s)
=
Proposition 5.1. Si on pose
(s-1)Cs-2) - 22
f(s) = 2
n
(r2(s)r(s/z)-l
alors A(s) est une fonction périodique de péet A(s> = - f(s)f(-s),
riode 1. (r2 est la fonction double gamma de Barnes, qui intervient au
aussi dans l'équation fonctionnelle de la fonction zéta de Selberg, voir
[121).
En effet il n'est pas difficile de voir que cette proposition est
équivalente à l'équation fonctionnelle de la fonction zéta de Riemann.
Remarque. Il se trouve que la constante C est également le nombre
moyen de classes d'isomorphismes de groupes abéliens d'ordre donné. Toutefois, dans ce contexte là, elle apparaft comme le résidu en s = 1 de
la fonction 5(~)<(2~)5(3s) ..., qui est une fonction fort différente de
la fonction 5(s+1)5(s+2). . .
.
Il est maintenant facile de voir que les résultats ci-dessus, combinés avec des théorèmes taubériens convenables permettent d'estimer les
sommes voulues. Nous ne rentrons pas dans le détail ici, en référant le
lecteur à [41.
S 5
- Conclusion
Une question qui vient évidemment à l'esprit est la suivante : corn
ment démontre-t-on tout celà ? Il est bien évident que je ne connais pas
la réponse. Toutefois le fait que la constante C intervienne explicitement dans plusieurs énoncés (El, E8) et les "facteurs locaux" correspondant (essentiellement qoO(p)) dans les autres, implique que des fonc-
Une surprise attend alors celui qui essaye de faire tracer par ordinateur la fonction A(s) : on constate expérimentalement que A(s) = 1 !
comme A(s) est holomorphe et s'annule aux zéros de la fonction zéta ceci est impossible. Le mystère réside dans le produit de Hadamard de A(s).
On démontre :
Proposition 5.2.
où le produit est étendu sur tous les zéros non triviaux de la fonction
zéta de Riemann tels que Imp>O.
Le premier tel zéro étant 21 +14, 1 i , on en déduit aisément que
sur la droite réelle A(s)
est effectivement égale à 1 à 1
0 près
~ !~
ûn peut aussi se demander si ce type de méthode heuristique ne peut
pas s'appliquer dans des situations assez différentes, par exemple pour
~
les groupes de Tate-Shafarevitch d'une courbe elliptique donnée, tordue
par des caractères quadratiques.
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Henri COHEN
L.A. au C.N.R.S. No 226
U.E.R. de Mathématiques et
d'Informatique
Université de Bordeaux 1
351, Cours de la Libération
F-33405 TALENCE CEDEX
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984Birkhauser Boston,Inc.
ARITHMETIC VARIETIES AND RIGIDITY
Dr. G. FALTINGS
1
-
Introduction
1 intend to give some applications of rigidity-arguments in the
theory of Shimura-varieties. Essentially it is shown that al1 toroidal
compactifications of arithmetically defined locally symnetric hermitian
spaces have models defined over numberfields. As corollary we obtain for
example that spaces of modular forms are generated by forms with algebraic
coefficients in their q-expansion. Although the results have been expected by the experts, at least this last result does not seem to be quite
obvious for them (compare [Dl , [Gl)
.
The method of proof is a rigidity argument, similar to the fact
that a rigid variety is automatically defined over ip (= algebraic closure of Q) , as has been observed by Shimura ( [ Shl) . The new invention
consists in using not just one variety, but a whole category, namely the
category of al1 toroidal compactifications of al1 arithmetically defined
quotients of a fixed bounded symmetric domain. 1 have found out about t k
trick during conversations with my colleague Ulrich Stuhler, and it has
to be considered comon property of'us two. It came up first in the theory of Drinfeld-modules, and Stuhler just looks at its implications there,
while 1 use it for Shimura-varieties. The new technique has the advantage
that one can treat al1 types of synunetric bounded domains, not only those
related to the Siegel-space.
As usual when dealing with semisimple Lie-groups one needs some notations, which will be introduced next. After that we make the necessary
technical arguments, give statements and proofs of the main result, and
close by a list of open problerns. After completing this work 1 have learned that recent work of M. Borovoi and D. Kajdan leads to much better results. As their methods are much more involved than ours, and as they do
not obtain al1 results of this paper, 1 think that the ideas used here
Under the mapping
merit publication.
2
- Notations
G denotes a semisimple algebraic group, defined over Q, G(R)
its set of real points, and KcG(R) a maximal compact subgroup. We assume that the associated symmetric space
has an invariant complex structure, so that D is a bounded syrrnietric
domain. rcGQ always denotes a neat arithmetic subgroup. We consider
the Baily-Borel-compactification X* = r\D* of X = r\D, as well as the
varioustoroidal compactifications X of X, corresponding to certain
cone-decompositions ( [AMRTI) .
Here D* is the union of D and its rational boundary components,
and X* is the union of X and arithmetic quotients XF = rF\F, for
a finite number of rational boundary components F of D.
each irreducible component of any Yi gets mapped ont0 the quotient of
one of the boundary components of D, and each such quotient can be obtained this way. Thus the mapping
is in a suitable sense a map of stratified varieties.
\'cX*
is an irreducible component of one of the strata of
F
choose an irreducible component Z 5Yn - Yn+l mapping ont0 'Fr
If
X* ,
r~
of minimal dimension. If
denotes the generic point of Z, the completion +,n of the local ring of Tf in ri is isomrphic to
k(q) [ [qi1 1, with k(n) = residue field of C
L
x/n y
is the (unique) fixed point of a maximal t e
rus HcG, defined over 4, for which H(R) is compact. We also cal1
D
special point the image of such an p in a quotient X = r\ .
A special point p E D
-
If F is a rational boundary component of D, we have a fibration
DcD,
coordinates, which span the dual lattice of U(F)(IR)
l
t r)
This corresponds to Fourier-Jacobi-Series,see [AMRTI, Ch. IV, 5 1.
DF/UF((C) -+
F
3
where UF((C) are the complex valued points of UF, the centre of the
radical of the normalizer N(F) of F ([AMRTI, Ch. III, 5 4).
For r as above UF(R) n r is a lattice in the vector-group
UF(R), and r-invariant functions or differential forms can be expanded
in Fourier-series. We can express this as follows :
D
Let X be a smooth toroidal compactification of X = r\ , such
that X- X is a divisor with normal crossings. We thus obtain a stratification
of X, with Y1 = X - X , Yn+l= singular locus of Y,,
for n l 1 .
-
Preliminaries
We denote by X L, X a smooth toroidal compactification of X,
such that A = X - X is a divisor with normal crossings. X has a natural hermitian metric, given by a (1 ,1 ) -form w on X. The behaviour câ
w near the boundary has been determined in [Ml.
The result is that w is of Poincaré-growth, which means the following :
If z1,...,zr,t, ,....,ts are local coordinates on X, such that
K - X is given by zl,...,zr = O , the form w is bounded by
(In [Ml, such an estimate is shown for the curvature-form of a line-bundel ("good metric" p. 242). But w is such a curvature form)
.
By Our assumptions on the metric on E and by the the l e m the sections
i(x,KP) are L ~ . Furthermore a" has a differential operator
We shall need some corollaries. Denote by
as forma1 adjoint, and a repetition of the proof of Proposition 1.2 in
[Ml shows, that for
Mumford's extension of the tangent-bundle on X.
L e m 1.
a) If d is a cm-section of O over X, )(t911 is bounded on X.
g over K, a is L~ :
b) If a is a cm-section of R P
(i.e., the singularities of the metrics do not matter)
As usual, we denote by
O"
the operator
Proof : a) is immediate, and for b) we use that the integral is given up to a positive real factor by (d= dim(X))
O"
is elliptic on X.
We have an orthogonal decomposition
plus local estimates.
We use this to apply Hodge-theory :
(
=
topological closure) ,
Let E by a complex vector-space, on which K operates. There is an associated bundle E on X with an extension E to X, such that the
hermitian metric (given by a K-invariant form on E) on E is good on
X ([Ml, p. 242).
where H~ consists of the L2-sections of KP annihilated by a" and
m
6" as distributions. The elements of HP are e on X, because they
are annihilated by O".
We assume that E has the property a) of the proceeding l e m , that is,
cm-sections of E have bounded nom.
If a E r(X,KP) is a"-closed and this represents a cohomology class
[al E HP(x,E), a is an element of L~(K~), and its orthogonal projection ont0 HP depends only on [al . We have defined a mapping
The cohomology-groups HP R, E)
are computed via Dolbeault-complex
L e m 2.
with
This is an injection.
KP =
cm E-valuted forms of type
(0,~).
Proof : If [a] lies in the kernel, a is in the L2-closure of
~"(~(X,KP-~)) (as it is perpendicular to ~"(~(X,KP'~)) )
We want to
show that a vanishes, and by Serre-duality it is sufficient if its cup-
.
product with any class
[ 61 E H d -(~,nXs
~
Et)
vanishes.
a family of derivations of K,
Here 6 is a ë-E*-valued (d,d-p)-form, and we must compute
k = n Ker
iEI
(ai)
their fixed-field.
We can look at this as a linear form in a, which vanishes on
2
) . If we show that 6 is L , its value at a will be z m .
Yt(r (x,8-1
4
But the metric on
s E* fullfills the boundedness-condition : It is
derived from a metric on <(A) s E*, which is good at A and thus has
only logarithmic growth at the boundary . The n o m of a cm-section of
d E* then has to go to zero near A. Finally we need the following
ilX@
technical result :
If X is a proper smooth K-scheme, and AcX a divisor with normal
7
crossings, we denote by O the dual of Rx[log
Al . Deformation theory
gives Kodaira-spencer classes
and if al1 ai vanish the pair (X,A) can be defined over k. Furthermore this k-mode1 is unique if r(X, O) = 0. Finally for a mapping
L e m 3.
of pairs as above, with f defined over K and f(Al) 5 A2, the Kodairaspencer classes for X1 and X2 have the same image in H1(XI,f*O 2)
under
Proof :
Suppose $ € r (x,@).
The metric on O gives a connection V, and V$
is a
O-valued cm (1 ,O)-form on X. A forma1 calculation as in the
proof of [Ml, Proposition 1.3 shows that
-
The left-hand side is square of the n o m of VI$ and non negative. On the
right-hand side attV$ is the curvature form applied to O . By purely
formel calculations one knows that this curvature form is negative, so
the right-hand side is non positive. Thus both sides vanish, and V$=O.
The pullback of $ to D is then a G(R) -invariant vector-field on D.
It is known that such vector-fields have to vanish.
4 - Rigidity
We need some results from deformation theory. Suppose K is an algebraically closed field of characteristic zero,
Also, if (XI, Al) and (X2, A2) are defined over k there are KodairaSpencer classes for f in T(Xl,f* O 2) , which vanish if and only if f
is defined over k. We apply this in the following situation :
K , k = Q = algebraic closure of 4
, {ai,iEI}; al1 derivatiors
of C. As algebraic manifolds we take al1 smooth toroidal compactifications X of X = r\ D , for which A = X - X is a divisor with normal
crossings. Here D is a fixed synnnetric bounded domain, and r runs
through al1 neat arithmetic subgroups of G(Q), for a fixed Q-structure
on the automorphism group G(IR) of D.
mappings f between two such compactifications (XI,Al1 and (X2,a2)
D
P we take al1 mappings induced from elements
of X1 =
1
and X2= r2
y € G(Q) with YrlY-l F2. We write such a mapping as
As
If r1 and r2 are neat arithmetic subgroups of G(Q),
yl,. ..,yr E G(Q) finitely many elements with
Theorem 1.
and
a) Al1 pairs (X,A) have a unique Q-structure
b) Al1 mappings
then there exists for any pair of compactifications X1 and
D
X l = rl\D and X2= r2D, a compactification X3 of
x2
of
are defined over 7lj
we obtain mappings
C)
If X* denotes the Baily-Borel compactification of X =
can be defined over Q, such that the subvarieties
D , X*
and
belonging to rational boundary components F of D are defined over
Q, and have the Üj-structure given y a) (for F instead of D) .
(this is a fact about rational subdivision of cones).
If
a
is a derivation of
(C,
-
we obtain classes
dl The @structures on the quotients X = r\D are uniquely determined
by any one of the two facts below :
i) special points are Q-rational
and by paragraph 3, L e m 2 we obtain via orthogonal projection a
invariant harmonic form î((a) on D.
r-
As the various K(a) for different choices of X are compatible via
the mappings induced from G(Q), it is easily seen that the different
c(a) coincide, and give a G(Q) -invariant harmonic form on D. As the
topological closure of G (Q) contains the identity-component of G (IR) ,
this form is also invariant under this component. It is then easy to derive that it must vanish.
ii) al1 mappings y are defined over Q.
Proof :
a) and b) have been shown already. For c) we use that X* is defined as
the closure of the image of X under the projective embedding given by
sections of , A
) 1 >> 0 (w (A) = nd Q Ilog A 1) .
x
X
Thus X* and the mapping
(X,A) is defined over ip,
?
X -+ X* are defined over
@. As the pair
the same is true for the stratification
Thus al1 paires (X,A) are defined over @. As furthermore for any of
Our mappings
of X, and thus for
and as r(X,O) = O
(paragraph 3, L e m 3) ,
this Q-structure on (the (X,A) is unique, and also the y's are defined over Q. We thus have already shown the first two parts of
\F
r~
which is the image of an irreducible compo-
nent some Yn - Yn+,. That this is the correct @-structure can be seen
by part d) ii) , if we let act G(Q) on the various XX1s (instead of
the Ils). For d) it is clear that statement i) determines the q-structure, as the special points are Zariski-dense in X. We show that ii)
implies il, that is, that the special points are determined via the yls.
D
So assume that we have fixed @structures on al1 X = r\ , such that fbr
-1
y r l Y Zr2
the map
is defined over Q.
Let H c G a maximal toms, defined over q, such that H(IR) is compact, and denotre by p E D the unique fixed-point of H(R) . We have
D . to show that its image X in any X = r\
1s Q-rational.
We can find elements 1
=
.
yl,.. ,yr E H(0, such that
a) p is the only common fixed-point of yl,y2,... ,yr on D.
b) There is an open neighbourhood U of p in D with the following
property :
A, the harmonic theory applies and shows again that these classes vanish. This is the case for dim(E) = l or if E comes from a representation of a normal compact factor of G(R) . Now any E can be built
from those bundles together with O, by using tensor products, duals,
and direct sums.
5
- q-expansions
Let X = rx'c~and X* denote the same things as before. By [Ml,
Proposition 3.4 the modular f o m of weight
1 on X are the sections
over X of (w (A) e 1 .(o = a xd , d = dimX).
x
x
We may ask whether such a section is defined over Q. For this choose
a rational boundary component F of D, and fibre D over F (as in
paragraph 2)
If &Er, 6 + 1 , then
(for this, choose the y
j
Now choose
close to the identity).
Choose coordinates z 15j z r on U(F1,
j'
r n U(F) contained in C(F) .
Then any section
which are dual to a basis of
r l ~ rwith
If X, denotes the image of p in X1 =
of the algebraic set
D
, x1 is an isolated point
(xl is the only such point which is in the image of U)
As this algebraic set is defined over ai, so is xl, and its image x.
Thus Theorem 1 has been proved.
Remark :
One can also show that for any complex representation E of K (now
again, KcG(R) is a maximal compact subgroup) the corresponding bundles E on the Xfs are definable over Q : Here the Kodaira-Spencer
classes lie in H1 (X,End(E)) . If the metric on End(E) is bounded near
gives an U(F) r l r
invariant form on D, and thus has a Fourierexpansion
.
where the fn ,.. ,
are sections of the bundle induced by u-(A)
1
r
x
on DF/U(F) (O) (Fourier-Jacobi expansion, compare [ M T ] , chapter IV,
paragraph 1 ) .
@
-
If Z c A denotes an irreducible component of minimal dimension of a straX*) ,
tum Yn- Y
mapping ont0 N(F) r\F (under X
the fn ...nr can be seen as section of
l. As Z is defined
1
over 8, it makes sense to ask whether the fn ..nr are Q-rational.
1
(~y)
@
.
We have something similar to an action of N(F) (0) on R. To make this
more precise choose y EN(F) (Q), Tlci' such that we have maps
Theorem 2.
f is defined over
if and only if al1 coefficients
fnl ..."r
are
Proof :
denote the generic point of Z, k(n) its residue field over q,
its residue field over (C (kl(TI) = quotient field of k(0) 0).
-Q
If R = 8denotes the forma1 completion of the local ring of X in
x,n
n (over Q), and R1 its analogue over D y we knnr that
RE R1 = k1(QI
[ lql,.. ,qr11 (by local considerations).
Choose e E U(F) (R) and y E N(F) (Q) such that z . (e) > O, zj(y(e)) > O.
3
This implies that there exists an irreducible component Z of a stratum of XI, which is mapped ont0 Z by id and y , (Z1 corresponds
to "completion in direction e"). The pullbacks by id and y of a monomial (cl*ql) nl .. (cr qr)RI. then lie in the completion of the local
ring of X1 in the generic point of Z1, over Q.
We show that the q are elements of R, so that
j
There exists a number N > O, such that
Let
kl(q)
.
From this Our clah follows easily.
ni R and R1 we have an action of the group U(F)
(0) : If y E U(F) (QI),
.
with mi€ îZ (the correct interpretation of this is left to the reader).
One derives that
we can choose
-
X12 X1 =
is algebraic over k(n).
\D
and a canponent of the stratification Zl5 A, , such that
rl
the mappings
As C (F) is homogeneous under N(F) (R) , one finds elements y E W(F) (q)
as above such that the vectores (Nnlml,...,Nnr-mr) generate
and
therefore the c are algebraic over k(n). As k(n) is algebraically
j
closed in kl(n) , they lie in k(0).
6,
id, y : X1 +
X
sends Z1 to Z, is unramified in the generic points of Z1 and Z,
and induces a birational isomorphism between Z1 and Z. This gives the
obvious definition of the action. If msR and ml5R1 denote the maon R/# and ~,/m: c m be diagoximal ideals, the action of U(F)(Q)
nalised. The eigenspaces correspond to different characters of U(F) (QI,
and are spanned by the monomials in ql,...,qr.
It then follows easily that first k(q) is canonically imbedded into R
as the space of U(F) (Q)-invariant elements, and that there exist non-zero
elements c.Ekl(~), l ~ j t r ,such that cj .qjER, and
3
R = k(n3 [[clql,...,crqrI I .
Corollary :
A ) is generated by forms with Q-rational q-expansions
,
@
X
Remark :
Things become simpler if dim U(F)
point.
6
-
((C)
=
dim (D) , that is, if F is a
Further comments
1) We have shown that the varieties X are defined over some number-field. It would be nice to have more information about this field.
The adelic presentation of [Dl seems to be better suited than Our naive
one for this type of question. 1 have learned that recently there has
been some progress for compact X, following the results of Kajdan ([KI).
2) The whole theory should be generalised to classifying spaces
for Hodge-structures ([Sc]). It works for the case of compact manifolds,
but in general much work still has to be done, starting with a compactification theory .
3) If the problems in 2) have been solved, we might obtain classifying spaces for motives. A natural question then whether for a variety
X defined over lj the point in the classifying space corresponding to
f l ( ~ , (is
~ )also defined over ip.
A. Ash, D. Mumford, M. Rapoport and Y. Tai.- Smooth Compactification of Locally Synunetrie Varieties, Math. Sci. Press.
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Prof. Dr. G. Faltings
Fachbereich Mathematik
Gesarnthochschule
Bergische üniversitat
Gauss Str. 20
5600 WUPPERTAL 1
ALLEMAGNE FEDERALE (R.F .A.)
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
AUTOUR DU THEOREME DE BOMBIERI-VINOGRADOV
E t i e ~ eFOUVRY
1
- Nombres premiers dans les progressions arithmétiques
Lorsque a et q (q2l) sont deux entiers premiers entre eux, le
cardinal des nombres premiers cx, congrus à a modulo q (noté
n(x;q,a)) tend vers + a avec x (théorème de Dirichlet). Le problème
est alors de trouver une formule asymptotique de n(x;q,a), uniforme en
q. Si lix désigne l'intégrale
le théorème de SiegelWalfisz (1936) s'énonce ainsi :
Pour tout A > O, il existe c = c(A) > O, tel qu'on ait la formule:
uniformément pour x 22
(a,q) = 1
et
(q (log xlA
.
On utilise plutôt (1) sous la forme plus simple :
Pour tout A ,xL2 et (a,q) = 1, on a
< (logx)-~-' et
Remarquons que la fonnule (2) n'a dl intérét que pour q se situe bien loin des formules espérées pour n(x;q,a) :
(3)
n(x;q,a) = (lix)/4(q)
these de Riemann généralisée)
+
OE (X /2+E)
(conséquence de 1'hypo-
Les formules (3) et (4) donnent une formule asymptotique respectivement
pour q 2x'/'-'et
q t x1 -2E
.
Toutefois, dans certaines applications (crible), on "diminue" 1' écart entre les formules (2) et ( 3 ) , des qu'on peut sommer sur q, autrement dit, utiliser, pour rr(x;q,a) , des formules asymptotiques en
moyenne. En 1965, E. Bombieri ([Il) et A.I. Vinagradov (1201) démontrèrent, dans la forme donnée par Bombieri, le théorème suivant :
Théorème O.
Pour tout A, il existe B = B(A) > O tel qu'on ait :
(Pour les travaux antérieurs, se reporter à [ 151).
Dans plusieurs questions d'arithmétique, l'emploi de (5) a ainsi évité le
recours à llhypothesede Riemann généralisée. Mais dans cette formule, on
pense que l'exposant 1 /2, peut être remplacé par 1 (conjecture dlElliott
et Halberstam [41)
.
Le théorème de Bombieri-Vinogradov n'est pas particulier à la suite
des nombres premiers, d'autres suites d'entiers vérifient des formules du
même type que (5). Il faut remarquer que toutes les démonstrations du
théorème de Bombieri-Vinagradov et des ses extensions (par exemple [161,
[211) ne conduisent qu'à la valeur 1 /2 de "1 'exposant de répartition"
et s'articulent sur trois points :
bonne répartition de la suite dans les progressions arithmétiques de
raison q 5 (log x) A
(B) expression de la fonction caractéristique de la suite étudiée sous
forme bilinéaire
(C)
On expose des résultats concernant l'existence de valeurs de
0>1/2, telles qu'on ait l'estimation :
Pour tout A et tout
E > O,
on a :
Pour 0 = 1/2, on reconnaît une forme affaiblie de (S), en général suffisante dans les applications.
Dans le paragraphe suivant, on s'intéresse d'abord à l'exposant de répaltition de la convolée de deux suites, pour passer ensuite à l'étude de
suites "approchant" celle des nombres premiers, cas le plus intéressant,
mais aussi le plus délicat.
II - Exposant de répartition et convolution
Soient
(a,,.)
et (Bn)
deux suites de réels vérifiant les condi-
tions
(il IamItL
lBn151
(ii) Pour tout A > O , et tous les entiers a, k et q avec
(a,q)=l, on a, pour x 1 2 :
(~(k) est le nombre de diviseurs de k)
Pour 6 > 0, M et N deux réels vérifiant M et N > 2 + (MN)&
nit la somme E(Q) = E(Q,M,N, (%), (B,) ,a) par la formule
on défi-
inégalité de grand crible :
et, on s'intéresse aux valeurs de 0 telles qu'on ait,pour tout
et tout A, l'estimation :
Dans le cas du théorème de Bombieri-Vinogradov, (A) est satisfait d'après
(2), et 1'identité de Vaughan ( [ 191) permet facilement de répondre au
point (B). Le grand crible est essentiel, mais son utilisation directe e m
pêche de franchir la valeur critique 1/2 de l'exposant de répartition.
E
>O
Les points (A) et (B) étant satisfaits, la valeur 0 = 1/2 convient
( [ 1 61 )
. On peut maintenant franchir cette valeur critique pour certains
Pour tout &>O, b et r entiers, (r#O),
2 5 Ir[, on a :
choix de M et N. Cette nouvelle technique repose sur un calcul de
dispersion et sur des majorations de sommes de Kloostennan.
1)
Premier calcul de dispersion ([SI, [61, [71)
Dans la suite du paragraphe, on oubliera, dans les sommations
sur q, m et n d'indiquer les conditions Q<ql2Q, Mcm52M et
N(n52N.
La formule (7) et la condition (i) impliquent :
Les termes principaux de W(Q) , V(Q) et U(Q) sont traités par le grand
crible, mais la formule (9) est insuffisante pour avoir 8 > 1 /2, à moins
de connaître d'autres propriétés de la suite 8, (8, obtenue par convolution de deux suites de longueurs adéquates ou Bn fonction caractéristique de la suite des nombres premiers).
Remarquons que la formule (9) ne tient pas compte de Z,
amené C. Hooley à conjecturer la majoration suivante :
(K désigne l'inverse de m modulo q)
ceci à
HYFûTHESE R* ([131) : Pour &>O, 1 5 ~ 5 l r l , on a
L'inégalité de Cauchy-Schwarz conduit à
où par exemple, W(Q)
W(Q)
vaut :
=
1
I:
'3n Bn
(q,a)=l (m,q)=l nl=aij[ql 1 2
n2=am[ql
ce qui s'écrit aussi
W(Q)
=
1
B B
I: 1 .
q nlmZ[ql "1 "2 m = G llql
(nl,q)=1
En admettant 1'hypothèse R*, on peut franchir 8 = 1 /2 dans (8), lorsque N est légèrement supérieur à M, plus précisément,
8 = (log N) /(log MN) convient pour (MN) I25N 5 (MN) 4/7-6
2) Deuxième calcul de dispersion
( [ 51 ,
i 81)
Lors du calcul précédent, après l'emploi de l'inégalité de
Cauchy-Schwarz, on disposait de quatre variables de sommation : m, nl, n2
et q. La méthode est plus souple si on a plus de variables. Dans la
formule (71, notons c le signe de l'expression dans 1 1. On a donc
9
On poursuit le calcul en exprimant W(Q) (mais aussi V(Q) et U(Q) 1
comme somme d'un terme principal et d'un terme d'erreur. Ecrivant
2M-aïil
1 = y-{-)+{}
mean, [ql 4'
9
~-aq
9
le terme M/q servira de terme principal. Quant aux deux autres termes
({XI désigne la partie fractionnaire de x) on ne peut se contenter de
les majorer par 1 , car on serait inévitablement conduit à la valeur
8 = 1/2. On les développe en série de Fourier, et c'est ici qu1apparaissent les sommes de Kloosterman. Indiquons la majoration utilisée ([121)
conséquence des travaux de A. Weil:
et on applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz à la somme en m, fournissant cinq variables : m, nl, n2, ql et q2.
La technique est la même qu'auparavant, à la différence près qu'on étudie
des congruences modulo qlq2. Sans aucune hypothèse supplémentaire, on
dépasse 8 = 1/2 lorsque N est petit, c'est-à-dire
W 6 2 N ( (MN)1112-a ([SI).
On améliore les résultats si, au lieu d'utiliser la majorations (9),
on emploie, les récentes majorations de Deshouillers et Iwaniec (131) de
sommes de Koosterman en moyenne, plus précisément d'expressions de la
forme
2ni k a:
1b
1
g(c,d,k,r,s) e
r,s=l k k9r*S (rd,sc)=l
1
où g(c,d,k,r,s) est une fonction dérivable des cinq variables. Pour
prendre 8 > 1/2, dans (8), il suffit qu'on ait l'inégalité
(MN165N(
(181)
3) Résultats
Sur le schéma ci-dessous, on donne, en fonction de
(log N) /(log MN), les valeurs de 8 pour lesquelles la majoration (8)
est correcte (en pointillés, les résultats dépendant de l'hypothèse R*,
ou d'une propriété particulière de (6,)).
On sait ( [ 21 ])%,que pour 8 = 1 /2, (1 0) est vrai uniformément en a et
en z. On sait aussi ([Il])
que cette estimation est vraie pour 8 = 1
et z t x
(~(x) -+ O quand x + ta). Mais la situation est
toute différente lorsque z 5x6 (6 constante strictement positive).
H. Iwaniec et l'auteur ([9]) ont montré que (10) est vrai pour 8 = 11/2i
et 6 = 1 /883 (uniformément pour 1 5 1 a 1 5 x) . La démonstration suit le
premier calcul de dispersion, et grâce à des identités combinatoires, on
parvient à une suite (Bn), convolée de deux suites particulières.
Ce qui est important dans ce problème, n'est pas la valeur de b1/2
mais plutôt la valeur de 6, puisque pour 6 = 1/2, on retrouve la suite
des nombres premiers. On démontre :
Théorème 1 ([81). Pour ri>O et z<x'/~'~,
il existe 8 = 8(~9>1/2,
tel que la relation (1 0) soit vraie, uniformément pour 1 5 1 al 5 (log x) A
.
La démonstration donnée dans [ 81 conduit à
û(n) = inf (442/883 ; 5/8 - (3/4) ri)
IV
-
Les fonctions
.
T~.
Pour k entier, on définit la fonction Tk(n)
k
< (s) = L rk(n)
par la formule :
as.
III - Les nombres sans petit facteur premier
On désigne par n(x,z)
le cardinal des entiers n t x tels que :
On note de même n(x,z;q) et n(x,z;q,a) le cardinal de ceux qui vérifient en outre, respectivement, les conditions (n,q) =1 et n = a[ql.
On slinté,resseaux valeurs de 8 telles qu'on ait pour tout A et pour
tout E > O, la majoration
Le nombre rk(n) est aussi le nombre de représentations de l'entier
n corne produit de k entiers; pour k = 2, on retrouve ~(n). On peut
se poser aussi la question de l'exposant de répartition des fonctions rk,
c'est-à-dire chercher les valeurs de Bk telles qu'on ait, pour tout
E > O et pour tout A, la relation :
On peut prendre
= 1 ; et, d'après la majoration (9),
e2 = 2/3. Mais
pour k13, on retrouve une extension du théorème de Bombieri-Vinogradov
([161, [211) et ek= 1/2 apparaît comme une valeur critique ([171). Notons E (k) l' hypothèse suivante qui propose que non seulement 'rk (n),
mais aussi sa convolée avec toute suite très courte (Am) aient un expo-
sant de répartition > 1/2 :
E(k) : Il existe uk>O et ek>1/2, tels qu'on ait, pour tout A
tout entier K21, l'estimation :
l x
1
acx8k
(avec
y
=
Rtx
1
R=mn
am^
et
nombres premiers, on peut le voir par l'identité de Linnik ([141) :
(Ab) désigne la fonction de von Mangoldt)
1
- $?Ti3
yRI = o~,~,K(x(~o~xI'~)
Rcx
A
1 uniformément pour 1 5 1 a 1 5 (log x) )
vérifiant [Arn[< ~ ~ ( n.)
et pour toute suite (A,,)
Remarquant que E(1 1 et E(2) sont vraies, le Théorème 2 ramène le problème de Bk> 1/2 (k> 6) à celui des inégalités 03, 04, O,-,e6> 1/2.
On a ([81) :
Théorème 2. On a l'équivalence
E(k) vrai
pour k = 3,4,5,6
-
} {
E(k) vrai
pour k 2 1
La démonstration de ce théorème repose sur la constatation évidente
que si n 5 x s'écrit
l'un au moins des ni vérifie x6 <niLx1/7, et se trouve donc dans un
intervalle où le second calcul de dispersion permet de dépasser 0k=1/2.
V - Retour aux nombres premiers
Les conjectures E(k) ont une implication sur la répartition des
nombres premiers. On montre le théorème ([SI)
Théorème 3. Si les conjectures E(k) sont vraies pour 3 ~ k 5 6, il
existe 8 > 1/2 tel que l'estimation (6) soit vraie uniformément pour
i 5 la1 5 ( 1 0 ~ x 1 ~ .
Les fonctions 'rk(n) apparaissent importantes dans 1'étude des
Pour la démonstration du Théorème 3, on a utilisé l'identité de HeathBrown ([IO]) qui transforme A(n) en convolée de suites suffisamment
courtes, pour utiliser les résultats du second calcul de dispersion.
Le problème de la répartition des nombres premiers est proche de
celui des fonctions .ck(n), qui se ramène à des majorations de sommes
de Kloosterman muitidimensiomelleç. Notons, à ce sujet, que dans le cas
le plus simple, celui de la fonction r3, une application directe des
majorations individuelles de sonunes de Kloosterman dues à Deligne ([21
(181) ne conduit, dans (Il), qu'à la valeur e3= 1/2.
[161 Y. Motohashi.- An induction principle for the generalization of
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[ 1 51
H.L. Montgomery.- Topics in multiplicative number theory , Lecture
Notes in Math., No 227, Springer Verlag.
Etienne FOWRY
U.E.R. de Mathématiques
Université de Bordeaux 1
351, cours de la Libération
F-33405 TALENCE CEDEX
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
Gauss sums
A. Frohlich
This is a report on some aspects of joint work with C.J. Bushnell.
1 - Principal orders. Throughout we m e the following notations : p is
a fixed prime nmber, $ the rational p-adic field and A a simple
finite dimensional $-algebra of centre F. D is the underlying division algebra, i.e.
where Ms(R) is always the ring of s by s
Also we write
matrices over a ring R.
whence dimF(A) = m2d2. A "local field" E is always an extension field
of finite degree of QP' Its ring of integers is denoted by oE and the
maximal ideal by pE.
Our first aim is to describe an analogue inside A of the valuation of F and the associated pair oF, pF. We want an object with a
strong arithmetic structure, both multiplicatively and additively, to be
reflected in a good representation theory.
We consider finitely generated op-submodules X of A, spanning
A over F. If first X is also a subring of A with the same identity
1 =lA, then X is an order in A. Next if such an X is a two sided
A-submodule of A, with A an order in A, then we shall cal1 X a
fractional ideal of A.
The division algebra D has a unique maximal order oD and the
This
maximal orders in A are precisely those isomorphic to %(aD).
notion is too narrow for Our purposes. We shall Say that an order A is
a principal order, if its Jacobson radical is of form d. Then actually
aA = Aa and a CA*. (We denote by R* the group of invertible elements
of a ring R) . Every maximal order is principal. The converse is true
precisely if A is a division algebra. These orders were first defined
and studied by Benz (cf. [ 1 1 ) .
From now on A is always a principal order in A. We denote its
radical by pA and its normaliser in A* by G = G(A) . Thus
The first isomorphism is given by the residue class map, the second one
is the inverse of that given by x b 1 + x. Both preserve G-action.
There is also a "non canonical" isomorphism
The object in which we are really interested is the pair A, G. Write
U(A) = A*. This is a normal subgroup of G, and we have an exact seqwxe
Duality. We let iyA be the additive character A -, IE*, which is the
compositum of the reduced trace trd : A + F, the field trace
and the standard character
F+ $
where the inverse image of 1 under v is precisely the set of elements
a of A with pA = d.
The maximal fractional ideal of A in Ker JiA belongs to the group
1(A). It is Di1 where
For the analogy with the commutative ideal theory one looks at invertible fractional ideals of A. These are G-invariant (al1 actions of
G are by conjugation in A) and are al1 principal (left and right) . They
form a cyclic group I(A) generated by pA, and in fact via the valuation v we have an isomorphism
DF the different of F/Q
Next we get
(1.6)
A/pA
i
~ ~ ( k ~kD) the
~ , residue field of D.
Thus rs =m. The integers r and s, together with D determine A
to within isomorphism, and every such pair r, s occurs. If r = 1, s = m
then A is a maximal order.
We have a filtration of the group U(A)= Uo(A)
in the classical case, by setting for j 2 1 ,
of units, just as
P'
For some purposes it is useful to have a description of the pair A,
G in terms of chains of oD-modules. We shall not go into this here. It
is important, however, to mention another characterisation. We shall Say
that a closed subgroup H of A* is compact modulo the centre if its
image in A*/F* is compact.
Theorem 1. Every compact modulo the centre subgroup H is contained in
a maximal such subgroup, and these maximal ones are precisely the groups
G(A) , for principal orders A. Within G(A) the group U(A) is the
maximal compact subgroup
.
Examples : 1)
A = D , A=oD, G=D*.
2) Let E be an extension field of F, of degree m and
Then A contains in a natural manner the sublet A = EndF(E) 1 M,,,(F).
. Then A = n End ( p is a principal order, s is
rings End
OF
j
OF
(4)
the residue class degree and r the ramification index of E/F.
Embedding E* in A via its action on E, we get G(A) = U(A) E*.
2
- Representations
Recall the notion of an admissible representation
on a complex vector space V, of a non discrete topological group H
which, Say, possesses a system of neighbourhoods of 1, consisting of compact open subgroups K. Denoting by vK the fixed subspace of V under
p(K), two conditions are to be satisfied :
(i) dimC VK <a, for al1 K,
(ii) V = union of the VK.
Let again A be a principal order in A, and use the notation introduced earlier. The above definition applies to H = G(A).
Proposition. Let p be an irreducible admissible representation of
G(A) on a complex vector.space V. Then
(i) di% V <a,
(ii) for some j>O, Uj(A)
P,
(iii) p = po e $t is the product of irreducible, admissible representations po and $,, where Im po is finite and I$~(x) = tv(X) for
some complex number t # O.
Choosing j ~ minimal
0
in (ii) we define the conductor of p by
If j >O, p is ramified, otherwise non-ramified. In this last case p
may be viewed as a representation of I(A) (see (1.5)). If j > 1 then
p is @, otherwise m.
Let then p in the sequel always be an irreducible admissible representation of G. The central (quasi) character of p is the homomorphism w : F* -+ (C* with
P
(2.2)
p(x.l)=
wP (x) p(l),
for al1 X E F * .
pF1
Let now p be wild, Say 6(p) =
(il 1).
Its restriction to
Ui(A) is effectively a non-trivial representation of the Abelian group
Ui(A) /Ui+l(A) , thus a sum of non-trivial homomorphisms into (C*
Let
a be one of these. In view of (1 .7) there is then an element
with
b€~A'6(~)-', b@pA DA1 d(p)-l
.
a(l
+ X) =
ICA(- bx)
.
If b can be chosen as an element of G, we call p non-degenerate,
otherwise degenerate. This definition is in fact independent of any choices we have made. We shall also call tame representations non-degenerate.
Note that if A = D then degenerate representations cannot occur.
We also need a further type distinction for tame, ramified representations, based on the parametrisation of irreducible representations
of GLs (kD) due to Green (cf. [SI). We shall only briefly indicate this
and refer the reader to the account given in [ 8 1. Let k run through the
finite extension fields of kD in a given algebraic closure and let L
be the direct limit (hence union) of the groups ~om(k*,(C*)
under the
dual of the field nom. Let S be the set consisting of a symbol O and
the partitions of n, for al1 natural numbers n. The irreducible representations a = a(P) of GLs (kD), modulo equivalence, are then parametrised by certain maps P : L + S (satisfying certain conditions nat
stated here). We shall cal1 a(P) deficient if P(E) PO, where E is
the image in L of the identity character of kc.
Now let p be tame, but ramified. In view of (1.6) any irreducible
component of p restricted to U(A) is effectively a tensor product
r
e ai, each oi being an irreducible representation of GLS(kD).
If
i=l
some ai is deficient we cal1 p deficient, otherwise non-deficient.
This definition is again independent of choices. Non-ramified or non-degenerate wild representations are by definition to be non deficient.
In due course we shall want to point out the analogy of the Gauss
sums to be introduced here with Galois Gauss sums, and so we shall also
have to look'at representations of local Galois groups. There is no need
at this stage to consider Weil groups. We denote by
QE the absolute Galois group of a local field E, i.e. the Galois group over E of its
algebraic closure. We shall use the language of characters of ClE
ciated with continuous representations
asso-
of arbitrary finite degree and we shall go over to the additive group of
virtual characters of GE, to be denoted by R(E).
If E1 = E we get
an induction homomorphism
as a representation of 1(A), we get
For any ideal 6 of A, spanning A we define the absolute n o m
to be the group index, i.e. Nb= [A: 61.
Theorem 2.
T (pl
# O if, and only if p is non-degenerate.
Suppose p is non-degenerate and has finite image. Then 1 r(p) 1
is a power of p dividing Nd (pl ; also 1 r(pl 1 = Nb (pl precisely when
p is non-deficient
.
Also we have a bijection
from Abelian characters (one dimensional representations) of ClE ont0
continuous characters 84 of E* of finite order. As reference source
for properties of local Artin conductors and Galois Gauss sums we give
[91 and [31.
3
- Congruence Gauss sums
The notation is the same as before. Throughout p is an irreduciConsider the
ble admissible representation of G with conductor 6(p).
matrix
The reduction to the case of finite image is easy (see the Proposition and the next theorem) - actually al1 that is needed is that p is
unitary. In the general case an extra factor enters which can easily be
described. For p non-ramified the above theorem is trivial. For p
wild one has to proceed via a careful computation. In the ramified tame
case one goes down to U(A) and uses results of Kondo ( [61)
.
Special case : A = D. See here [ 2l which was a predecessor of the present work. Even more special case : A = F, F* = G - the classical local
Abelian Gauss sums.
One should also mention the general theory of Lamprecht in [71. His
approach is very much more general, and because of this strong arithmetic
results would not be expected.
For comparison, recall the axiomatic definition of Galois Gauss
sums : For every local field E, There is a homomorphism
where u runs over a complete set of representatives of U(A) mod d(p)
and c is an element of G with CA= DA d(p)
Che verifies that T(p)
is independent of the particular choice of the set of representatives u
and of c, and that it cornmutes with al1 elements of Im p. Now the hypothesis that p is irreducible comes in crucially. It implies that T(p)
is a scalar matrix, i.e.
r(p) is the (congruence) Gauss sum. It is also clear that r(p) only depends on the equivalence class of p. For p non-ramified, i.e. defined
with two properties. Firstly (see (2.4))
and secondly for Abelian characters $ of GE
98
(recall (2.5) ) , where T (0 ) is the congruence Gauss sum (case G = E*)
O
defined above. These two properties characterise the Galois Gauss sum.
We see that it is an entirely different type of object from the congruence Gauss sum : a homomorphism on virtual characters, rather than a map
on irreducible characters - given essentially by an inductive property
rather than by an explicit formula. Nevertheless there is an affinity of
behaviour between the two Gauss sums, as we shall point out - apart from
a direct connection (partly conjectural) which however will not be discussed here .
As a first instance recall the analogue to Theorem 2, involving G a
lois Gauss sums and Artin conductors :
One can in fact deduce this from Theorem 2, starting from the case
p = 8 and then proceeding via (3.5) and (3.4), and the corresponding
X
identities for conductors. Similar remarks on proof procedure apply to
several other theorem analogues.
Theorem 3. (Twisting rule). Let p, a be irreducible admissible representations of G, with a non-ramified. Then p e a is irreducible
admissible and
Theorem 4. Let p be a non-degenerate, irreducible, admissible representation of G with finite image. Then ~ ( p ) is an algebraic integer,
and a unit at al1 primes not above p.
This follows almost by inspection. An analogous result holds for
Galois Gauss sums of actual (rather virtual) characters, but a straightforward induction argument will not suffice for the latter. The best approach to this is via the connection with n o m resolvents (cf. [31).
The precise field theoretic properties will be given in the next
theorem. We first need one definition. Let 52 be the absolute Galois
group of the rational field Q. The action on p-power roots of unity
defines a homomorphism u : 52 -+ Z* . Here we have
P
P
for y a p-power root of unity and ~€52. Note also that if p has
finite image then we may assume the matrices p(x) to have algebraic
integer coefficients (this was already used for Theorem 4). Thus pu is
well defined.
Theorem 5. For ~€52, p of finite image,
where w
0
The Galois Gauss sum analogue for X, O E R(E),
is the central characters of p
.
4 Abelian, is
The analogous formula for Galois Gauss sums is
Given the tensor decomposition of p into a finite part po and
a (possibly) transcendental part Ot, as in the proposition, the last
theorem shows how to extract the transcendental contribution to the Gauss
sum.
4
- Arithmetic properties
These properties become interesting and relevant once was have got
rid of the transcendental part.
There is also a reduction theory mod R, R a prime different from
We
shall not give the details here. There is again a close analogy to
p.
the theory of reduction mod R for Galois Gauss sums, involving a "nonramified characteristic", which has played a fundamental role in the th*
ry of Galois module structure of algebraic integers.
5 - Functional equation
We refer the reader to 141 for the basic notions, and in particular
for the definition of the E-factor E(n,s), associated with an irreducible admissible representation n of A*. The additive character used
is here always qA, as defined in paragraph 1.
The underlying vector space V of n is, with respect to the action of n (G) , a direct sum
Here p runs through the classes of irreducible admissible representais the underlying space of p and n its multiplicitions of G,
P
VP
ty. Always n < W. We denote by 8 the contragredient of p , i.e.,
P
is again irreducible admissible.
V, 5 Ho% (VP, a) as G-module.
P
;:
Theorem 6. Let TI be an irreducible, absolutely cuspidal, admissible
representation of A*. Suppose p is a non-degenerate irreducible admissible representation of G, with n > O. Then
P
(i) p is ramified and non-deficient.
(iii) If nP,> O then 6(p)
nerate, then
1 6(p
)
.
If moreover p f is non-dege-
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A. FROHLICH
Imperia1 College of Science
and Technology
Department of Mathematics
Huxley Building
QueenfsGate, London SW7 2BZ
GRANDE-BRETAGNE
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
On the first, second, and third asymptotic formulas
for the dimension of the spaces of Siegel modular
f o m of degree n
1 - Let r be a discrete subgroup of GR= Sp(n,R) such that r\GR
is of finite volume, and let for each positive integer k Sk(r) be the
space of cusp forms on Hn = { Z E %(O ; Z = t ~ Im
, Z > O} , the Siegel upper half plane, of weight k, with respect to r. Namely SkU) consists of holomorphic functions f(Z) on Hn which satisfy the condition:
(il
(ii)
f(y Z) = det (CZ+D)k f(Z)
(det Im
zlkI2 1 f(z) 1
for any y =
AB
c
(
Er,
is bounded on Hn.
The problem in which we have been interested is to compute the dimension
of this space Sk(r), by means of Selberg's trace formula. For n = 2
and r = r (N) , the principal congruence subgroup of Sp(2, Z)(resp.
U(2,O) defined by ( l ) ) , there are results of Christian [Chrl, Morita
[Morl and Arakawa [Aral. In the previous work [Has-21, we supplemented
them and gave a closed expression for it for arbitrary r with (possibly)
torsion elements as well as unipotent ones; also we gave the explicit fbrmulas for r = Sp(2,Z), ro(p) (p = odd prime), and U(2,O). For other .
congruence subgroups and for the motivation to this problem, we refer to
the exposition of Ibukiyarna [Ibul contained in this volume.
It is very hard to extend and compute the dimension explicitly for the
cases 1113. One of the main difficulties is that the structure of conjugacy classes in r is very complicated (Recall that already in
Sp(2,Z) , there are more than 50 conjugacy classes which have nontrivial
contributions to our formula, even if we count certain family of infinite
conjugacy classes as a single one). However, it is possible to classify
certain singular conjugacy classes and to describe their centralizers in
rn = U(n, O) , with n arbitrary. Combined with an observation (Theorem O,
these partial contributions give some asymptotic formulas for dim Sk(rn)
when it is considered as a function of the weight k.
2 - The group rn = U(n,O), the full modular group in quaternion unitary
group G - U(u,B), is defined by an indefinite quaternion algebra B
Qover Q as follows :
where O is a (fixed) maximal order of B, ti= (a..) if g = (a..) ,
J1
11
a -t
being canonical involution of B. H = t~ is a non-degenerate
hermitian matrix in %(BI ; we assume H = ln, unless otherwise stated.
We denote by
Notice that rn = Sp(n, Z) if B = M2(Q) and 0 = M2(Z)
D = D(B) the discriminant of B. Put
a
Theorem 3. (third asymptotic formula) Suppose n15. Then we have
.
where A, B are the two terms in (S),
where ~ ( s ) is the Riemann zeta function. In the following, we assume
that (-1 )nk = 1 , since otherwise we have Sk(rn) = {O}.
n
x
z
q=l
Theorem 1
.
(first asymptotic formula)
n
(4)
dim Sk(rn)
=
2% a(n,k)
rl
n (pi+(-l)i)
+
O(kn(n-l )/2+1)
(-11~-~
and
a(n,k)
$;l (2k-2n+q+i-2)
sin(k-n+q-1)8
j'
where (Oj, wj , Dj) = (n/3,6,-31, (2n/3,6,-3), and (n/2,4,-4) according as j = 1,2,3; C 2 = C 3 = 0 if Dfl, and if D = l ,
plD i=l
Here the main term is a polynomial of k of degree n(n+l) /2, which corresponds to the one in a formula of [Hirl. A more general version of the
same result has been known in [Muml.
C2
=
(-1) k+l22n-1 w ~ - ~a(n,k)/
T I ~ Inl (k-i)
i=l
Theorem 2. (second asymptotic fornula) Suppose n ~ 2 .
n
dim Sk(rn) = 2% a(n,k)
n
n
plD i=l
(pi+(-i)i)
3 - In the following, we shall sketch an outline of the calculation. Star
ting with the Selberg-Godement's formula in [Sem], we can first reformulate it in the following way :
where C(y ; ) is the centralizer of y and CO(y;GR)
defined closed subgroup of C(y ;C$ , and
co(6 ;GR) \Hn
Hô(Z)
=
(det Im
is a canonically
H6 (Z) (a dumping factor in s) dZ
z ) det
~ (-12JrT
-k det(c%D) -k,
A B
6 = (C
.
In (7), the first sum is extended over a complete set of rn-conjugacy
classes of the "families [yIrH, which consists of those 6Ern such
that (i) Co(6;%) = Co(y ;CR) , and (ii) y and 6 have the same semisimple factor. The second sum is extended over the set of nonconjugate
elements in each family [ylr. For more details, we refer to [Has-21. We
note, among others, that the number of conjugacy classes of the families
such that 10(6;s) #O is finite, and the second sums are usually expre*
sed by sorne Dirichlet series. If y is semi-simple, then [ylr = {y},
and Io(y ;s) = 10(y) has b e n evaluated by Langlands [Lanl
.
4 - Now one of the basic ingredients in the proof of the above formulas
is the following observation. Let, for each element y of rn, Fix(y1
(resp. Fix*(y)) be the set of fixed points of in Pn\% (resp. (rn\~,.)*,
the Satake(-Bailly-Borel) compactification of rn\Hn).
It is known that
Fix(y) (resp. Fix*(y)) is a complex analytic subset.
Theorem O. The contribution of the family [ylr to the formula (7) is
at most of degree di? Fix*(y) with respect to k. If FixCy) # 8
(i.e., y is elliptic) , then it is exactly of degree d% Fix(y1.
This is an easy consequence of [Lanl if y is semisimple. The unipotent
case follows from a result of Shintani [Shi]. The remaining cases are reduced to them. It is also possible to prove it by using fixed point theorem. We note that this is an exact refinement of the remark of Selberg
[Sel]. Also Christian made a similar statement (conjecture) for the congruence subgroup rn(N) in his lecture note.
The conjugacy classes with the greatest values of di? Fix*(y) are :
(for simplicity, we describe elements in Sp(n,iR) or Sp(n,Q))
Since the greatest value of dimD Fix*(y) in the remaining classes is
(n-1)(n-2)/2 + 3, it suffices to compute the contributions of the classes
in rn of the types listed above, to get Our results. In particular
Theorem 1 is a direct consequence of the formula for vol (rn- %) , due
to Siegel (the case D=l). The general case is obtained by using the
fact that the Tamagawa number of G is equal to one (cf. [Has-Ibkl,
Q
Proposition 9).
5
-
The calculation in Our f o m l a (7) consists of two main steps :
(a) to evaluate the integral Io(y;s)
(and their sum).
(b) to classify the conjugacy classes in rn, and compute the cep
tralizors C(y;rn), CO(y;rn), as well as vol(Co(y ;Tn)\ CO(y;GR)).
Let us sketch the simplest cases B) and C). We evaluate Io(y;s) by an
elementary direct computations instead of using results of [Lanl , which
depend on a very deep result of Harish-Chandra. Let y = 6 = 6, (r = n-1).
We have
and as a fundamental domain of C0(y;%)
\Hn, we can take the set
The s t a b i l i z o r of
Z(t)
( t > O)
i n CO(y;$)
is the group
-
Lemma 2.
For any integrable function
z = x + iy,
on
1
YI,
1
1wt2n-3
.
0
Co(@,%) Hl
vol (Kn-2)
where
f (Z)
we have
f(h*Z(t,z))
is the standard Haar measure of
and dh
Co(B;$> = Sp(n-1 ,IR).
.
where Kr-l
is the standard maximal compact subgroup of Sp (r-1 ,RI
Using the decomposition Z = h Z(t) (h E CO (6 ;GR) , modulo K(t)) , we
have the following integral formula
Lemma 1 . For any integrable function
f (Z)
where dh is the standard Haar rneasure of
and vol (Kn-,) = n
2ni/r ( i ) .
ZI:
on
Applying it t o H (Z(t,z)) =
B
(-2i)
k k
Y
[ ( l + x2 +y2 +t2y)sin8+{ (1 -cose)t 2 -2ycos8}i~k ,
we see t h a t
%,
Co (6 ;%) = Sp (n-1 ,IR)
x
SL (2 ,R) ,
where
Applying (9), we e a s i l y get
xP d x
(1 1)
( s i n 8 # O , k l 2 , O-< p <2k-3).
For
y = Br = B,
we have
The l a s t i n t e g r a l Bk(p;O) has been evaluated i n [Has-21 and i s determined by the following formulas :
and a s a fundamental domain CO(@;%)\Hn,
The s t a b i l i z o r of
Z(t,z)
we can take
(1 3)
%(k-Z+p;e) =
(14)
(2k-p-2) Bk(p;8) =
( t . >O)
( s i n 8)2P-1 Bk(k-1-p;8)
<p<k-1),
(O -
i(2k-2p-1) cos 8 Bk(p-1 ;8)
2
+ (p-11 s h 8 B k ( p - 2 ; 8 )
(O<p<2k-3)
- -
.
From these it follows t h a t 10(B) is expressed a s i n (6), up t o the fact o r s coming from the conjugacy classes (arithmetic p a r t ) of rn.
A
A
We can apply the same Lemma 2 a l s o f o r y = 6,(m)=6.
A
have
C0(6;$)
=
CO(B;($,
and
In t h i s case we
H (Z(t,z);s)
8
=
=
HA(Z(t,z)) (det Im ~ ( t , z ) ) - ~
6
yk-s ~ - ( t ~ ++i m~/ 2) 1 - ~
.
I t follows
and we get the second term i n Theorem 2.
where
C-1) The number of conjugacy classes i n rn which are conjugate i n
GR=Sp(n,iR) t o Br(€)) is equal t o n ( l - ( D m ) ) , where D(0) is
P
PID
the discriminant of the imaginary quadratic f i e l d ~ ( e ~ ' ) . They have the
The case y
6
- As
is independent of
O(s)
=
m,
and O(s)
+
O (s
+
+ 0).
~,(m) is treated i n the same way, and we omit it.
f o r the problem (b) above, the main ideas are :
centralizors a l 1 isomorphic t o CO($,; rn) = U(r ,O) , and
[C(B;Tn) : CO(B;rn)1 = 6,6,4 according a s 0 = a/3, 2n/3
C-2)
Here
rn =
Sp(n,Z).
o r n/2.
There are two families of conjugacy classes
.
( i ) The Hasse principle for conjugacy classes i n G~
Namely two
elements of G are conjugate i f and only i f they are conjugate i n GA,
Q
the adelized group (cf. [Asa], [Has-Ibkl). This reduces Our problem t o
the local ones, i . e . , the conjugacy classes i n G = U(n,Bp), and i n
P
U = U(n,O), where B = Be Q O = O s Z
P
P
P
Q P' P
2 P'
( i i ) Since G
is the group of isometries i n the hermitian space
P
( B ~ F)
,
such t h a t F(x,y) = x ~ ~ we
7 can
, study the UP-conjugacy clasP
i n terms .of O -1attices i n B ~ ;especially, we can make use
ses i n G
P
P
P
of the theory of Jordan decompositions of O -1attices due t o R. Jacobowiîz.
P
Here we omit the d e t a i l s , and describe the r e s u l t s briefly.
B) There are two conjugacy classes i n rn which a r e conjugate i n $
t o 6,.
One is represented by 6,,
and the other by x-'Grx (x E G 1 ,
Q
where
C-3) rn = Sp(n,Zl.
sented by sr (ml.
There is a single family of conjugacy classes repre-
A detailed discussion of the problem (b) with the complete c l a s s i f i c a t i o n
of
we have
(11221,
Since c0(6,;rn) = U(r,O) xU(1,0),
we have
U -conjugacy classes i n the case n = 3 w i l l be treated i n [Has-31.
P
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Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984Birkhauser Boston,Inc.
Fonctions multiplicatives et équations intégrales
Adolf HILDEBRAND
1
- Introduction
Une fonction arithmétique f : IN* -+ (C est dite multiplicative,
toutes les fois que '(n,m) = 1, et
si elle vérifie f(nm) = f(n)f(m)
f(1) = l .
1 I: f(n) de foncLe comportement asymptotique des "moyennes" ;
nlx
tions multiplicatives a été étudié par de nombreux auteurs ([Il, i 2 1 ,
[31), et les résultats obtenus sont assez satisfaisants. En particulier,
le problème classique de trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction multiplicative f ait une 'Valeur moyenne"
est maintenant résolu pour une classe assez étendue de fonctions multiplicatives f.
<1
-
Delange 1 1 1 a caractérisé les fonctions multiplicatives de module
ayant une valeur moyenne non nulle.
Wirsing [31 a montré que toute fonction multiplicative f à valeurs
réelles et de module 51 possède une valeur moyenne égale à
démontrant ainsi une vieille conjecture dtErd6s.Ce résultat est assez
profond, puisqu'il implique que la fonction de Mobius a une valeur moyenne égale Li zéro, ce qui est équivalent au théorème des nombres premiers.
,
Généralisant les résultats de Delange et Wirsing, ~alisz121 a déterminé le comportement asymptotique des moyennes 1 1 f(n) pour toute
nLx
fonction multiplicative f de module
1
.
-1
X
La démonstration de Wirsing que nous allons esquisser dans le paragraphe 2, est basée sur la remarque que pour une fonction multiplicative f bornée la fonction
11:
f(n)logn=
ncx
21 T f(n)
n~x
T
logp
pmln
et, d'autre part,
vérifie une équation intégrale asymptotique du type
t
M(s) ((t-s)ds + o(1)
M(t) =
I
(t +m).
O
Sous certaines conditions supplémentaires, on peut en déduire, par un a r
gument élémentaire mais assez compliqué, la convergence de M(t) pour
t -+W.
~alasza utilisé pour sa démonstration une méthode analytique qui
est plus simple que la méthode élémentaire de Wirsing et qui a été appliquée dans la suite à beaucoup d'autres problèmes.
Cependant, dans le cas de fonctions f 20, des méthodes élémentaires semblent plus adéquates que des méthodes analytiques. Nous allons indiquer ici comment, en utilisant les idées de Wirsing, on peut obtenir
T f (n) , x 2 1 , pour des fonctions
des estimations quantitatives de
ncx
multiplicatives f vérifiant O5f LT*. Il apparaît que ces résultats
sont étroitement liés à des estimations des solutions d'un certain type
d'équations intégrales.
2
- La méthode de Wirsing
Le lien entre fonctions multiplicatives et équations intégrales
s'établit grâce à une identité simple mais très fructueuse, qui est essentiellement due à Delange [ 1 ]. Nous allons 1'énoncer que pour des fonctions complètement multiplicatives, i.e. des fonctions arithmétiques f
verifiant f(nm) = f(n)f(m) pour tout couple (n,m) C IN* x IN* . Dans ce
cas, on a, pour tout xll, d'une part,
En posant
on obtient donc pour
1' équation intégrale
t
t M(t)
t
- e-t ~(s)e' d s =
(t 2 O)
O
O
OU
1 M(s) d k(t-S)
encore
t
~ ( t )= t
-
1
M(S) d (k(t-s) + es-t)
(t > O).
O
Cette équation en elle-même n'a que peu de valeur pratique, puisque la fonction k(t) dépend, non seulement des valeurs f(pm), mais
aussi des irrégularités dans la distribution des nombres premiers. Wirsirg
a alors remplacé la fonction k(t) par une fonction plus "lisse" k(t),
qui approche k(t) et dont la dérivée k' (t) =: ((t) constitue une sorte
(1
de moyenne des valeurs f
lorsque logpm est "proche" de t. Il a
obtenu ainsi, dans le cas d'une fonction f bornée, l'équation intégrale
et établi ensuite des théorèmes généraux sur le comportement asymptotique
de fonctions M(t)
3
- Etude d'une
vérifiant une telle équation.
La proposition suivante rassemble quelques estimations élémentairs
et faciles à établir de m (t).
4
équation intégrale
Dans le but d'obtenir des estimations quantitatives de Mf(t) dans
le cas où O ~ f l l ,nous allons utiliser une approche un peu différente
de celle de Wirsing. Au lieu d'étudier des équations intégrales asymptotiques de la forme (2), nous allons étudier des équations intégrales
exactes du type
t
m(s) + (t-s)ds
(t > O)
(3)
m(t) =
O
et comparer ensuite Mf(t) avec la solution m(t) d'une telle équation.
Nous allons appeler une fonction @ admissible si elle vérifie
j
Proposition 2. Soit
@
une fonction admissible. Alors on a
cm
lim m (t) = exp(t+, @
1 k m dt) ,
O
(ii)
(y = constante d'Euler)
t
@ : [O,=[
1
dt < = .
O
On a le théorème d'unicité et d'existence suivant :
@
mesurable,
Proposition 1. Soit @ une fonction admissible. Alors l'équation (3)
poss&de une solution m(t) = m (t) donnée par
@
a
ds)
(t > O).
O
Enonçons maintenant le théorème principal de ce paragraphe, qui
donne une majoration et une minoration de m (t) en fonction de l'intét
@
grale
ds. Pour cela nous rappelons que la fonction de
t
+ [0,11,
5 ey e
-
\
O
Diclanan
O
est définie corne solution continue de
et nous posons, pour t > O,
Théorème 1. Soit
@
une fonction admissible. Alors on a pour tout t z 0
La fonction
p
est positive et on peut montrer, qu'elle vérifie
k fois
De plus, la fonction m(t) = m@ (t) est la seule fonction intégrale sur
tout intervalle fini, qui vérifie (3) et la condition initiale
m(O1
=
lim m(t)
t+O+
=
1.
7
121
120
w
f p(t)dt=
tion 2 et se démontrent facilement. Nous posons, pour xzl,
eY,
O
Y
e
de sorte que l'on a pl(t)< 7 pour tout t>O. On voit donc que la
majoration de m (t) du Théorème 1 amèliore celle donnée par la Proposi@
tion 2.
La démonstration de ce théorème et, en particulier, de la minoration de m (t) est assez compliquée.
4)
Pour obtenir la minoration, on introduit la fonction
t
ds) LUI
i(u) := inf {m (t) : @ admissible, t > O, exp(
@
O
( u g
a
et démontre qu'elle est égale à p(u)
En prenant des fonctions
P(f,w)
mz1
:=
n (1
Proposition 2'
Alors on a
.
$
P
- ,1 p l + E
P
-1
lim -1 t f(n)
x + w x n5x
log
iim P(f,x)).
x+w
rmI-
n5x
P(f,w),
=
+O(=
< eY P(f,x)(l
1
X
,t.to),
1)
1))
~(f,x)
(1 + o(=~
>
- r f(n) 5 eY P(f ,XI(1 + O(Iohx) 1
(iii)
(=
Soit f une fonction multiplicative vérifiant O 5f 5 1
(il
=
{O
P
et
(ii)
(O(t5tO),
1 (1 + r
n (1 - -1
:=
PLX
du type
4)
1
@(t>
.
P(~,x)
)
n5x
(~221,
( ~ ~ 2
. 1
Les constantes impliquées dans le symbole "O" sont absolues.
.
il n test pas difficile de voir que 1'on a p(u) 5p(u) pour tout u, 1
Le problème principal est d'établir l'inégalité
inverse. Dans le cas
-.
1 5u 5 2, un argument simple mène à p (u) p(u)
De plus, on peut mon,..
trer que p (u) vérifie , pour u 22,
.
L'analogie avec la Proposition 2 devient évidente en remarquant
qu'une forme approximative de P(f ,x) est donnée par l'expression
exp ( - Z 1 f( 1 et que l'on a
PLX
y)
1
, f o = log
1{x x n5x f(n) +j'2
log x n5x n
u
X
t
- 6'(U)U L P(u-1).
,.
pour
Nous remarquons que la démonstration esquissée ici montre que la
minoration du Théorème 1 est optimale dans-. le sens que la
fonction p
-.
ne peut être remplacée par une fonction p vérifiant p(t) > p(t) pour
un t,l.
4
i
=
*(P(f x))
log x
+
1
log x j
Mf't'dt
.
O
Notre résultat principal est l'analogue du Théorème 1 :
Théorème 1 '
.
Soit f une fonction multiplicative vérifiant O 5f5 1.
Alors on a pour tout x 22
- Estimations de sommes de fonctions multiplicatives
Considérons maintenant des fonctions multiplicatives f vérifiant
O< f51. Avant d'énoncer notre résultat principal, nous rappelons quelques estimations élémentaires qui sont analogues à celles de la Proposi-
f(n))duI
n5u
log x
-.
Ces deux inégalités entraînent finalement l'inégalité p(u)l p(u)
tout u 1
( 1
r f(n)
n5x
< pl (P(f,x)
-1
(1
{ --> p (P(~,XI-~)
(1
+
+(O
'
(log XI"
) ) + ~(exp(-(log XIB ) ) ,
.
où a et 6 sont des constantes strictement positives et les constantes
impliquées dans "0" sont absolues.
Une démonstration détaillée de ce résultat sera publiée ailleurs.
Bien que cette démonstration soit largement inspirée par celle du Théorème 1, nous n'avons pas trouvé une façon simple de déduire le
Théorème 1 ' du Théorème 1.
5. Théorèmes d'approximation
Les résultats des deux derniers paragraphes montrent qu'il existe
un lien étroit entre les quantités Mf(t) et m (t). Nous allons pré@
ciser ici ce lien par deux théorèmes qui permettent d'approcher des fonc
tions du type m (t) par celles du type Mf (t) et réciproquement.
9
Dans une direction, cette approximation ne pose pas de problème.
On a le théorème suivant :
Théorème 2. Soit @ une fonction admissible. Alors il existe une familvérifiant O 5fx( 1 (x, 2)
le de fonctions multiplicatives (fx)telle que, pour tout t > O,
lim
m'X
X
L'approximation de Mf (t) par une fonction du type m (t) est
O
beaucoup plus délicate. On pourrait partir de l'identité (1) et en déduire, en suivant la démonstration de Wirsing, une équation de la forme
t
M(t) =
M(s) O (t-s) + R(t) ,
O
où O(t) est une fonction admissible choisie de sorte que le reste R(t)
devienne 'petit". Le problème principal réside alors dans le fait qu'on
ne peut pas contrôler l'erreur R(t) pour des ''petites" valeurs de t,
à cause de 'irrégularité dans la distribution des "petits" nombres premiers.
Cette difficulté peut être évitée si on suppose f
"petit". On arrive alors au théorème suivant :
=0
pour p
*
Théorème 3. Soient x, z2 2 et f une fonction multiplicative vérifiant
O z f ~ 1 et f
= 0 si p 5z. Alors il existe une fonction @ admissible telle que, pour tout t > O,
r fx(n)= m@ (t)
n5xt
iim p(fx,xt)
x-f-
=
expc-
1
ds).
Les constantes impliquées dans "0"
sont absolues.
O
La démonstration de ce résultat est relativement facile. Dans le
cas d'une fonction @ dérivable on définit fx par
* p. 115 Il est très facile de voir que dans ce cas on a
et on obtient le résultat en comparant la formule "explicite" pour mb(t)
de la Proposition 1 avec une formule analogue pour M (t logx). Le cas
x
général s' en déduit par un argument d'approximation.
D'après ce résultat, le Théorème 1 est une conséquence immédiate du
Théorème 1'. D'une manière générale, il est souvent assez facile d'étendre des résultats sur des fonctions multiplicatives à des résultats d'analyse réelle.
Le problème quantitatif correspondant est cependant loin d'être trivial.
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
BIBLIOGRAPHIE
On automorphic forms of Sp(2,R)
and its compact form Sp(2)
Tomoyoshi IBUKIYAMA
H. Delange.- Sur les fonctions arithmétiques multiplicatives. Ann.
Scient. Ec. Nom. Sup."'3
série, t. 78 (l96l), 1-29.
- Über die Mittelwerte multiplikativer ZahlentheoretisG. ~alasz.
scherFunktionen. Acta Math. Acad. Sci. Hung. 19 (1969), 365-403.
E. Wirsing.- Das asymptotische Verhalten von Summen über multiplikative Funktionen II. Acta Math. Acad. Sci. Hung. (1967), 41 1 467.
In this paper, we shall announce some interesting relations betwxn
dimensions of automorphic forms of the symplectic group Sp(2 ,R) (of
size 4) and its compact form Sp(2) for some typical discrete subgroup.
The proof will appear elsewhere 181 [61. Our motivation is a generalization to genus two case of Eichler-Jacquet-Langlands correspondence between GL(2) and its compact form. And we shall propose also some conjec
tures on such generalization (cf. [71). Such problem for Sp(2,R) and
Sp(2) was raised by Ihara [91, and later, Langlands [ 1 1 1 gave a general
philosophy on correspondence of admissible representations for general
reductive algebraic groups ("Functoriality on L-groups").
In order to clarify the problem for general genus, we would like
to recall the typical case of Eichler's results on GL(2). Let B be a
definite quaternion algebra over Q with prime discriminant p. Let O
be a maximal order of B. Denote by B or O the q-adic completion
9
9
of B or O. Let BA be the adelization of B, and put U = .B il
9 9'
where Ba = B e R
Put
.
Adolf Hildebrand
University of Illinois
Department of Mathematics
1409 West Green Street
Urbana, Illinois 61801
U.S.A.
ro(p)
=
a b ESL2(Z?) ; c i 0 mod. pl
{(c
.
Let uv be the symmetric tensor representation of B of degree v. Denote by Mv(U) the automorphic forms on BA with respect to U of
weight aV. Let %(rO(p))
be the space of usual cusp forms on the upper half plane of weight k w.r. t. ro (pl, and denote sk(r0 (P)) the
space of new forms of %(rO(p)).
Theorem (Eichler [ 21)
For any integer v ~ 0 ,there exists an isomorphism
O
u : M2V(U) = S2v+2(rO(p)) as Hecke algebra modules (i.e. which presenres
§
1
- Notations and Theoremç
To extend this typical and beautiful result to general cases, we should
answer the following questions :
1)
What should be the corresponding "weights" ?
Fix an Iwahori subgroup B(p)
2) Which kind of discrete subgroups should be taken instead of U
and ro(p) ?
of G as follows :
P
3) What are new forms ?
The answer to 1 ) has been given by Ihara [ 91, and seems more or less
known by Langlands [12] in general. We would like to answer to 2) as follows : First of all, every reductive algebraic group over the p-adic
nunber field has only one minimal parahoric subgroup up to conjugation.
And secondly, the extended Dynkin diagram of non residually split groups
G; are obtained by "dividing" the diagram for residually split groups
G by graph automorphisms. Then, those parahoric subgroups of G inP
P
variant by this graph automorphism "corresponds" with parahoric subgroups
of Gi,. Now, take an algebraic group G, G' over Q, and assume that
the completion Gv, G; at v#=, p are isomorphic and that p-adic
completion are Gp and G' as above.
P
Take sorne "standard" maximal compact subgroups UV of Gv r Gc for
v#=, p. Then, considering everything in adeles, "discrete subgroups"
il UV for some
maybe chosenas U = G U 17 UV, or U t = G;U1
" v# -,;
v#",P
compact groups UP, U; of Gp, Gp.
ooio
throughall elements in Z
Put
P'
O O)
POO0
.
Then, the following six subgroups are parahoric subgroups of G which
P
contain B(p) except for G and B(p) :
P
1) First candidates : Up or Ut should be the minimal parahoric subP
group of G or G'
P.
P
2) Second candidates : Up should be a parahoric subgroup invariant by
the graph automorphism, and Ut be the "corresponding" one.
P
In the case that Ga= Sp(2,R) and GA= Sp(2), we shall give some dimensional relations between automorphic forms of U and Ut for above
each case 1) and 2) in the following sections. Some remarks for general
case will be given in paragraph 3.
The author would like to thank Dr. S. Kato who guided him to the
theory of p-adic algebraic groups and told him the notion of the folding
of graphs. Our Theorem 2 in this paper is a joint work with Dr. Hashimoto,
and the author thanks him also.
where * are elements in
ZD.
Fig.
K(p)
128
Notations being same as in the introduction, we put UV = Sp(2, iZvl for
vf-, p, and we take some above groups as Up. We use the same symbol
B(p) etc. for U with U = B(p) (or for U n G if you prefer) etc.
P
We denote by Sk(U)
(of genus two).
Theorem 1. For every integer k 2 5 and each prime p, we get the following relation of dimensions :
the Siegel cusp forms of weight k belonging to U
dirn Sk(K(p))
- 2 dirn Sk(Sp(2,ZZ))
=
On the other hand, put
where B is as in the introduction (with discriminant p) and - is
the canonical involution of B. Then, G' is isomorphic to
P
1
ab
where ro(p)
= C(c
d) E SL2(iZ) ; c 5 O rn0d.p) and A2(*) (resp. S2k-2(*))
dontes the automorphic (resp. cusp) forms of weight 2 (resp. 2k-21, respectively.
Theorem 2. (joint work with Hashimoto)
For every integer k 25 and each prime p # 3,5, we get the following relation of dimensions :
We fix such isomorphism once and for all. mit
UOp= Gp
n
( Op Op)',
where n is a prime
"OP OP
and parahoric
Then this is minimal parahoric in
element of O
Gp,
P.
:
are
given
by
subgroups in Gp which contain U
OP
=
dirn
(UO) - dirn Mk-3 (U1) - dirn Mk-3(U2).
Here, the condition on p is merely a technical one to avoid the complication of calculation at present. The condition on k comes from the
condition on convergence of the trace formula (cf. Hashimoto [41) . The
right hand side has been calculated for any k23.
For vf-, p, put UV= G1 n GL (O ) = GSp(2,ZZ 1 .
P
2 P
P
ri
UV. Let (pv ,V) be the representation of
Put Ui= G-U
ip vf-,p
G= GSp(2)
whose corresponding Young diagram is
m.
We dende
by MV(Ui) the space of automorphic forms on GA of weight pv belonging to Ui. More precisely, Mv(Ui) is the set of V-valued functions
on GA such that
f(axu)
=
pv(u)f(x)
for any a E G 1 ,xEGA, uEUi,
where we regard pv as a representation of GA by the projection
5 2 - Conjectures
First, we consider Sk(B(p))
and Mk-3(UO). These spaces have the
O
the orthogonal corn
usual invariant inner metrics. We denote by Sk(B(p))
plement of
O
We also denote by Mk-3(UO)
the orthogonal complement of
Mk-3(U1 1 + Mk-3(U2) in Mk-3(UO). We would like to cal1 elements of
O
SkO(B(p))
and Mkm3(UO)
new forms. In other words, new forms are those
forms whose corresponding admissible representation at p is the special
representation defined by Steinberg and Casselman.
Conjecture 1
(cf. 171)
For every integer k 23 and every prime p, there exists an isomorphism; M ~ - ~ ( U=
~ )SkO(B(p))
as Hecke algebra modules. That is, if
O
f E Mk-3(UO) is an eigen form of al1 the Hecke operator T(n) (p 1 n) , the
then u(f) is also c o m n eigen, and L(s,f) = L(s,u(f))
up to p-Euler
factors.
Some explicit examples which fit this conjecture have been already given
in [71.
Next, we consider K(p)
and U2. These are one of the second candidates
that Tr(Mk-3(U1 ) ) is obtained by some lifting (cf. Ihara 191 and Our
Theorem 1). It seems difficult to determine what kind of local representations at p can be obtained as a local factor of the above new forms.
S 3
-
Remarks for general cases
Let G be any reductive group over a non archimedean local field
F. We fix a minimal parahoric subgroup B of G. Let P be a parahoric subgroup of G, and denote by c(P) the codimension of the simplex
defined by P in the Tits building of G. We can take a smooth mode1
of B over the ring of integers of F. (Tits [151). We denote by n(B)
the number of points in the reductive part of the reduction of B modulo
the prime ideal of F.
Definition. We define "new volume" V(G)
of G as follows :
where P run through al1 the parahoric subgroups (PZG) of G which
contain B.
Now, we notice that Sp(2,Z) , p sp(2,Z)p-l , and K(p) have no inclusive relation. But, Theorem 1 suggests that there are old f o m in
%(K(p))'from'Sk(Sp(2,Z))
+S~(PS~(~,L)~-~)
. So, we should define a map
of these space into Sk(K(p)),
that is, we define the trace map by :
Now, let G be a residually split group over F. Then, non residually
split F-form G' of G is obtained by the "folding" of the Dynkin die
gram of G.
Proposition. We get V(G) = V(G'),
if G' is of type 2~n(n23),
, 'C-B~(-~),
,d22) , ' ~ ~ ( ~ ,2 2~'n(n>4)
)
- , ' ~ " ~ ~ (,
~3)
2~-~n~n23)
4D2m+l(m~2), 'E6, or 'E7 in the table of Tits 1151 p. 62-66. For general F, this is also a necessary condition.
d4,,d-1
(cl
where (f 1
A B
(z) = f(y r ) det (cz+D)~ for y = (C D).
We cal1 the image of %(Sp(Z,Z))
+ %(p
(S~(Z,Z)~-')
by Tr, old f o m
O
) its orthogonal complement in
of Sk(K(p) ) , and denote Sk(K(p)
%(K(p) 1. We define the trace map Tr of $-3(Uo)
to Mk-3(U2) in
the same way as above, and denote the orthogonal complement of the
O
image of $-3(U1 ) by Tr by Mkm3(U2).
Conjecture 2
For every integer k 2 3 and prime p, SkO(K(p) 1 = M ~ - ~ ( u ~as
)
Hecke algebra modules.
Som examples for this conjecture have been given in 171. It seems to me
The proof of this Proposition consists of a case by case check of the
Poincaré polynomials given by Macdonald 1 1 31 .
Now, assume that there exist global, Say over Q, reductive algebraic
groups G and G' as in the introduction, whose completions at p are
a pair of the types in the above proposition. Then, for parahoric subgroups P or Pl, we can define open subgroups of adeles U or U' as
in the introduction, by putting U = P or U' =Pl, respectively. Let p
P
P
and p' be representations of the completions of G and G' at infinity, which correspond with each other in the sense of Langlands. Then, the
above proposition suggests that the main terms of the alternating sums of
dimensions of cusp f o m
r (-I)~(~)
dim Sp(U(P)
P
coincide with each other. For examples, for Cm and 'cm, we can take
as a pair of global groups We take
Sp(n,Q) and Ig € s(B) ; gtg = ),1
p' as the representation of the compact group Sp(n) whose Young dia-
.
, and take
gram is
p
as the representation of Sp(n,R)
....
which corresponds with usual cusp forms of weight v+n+l. Then, main
terms of both the alternating sums of dimensions as above coincide with
each other and given by :
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p-adic Points on Shimura Cumes
Bruce W. JORDAN
This lecture surveys some results of joint work with Ron Livne, the
full account of which appears in [41. Indeed, it is hoped that this will
serve as a palatable introduction to C41 in that severai examples are
described in detail and of necessity technical details are minimized.
Let B be an indefinite rational quaternion division algebra;
identify B e R with M2(R) . Choose a maximal order mcB and denote
@
by r the elements of m of n o m 1. r operates properly and discontjnuously on the Poincaré upper half plane h and the resulting Riemann
surface Cg= h/T is complete. By Shimura 181, Cg has a canonical model VB/@. It is a special case of a theorem of Shimura (191) that
VB(R) = 0. Hence we raise the question whether there exist primes p
such that V ( )=0. It is possible to amass data relevant to this quesB $
tion because the equations defining several Shimura curves are known :
T. IBUKIYAMA
Depart. of Math.
College of General Education
Kyushu University
Ropponmatsu, Fukuoka
810 JAPAN
The author is partially supported by SFB 40, Universitat Bonn.
Discriminant
of B
Equation of VB
Completions of Q over which
VB fails to have points
2.5
x2 + y2 + 2 = 0
R, QI2
2.7
(X2-13)2 + 73 +2y2=0
R , Q7
(A)
The first two equations may be found in Kurihara [SI, the last appears
in Jordan [ 3l (several additional equations are also known, cf. [ 31 , [ 51) .
Given the equations detennining whether they have points in Q is a sim
P
ple exercise. From the table we see the phenomenon of Shimura curves failing to have points over certain p-adic fields. We are thus naturally
faced with the
Problem. Detemine the p such that V (Q 1
B P
=
0.
Denote by Disc B the discriminant of B. By Morita 161 and Drinfeld
11 1, VB has good reduction at p if and only if p l- Disc B. Thus Our
Problem has two cases.
Case 1. p 3. Disc B (the Case of Good Reduction).
For a rational prime p $ Disc B, denote by 7 /IF a smooth reB P
duction of VB modulo p. As
is a smooth curve, we have by Hensel ' s
L e m that V (Q ) = 0 if and only if V (IF ) = 0. The Eichler-Shimura
B P
B NP
Relation computes the number of points of V (IF 1 as
B P
5
O
h(O)
II a = l + p - II
SEZ [@:iZXl qlDisc
n B (I-{~H,
P
Islt26
q prime
where O runs through the set of orders in imaginary quadratic fields K
such that O contains the roots of x2 + sx + p = O, h(O) denotes the
class number of O, and for a rational prime q
1
=
{K
(-)
9
if a divides the conductor of O
otherwise
In particular, we see from the above
cient condition for a = 1 + p, and
P
imaginary quadratic integer of norm
split B. Thus, we have established
%
0.c
1
O
where a is the trace of the Hecke operator T(p) acting on H (VB,R ).
P
On the other hand, the Eichler-Selberg Trace Formula (Eichler [21) provides the following expression for the trace of T(p) :
O
the Riemann hypothesis for curves over finite fields, and hence
C( ) # O by Hensel's L e m . However, this phenomenon does occur. For
example, the imaginary quadratic fields containing an integer of n o m 2
. three of these fields fail to
are Q(q), Q(F2), and ~ ( m )Al1
split B(3*29), where we denote by B(N) the quaternion algebra of discriminant N. Hence by Theorem 1, VB(3.29),
a curve of genus 5, has
no points rational over Q2.
formula that a necessary and suffihence for ? (IF ) = 0, is that evay
B P
p lies in a field which fails to
:
1. Theorem. Suppose p 'C Disc B. Then V (Q ) = 0 if and only if every
B P
imaginary quadratic integer of n o m p lies in a field which fails to
split B.
Table (A) contains no examples of a Shimura curve VB and a prime p,
p 1. Disc B, such that V (Q )#O. This is to be expected, since the
B P
curves in Table (A) are of genus O or 1. In general, if C/Q is a curve
ICB
of genus O or 1 having a smooth reduction mod p C then C (IF ) # 0 by
P
Case II. p I Disc B (the Case of Bad Reduction).
In the case of good reduction the existence of local points was im
mediately reduced to a question about the reduction via Hensel's L e m .
In the case of bad reduction it is also possible to reduce the existence
of local points to a question about the special fiber via a more sophisticated formulation of Hensel's L e m .
is a smooth and proper curve. Then X(Q ) = B
P
if and only if a regular model of X over iZ has a special fiber po*
P
sessing no smooth IF -rational points.
P
If X/Qp is a curve of genus 2 1 , then a particular regular model
The
of X over iZ is given by the minimal mode1 , denoted xmin.
P
minimal model of X then has a special fiber (xmin/ZZp) = xminx IF
ZP P'
one
can
compute
the
appearFrom the equations for V
B(14) and VB(33)
ance of the special fiber in the minimal model. Below we give the special fibers for these two examples. Al1 components are rational curves,
and we give the action of Frobenius on the configuration of the components.
In each case it is easy to determine whether the special fiber has a
smooth IF -rational point and hence to see geometrically the diophantine
P
behavior indicated in Table (A).
2. L e m . Suppose X/$
(GY41
=
7 O
Pr+/72p
Frob7 acting on components
= rotation through 180'
Frob2 interchanges these
two components
(BI
lE)
.. vBc14)tm21 z 0
' . vB(14)(Q7)
=@
M o r d uniformized curve corresponding to the discretecocompact subgroup r+ c PGL (( 1 (see M o r d [ I I and
2 P
Kurihara [ 51 ) .
Let y ED'P)~ be an element of n o m p;
normaiizes D'plx. Since
P
Y~
N o m E L 2($1 (r+)/i+ 4Aut(Pr /ap) , yp induces an element
+
w E Aut(Pr /;S ) . Let O be the integers in the unramified quadratic
+ p
P
extension of (
and define the cohomology class x E H1 (Gal(O/Z ) ,
P'
P
w
Denote by (Pr /72 )X
Aut (Pr /Z 1) by the cocycle Frob
+ p
P
P'
+ p
the corresponding twisted form of the Mumford curve Pr+/$.
We then
have the :
+
Frob3 acting on compchents
= reflection through
dotted line
'
'B(33)
(3
)
=0
Frobllacting on components
= rotation through 180"
=
vB(33) (QI
=
0
in general we need a description of a regular mode1 of VB over EP'.
this is provided by the moduli interpretation of Shimura curves.
So
Let Mg/Ep be the coarse moduli scheme over EP with the property that if T is a Z -scheme, a T-valued point of Mg consists
P
of an isomorphism class of
(1)
an abelian surface A over T
End(A) such that if 'TTBn denotes
(2) an injection i : m
for
the reduced trace, then Tr (i(m)/Lie(A)) = TrBn(m)
OT
mF:m.
One can find the following description of %/E P
also paragraph 4 of [41). Set
in Drinfeld [ 1 1 (see
A
=
Disc B.
definite quaternion algebra such that Disc D = P '
hence D e ( Z M (( 1.
P 2 P
Bruhat-Tits building of SL2($) = PGL2($)/m2(Zp)
D
=
a maximal order of D
a@)
=
D~P)
=
E QI, D(PI= D 72 Z(~)
P
{x E D(P) 1 V~(N~,~(X)) is even}
D
=
@
3. Theorem. (Main Theorem on the Bad Reduction of Shimura Curves) (Drinfeld) Mg/%
(Pr / L ~ ) ~
.
+
From Theorem 3 the following properties of M.,./Z may be deduced :
P
(i) Each component of (%/ap) O = MB x
IFp is a reduced rational cunres.
P
is 2h(D), where
(ii) The number of components of (%/Z 1
P0
h(D) denotes the class number of D. One can write
{components of (%/a 1 1 = SI U S2 with Si smooth,# Si = hm),
P0
i=1,2, such that :
(a) If C and Cl are components in Si, then CnC1 = @ for
i=1,2.
(b) If CE Si and Cl $Si, i = 1,2, then
CnC' # @ .
(CI FrobP (S1 1 = SZ; Frobp.(S ) = SI. In particular, no component
of (%/Zp)O
(iii) M / Z
B P
is defined over F
P'
has only A2 and A3 singularities.
As an illustration, we give the special fibers of M
B(14) and %(33)'
listing also the singularities of the arithmetic surface and the action of
Frobenius on the configuration of components. D(N) is used below to denote the definite quaternion algebra of discriminant N.
It is instructive to now check that the resolution of the singularities
for the curves in Table C yields the minimal models displayed in Table B.
Of course these minimal models of Table B were originally obtained directly from explicit equations !
Frob2 acting on components =
rotation through dotted line
Let M /Z
denote the arithmetic surface obtained from M /72
B P
B P
by resolving singularities. Since (MB/ZDI0 has no component rational
over
, (MB/Zp10 has a component rational over IF only if some
P
exceptional divisor is rational over IF
The description of the blow-up
P'
of AZ and A3 singularities given in ( O ) above shows that
/Z )
B PO
if and only if (M /ïZ )
has an
has a component rational over IF
P
B PO
IF -rational A2-singularity. The exceptional divisor of (%/ïZpI0
comP
ing from an IF -rational A2-singularity is isomorphic to IP1/IF and
P
P
intersects the other components in exactly two points. This exceptional
divisor therefore contains an IF -rational point which is a smooth point
P
of (iB/~p)O. We conclude :
%
Frob7 acting on components =
rotation through 180"
-
(G
Frob3 acting on components =
reflection through dotted line
Frobl acting on components =
rotation through 180"
4. Proposition. Suppose p I Disc B. Then VB($) # 0 if and only if
(%/Zp)
has an IF -rational A2-singularity .
P
Furthermore, from the Main Theorem on the Bad Reduction of Shimura Curves (Theorem 3), if follows that (M / Z )
has an IF -rational A2B PO
P
singularity if and only if the arithmetic graph with lengths
has
an edge d of length 2 such that w (d) =d, where d denotes the oppoP
yields the
site edge of d. However, an analysis of the graph
following proposition :
+
ANow the blow-up of an A2-singularity is given by
A+-tt
,
and the blow-up of an A3-singularity is given by
can refine this picture by taking into account the action of Frobenius.
Specially, we have the blow-ups.
f
.
-+
Frob
P
interchanges
(Dl
+
.
f
-
Frob,,
r
interchanges
exceptional divisor
rational over IF
P
-+
Frob
P
interchanges
Frob acting on components
P
= reflection through
dotted line
+
5. Proposition ([41 1
.
ï'+ \ A
has an edge d of length 2 such that
w (d) =a if and only if p z 2 and Disc B = 2q1...q2r-1, q i = 3 rnod 4,
P
1ziz2r-1, or Disc B=2p with pi1 mod 4.
Propositions 4 and 5 then settle Case II, the case of bad reduction.
6. Theorem. Suppose p l Disc B. Then VB($)
f 0 if and only if p = 2
and Disc B = 2q1...q2r-1,qi- 3 mod 4, 1zit2r-1, or Disc B = 2p with
p = 1 mod 4.
We have now solved the problem of finding the primes p such that
V (Q ) = 0. 141 addresses this problem in greater generality, determining
B P
the local fields K such that VB(K) = 0.
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
BIBLIOGRAPHY
V.G. Drinfe1d.- Coverings of p-adic symmetric regions (in Russi&,
Funkcional. Anal. i ril log en., 10 (1 976), No 2, 29-40 = Functiona1 Anal. Appl., 10 (1976), No 2, 107-115.
Géométrie autour d'un théorème de Bernstein
M. Eich1er.- Modular correspondences and their representations,
Report of an International Colloquium on Zeta-Functions, Bombay,
1956.
B. Jordan.- On the Diophantine Arithmetic of Shimura Cumes, Thesis,
Harvard University, 1981 .
B. Jordan and R. Lime.- Local diophantine properties of Shimura
curves, to appear
.
Michel Langevin
5 1
- THEOREME DE BERNSTEIN ET EXTENSIONS
Soient P un polynôme à coefficients complexes de degré au plus
d et P' le polynôme dérivé de P. Il y a plus d'un demi-siècle,
Bernstein établissait l'inégalité :
A. Kurihara.- On some examples of equations defining Shimura curves
and the Mumford uniformization, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec.
IA, 25 (1979) 277-300.
Y. Morita.- Ihara's conjectures and moduli space of abelian varieties, Master's thesis, Univ. Tokyo, 1970.
D. Mumford.- An analytic construction of degenerating curves over
complete local rings, Composito Math., 24 (l972), 129-174.
déduite d'une inégalité sur les polynômes trigonométriques (cf. 11 1 et
aussi [ 131) . Cette dernière généralisait une inégalité également bien
connue due à Markov :
G. Shimra.- Construction of class fields and zeta functions of algebraic curves, Ann. of Math., 85 (1967), 58-159.
(2)
G. Shimura.- On the real points of an arithmetic quotient of a
bounded symmetric domain, Math. Ann., 215 (l975), 135-164.
[IO] T. Zink.- über die schlechte Reduktion einiger Shimuramannigfaltigkeiten, Compositio Math., 45 (l98l), 15-107.
B. Jordan
Mathematisches Institut der
Universitat
Bunsenstrasse 3-5
D-3400 Gottingen
sup IP' (z) 1 2 d2 sup
- 15~51
1 ~(z)1 .
-15~51
Ces inégalités jouent un rôle important en analyse dans les théories d'interpolation ou de la meilleure approximation; ce n'est pas le point de
vue adopté ici pour lequel on renvoie aux paragraphes correspondants dans
les Oeuvres de Zygrmuid ou bien à l'ouvrage classique de Lorentz ou encore
surtout à la récente compilation de Horvath des travaux de M. Riesz (cf.
[IO1 et [61).
Nous n'aborderons pas non plus ici l'étude des liens entre la forme du
compact d'écrit par z (un disque dans (l), un segment dans (2)) et l'exposant à attribuer à d; voir à ce sujet les travaux de Sewell et Szego
( [ 141 et [ 161). En fait, dans cet exposé de théorie des nombres, nous nous
limiterons aux aspects nous intéressant directement de ce point de vue :
obtention de relations (inégalités ou autres ...) entre coefficients et
racines de P, Pt éventuellement à l'aide de diverses notions de hauteurs ou de mesures ... bref, obtention de renseignements précis permettant l'écriture de lemmes totalement explicites de théorie des nombres.
Le but de l'exposé est de donner une interprétation géométrique du théorème de Bernstein à la fois plus simple et plus complète. Avant d'en expliquer les diverses étapes, on énonce les extensions de (1) jouant un
rôle dans la suite. On conserve les mêmes notations, Re désigne la partie réelle.
(3) (Szego, 1928, [171)
sup
lzltl
I
1-
IP'
(z) 1 5 d sup
lzltl
I
.
IR~(Pz)~
1-
>l
Si tous les zéros de P sont de module au moins (resp. au plus) k (resp. 51 1 ,
I
(5)
sup
)z('PI
/ z151
1
_< d(l+k)-'
sup 1 P(z)
1
)z(PI
l z151
1
Au paragraphe 2, grâce à l'introduction d'une notion adéquate de convexité sur la sphere de Riemann, on énonce un théorème de démonstration très
simple donnant simultanément les inégalités ( 1 ) ,( 3 ) . (5) sous forme géométrique plus précise, générale et intrinsèque. Au paragraphe 3, on décrit comment étendre les techniques du paragraphe 2 au cas de domaines de
variation non circulaires. Au paragraphe 4, on expose la méthode de De
Bruijn pour prouver (1) et ses liens avec celle du paragraphe 2. Enfin,
au paragraphe 5, on donne une preuve directe d'une généralisation de (1)
par interpolation sur des racines de l'unité.
..
5 2
1451
2 d(l+k)-' sup
le résultat annoncé est alors clair.
1.
Les inégalités (4) et (5) ont été obtenues en 1969 par Malik ([121) mais,
dans le cas k = 1 , (4) avait été prouvée en 1944 par Lax et (5) en 1939
par Turh (cf. E91, 1181).
En fait, (5) est un corollaire d'un énoncé plus général da à Giroux,
Rahman, Schmeisser (1 979, [ 51 ) dont on peut donner une démonstration
géométrique simple :
...
Lemme 1. Soit P(z) = ao(z-xl)(z-x2)
(z-xd>, alors, pour tout complexe z de valeur absolue au moins égale à celle de chacun des
xi (i= 1,2,...,d) :
Démonstration. On peut supposer z # x1,x2,...,xd ce qui permet d'écrire
Or, l'application circulaire associant (1 -y)-1 à y transforme le disque fermé : 1 y 1 5r < 1 (resp. 1 y / 5 1 ) en le disque fermé de diamètre
(1 r ) , (1 r ) (resp. le demi-plan Re(z) 2 1 /2) et donc, puisqu'on
suppose 1 z 1 2 1 xi 1 , on peut minorer Re 1 - x i z l par (1 + 1 xi/z1 1-' ;
- NûïION DE
a-CONVEXITE ET TEOREME PRINCIPAL
On désigne par S (sphere de Riemann) le complété projectif de (C,
la droite affine complexe; autrement dit, S = (CU {ml. Pour tout point
a de S, le complémentaire S\ta) est canoniquement muni d'une structure affine complexe donc réelle. Les espaces affines (C et S x {a) sont
isomorphes par toute homographie transformant le point à l'infini en a;
par exemple, par 1'application ia définie par (si a # -, sinon poser
im= Id.) :
qu'on peut, à une symétrie - donc à une application affine
comme une inversion de pôle a.
- près, voir
Un point a étant choisi, on dispose sur S \ {a) d'une notion de a-
barycentre et d'une notion de a-convexité qu'on prolonge ainsi à S : le
barycentre d'un ensemble de points ne contenant pas a est le barycentre
dans l'espace affine S\ (a) et, si l'ensemble contient a, le barycentre est a (quand aucune masse n'est spécifiée, on emploie le terme barycentre pour isobarycentre); de même, une partie K de S est dite aconvexe si elle est connexe (pour la topologie de S) et si K\ {a) est
une partie convexe de 1'espace affine S \ ta).
En fait, cette a-notion peut aisément s'interpréter comme on le voit dans
181 où l'on décrit comment construire géométriquement le a-barycentre ou
la fermeture a-convexe d'un ensemble fini de points. Cette a-notion ainsi
prolongée est naturelle; par exemple, soit K une partie de S ..-convexe,
si K contient le point à l'infini, ce point ne peut être isolé puisque
K est connexe, par conséquent, la partie K\ {ml de (C est non bornée;
d'autre part, le point à l'infini ne peut être intérieur à K que si K
est égal à S puisque, dans toute direction du plan complexe, il y aurait
des points de K. Précisément, on a :
(ii) si a #-,
P' (a) = O, sa(v)
transforme les éléments de S\P(U)
=-
si v # P(a)
et sa(P(a))
=a
en éléments de S\U.
Lemme 1. Soit K une partie a-convexe de S différente de S. Le
point a est adhérent à (S\K)\Ia)
En particulier, dans le cas (i) , 1' inverse sa1 est une similitude vérifiant sa' (u)c P (u).
Démonstration. K \ {a) est convexe donc simplement connexe, son complémentaire dans S est donc connexe. En particulier, si a appartient à
K, a est sur la frontière de K.
Démonstration. L'application sa définie dans l'énoncé est celle associant à tout nombre complexe v le a-barycentre des zéros du polynôme
P(X) -v. C'est clair dans le cas (iii) puisque, le degré ayant été supposé être au moins 2, - al/ao représente la somme de ces zéros; si maintenant a P m , ou v = P(a) et le a-barycentre des zéros de P - v est
a par définition, ou v # P(a) et on peut écrire, en notant
x1,x2, xd les zéros de P - v :
L'exemple principal de domaines a-convexes est donné par le :
Lemme 2. Dans le plan complexe, soit D un disque (ou le complémentaire
d'un disque ou un demi-p1an)ouvert ou fermé; alors, si a est adhérent
à S\D, D est a-convexe.
Démonstration. La transformation ia définie par (7) amène le point a,
adhérent à S\D, en le point Ci l'infini qui est donc adhérent à
S\ ia(D) ; par conséquent, puisque le bord de D, donc de ia(D) - ia
ia étant un inversion -, est un cercle ou une droite, ia(D) est un disque ou un demi-plan ouvert ou fermé, c'est-à-dire un -convexe, ce qui
achève la démonstration.
Remarque : Dans l'énoncé précédent, D est un ensemble ouvert ou fermé
dont le bord est un cercle ou une droite; en fait, si a n'est pas adhérent à D, D est a-convexe si son intérieur est un disque, le complémentaire d'un disque ou un demi-plan. Le cas où a se trouve sur la frontière de D peut également être traité plus précisément. Pour tout cela,
ainsi que pour une variante de la preuve du Lemme 2, voir 181.
On énonce maintenant le Théorème principal.
...
Théorème 1. Soient P(X) = aoXd +alxd-l+
+ad un polynôme à coefficients complexes de degré d, 2, a un point de la sphère de Riemann S,
U une partie de S telle que S x U soit a-convexe (d'où a E Ü d'après
le Lemme 1). L'application sa de S dans S définie par :
(i) si a#-, P1(a) #O, sa(v)
=
a+d(~'(a))-~(v-~(aI)
...,
P a ( V - P ~ ) )=~ T (xi-a)-'
i
= t
(ia (x.
i)-a) ,
on en déduit que sa(v) est le a-barycentre b de x1,x2,...,xd puisque b est défini par :
d i
b= T x
i
i
d'où
d(b-a)-'
=
t(ia(xi)-a)
.
Cette interprétation de sa étant donnée, supposons que le nombre complexe v n'appartienne pas à l'image P(U); cela signifie que les zéros
du polynôme P - v sont dans le complémentaire S\U qui est a-convexe
par hypothèse; leur a-barycentre sa(v) est donc également dans SxU.
Enfin, si v = - et si v n'appartient pas à P(U), alors mSEU et
donc sa(m) = mES\U.
Grâce au Lemme 2 et au Théorème 1, on obtient, entre autres, les corollaires suivants dont on trouvera les démonstrations complètes dans [ 8 1 .
Bornons-nous à signaler qulon,démontre:
Le Corollaire 1 en appliquant le Théorème 1 dans le cas où U est un
demi-plan et où sa est non-inversible;
Le Corollaire 2 en appliquant directement la définition de sa donnée
dans la partie (i) du Théorème avec pour U le disque D;
Le Corollaire'3 en observant que P(U) - où U est encore le disque Dcontient l'image du disque U par une similitude sa1 de rapport
1 P' (a)/d1
en valeur absolue;
Les Corollaires 4, 5, 6 en appliquant deux fois le Théorème 1 avec U = D
puis U = D 1 ;
Corollaire 5. Soient D un disque de centre c et de rayon R, P un
polynôme de degré d dont les zéros sont situés dans un domaine H
(disque, complémentaire d'un disque ou demi-plan) d'intersection vide avec
B. En désignant par d(c,H) la distance de c à H, on a alors :
Le Corollaire 7 en appliquant le Théorème 1 au cas où U est le complémentaire du disque D.
d
Corollaire 1. Soient P(X) = aoX + alxd-' + ... + ad un polynôme à coefficients complexes de degré supérieur ou égal à 2 et H c K un demi-plan
fermé,
(i) si O E P' (H),
alors P(H)
Corollaire 6. Les hypothèses sont celles du Corollaire 4 mais on suppose
de plus que P ne s'annule pas sur
Dl. Alors,
= (C,
(ii) si H contient -al/dao, alors
P(H)
=
P' (H)
=
... = PCd-2)(H) = K.
(R+R1- 1 c-cl1 ) sup IP'(a) 1 5 d (sup 1 P(Z)
aEDnD1
zED
Corollaire 2. Soit D un disque ouvert ou fermé dans K de centre c
et de rayon R. Pour tout point a adhérent à D, on a :
Corollaire 3. Soit D c(C un disque de rayon R. Pour tout polynôme de
degré d, on a :
2 R supl~'(a)I 5 d inf (sup Re(uP(z))
aED
lul=l zED
-inf Re(uP(z)))
zED
Corollaire 4. Soient P un polynôme de degré d, D, Dl deux disques
dans K de centres respectifs c, cl et de rayons respectifs R, RI.
(i) Pour tout point a adhérent à l'intersection de D et Dl,
on a :
inf (sup Re (uP(z) ) - inf Re (uP(z)
(ul=l zED
zED1
S 3
zED1
- EXTENSIONS GEûMETRIQUES
Pour toute partie U de la sphère de Riemann S, soit A(U) l ' e ~
semble des points a de S pouv lesquels S x U est a-convexe. Le Lemme 1 du paragraphe 2 montre que A(U) est inclus dans l'adhérence de U.
Si l'on sait déterminer ACU), alors le Théorème 1 du paragraphe 2 peut
être utilisé sous la forme suivante :
Théorème 1 '. Soient U une partie de S de frontière F et P un polynôme de degré d positif. Alors, pour tout Floint a appartenant à
A(U) et vérifiant P' (a) # O, on a :
(pf(a)l .suplz-a/5 d suplP(z)-P(a)l
ZEF
ZEF
))
1 - inf 1 P(Z
Corollaire 7. Soient P un polynôme de degré d et D un disque de
centre c et de rayon R contenant les zéros de P. Pour tout point
a n'appartenant pas à l'intérieur de D, on a :
(i) si U est une partie bornée de K,
(ii)
(R+R1+
(iii)
(R+R1-
Remarque : le Corollaire 5 ci-dessus répond en partie à une conjecture
de Saff (cf. Giroux, Rahman, Schmeisser [SI).
et
IP'(a)l
(ii) si S\U est une partie bornée de
n'appartenant pas à P(U) :
(f,
se F (c'est le cas des points ordinaires et des points d'inflexion).
Si l'on écarte le cas de courbes localement rectilignes ou circulaires
et moyennant des hypotheses convenables, Ft peut être vu corne l'ensem
ble des points M de F où la dérivée de la courbure est non nulle.
on a, pour tout v
Le but de ce paragraphe est la description de l'ensemble AN). Pour que
A(U) soit non vide, on doit supposer S x U connexe et, en pratique, on
est amené à faire la même hypothèse sur U. On va résoudre le problème
lorsque U est l'intérieur ou l'extérieur d'une courbe de Jordan F fermée du plan complexe suffisment régulière (de classe c3 au minimum).
Un telle courbe F étant donnée, on définit 1'indice d'un point x par
rapport à F par (si x # a, sinon poser j(..,FI = O) :
La remarque importante est que le cercle osculateur Osc(ia(M> ,ia(F))
de la courbe image de F par l'inversion ia en ia(M) est le cercle
ou la droite image ia(Osc(M,F)).
Par conséquent, si M appartient à
Ft et si a est situé sur OscM, l'image i,(OscM)
est une tangente
osculatrice traversant ia(F) en ia(M) lequel est donc un point d'inflexion, ce qu'on ne peut trouver sur une courbe convexe. On en déduit,
avec les notations du Lemme 1 et les hypotheses précédentes faites sur
F, que :
Lemme 2.
F partage le plan complexe en deux composantes connexes, l'intérieur de
F : l'ensemble des points d'indice non nul et l'extérieur de F : l1ensemble des points d'indice nul. Les formules suivantes, faciles à obtenir
(cf. [81) :
j(a,F>+ j (a,ia(F))
=O
(ia est définie par (7) au 5 2)
permettent de prouver le :
Lemme 1.
(i) Si a appartient à l'intérieur U de F, ia(S\U)
est
1' intérieur de ia(F)
(ii) Si a appartient à l'extérieur U de F, ia(S\U)
est
1' intérieur de ia(F).
Ainsi, dans l'un et l'autre cas, le problème est de déterminer les points
a qui sont pôles d'inversions transformant la courbe de Jordan fermée F
en une courbe convexe. Le problème est complètement résolu dans [ a l , on
se borne ici à décrire les résultats et à en esquisser les démonstrations.
On suppose que F admet en tout point un cercle (ou une droite aux points
de courbure nulle) osculateur Osc(M,F) (ou OscM s'il n'y a pas ambiguîté) et on note Ft l'ensemble des points M de F ou OscM traver-
En fait, pour établir le Lemme 2, il convient, outre de définir précisément Ft, d'examiner le cas où le pole d'inversion a serait sur F.
I l n'y a pas de difficulté liée à ce point car on peut montrer que, si
F n'est ni une droite ni un cercle, on n'obtient jamais ainsi de courbes
convexes, ceci en obseyvant encore que l'image ia(Osc(a)) est une asymptote de ia(F) (pour chacune des extrémités à l'infini).
Une description plus parlante (et qui redonnera 1'égalité A(U) = Ü vue
au paragraphe 2 quand F est une droite ou un cercle) de l'ensemble
A(U) peut être obtenue lorsque le bord F est une courbe convexe. L'id&
est de considérer l'application associant à un point M de F la puissance du point a (dont on cherche s'il se trouve dans A(U)) par rapport au cercle osculateur OscM. En adjoignant les valeurs + a et --,
on peut aussi définir ce nombre P(a,OscM) aux points M où la courbure
est nulle; on obtient ainsi une fonction à valeurs dans IR continue sur
F, négative si a est intérieur à OscM, nulle sur OscM et positive
à l'extérieur. En associant à F son équation d'Euler en a, on voit
qu'aux points M n'appartenant pas à Ft, la fonction associant
P(a,OscM) à M ne change pas de signe. Par conséquent, si a n'est situé sur aucun des cercles OscM avec M élément de Ft, la fonction
continue M b P(a ,OscM), qui ne peut s ' annuler qu'en dehors de Ft,
conserve un signe constant. Cela fait apparaître le complémentaire de la
r6union des OscM où ME Ft comme la réunion disjointe de n d(M)
MEFt
i.e. l'intersection des intérieurs des cercles OscM avec MEFt, et de
n D(M) i.e. 1'intersection des extérieurs des cercles OscM avec
MEFt
MFt. De plus, les notions introduites ci-dessus permettent de montrer
les égalités :
nm=MEFt
n d(~)
KF
,
~D(M)=
n D(M)
MEF
MEFt
où, comme précédemment, la barre supérieure désigne l'adhérence, ce qui
permet de s'affranchir de Ft.
Il ne reste donc plus qu'à situer l'intersection des intérieurs (resp.
extérieurs) des cercles osculateurs vis-à-vis de l'intérieur (resp. extérieur) de F pour que le Lemme 2 fournisse un résultat d1interprétation simple. En fait, un lemme basé sur la représentation des courbes
convexes par leur équation d'Euler (leur paramétrisation naturelle) permet de montrer que, si F1 et F2 sont deux courbes convexes fermées
orientées (dans le même sens) du plan et si, en tout point
(Ml,M2)CF1 x F2 où les tangentes orientées sont parallèles de même sens,
la courbure cl(Ml) est supérieure ou égale à c2(M2), alors, à une
translation près, F1 est intérieure à F2 (au sens large). En particulier, on en déduit qulen un point de courbure maximum (resp. minimum) , le
cercle OscM est contenu (au sens large) dans l'intérieur (resp. extérieur) de la courbe convexe F. Le Lemme 2 montre donc dans ce cas :
A(U)
=
n do
MEF
si U est 1'intérieur de F,
A(U)
=
n D(M>
MEF
si U est l'extérieur de F.
On retrouve, dans le cas où F est une droite ou un cercle, l'égalité
A(U) =Ü déduite du Lemme 2 du paragraphe 2.
Le calcul de A(U) lorsque U est bordé par une courbe de S, éventuellement moins régulière ou formée d'une suite de segments ou d'arcs de cercles (donc avec des points anguleux) est traité dans 181; hormis les techniques précédentes qui ne font appel qu'à de la géométrie différentielle
euclidienhe élémentaire, on utilise la notion de fermeture a-convexe
(laquelle exige d'ailleurs moins d'hypotheses sur F); par exemple, en
transformant la caractérisation de la fermeture convexe habituelle d'une
partie X comme intersection des demi-plans contenant X, on voit que,
si U est compact et si a est un élément de A(U), alors U est l1union de disques inclus dans U et dont le bord contient a. On peut au*
si remarquer que, ia étant involutive, pour toute partie X du plan
complexe de complémentaire convexe et tout point a, l'ensemble A(ia(X))
est non vide puisqulilcontient a.
On donne pour terminer les énoncés de deux des principaux lemmes utilisés.
Le premier permet de décrire la structure locale des courbes inverses et
met en évidence le r61e joué par la puissance du pôle d'inversion par rap
port au cercle osculateur; les notations sont les mêmes que précédemment.
Lemme 3. Soit t b r(t) 1'équation polaire d'un arc de courbe F
dans un repère d'origine a; l'équation polaire de la courbe inverse
ia(F) est t b s (t) avec s(t)r(t) = 1 (la puissance de 1' inversion
est sans importance). Pour tout point M(t,r(t))
de F, on a :
La deuxième relation est claire directement si l'on admet que
ia(Osc(M,F)) coîncide avec Osc (ia(M) ,ia(F) ) , ce qulon peut déduire de
la première relation. On déduit en particulier du lemme que, si a est
à 1'intérieur (resp. extérieur) de OscM, la concavité de ia(F) en le
point (ordinaire) ia(M) est tournée vers (resp. à 1'opposé de) a.
Le second lemme qu'on énonce est 1'équivalent en analyse du résultat précité sur l'inclusion des courbes convexes. Il est à noter que, comme il
arrive souvent avec la notion de convexité, sa démonstration géométrique
(grâce à 1'équation d'Euler) en est extrêmement simple.
Lemme 4. Soit i(p) (resp. s(p))
la borne inférieure (resp. supérieure), lorsque x décrit un intervalle de longueur 2n, de la fonction
2
p (x) + p" (x) , p étant une fonction de classe C périodique de
x l+
période 2n; alors,
2
p(0) cos x + p' (O) sin x + 2i (p)sin (x/2) 5 p (x)
<
-
p(0) cos x + pl (O) sin x + 2s(p) sinL (x/2)
.
5 4- L
N DE SZEGO ET METHODE DE DE BRUIJN
positives.
L'idée essentielle du paragraphe 2 qui est de séparer les domaines
de variation des polynômes P et P' en deux parties U et A(U) telles que, pour tout a élément de A(U), le complémentaire de U soit
a-convexe est la principale nouveauté dans l'énoncé du Théorème 1 (para-.
graphe 2) lequel, à la forme près, a été donné par Szego en 1922 sous la
forme d'un lemme (cf. [151) :
Lemme (Szego). Soit U une région circulaire de (C (une région circulaire est l'image par transformation circulaire du disque-unité, i.e. un
disque, 1'extérieur d'un disque ou un demi-plan). Pour tout polynôme P
de degré d l 1 et tout couple (a,z) E U x U, le complexe
(a-z)P1 (z)/d + P(z) appartient à l'image P(U)
Ce lemme, dont un cas particulier a été envisagé par Laguerre, souligne
nettement l'importance des "régions circulaires"; bien que maintes fois
utilisé, son intérêt ne semble pas avoir été pleinement dégagé avant un
travail de A. Durand qui a démontré que les inégalités (l), (3) . . du
paragraphe 1 s'en déduisaient (et au-delà, cf. [4l).
.
De Bruijn a également utilisé ce lemme dans un article [21 contenant (1)
comme corollaire du Théorème de Gauss-Lucas.
Théorème (Gauss-Lucas). Une partie convexe de (C contenant tous les
zéros d'un polynôme contient aussi tous ceux de ses dérivées.
Démonstration. Bien que cet énoncé soit équivalent à la partie (i) du
Corollaire 1 du Théorème 1 du paragraphe 2, il est plus simple de le prouver ainsi : soient x1,x2,...,xd les zéros d'un polynôme P et soit z
tel que P1(z) =O; on peut clairement supposer P(z) #O, il suffit
d'écrire l'égalité
sous la forme
pour faire apparaître z comme barycentre des xi affectés de masses
Remarque : Le calcul précédent exprime un résultat de géométrie sur la
sphére de Riemann : Soient X un ensemble fini de points de S et
a , b deux points de S; b appartient à l'enveloppe a-convexe des
points de X si et seulement si a appartient à l'enveloppe b-convexe
des points de X. La démonstration de ce résultat se trouve dans [ 8 ] ;
on l'applique ainsi : X = ensemble des zéros de P, a = m , b = z ; la relation P1(z) = O exprime que m est le z-(iso)barycentre de X, on en
conclut que z appartient à , 1'enveloppe --convexe de X.
On utilise le Théorème de Gauss-Lucas sous les formes suivantes (le corollaire 2 se déduit du Corollaire 1).
Corollaire 1. Soient U une partie de (C de complémentaire convexe et
P, Q deux polynômes. Pour tout élément a de U et tout élément b de
(C,
il existe un élément c de U vérifiant : P(c)Qf (a) - Q(c)P1 (a) = b.
Démonstration. On emploie le Théorème de Gauss-Lucas sous la forme du
Corollaire 1 au Théorème 1 du paragraphe 2; la dérivée du polynôme
P(X)Q1 (a) - Q(X)PV (a) - b s'annule en dehors d'un convexe et il en est par
suite de même du polyn6me initial.
Corollaire 2 (mêmes notations). On suppose de plus les zéros de Q en
dehors de U et le degré de Q supérieur ou égal à celui de P. Alors,
les images de U U {ml par les applications : z I-, P' (z)/QI (z) et
sont des parties connexes C' et C du plan complexe
z I-, P(z)/Q(z)
vérifiant C' CC.
Démonstration. On voit comme au paragraphe 2 que U u {ml est un connexe
dont C f et C sont les images par des transformations holomorphes (réappliquer le Théor5me de Gauss-Lucas pour déduire O $! Q' (U) de O $! Q(U)) .
L'inclusion annoncée se ramène à l'application du Corollaire 1 avec b = O.
Quand on applique le Corollaire 2 avec pour U le complémentaire d'un
disque de rayon R, on obtient, pour tout nombre complexe de module au
moins R,
Si en outre les zéros de P sont de valeurs absolues au plus R, on a,
dans les mêmes conditions :
Cette méthode qui met en lumière l'importance dans ces résultats de la
notion de convexité va nous permettre de prouver une variante de (1).
Pour tout réel p positif, on peut associer au polynôme P sa mesure
d:
L (P) définie par
1p(eZint) lP dt) '/P et on vérifie aisément (cf.
P
[Ill ou [71) que, si P(z)= ao(z-xl)(z-x2) ... (z-xd), l'on a
Lo est appelé mesure de Mahler (cf. [ 1 1 1)
Lemme.
L0(P1)
. On va prouver le lemme :
< d Lo(P)
§
5
- METHODE D'INTERPOLATION
Aux paragraphes 2 et 4, ont été données deux démonstrations élémentaires de l'inégalité de Bernstein, on va en donner une troisième également inspirée, comme au paragraphe 4, par A. Durand (cf. [ 31) .
On conserve les notations du paragraphe 4. Le but de ce paragraphe est
d'établir le :
Lemme. Pour tout réel pzl, L (P1)<d Lp(P).
P
La démonstration repose sur deux corollaires d'un résultat classique très
simple sur les sommes de Newton :
Lemme (S.N.). Soient a un nombre complexe, i,d deux entiers tels que
O < i < d et d22; alors 1 xl=O.
xd=a
Démonstration. Ecrire la fraction rationnelle dxd-' / (Xd-a) sous les
formes
Démonstration. Si le polynôme P a toutes ses racines de module au plus
1 , il en est de même de P' d'après le Théorème de Gauss-Lucas et donc
le résultat annoncé est clair puisque la mesure de Mahler d'un tel polynôme est égale à la valeur absolue de son coefficient dominant. On se ramène à cette situation en considérant le polynôme Pl défini par :
et identifier.
Comme, pour tout complexe r vérifiant 1 r 1 > 1 , 1' application circulai) à z laisse globalement invariant intér eur
re associant 1
- et extérieur du disque-unité (si zi = 1 , 1 -z? = z(z-r) ) , on voit que
pour tout réel p, on a L (P)= L (P 1 et que, si lzl >1,
P
P l
IP(z1 l<lpl(z) 1.
Le Corollaire 2, appliqué à Q = Pl, montre
Pl z P
z 1 , d'où, pour tout réel p,
lorsque p = O grâce à la remarque initiale
que, si 1 z1 21 ,
L (Pl) 2 Lp(Pi). On conc ut
P
Lo(Pi) = dLo(P1) .
Plus généralement, si El désigne l'ensemble des polynômes dont les zéros
sont de module au plus 1, le calcul précédent montre que :
sup Lp(Pl) (dL (Pl = sup L (Pl) /dL (P)
P
P
PFE1
P
Corollaire 1 (mêmes notations). On suppose de plus a de module 1
mais différent de 1; si l'entier i vérifie 25i<d, on a :
E
(x-lIilx-11-2
=
0
xd=a
Démonstration. Les complexes x satisfaisant à xd = a sont de module
1, donc lx-1 1 2 = -~(x-l)' et il suffit de reporter et d'appliquer la
formule du binôme pour conclure grâce au Lemme S.N.
Corollaire 2 (mêmes hypotheses et notations, on introduit de plus un polynôme P de degré au plus d)
Démonstration. On applique la formule de Taylor
P(xX) - P(X), puis le Corollaire 1 ; on est alors
E 1
- or,
xd=a
1
E - 1 - = E (d-l) - 1 - =
d
xd=a
x =a
à la différence
ramené au calcul de
E ( E j<j)= d
d
x =a O~j<d
BIBLIOGRAPHIE
d'après le Lemne S.N.
d
Appliqué au cas du polynôme P(X) = X , le Corollaire 2 conduit à :
[Il S. Bernstein.- Leçons sur les propriétés extrémales et la meilleure
approximation des fonctions analytiques d'une variable réelle,
Gauthier-Villars, Paris, 1926.
E (~x-l~)-~
d21a-11-2
=
.
d
x =a
[21 N.G. De Bruijn.- Inequalities concerning polynomials in the complex
domain, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. 50, 1947, p. 1265-1272 =
Indag. Math. 9, 1947, p. 591-598.
Comme le réel p a été supposé au moins égal à 1, la fonction LP est
une norme; cela permet de déduire du Corollaire 2 l'inégalité :
[3] A. Durand.- A propos d'un théorème de S. Bernstein sur la dérivée
d'un polynôme, C.R.A.S. Série A.t. 290, mars 1980, p. 523-525.
Les nombres x étant de module 1, L (P(xX) - P(X)) est majoré par
P
ZL (P) et on conclut grâce à la remarque précédente sur le cas où P
P
est égal à xd en choisissant a = -1.
l
[41 A. ~urand.-Relation de Szego sur la dérivée d'un polynôme, Journées de théorie élémentaire et analytique des nombres S.M.F.C.N.R.S., Orsay, mai 1980.
[SI A. Giron, Q.1. Rahman, G. Schmeisser.- On Bernstein's Inequality
Can. J. Math., vol. XXXI, No 2, 1979, p. 347-353.
161 J. Horvath.- L'Oeuvre mathématique de Marcel Riesz, Matematikai Lapok, t. 28, 1980, p. 65-100 (traduction française par Agnès
Kahane, Cahiers du Séminaire d'Histoire des Mathématiques 198283, I.H.P. Paris).
[71 M. Langevin.- Mesures des PolynGmes et des nombres algébriques,
Journées de théorie élémentaire et analytique des nombres S.M.F.C.N.R.S., Limoges, mars 1980.
[81 M. Langevin.- Interprétation géométrique de l'inégalité de Bernstein
(à paraître).
[91 P.D. La.- Proof of a conjecture of P. Erdos on the derivative of
a polynomial, Bull. Amer. Math. Soc., 50, 1944, p. 509-513.
[IO] G.G. Lorentz.- Approximation of functions. Athena Series. Sel. Topics in Math., Holt, Rinehart and Winston, 1966.
11 1 1 K. Mahler. - Lectures on Transcendental Numbers , Lecture Notes in
Math. No 546, Springer-Verlag, 1976.
'
[12] M.A. Malik.- On the derivative of a polynomial, J. London Math. Soc.
1 , 1969, p. 57-60.
[ 131
M. Riesz.- Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige
Ungleichungen für Polynome, Jahresbericht der Deutschen 'Mathematiker Vereinigung, vol. 23, 1914, p. 354-368.
[141 W.E. Sewel1.- Generalized derivatives and approximation by polynomials, Trans. of the Amer. Math. Soc., 41, 1937, p. 84-123.
[ 151
G. Szego.- Bemerkungen zu einem Satz von J.H. Grace über die Wurzeln
algebraischer Gleichungen, Math. Z. 13, 1922, p. 28-55.
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
[161 G. &ego.- Über einen Satz von A. Markoff, Math. Z. 23, 1925, p.
46-61.
[ 171
G. Szego.- Uber einen Satz des H e m Serge Bernstein. Schriften der
Konigsberger Gelehrten Gesellschaft. 5, 1928, p. 59-70.
A Criterion on Automorphic Forms for GL1 and GL2
over Global fields
Über die Ableitung von Polynomen, Compositio Math. 7,
1181 P. TU&.1939, p. 89-95.
Wen-Ch1ing Wimie Li *
5 1 - Introduction
Let F be a global field, that is, F is a number field or a function field of one variable over a finite field of q elements. Write AF
for the adele ring of F. Let G be an algebraic reductive group. Suppose that, at each place v of F, an admissible irreducible representation ,n, of G(FV) with a suitable growth condition is given. Here
Fv is the completion of F at v. Assume also that nv is of class
one for almost al1 v. Then we can form the restricted tensor product
n= e l n
v v' which is an admissible irreducible representation of G(AF).
One is naturally led to the following
Question. Find a criterion for n to be an automorphic representation
of G(AF), that is, for n to be a constituent of the natural action of
G(AF) on the space of automorphic forms on G(F) G(AF) .
Michel Langevin
Ecole Normale Supérieure
de Saint-Cloud et ERA 979
1.H.P.
11, rue P. et M. Curie
75231 PARIS CEDEX 05
Little is known concerning an arbitrary algebraic reductive group.
The best understood case is when G = GL2, due to the pioneering work of
Hecke [Hel and Weil [Wll on classical holomorphic modular forms and Maais
[Ml on classical nonholomorphic Maass forms. Following Weil LW1 1, Jacquet
and Langlands [J-LI gave a criterion for n to be a cuspidal respresentation of GL2(AF) in terms of the analytic behavior, including functiona1 equations of a prescribed type, of the L-series attached to n and
its twists by @ characters of A;/F'.
In this article we shall present a criterion for an automorphic representation n of G = GL1 and GL2 in terms of the analytic behavior
of the L-series attached to n and its twists by certain characters of
$/F'.
To deal with a noncuspidal automorphic form f , we need a detailed analysis on its constant Fourier coefficient, expressed in terms of
the residues of the L-series attached to f as well as some of its
twists by characters. Our proof essentially amounts to determining a
function on GL2(AF) given by its Fourier coefficients to be an automorphic fom. In this regard, we obtain a criterion conjectured by Weil in
[W21, which generalizes a classical result of Hecke on modular forms
[Hel This is a survey of the works appeared in [LI1 and [L21.
.
A criterion for cuspidal representations of G = GL3 was given in
[J-PS-SI by Jacquet, Piatetskii-Shapiro and Shalika in terms of the analytic behavior, including functional equations of a prescribed type, of
the L-series attached to n as well as is twists by al1 characters of
A;/F'.
It is lmown that Piatetskii-Shapiro has a criterion for cuspidal
representations of G = GLn, nz4, given in terms of the analytic behavior, including functional equations of a prescribed type, of the L-series attached to n as well as its twists by al1 automorphic representations of GLn-2 and GLn,3. The question remains open for other algebraic reductive groups.
In what follows, G will be GL1 or GL2. Let n be given as
above. Fix a nontrivial additive character $ of AF/F. For each character x of A;/F" there are L(s,n e X) and ~(s,ne x,$) associated
to the representation n e x arising from the product of local
L(s,nv e xV) and c(s,nv e x,,$~) over al1 the places v of F (cf.
[J-LI for more details) . The assumptions on nv assure the absolute convergence of L(s ,n e X) on some right half-plane and c(s ,rr, e
=1
for almost al1 v. Denote by F the conductor of n (cf. [Dl for definition), it is an effective idele. Let S be a finite nonempty set of
places of F satisfying
dividing F.
S 2 - The case G = GL1
We first illustrate our question by a classical exarnple. Let N
be a positive integer and
be a primitive character modulo N. One can view x as a complex-valued
multiplicative function on 2 such that ~(m)= ~ ( n ) if m an (mod N)
and ~(m)= O if (m,N) #1. Clearly x is determined by the values
~(p) for al1 primes p and x(-1) = (-Il6, S = 0 or 1. For such a x
Put
which converges absolutely in the half-plane Re s>1. Note that if
is the trivial character, then L(s ,x) =
r(s/2) ~(s) is the
Riemann 5-fwiction with a r-factor.
x
Theorem. The function L(s,x) has an analytic continuation to the whole
s-plane to a holomorphic function except possibly for simple poles at
s = O and s = 1 , is bounded at infinity on each vertical strip of finite
width, and satisfies the functional equation
(i) S is disjoint from the support of the conductor F of n;
(ii) S contains al1 the archimedean places of F if F is a number field;
(iii) The ring of S-integers in F is a principal ideal domain
which either contains infinitely many units or is an euclidean domain.
Let O(S,F) be the set of idele class characters which are unramified
outside S u Supp F and whose restriction to Supp F have conductor dividing F. For instance, when F is a number field of class number 1
with its ring of integers either containing infinitely many units or beirg
a euclidean domain, S can be taken to be the set of archimedean places
of F, and then O(S,F) consists of idele class characters of conductor
where
is the complex conjugate of x and c(s,x) is equal to the
Gauss sum of X times (-i)'~-'.
Further, L(s,x) is holomorphic if
and only if x is nontrivial.
This theorem was proved by Riemann for the case x = 1 and by
Dirichlet for nontrivial characters. Actually Euler defined ~(s); he
computed 5(2111 and 5(1 -2n) for n > O, and he also noticed that
~(2n) and ~(1-2n) differ by a factor essentially a power of n. He amjectured the functional equation although he did not know how to prove it.
Hamburger [Hal, Siegel [SI and Hecke [Hel gave three different
proofs of the fact that the only Dirichlet series F(s) = Z a(njn-s
nz1
satisfying the functional equation of ~(s) are constant multiples of
~(s). In other words, the functional equation determines the Riemann
5-function . It is natural to ask
(A2) L(s,nex) (resp. L(s,<'ex))
in (Al) are holomorphic
except possibly L(s,neû-')
(resp. ~(s,n-'ee-~)) at s=0,1 for
e~P(n) (resp. BEP(<~)),
where
P(n)
Now we describe the conditions for n to be a character of A;/F"
in terms of the analytic behavior of the L-series attache3 to TI e x defined in § 1 . The first one is
(Al) For each character x in R(S,F) , the L-series L(s,n e X)
and L(s,n-' e X) have analytic continuations to the whole s-plane, holomorphic everywhere except possibly with simple poles, are bounded at
infinity on each vertical strip of finite width, and satisfy the functiona1 equation
I~EP(s,F) : for each vESUSupp F,
eV=
(resp. on the identity component of F;)
or complex (resp. if v is real) 1 .
Question A. Given x(-l) , ~(p) for al1 primes p (so that L(s,x) is
defined on a right half-plane), when do they determine a character of
conductor N ? In particular, what kind of functional equation characterizes the Dirichlet L-series attached to a character ?
The connection between Question A and Our question for the case
G = GLl is as follows. Since GL1(F) = FX, each given representation
nv is nothing but a character of F;.
The character n = e;
of A;
is automorphic if and only if it is trivial on FX. When F = (P, the daof conduc
ta x(-l) , ~ ( p ) in Question A "define" characters nv of P(;
tor Nv. Under this reformulation, that x(-l) , ~ ( p ) determine a character of conductor N is equivalent to n = e v' nv being automorphic.
=
nv on :F
if v is finite
The last condition is
(A3)
At least one of L (s,n e X) in (Al ) has a pole.
Theorem A. The conditions (Al ) - (A3) are necessary and sufficient for
n to be a character on A;/F'.
This theorem improves the criterion given by Gurevich [Gl . For the
special case F = (P, Our result is also obtained by M.-F. Vigneras [Vil
using a theorem of Bochner on general Dirichlet series.
§
3
- The case G = GL2
As before we start with a classical example. Let f(z) be a modular form of weight k for a congruence subgroup r of SL2(2). That
is, f is a holomorphic function on the Poincaré upper half-plane, holomorphic at al1 the cusps of r and satisfies
Then f has a Fourier expansion
for al1 t F R
.
Here i = fi has positive imaginary part. Note that while each
€-factor depends on the choice of $, the product
~(s+it
,n e x,$)î(s-it ,n-l e x,$) does not. In fact, the triviality of n
on FX is equivalent to the independence of E (s,TT,$) upon $.
The next condition describes the possible poles of L(s,n e X)
(Al) :
in
Form the L-series attached to f :
L(s,f)
=
(2n)-'r(s)
E a(n)n-s,
nz1
which converges absolutely for Re s>k. The analytic behavior of
L(s,f) is similar to that of L(s,x), as seen from the following theorem proved by Hecke [Hel :
Theorem. If f is a modular form of weight k for r, then L(s ,f)
has an analytic continuation to the whole s-plane, holomorphic everywhere except possibly for simple poles at s = k and s =O, is bounded
at infinity in each verticle strip of finite width, and satisfies the
functional equation
where T is the modular form whose Fourier coefficients are the complex
conjugates of those of f, and ~(s,f) is equal to some constant times
the exponential function N-S.
that is, the restriction of n to
the central character of n on ,:A
the center of GL2(AF). The first condition is
(BO)
is trivial on FX.
This implies that ~(s,nex,Ji) is independent of the choice of Ji.
milar to the previous case, we consider the following conditions :
Si-
(BI) For each character x in n(S,F) , the function L(s,n e X)
has a meromorphic continuation to the whole s-plane, is bounded at infinity in each vertical strip of finite width, and satisfies the functional
equation
For convenience, cal1 the above properties B(f).
One is interested in the converse
Question B. Given Fourier coefficients a(0) , a(n) = O(nC) for n l 1 ,
form f(z) = I: a(n)eZninz. When is f a modular form of weight k for
n>O
r ? In particülar, what kind of functional equations characterize a modular form ?
For i' = SL2(Z) , Hecke [He] proved that B(f) is also sufficient.
Further, the conditions in B(f) determine a Dirichlet series
I: a(n)n-'
up to a constant multiple if and only if the space of modun>1
lar forms of weight k for r is one-dimensional. For
is the contragredient of n.
where
We remark that when F is a function field, L(s ,n e X) is in fact
a rational function in q-s. It follows from Our choice of the set S
that for each place v in S, the representation nv is a constituent
of the representation of GL2(FV) induced from two characters uv and
vv of F;.
To describe the poles of L(s,nsx) in (BI), introduce the
set
P(n)
=
{BEO(S,F) : for al1 v in S, Bv=uv or vv on F; (resp.
if v is finite or complex (resp.
the identity conpanent of F;)
if v is real)).
Note that P(n)
Weil [Wl] proved that f is a modular form of weight k for r0(N) if
B(f ) holds for al1 characters x of conductor relatively prime to N.
X
2ninz
.
Here f (z) = I: a(n)x(n)e
X
n>1
This is an example of the question of characterizing an automorphic
representation of GL2, for, if f is a modular form, then there is an
automorphic representation a of GL2(%)
such that f can be viewed
as an element in the space of a (cf. for instance, [W21). Further, the
L-series attached to f is essentially the L-series attached to aex.
X
Now we describe a criterion for a representation n of GL2(AF)
as given in paragraph 1 to be automorphic in terms of the analytic behavior of the L-series attached to n as well as its twists by the characters in Q(S,F) . Assume each \ is infinite-dimensional. Denote by ri
is a finite set. Assume that
(1 1 There is a place v in S at which v
the usual valuation on F;.
#
1
1 , where
1 1
is
This assumption is satisfied if S contains a finite place.
The third condition is
(B2) L(s,n e X) ' s in (BI) are holomorphic except possibly
at s = 0,1 for BEP(n).
~(s,neO-')
The fourth condition describes the behavior of L(s,nsx)
at poles:
(B3) If vESUSupp F and BEP(=), the function L(S,~~€I-~).
-1 -1
;
0 ) has
L(s ,nv e eV ) . is holomorphic at s = O j moreover, if L(s ,nv 8 '
a double pole at s = O and if v is an archimedean place at which
vV
# vV, then L(s ,n s O-')
has at most a simple pole at s = O.
Our criterion for GL2 is
Theorem B. The conditions (BO) - (B3) are necessary for TI to be an automorphic representation of GL2(AF). These conditions are sufficient
under the assumption (1). Further, TI is cuspidal if and only if
L(s ,n s X) is holomorphic for al1 x in O(S, FI .
A a consequence of Theorem B, we derive the following answer to
Question B. Suppose that for each prime p dividing N,
a(pnm) = a(p)na(m)
for n? 0 and m relatively prime to p, and
B(f ) holds for al1 characters x of Z of conductor dividing N,
X
then f is a modular form of weight k for the group ro (N) .
A criterion for cuspidal representation of GL2(AF) was given by
Jacquet and Langlands in [J-LI using functional equations of the L-series
The essence of Theoattached to the twists by al1 characters of A;/F'.
rem B has two parts : firstly, it includes noncuspidal automorphic representations; and, secondly, only twists by characters in O(S,F) are needed. In particular, if S consists of the archimedean places of F,
then O(S,F) is finite. This is the case if F = Q and our theorem is
reduced to a result of Hecke and of Maass when the representation TI is
unramified.
5 4
- A brief sketch of the proof of Theorems A and B
The proof of Theorem A uses the criterion in Theorem B for a noncuspidal automorphic representation of GL2(AF) as well as a result of
Hecke on equipartition of primes. To prove Theorem B, it amounts to giving a criterion for a function f defined on the adelic group GL2(AF)
by a given set of Fourier coefficients to be an automorphic form. This is
the adelic version of our Question B. It was discussed by Weil in [W2]
where he gave a criterion in terms of the analytic behavior of the Lseries attached to f as well as its twists by idele class characters.
The main requirements in Weil's criterion are :
(1) f is eulerian at almost al1 places;
(II) Functional equation holds for the L-series attached to the
twists f of f by al1 idele class characters x unramified at a
X
prescribed finite set of places of F.
In view of Hecke's result for r = SL2(Z) where only one eulerian condition (namely, at the archimedean place of Q) and one functional equation are needed, Weil conjectured that (1) and (II) can be weakened to
(1) ' f is eulerian at finitely many places;
(II)' Functional equation holds for the L-series attached to f
x'
where x runs through idele class characters unramified outside a prescribed finite set of places.
This conjecture of Weil was proved in [LI1 for cusp forms and in [L21 for
arbitrary automorphic forms with the asswnptions
(1)" f is eulerian at places in S U Supp F; (Here F is the mcdulus of the underlying congruence subgroup for f).
(II)"
xER(S,F).
Functional equation holds for the L-series attached to
fx7
Theorem B then follows from our results on automorphic forms.
Finally we outline the proof of our criterion for automorphic forms
as discussed above. Write G for GL2. Denote by BF the standard
Borel subgroup of G(F), K the standard maximal compact subgroup of
G (AF) and Z the center of G(AF). Let f be the function defined by
the given Fourier coefficients. Assume these Fourier coefficients satisfy
certain growth condition and certain compatibility condition so that f
is a function on BF \ G(AF) , of central character ri, right invariant
by a congruence subgroup of K of modulus F, and right K finite. Assume also that f behaves correctly at the archimedean places of F.
In order that f be an automorphic form, it is necessary that the constant Fourier coefficient of f is a linear combination of certain characters x in O(S,F) with coefficients being the residues of the Lseries attached to f twisted by X. We shall so assume. Then f is an
automorphic form if and only if f is left invariant by G(F). It follows from approximation theory and our choice of S that
G(AF)
where
=
BF
r
GS K Z
and
f = Ig E G(F) : gfi
\
for al1 places v é SI.
By a result of Vaserstein [Val, the group
element
and BFn r.
(2)
f(w(:
r is generated by the Weil
Thus f is left invariant by G(F)
Ylg) = f
(:
[Dl
P. Deligne.- Formes modulaires et représentations de GL(2), Modular Functions of One Variable II, Lecture Notes in Math. 349,
Springer-Verlag,New-York (19731, 55-105.
[Gl
M. Gurevich.- Determining L-series from their functional equations,
Math. USSR Sbornik, vol. 14 (1971), No 4, 537-553.
if and only if
YIg) for al1 u in A; and g in GSK.
For an element g in Gy a complex number s, and a character
4/FX, put
x
of
[Hal H. Hamburger.- über die Riemannsche Funktionalgleichung der 5Funktion, 1, II, III, Math. Zeitschr. 10 (1921), 11 (1922), 13
(1922).
[Hel H. Hecke.- über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre
Funktionalgleichung, Math. Ann. 1 1 2 (1936), 664-699.
[J-LI H. Jacquet and R. Lang1ands.- Automorphic Forms on GL(2), Lecture
Notes in Math. 114, Springer-Verlag,New-York (1970).
and
J1(s,x,g) =
f(w(:
px
Y)g)x(u)
The functions J and J1 are defined for Re s>>O and have meromorphic continuation to the whole s-plane. Then (2) is equivalent to
[J-PS-SI H. Jacquet, 1. 1. Piatetski-Shapiro and J. Shalika.- Automorphic
forms on GL(3) 1, II, Ann. Math. 109 (l979), 169-212 and 213258.
[LI] W.-C. W. Li.- On a theorem of Hecke-Weil-Jacquet-Langlands, Recent
Progress in Analytic Number Theory, Vol. 2 (1981), 119-152, Academic Press, London.
[L21 W.-C. W. Li.- On converse theorems for GL(2)
Math. 103 (l98l), 851-885.
because f has level F and is eulerian at places in Supp F. Lastly
one uses the eulerian assumption on f at places in S to show that (3)
is equivalent to the functional equation of a prescribed type satisfied
by the L-series attached to f for x in (S,F), as asserted in
X
(II)". This concludes the proof.
and GL(l), Amer. J.
[Ml
H. Maass.- Lectures on modular functions of one variable, Tata Institute, Bombay (1 964).
[SI
C.L. Siegel.- Bemerkungen zu einem Satz von Hamburger über die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafwiktion, Math. Ann. 86
(1 922), 276-279.
[Val L. Vaserstein.- On the group SL2 over Dedekind rings of arithmetic type, Math. USSR Sbornik 18 (l972), 321-332.
[Vil M.-F. Vigneras.- Facteurs gamma et équations fonctionnelles, Modular Functions of One Variable VI, Lecture Notes in Math. 627
(1 977), Springer-Verlag, New-York, 79-103.
* p. 161 Research supported in part by NSF grant No. MCS-8101943 and by
A. Sloan Foundation.
LW1 1 A. Weil.- über die Besthung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichung, Math. Ann. 168 (l967), 149-156..
d'où
donnent un autre exemple d'un nombre irrationnel dont on connait à la
fois le développement binaire et le développement en fraction continue
[Il
:
Si o > O est donné par sa fraction continue
La formule d'Euler
alors le nombre
permet alors de conclure que af3 = 2, ce qu'il fallait démontrer.
L'ensemble E est de densité nulle donc le développement binaire
de a contient des plages de O de plus en plus longues. Si l'on coupe
le développement au début d'une de ces plages, on obtient une très bonne
approximation rationnelle de a. En explicitant le calcul on obtient le
théorème suivant (voir 121).
(q, 2 entier)
admet pour fraction continue
Théorème. Le développement en fraction continue de a s'écrit
..
q étant le dénominateur du nleme-convergeant de w. On noter que
tnE IN et que lorsque q tend vers 1, tn tend vers le quotient partiel
an en sorte que S (w) tend vers w. En un sens, S (w) apparaît com9
9
me le q-analogue de w. A noter aussi que pour tout w > O irrationnel,
S (w) est transcendant (K. Mahler [IO], J. Loxton et A. van der Poorten
4
181, W. Adams et L. Davison [Il).
Terminons cette remarque en signalant que le nombre de Fredholm
En particulier, il existe c > O telle que pour une infinité de nombres
rationnels a/q,
admet lui aussi un développement en fraction continue connue (M. ~mogek
[61, J. Shallit [131, G. Kohler [ 71, A. Petho [ 1 1 1, A. Blanchard et
Mendes France [21).
Le nombre a est donc transcendant.
$
2
- Séries formelles
Remarque 1. La transcendance du nombre a était connue de Mahler.
Soit
Remarque 2. Le nombre irrationnel a a la particularité qu'on "connait"
-1
à la fois son développement binaire, le développement binaire de a
ainsi que le développement en fraction continue. Adams et Davison [ 1 1
-
yn
2" '
yn = O ou 1 pour n 2 1
est un nombre transcendant (sur QI pour toute valeur algébrique non
nulle de z dans le disque unité. En particulier
un nombre réel donné. On lui associe la série formelle
.
IF2 Le corps des séries
rationnelles est noté IF2 (X) et est formé de l'ensemble des séries périodiques à partir d'un certain rang. Un élément y E IF2 ((X)) est dit
algébrique (sur IF2 (X)) s'il existe des séries rationnelles
al, a2, a3,. , av telles que
à coefficients dans le corps à deux éléments
..
Bien entendu, tout ce qu'on a dit sur le corps IF2 ((X)) s'étend au
où q = pe (p nombre premier, e 2 1
corps de séries formelles IF q((X))
entier)
.
Théorème 2. Par changement de corps de base, tout élément y irrationnel algébrique devient transcendant.
Cet énoncé demande explication.
-
pi2
avec
Considérons deux nombre premiers pl Z pz et ql = l:p , q2 =
IF , cequipermetde
q1 <q2. Ilexisteuneinjection IF
"1
92
dans 1'ensemble IF
(notre injection n'est
plonger 1'ensemble IF
91
92
pas un homomorphisme ! ) Ce que dit le Théorème 2 et que tout élément algébrique irrationnel y de IF ((X)) est transcendant dans IF ((X))
91
92
La démonstration de cela est détaillée dans Christol, Kamae, Mendes France, Rauzy [31.
.
.
est transcendant. La condition (*) n'est pas aisée à exprimer et on conjecture qu'elle n'est pas nécessaire.
Conjecture 1 : Si y est algébrique irrationnel sur IFq (X),
alors
est transcendant sur Q.
Cette conjecture suggère les deux suivantes.
Conjecture 2 : Soit ( E ~ ) une suite non ultimement périodique de O
et de 1. L'un des deux nombres au moins
est transcendant.
Conjecture 3 (Mahler). L'ensemble triadique de Cantor ne contient que des
nombres rationnels et des nombres transcendants.
Revenons au nombre réel a étudié au premier paragraphe. On lui
associe la série formelle dans IFZ ((X))
Dans le même ordre dl idée, J. Loxton et A. van der Poorten [91 montrent que moyennant une certaine condition (que nous noterons condition
*), si
De même, à 6 on associe
est irrationnel algébrique, alors
On a déjà vu que
Par ailleurs,
On en conclut donc que a est transcendant. On retrouve ainsi une partie
du Théorème 1.
On admettra que pour nll, e #O et que le nombre O est représenté
v
par le chiffre O. On envoie n sur l'état initial et on suit l'instruction eo qui applique l'état initial sur un état Ak , lequel par 1' instruction el devient AR,..., etc... Lorsque la dernière instruction
ev aura été lue, on aura abouti à un certain état % dont le nom est
nom(A,.J€{O, 1,..., q-1). Ainsi, l'automate /A a envoyé n sur l'un
des symboles O, 1 ,..., q-1. Appelons /A (n) ce symbole. La suite infinie /A(O), /A(1), /A(2), ... est donc une suite sur les q symboles. On
dit que cette suite est engendrée par l'automate /A.
8 3 - Automates
ple :
donc a(X)
est un élément cubique irrationnel
a(X) 3 = (1 -XI-'
.
Il se trouve que dans ce cas, la condition
ten est remplie.
(*)
de Loxton et Van der Poor-
I
l
Pour éclairer tout cela, revenons à l'automate décrit dans l'exem-
ün q-automate /A ( q 2~ entier) est constitué par la donnée d'un
nombre fini de points Al, A2,. .., As appelés états. De chaque état par
tent q chemins orientés nommés 0, 1,. .., q-1 qui aboutissent sur les
états.
O
O
-
A2
1 + Al
10
11
100
101
110
111
Ag
-
nom (A2)
=
1
+ nom (A1) =
1
nom (A3)
-
La description est complétée par la donnée d'une application
{A1, A2,. .. , As}
{O, 1,. . , q-l} qui fait que chaque état Ai porte un nom. Dans l'exemple ci-dessus, on associe Al et A2 à 1 et Ag
à 0,
O
,
Al ,
nom (Al) = 1
Al
,
Ag
Al
Al
nom (A1 )
nom (A3)
=
1
=
O
nom (A1) = 1
,
nom (Al) = 1
1000 + A3 -+ nom (A3)
(Sur la figure on a représenté un 2-automate A à 3 états). ün des
états s'appelle l'état initial (sur la figure, disons Al).
=
=
O
La suite engendrée par /A débute donc par
1
.
Un entier n 1 0 peut être considéré comme un mot sur l'alphabet
{O, 1,..., q-1). Ce mot est tout simplement la représentation q-adique
de l'entier n :
i
On dit qu'une suite est "q-automatique''s'il existe un q-automate
qui 1'engendre. Il faut noter que 1'ensemble des suites {O, 1,. , q-11IN
est non-dénombrable alors que l'ensemble des suites q-automatiques est
évidemment dénombrable (il faut un nombre fini d'objets pour définir un
q-automate). Il existe donc des suites qui ne sont pas q-automatiques.
Peut-on les caractériser ?
..
Théorème 3. Soit q une puissance d'un nombre premier. Une suite (cn)
est q-automatique si et seulement si il existe une bijection
Les décimales binaires de a (et de a.-.') sont donc "indépendantes'. en
ce sens que si on veut déterminer la nleme décimale, il n'est pas besoin
d'en connaître les précédentes. Il suffit d'envoyer n dans l'automate
et d'en lire le résultat. Au contraire, considérez un nombre réel algébrique irrationnel, f i par exemple
telle que
soit algébrique sur Fq (X)
.
Alors le Théorème 2 (version Loxton, Van der Poorten) ou plus exactement
la Conjecture 1, implique que
On en trouvera la démonstration dans Christol, Kamae, Mendes France,
Rauzy 131.
Une conséquence de ce théorème est que le nombre a étudié au paragraphe
1 admet comme développement binaire une suite 2-automatique. Le 2-automate /Aa qui engendre le développement de a est le suivant
est transcendant sur IF2 (X). Donc la suite (cn) n'est pas 2-automatique. Cela reviendrait à dire que pour connaître la nième décimale binaire de fi il faudrait connaître un nombre de décimales croissant avec
n. La complexité de fi est donc plus grande que celle de a. Bien
entendu, ceci ne jette aucune lumière sur le problème de la normalité de
4.
initial
Signalons,pour conclure, l'exposé de J.-P. Serre [121 dans lequel
on découvre la pertinence de la normalité de JZ.
S 4 - Appendices
a est /A B
et celui qui engendre les décimales binaires de B = 2
1. Soit FI l'ensemble des entiers n z 0 qui ne contiennent pas
de 1 dans leur développement en base 4 et soit F3 l'ensemble des
n > O sans 3 dans leur développement. ALors
initial
et bien entendu a26 2 = l . Trouver les automates qui engendrent les décimales binaires de a2 et B 2
.
2. Le meilleur livre sur les automates nous semble être celui de
J. Conway i41. Suivant ses notations, le langage reconnu par /A a est
alors que /A fi reconnaft
BIBLIOGRAPHIE
O(O+ 1)(00+ 01)*.
W.W. Adams, L. Davison.- A remarkable class of continued fractions,
Proc. AMS, 65, 1977, p. 194-198.
3. Les thèmes abordés ici sont développés et étendus dans [SI.
A. Blanchard, M. Mendes France.- Symétrie et transcendance, Bull.
Sci. Math. 106, 1982, 325-335.
G. Christol, T. Kanae, M. Mendes France, G. Rauzy.- Suites algébriques, automates et substitutions, Bull. Soc. Math. France, 108,
1980, 401-419.
J.H. Conway.- Regular algebra and Finite machides, Chapman and Hall
1971.
F.M. Dekking, M. Mendes France, A. van der Poorten.- Folds, Mathem.
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- Conmunication faite par A. Schinzel à Oberwolfach, Diophantische Approxim., 28 mai - 2 juin 1979.
G. Koh1er.- Some more predictable continued fractions, Monatsh.
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J. Loxton, A van der Poorten.- Transcendence and algebraic independence by a method of Mahler, in Transcendence Theory, Advances
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J. Loxton, A van der Poorten.- Arithmetic properties of the solutions of a class of functional equations, Jour. fur die reine
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il01 K. Mahler.- Arithmetische Eigenschaften der Losungen einer Klasse
von Funktionalgleichungen, Math. Ann. 101 , 1929, 342-366.
i 1 1 1 A. Petho.- Some continued fraction expansions for the Fredholm numbers, J. Number Theory 14, 1982, 232-236.
[ 121
J.-P. Serre.- Courbes de genre 1 et 2 sur les corps finis. Séminaire
de Théorie des Nombres, Bordeaux, 1982-83 (à paraître) .
[ 1 31
J . Shallit - Simple continued fractions for some irrational numbers,
Jour. Nurnber Theory 11, 1979, 209-217.
.
M. Mendes France
UER Mathématiques
Université de Bordeaux 1
351 , Cours de la Libération
F-33405 TALENCE CEDEX
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984Birkhauser Boston,Inc.
COURBES DE SHIMüRA
Jean Francis MICHON
Les "courbes de Shimura" sont propices aux investigations arithmétiques : recherche de points rationnels, d'équations,.étude des jacobiennes ...
Un outil assez simple permet d'obtenir quelques résultats : il s'agit d'involutions, analogues à celles dlAtkin-Lehnerpour le cas des courbes modulaires.
1
- RAPPELS.
Partons d'une algèbre de quaternions H sur Q, indéfinie et à
division. On la supposera donnée par une R-représentation, c'est-à-dire
comme plongée dans M2(R). L'algèbre H est caractérisée à un Q-isomorphisme près, par la donnée de ses places ramifiées finies :
pl,...,pZm. Ces places sont en nombre fini, pair et non nul. Leur produit
est appelé le discriminant réduit de H et noté D :
La norme réduite et la trace réduite d'un élément quelconque x de
H, notées n(x) et t(x), sont respectivement le déterminant et la trct
ce de la matrice x. Ces quantités sont des nombres rationnels indépendants de la R-représentation choisie.
A un automorphisme intérieur près, il n'existe dans H qu'un seul
ordre maximal. Notons le O et posons :
Le groupe rS(D) est un sous-groupe discret de SL2(R).
Il opère sur le
demi-plan de Poincaré, noté h, et possède la propriété remarquable
d'avoir un domaine fondamental compact (il n'y a pas de pointe parabolique) .
Le quotient h/rS(D) peut être muni d'une structure de surface de
Riemann compacte dont le genre est facile à déterminer.
Référence : [161
On peut maintenant énoncer le Théorème de Shimura dans notre cas
particulier :
.
Théorème 1 Il existe une courbe algébrique, notée XS(D) , complète,
non singulière et une application holomorphe 4 de h çur XS(D) telles que :
1
Xs@)
Les corps intermédiaires K tels que :
O )
4 se factorise en un morphisme birégulier de h/rS(D)
sur
.
2") XS(D)
est définie sur Q.
Si K est un corps quadratique imaginaire inclus dans H,
de conducteur 1 relativement à O et si z désigne son point fixe,
alors le corps composé
3")
sont isomorphes à des extensions quadratiques réelles ou imaginaires de
Q. Voici tous ceux que l'on peut trouver
:
Pour qu'une extension quadratique réelle ou imaginaire admette un
plongement dans H, il faut et il suffit que chacun des pi 1 D(l S i S 2m)
soit inerte ou ramifié dans cette extension.
Bien entendu il n'y a aucune raison pour qu'un tel plongement,
lorsqu'il existe, soit unique. A tout corps Ky vérifiant (3), et à tout
sous-groupe r de H, on associe l'ensemble :
est le corps de classes de Hilbert de K.
4") Les propriétés 1
phisme birégulier près.
O ) ,
2"),
3") caractérisent XS(D)
à un mor-
C'est ce 'hoCele canonique" que nous appelons "courbe de Shimura".
Le cas d'un conducteur quelconque pour 3") est donné dans 1131.
Le rôle des corps quadratiques réels contenus dans H est plus
caché mais aussi important. Rappelons le résultat de 1141 :
appelé classe de conjugaison de K modulo r. On peut aussi parler, en
un sens évident, de la classe de conjugaison d'un plongement (d'une extention quadratique donnée) modulo r.
Par conducteur de K relativement à O, on entend le conducteur
de Kn O relativement à l'anneau des entiers de K; on peut aussi parler du conducteur d'un plongement (d'une extension quadratique) relativement à O. Si le groupe r normalise O on peut montrer que le conducteur relativement à O de chacun des éléments d'une classe de conjugaison de K mod. r est le même : on peut donc parler du conducteur de cette classe.
Si K est un corps vérifiant (3) et s'il est imaginaire, alors K'
opère sur h et il existe un point z de h, unique, qui est fixé par
tous les éléments de .'K
On l'appelle le point fixe de K (ou du plongement qui définit K) .
Théorème 2.
1") Soit E un élément de O de norme réduite - 1, alors si z
est un point quelconque de h, si Z désigne le nombre complexe conjugué, et si o désigne la conjugaison complexe sur XS (D) , on a :
2") La courbe XS(D)
ne possède aucun point réel.
La deuxième assertion donne une réponse claire au problème des
points Q-rationnels de XS(D) ! Néanmoins Mazur et Ogg s'intéressent aux
points quadratiques imaginaires de la courbe.
3
-
INVOLUTIONS CANONIQUES.
Par construction, pour obtenir un automorphisme de la courbe, il
suffit d'exhiber un élément du normalisateur de TS(D) dans H" dont
la norme soit positive. Posons
Théorème (Mazur). Si XS(D) n'est pas hyperelliptique, le nombre de
ses points à coordonnées dans la réunion de toutes les extensions quadra
tiques de Q est fini des que l'ensemble J ~ ( D )(Q) est fini. (voir
au paragraphe 7).
Le lecteur trouvera dans [SI les 24 valeurs de D pour lesquelles
XS(D) est hyperelliptique. Nous esquissons ici la démonstration du point
difficile, à savoir :
la structure de ce groupe est connue :
XS(D)
Proposition 1 . Pour chaque pi 1 D(l 6 i < 2m) on peut trouver un élément
ni de O tel que n(ni) = p i Alors tout élément x de N(O)+ peut
s' écrire
où q ~ ~ yers(D),
x ,
ei=O ou 1
(1 Sir2m).
hyperelliptique * D borné
.
Pour cela on considere la réduction modulo p de XS(D) lorsque p
est un nombre premier ne divisant pas D (ce sont les places de "bonne"
réduction, comme l'a montré Morita). Langlands a décrit la courbe réduite
XS(D) comme une réunion disjointe de "classes d'isogénie" (voir [31,
161) :
-
L'application de
N(O)'IQ~T~(D)
vers ( z / ~ z ) ~qui
~ à x associe (el,...,e2m) est un
isomorphisme.
Cette proposition peut s'interpréter de la façon suivante : à tout
d 1 D, d # 1 , on peut associer une involution de XS (D) induite par 1' action d'un élément de norme réduite d, quelconque, sur h. Avec 1'iden2m
tité, ces involutions forment un groupe isomorphe à (Z/2Z) .
L'involution associée à chaque dlD, d # 1, est notée wd.
Le nombre des points fixes de chacune de ces involutions est calculable; pour wd, il dépend, entre autres facteurs, du nombre de classes
du corps quadratique imaginaire ~ ( r d ) (voir [ 511 .
Chacune de ces classes est globalement stable par l'action de Frobenius.
L'une d'elles, appelée la classe supersingulière, est un ensemble fini
dont le cardinal est le nombre de classes d'ordres maximaux de l'algèbre
de quaternions Hf sur Q dont le discriminant est pD (cette algèbre
est donc définie). Appelons ce cardinal hl.
On montre ensuite que chaque point de la classe supersingulière est
rationnel sur IF
La courbe XS(D) étant supposée hyperelliptique,
p2 '
le nombre des points de XS(D) rationnels sur F est inférieur ou égal
p2
à 2(l+p2), donc :
N
Nous pouvons passer aux applications.
4 - DETERMINATION DES XS (D) HYPERELLIPTIQUES.
On sait que la détermination des valeurs de N pour lesquelles les
courbes modulaires XO(N) sont hyperelliptiques joue un rôle important
dans la théorie des courbes elliptiques [41; elle a été faite par Ogg
181.
Le problème analogue pour les courbes de Shimura a été posé par
Mazur qui en a donné une belle application :
Les formules explicites d'Eichler donnent la majoration (excellente) c h e ~
chée.
Signalons que, dans le cas où XS(D) est hyperelliptique, l'invol~
tion hyperelliptique est toujours l'une des involutions wd décrites pr&
cédemment. Plus précisément, pour 20 courbes l'involution hyperelliptique
est wD; cl est une involution wd, avec d II D, dans les quatre autres
cas. Ce phénomène a été expliqué par Ogg (voir le paragraphe suivant).
5
- QUELQUES PROPRIETES DES QUOTIENTS XS (D)/wd.
u$=y.d.12
avec yETs et y(z)=z.
Les propositions 2, 3 et 4 de ce paragraphe sont dues à Ogg [ 9 bis1
Proposition 2. La courbe Xs(D) /wd possède des points réels si et seulement si ll extension quadratique réelle ~ ( dpeut
) se plonger dans H.
,
Supposons qulil existe un plongement de ~ ( d dans
) H. On peut
supposer ce plongement de conducteur 1, nous le noterons i : ~ ( d+)H.
Posons ad = i(d), alors
ad=
(1 )
avec a,b,c€R et a' +bc = d
et 1' ensemble
Donc y est elliptique ou égal à l'identité. Si y est elliptique, ud
engendre une extension quadratique imaginaire ce qui contredit le fait
que n(ud) < O, donc y = 1 et ud = d c'est-à-dire : Q(ud) est un
plongement de ~ ( d
.)
Proposition 3. Si une extension quadratique imaginaire de nombre de classes un admet un plongement dans H, la courbe XS(D)/wD possède au moins
un point rationnel sur Q.
Soit Q(Q)
l'extension de nombre de classes 1 , 0 prenant 1'une
des neuf valeurs bien connues; on suppose que cette extension se plonge
dans H. Il résulte alors des propriétés du symb6le d'Hilbert (D,-0)
P'
p décrivant l'ensemble des nombres premiers et la place "infinie", que
H admet la Q(&)-représentation
suivante :
n'est autre que la géodésique joignant les 2 points fixes réels de la
transformation ad. De plus on peut écrire ad= Y&nd avec y~ rS,
E E O tel que n(~) = -1, md E ~(0)'
et n(nd) = d.
Soit z un point quelconque de cette géodésique, alors
8
O)
où a et 8 appartiennent à Q(&)
.
On peut supposer, à conjugaison près, que l'ordre maximal O contient
toutes les matrices du type ci-dessus telles que a et 8 soient dans
z[&I. En particulier
Donc
et peut donc s'écrire % = y m D où y E rS(D),
nDEO et n(nD) =D. On a donc
où @ est la fonction du Théorème 1. On applique alors le Théorème 2
et @(z) est un point réel de XS(D)/wd.
Réciproquement, si z € h est tel que son image @(z) dans
soit réelle, le meme calcul que précédemment montre que
Xs(D)/wd
OU
encore
Considérons maintenant l'élément de O
où ud est un élément de norme -d du normalisateur de O. D'après la
Proposition 1
EEO
et n(&)
=
- 1,
est une extension isomorphe à ~(/q), c'est donc un plongement
Q(r&
dans H. Tous les éléments de ce corps
de conducteur 1 ou 2 de
fixent les points
Proposition 5 . Soit dlD et supposons que H n'admette pas de représentation du type (~(fl)
,d) ou
,dl, alors le nombre de composantes connexes de l'ensemble des points réels (s' il existe) de la courbe
moduXS(D) /wd est égal à la moitié du nombre des plongements de Q(A)
10 rS(D) de conducteur 1 (resp. 1 et 2) si d f 1 (mod 4) (resp. d = 1
(mod 4 ) ) .
D'après ce qui précède
La démonstration est tout-à-fait identique à celle que Shimura donne dans [ 141 pages 151 et 152. On bute sur les mêmes difficultés (présence d'éléments elliptiques dans rS(D))
qui obligent à exclure certains
cas. Il serait agréable et peut-être utile d'avoir une formule générale.
~(a)
et donc I$(zO) est un point réel de la courbe XS(D) /wD. De plus,
d'après le Théorème 1, les coordonnées de $(zO) sont dans le corps de
si le conducteur du plongement est 1 (resp.
classes absolu de
dans le corps de rayon de conducteur 2 si le conducteur du plongement
est 2) : dans les deux cas les coordonnées de m(zO) sont dans ~(47)
et donc dans Q.
~(a)
Proposition 4. Soit XS(D) une courbe de Shimura hyperelliptique, o
son involution hyperelliptique, alors la courbe de genre O : XS(D)/w
possède des points rationnels sur Q si et seulement si D # 2.41, 3.19,
3.31. Dans ces trois cas XS(D)/o est sans point réel.
Pour 20 courbes de Shimura hyperelliptiques 1' involution hyperellig
tique est wD et la condition d'application de la Proposition 3 remplie
donc XS(D)/wD possède des points rationnels que Q.
Dans les trois cas cités ci-dessus la Proposition 2 montre que
XS(D) /w ne possède pas de point réel.
Il reste un cas ambigu qui est D = 58 = 2.29. Ici w2 possède 2
qui sont échangés par wZ9 5
points fixes à coordonnées dans
par la conjugaison complexe. L'involution hyperelliptique étant wZ9 on
a donc un point rationnel sur Q dans XS(D)/o = XS(D) /wZ9.
(~(a)
Remarque : A. Meyer a calculé le nombre de composantes connexes de l'ensemble des points réels de la courbe modulaire XO(N), pour N entier
quelconque > 1 . Appelons n (N) le nombre de facteurs premiers de N,
le nombre de composantes est
est
Si lyon s'intéresse, corrune dans [141, au nombre de composantes connexes de l'ensemble des points réels des courbes XS(D)/wd on trouve le
résultat suivant
si N = 2 ou 4 ou si N est impair ou divisible par 8,
2"(N)-2
dans les autres cas (2II N ou 4 11 N)
.
Relevé sur le demi-plan de Poincaré l'ensemble des points réels est un
ensemble de géodésiques joignant certaines pointes paraboliques.
6
- EQUATIONS.
Kurihara i21 a donné des équations pour les courbes de genre O et
pour deux courbes de genre 1 . Par équation il faut entendre : un polydme
P(X,Y) de Q[X,Yl tel que le corps Q[X,YI/(P(X,Y))
soit isomorphe au
corps des fonctions rationnelles, définies sur Q, de la courbe X~(D).
~(a)
Corollaire. Pour 21 valeurs de D, la courbe de genre O, XS(D)/w,
isomorphe sur Q à Pl (C).
z'(~)-'
La courbe plane définie par :
n'est pas la courbe de Shimura, c'est un "modele" qui lui est Q-birationnellement equivalent.
La méthode de Kurihara se subdivise en deux parties :
On obtient d'abord un nombre fini d'équations possibles pour XS(D)
1
en utilisant les involutions wd, des équations diophantiennes.
O)
2") On choisit la bonne équation en utilisant la réduction de XS(D)
aux "mauvaises places".
genre 1, permettent de construire une isogénie vérifiant le Théorème de
Ribet; les résultats obtenus sont, malheureusement, peu significatifs.
La première partie est élémentaire mais ne peut s'appliquer qu'à
des courbes de genre O et 1. La seconde, par contre, est très sophistiquée (uniformisation p-adique, résultats dlIharaet Cerednik) mais s1applique à toutes les courbes de Shimura.
Pour finir remarquons que le Théorème de Ribet ci-dessus et la
Proposition 3.1 de [IO1 impliquent que les involutions wd sont toutes
définies sur Q si le genre de XS(D) est différent de O, et plus généralement (?) que le groupe fini de tous les automorphismes d'une telle
courbe est abélien de type (2,...,2) et que tous ses éléments sont définis sur Q. Ogg a démontré les résultats correspondants dans le cas des
courbes modulaires [ 91.
Van der Geer et Zagier ont d'autres méthodes pour obtenir des équations de courbes de Shimura. Cela résulte de leur travail LI51 sur les
surfaces d'Hilbert-Blumenthal. Hirzebruch m'a d'ailleurs fait remarquer
que certaines valeurs de D pour lesquelles XS(D) est hyperelliptique
avaient été obtenues dans 111.
7
'
- JACOBIENNES.
Considérons les deux courbes XO(D) et XS(D) et leurs jacobiennes Jo(D) et JS(D). A l'ensemble des formes primitives (au sens
dlAtkinet Lehner) de ro(D) de poids 2, on peut associer, d'après Shimura, une sous-variété abélienne (ou un quotient - au choix) définie sur
Q de JO(D) notée Jb (D) (Mazur [41 la note J ~ ( D )) Ribet a démntré, sur la suggestion de Mazur, le joli théorème suivant :
.
Théorème (Ribet) . Jb (D) et JS(D)
sont isogènes sur Q. [ 1 1 1
On ne sait pas s'il existe une isogénie canonique.
Mazur suppose que l'ensemble des points rationnels sur Q de
Jb(D) est fini et démontre alors le théorème cité au paragraphe 4 de la
façon suivante :
Soit q l'ensemble des paires de points quadratiques (imaginaires)
conjugués de Xs(D); on choisit une paire {x X 1 et on injecte q
O' O
dans JS(D) par
x,:
k classe du diviseur
x
(x + - xo -go)
.
L'injectivité résulte de la non-hyperellipticité de XS(D). On obtient
ainsi une injection de q dans l'ensemble des points rationnels sur Q
de JS(D). L'ensemble des points rationnels sur Q de JS(D) est fini
d'après la conjecture et le Théorème de Ribet, donc q est fini.
Les équations données par Kurihara, dans des cas où XS(D)
est de
* L'auteur est extrêmement reconnaissant à l'égard du Sonderforschungsbereich 40 de l'üniversité de BONN (R.F.A.) de son invitation pour l'année
1980/81 qui lui a permis de travailler au sein d'une équipe exceptionnelle.
I
il51 G. van der Geer and D. Zagier.- The Hilbert Modular Group for the
field Q C ~ ) Inventiones
.
Math., 42, 1977, p. 93-133.
I
I
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M. -F. Vigneras. - Arithmétique des algèbres de quaternions. Lecture
Notes in Math. No 800, Springer, 1980.
Séminairede Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
Whittaker Models of Generalized Theta Series
S.J. Patterson
1
-
Introduction.
1.1. We shall consider here a very special class of representations of a "metaplectic group" and their Whittaker models. These generalize some of the properties of some of the classical theta series. The
objective of this talk is to show that, even when the local representations are not "distinguished" in the sense of Gelbart and PiatetskiiShapiro (i.e. they do not have unique local Whittaker models), it is possible to inveséigate the global Whittaker mode1 and to draw interesting
conclusions.
Most of the material presented here is taken from the joint paper
with D.A. Kazhdan [ 4 ] . The conjecture of paragraph 6 is an up-dated version of an older one. In developing it 1 profited greatly from the help
of Nelson Stephens, who computed numerical evidence for it.
1.2.
Let F be a local field such that
Card (pn(F))
=
n, pn(F)
=
{XEF'
: xn= 11;
thus F is a field whose characteristic does not divide n, or is zero.
Let
be the nth order Hilbert symbol on F ([61, XIII-5).
Let r EN- and G = GLr. We define the following subgroups of
G(F) :
H is the Cartan subgroup of diagonal matrices,
N+
is the subgroup of unipotent upper-triangular matrices,
derations depend only on the class of 2c in g/ng, and for this reason we can always choose c such that the condition (-1 ,-1 = 1 holdç .
B = HN+ is the standard Borel subgroup of G,
W is the subgroup of permutation matrices, and
ZO is the centre of G (F) .
Let
1 .S.
be the centre of
G(F)
; one has
Let @ be the set of roots of H and let @+ be the set of positive roots with respect to B. Let @(S) be the -2-module in
Hom (H,GJ
spanned by @, and, for any commutative ring R, let
alg
It is also the centre of
B . Let
=
H,= {diag (hi) : hk€Fm(l tktr)}
Let < , > be the Killing form on @(R).
and
1 .3. If F is non-archimedean let RF(resp. PF) be the ring of
integers (resp. the maximal ideal of RF). Let K = GLr(RF), and, for
- let
mEN,
K,,=
IkEK: k = I (mod.
Then
G)}.
s
The metapiectic group Gc(~) for c E 2 / n
is a centrai
extension of G(F) by un(F) endowed with a preferred section 2 :
1.4.
/
i fin
is the centre of
fi(=
p-l (Hl 1
.
1.6. If F is non-archimedean then p splits over a compact open
subgroup (of the form ,$i
if one likes) ; if 1 n 1 = 1 this can even be
taken to be K. In the latter case there is a unique section
(a homomorphism) such that :
K : K + G (F)
2
The group Gc(F) is a locally compact topological group and p is a le
cal homeomorphism. The section 2 is not continous (nor is it a homomor
phism) .
-
If h(') , h(2) EH and h(j)
the matrix (cSjk ak)) then
=
diag (hp))
(where diag
(ii)
K
(iii)
K
This section we shall deem canonical.
If
( h ). ( h 2 )
=
i( n (hjl), hi2)). (det(h(ll) ,det(h(2))
i<j
Henceforth we shall write
G(F)
'
instead of
Gc(~).
This extension splits over N+ and ç= 1 N+ is the unique section
of p over N+ which is a homomorphism; it is also continuous. We let
N:= z(N+).
Also, if (-1 ,-Ilc= 1 then 2 1 W is a homomorphism; we identify
W with its image in G(F).
For a slightly subtle reason al1 Our consi-
1n 1
< 1 one can only show that the germ of the section is uni-
que.
1.7.
Let k be a global field also satisfying
Card (cin(k)) =n.
Let GA= G(kA) be the group of adelic points of G/k. Let t(k) be
the se? of pl&es of k. For each vEE(k) one has a central extension,
- :
with a fixed C E 2- / n S
2 - Local exceptional representations.
-
s
=v
where Gv = G(kJ.
For each finite subset S of E(k)
vBS
In[,= 1 holds define :
-
for which
2.1. In this section we shall construct some admissible representations of the groups G(F) when F is a non-archimedean local field.
Before doing this we shall make a few remarks which should be borne in
mind .
The first is that the same constructions can be carried out whenever F is an archimedean local field. Then, however, the final statements are a little different, and, for sintplicity, we pass over this case
in silence.
where
Next let 2 = (al,...,at) be a partition of r. Let
and
K,,
are as in 1.6, 1.3 with F =
tural inclusion map
S. If
S 1 3 S there is a na-
...
and if we take the inductive limit over this system w obtain a central
extension
which we embed into GLr as al x al,a x a2,
blocks astride the
2
diagonal. We obtain, by restriction from G(F), a metaplectic extension
Ga(F). Virtually al1 the statements which we shall
.. formulate
) =are valid with only minor modifications for Ga(F).
To simplify the presentation we shall not discuss explicitly thi; case, although we shall need it later.
..-
*
Henceforth we shall mite G for G(F)
and G for G(F)
..-
*
with the natural properties which one would expect. Moreover, it follows
from the reciprocity law for the Hilbert symbol that pA- splits over
Gk := G(k) ; thus
.
2.2. Let H, be a maximal abelian subgroup of H. Let w be a
* ....quasi-character of HnZ and let w, be an extension of w to H,. Let
be a fixed injective character and suppose that m o i =
2.3. Examples :
(i) ("generic" example) If
n
=
E.
1 we can take
Let
(6
The covering pA splits over N+ ,A andwe let N* $4 be the imageof
N
94 under theZrnique homomorphisni splitting pA- over N+ $4'
+
+
2) n K (K) = 1 then we can choose o, such that
If, moreover , o 1
w, 1 fi n K (KI = 1 ; this &fines w, cornpletely
(ii) Suppose r = 2 and c = O. Then we can take
204
=
p-l
t(:
):
: ~EF'~, ~EF'x}.
(iii) Suppose n is of the form n:
one says that o is dominant.
and
2.6. Let G? be the set of al1 quasicharacters
sE@(C)- we define
gcd (r- 1 + 2rc, n) = 1.
=
p-l {diag (h.) : h. E F 1 l
J
J
fin 2
-+
f.
If
Then on each "component"
is an admissible choice. We shall be interested in this example when
n = 4 and r = 2,4.
2.4. We extend w, to
ding that w, 1 :
N = 1. We form
V(w)
6,
=
:=
fi, :N
as a quasicharacter by deman-
-
ind G (w,),
B*
we have a natural complex structure. In this way G? can be given the
structure of a (disconnected) complex-analytic manifold.
2.7. If X E G , ~ E Gwedefine xg tobe g-lxi where
any element of G with p(g) = g.
where we take the normalized induction as in 111 1.8. The class of the
induced representation depends only on w and not on the choice of w,.
2.5. For each w as above there exists u(w) E @(R)
so that
If wEW, oEG? wedefine
Note that although
in i
where, for any
6,.
Then we can represent V(w)
f : G + C such that
to be
where the action a : H
+
by
is W-stable, the same need not be true
2.8. Let p = -I Z a(E@(R))
a€@+
IF
is
, ao(w) E R
of
we define Ihb
Ww E Q
g
The action of
G
and let, for ~ E H ,
as the space of locally constant functions
is by right translations.
FX is to be written exponentially.
We make the same definition for c E @(Cl.
If, for al1 a€@+ one has
2.9. For w E W we shall now define intertwining operators
Iw : V(w) -+ V(~U) . Let N+(w) be the subgroup of N+ corresponding
to {a€@+: w 1a<O}, and let N:(w) = p(N+(w)).
in 2.8 and vcWw) via
, where, for h E
We realize V(w)
(fi,)W- 1 ,
as
(ii) if s is a simple reflection, and if, for a fixed additive
character eo : F -L gX (eo non-trivial) we let r denote the gammafunction of [31, page 143 ff, then
Then we define
The integral converges if w is dominant. It can be regularized
to have a "generic" meaning, and hence a meaning almost everywhere.
times the identity where
To describe the situation more precisely we need some definitions.
Let Ha be the CO-root of H associated with a € @ and let
and a is the positive simple root associated with
S.
Of these two statements (i) is trivial whereas (ii) lies quite deq.
Let "L" denote
This is a quasicharacter of F ~ ,trivial on un(F).
L-function.
Then
one
can
show,
in a sense that
the usual, 1-dimensional,
is easily made precise, that
2.10. We cal1 UER exceptional if for every positive simple root
a one has
Let wo be the longest element of W; i.e.
has an analytic continuation as a holomorphic family of operators. See
[21, 5.10.
The 1,
satisfy the following multiplication rules :
(i) if 1(w) denotes the lenght of w, i.e. the minimal number
of simple reflections needed to write w, and if wl,w2 satisfy
then the composite map
Then Then, if w is exceptional, V(w) is reducible and Vo(w) :=
W
= 1
(V(w)) ( cV( Ou)) is the unique irreducible quotient representawo
W
tion (resp. sub-representation) of V(w) resp. V( Ou)) . The representa
tion Vo(w),
which can be characterized in many ways, is the one in
which we shall be most interested. It is, in certain senses, a particularly "smallttrepresentation; indeed if n = 1, it is one-dimensional.
For future use we note that
Ker (Iw : V(w)
O
is generated by the I~(V(~U))
tions of W.
-
W
V( Ou))
where s nuis through the simple reflec-
):N
2.11. Let e be an non-degenerate character of N+
of the form
(and so of
-
This, by right translation, is an irreducible H-representation. We write
the action of h E i, on f as f b hf.
We define a map A
: U(w)
+ Wh(V(w),e)
by
and eo is a non-trivial character of E. If h E H we define he by
The set of non-degenerate characters forms a single orbit under this action of H.
For any representation V of
G
we define
where V1 is the dual space of V. The elements of Wh(V,e) we cal1
Whittaker
- functionals. Each Whittaker functional can be used to construct
a Whittaker mode1 in the usual way. If V is admissible and irreducible
then Wh(V,e) is finite-dimensional and its dimension does not depend
on the choice of e.
2.12. Our major problem is to describe Wh(Vo(w) ,e) in this local and in a global context.
3
Since it is easy to see that the A are linearly independent for
o..,
A lying in a set of representatives for H, \G, and since, by [ 1 1 The*
rem 5.2,
it follows that A is, for generic w, an isomorphism. In particular,
this is true when w is dominant.
3.2.
If h E fi then there is a natural map
One has, if V = V(w),
cEU(w),
that
- Whittaker models of local representations.
We shall first describe the space Wh(V(w) ,e) for llgenericl'
o. We represent V(w) as a function space as in 2.8. For
fi let
A,, be the linear form on V(o) given by
3.1.
A,,(f)
=
f(qwiln) ë (n) dn
3.3.
From each Iw : V(w)
+
V(~U) we obtain by transposition
.
and, thereby, maps
This converges if o is dominant, but it can be regularized and thereby
given a meaning for "generic" o. Note that if h E 8, then
From the corresponding properties of the Iw one has
Let now U(w)
be the space of functions f : H +
such that
(i) if wl, w2 E W, l(wlw2) = 1(wl)
+
1(w2) then
(w) = T (W)T
T ~ l ~ 2 W2
W1
(
and,
(ii) if s is a simple reflection and a is the associated simple root then
I
If n = s_ (1 + 5 g
,
)
ha is the elementary matrix corresponding to a,
which is the positive simple root associated with SI, €,CF then
where 6 (B CO+) is as in 2.1 1. The integral is taken over those 5
B
for which b($I+Egal) E G, and has to be understood as a regularized
value.
where the notations are as in 2.9.
Note that Iw is defined if for al1 a € l one has ,
"
o 1, and
then Iw is non-zero. It follows that .rW(w) is defined under the same
conditions. Note, moreover, that the poles (resp. zeros) of
l"(w~)/~.(a~*
1 ) , 1 are where S=1
a
(resp. =:o
1 I F+ 1 1.
where the (-1)
3.4.
T~(w) with
compute the
(resp. ~('w))
The spaces
For some purposes it is necessary to be able to compute the
respect to a given basis. It clearly suffices to be able to
T~(w), where s is a simple reflection. We construct V(w)
with respect to fi,, w, (resp. (fi,)',
'w,)
as in 2.8.
U(w) and ~('o)
are the likewise constructed.
If CEU(~U) then r,(w)cEU(w)
in the (i+l)th position. Then
I
I
i
I
as one can easily verify. This leads to the important formula
has the form
where S1 is sumned over a set of representatives for
*
which the argument of w,v lies in H,.
where, on the left-hand side X 6 Wh(~(~w),e) whereas , on the rightn1 hand side, An € Wh(V(o) ,e) . The two sides can be compared formally by
from which one obletting f be a "6-function with support fi, n w-'
O
tains
If
hie sees that the integral over n only contributes if n E N:(s..O).
and b(n) E so that
Moreover there is a unique nl(n) E N:(s)
FX"\fl for
The integral here can be expressed in t e m of the Gelfand-Graev
gamma function. In particular, if 1 nl = 1 , since we can choose fi, as
in 2.3(i), we can obtain very explicit formulae.
,
3.5. Before we proceed with Our major theme we remark that the
formula of 3.3(ii) can be expressed in terms of the Gelfand-Graev gamma
function. After some manipulation one finds
Here
E (X,
O )
vn(F) + f is, as before, an injective character and
denotes the character
E :
where the inner
"(
, )" is the Hilbert symbol.
.
when 1 n 1 = 1 . The conclusion of this computation is as follows Let N
be the number of orbits of the natural action of W on
which lift to a union of free orbits in ?Zr/n ?Zr. Then
This formula is rather remarkable in that it relates an arithmetically defined object, the Hilbert symbol, with an analytically defined
object, the gamma function.
Moreover, if N > O (resp. N=l) one can show that
It is instructive to verify this when F = IR and n = 2, where it
is also true. For the r-function see [31, page 144, footnote.
o excep3.6. Now let us turn Our attention to the Wh(Vo(w),e),
tional. As Vo(w) is a quotient of V(o) we can construcf Wh(Vo(w) ,e)
as
Since Ker(Iw
)
O
is generated by the Is(~(sw))
without any restriction on
rcn.
1 nl
The condition N > O is equivalent to
If 1 nl < 1 then one can describe @ (w,e) in terms of the gamma
function, but this does not seem to suffice. There is another approach
via character theory to compute
it follows that we can
identify Wh(Vo(w) ,e) with
IA €WhN(w) ,el 1 t~S(h)= O, s a simple reflection}.
Thus, under A, Wh(Vo(w),e)
@(o,e)
=
is the image of @(o,e)
Ic € U(o)
1 T,(~U)
(c) = O for al1 simple reflecreflections s1 .
W
This can also be described as
Note that if c E @(w,e)
T
where
(w) (U( Ow) )
wo
then
3.7. From 3.6 and 3.4 one can compute
.
but this is not the place togo into detail on this question.
3.8. Let ZO be the centre of G and S0 = p-l(zO). Then
(as is every Wh(V,e)).
The conWh(Vo(w) ,e) is naturally a 2'-module
clusion of 3.7 implies that if r = n-1 or n then Wh(Vo(w) ,e) is an
irreducible 2'-module .
3.9. Let notations be as in 3.1. We define A(c) E Wh(Vo(w) ,e) for
to be A(c) considered as an element of Wh(Vo(o) ,e) folloc E @(w,e)
wing the method of 3.6. Then if v E Vo (w) one can show that there exist
A, A' > O so that
(il if h E fi and for some positive simple root a one has
IhalF>~ then
X(c) (hv) = O,
(ii) if h ~ f i and for al1 positive simple roots a one has
Eisenstein series. The reader is referred to [ 4 1 for the full story.
4 - Global Theory.
W
where we regard Vo(u) as a sub-representation of Y( Ou),
thereby as a function.
and v
This statement is an asymptotic one. If w is unramified in the sense
that 1 n 1 = 1 and there exists a K (K) -invariant vector vO , vO O
(which is unique up to a scalar multiple) then one can take A = A 1 . This
completely.
describes X(c)(hvo)
3.10. It is through the formulae of 3.9 that a c~P(ui,e) is
"observable", as we shall discuss in 5.6.
Let g- be apartitionof r andlet GacG be as in2.1.
Let wl, be the "longest elementl'of WnGa(F).
Let e,el be the nondegenerate characters,
4.1. Following ideas of T. Kubota we shall next construct global
analogues of the representations investigated in Section 3. We define
fiA, fin,A, ZA, 2; as in the corresponding local cases. Let H; = q(H(k) )
- - where q is as defined in 1.7. We suppose that we are given a family
6,,v of maximal abelian subgroups of %(vE E(k)), and that for almost
al1 v E T(k) the group 6
x ,v is the canonical group of 2.3 (il. Let
H, ,q be the subgroup of HA whose local components lie in the fi, ,v'.
with respect to
this is the restricted topoIogical product of the fi,
,..
,v
K(KJ n H, ,, (defined almost everywhere) over li (k) .
zA
The centre of fiA is fin,q
and both fi* fi
k n,q
are maximal abelian s ~ 6 ~ r o u ~ s .
2q
and fi,
,q
3.11.
4.2. Let w be a quasicharacter of fin A iA, trivial on
We extend it to H* fi
(fin,A iA) WH;<.
2 b;=re4uiring that it be trik n,A q
vial-on-;:H
we denote the extension aIso by w.
e (n) = eo(Z 6(i,i+l) ni,i+l1
We also extend w to a quasicharacter w, of
fi,
such that
9 4
of N: and N: n Ga respectively. Suppose that for every simple positive
r m t a of H in' Ga (with respect to B n Ga) one has
-
-
$2
Let a be the set of al1 such o. Exactly as in the local case
has a complex structure.
By the embedding
+ fi
fi,
,A
nents" w,
of w,. Likewise by fin,,
the local components % of w.
we can define the "local compo-
9''
9'
Then one sees that the .cW(w E W n Ga(f)) are the same (and they act on
the same spaces U(w)) . In particGlar, if w is exceptional for G, it
is also exceptional for Ga, and one has
-
-
where the right-hand side is the analogue of the LJ0(w,e)
for
Ca.
-
3.12. The proofs of the results described in this section follow
hown lines in the representation theory of groups defined over local
fields. Some of the proofs use global techniques, such as the theory of
iv
+ fin,!
?A
-
we can define
We can also define, as in the local case, ah) E 0 (R) (cf. 2.5) ;
moreover , for any v E E(k) . one has a(w) = a(wv). We cal1 w dominant
if each wv is dominant.
Let p be as in 2.8. We define uA : HA + R+ to be iv uv,
where ,L,I
is also as defined in 2.8. ~lternafivel~,
one has with the obvious analogue bf the notation of 2.5 that
where
II ..II A-
and
denotes the idgle nom.
4.3. Let Fo(w)
satisfy
be the space of "smooth" functions on
-
G4 which
then the series
where, as before, quasicharacters of a subgroup of fiA are extended to
the corresponding subgroup of
constructed as theZpreimage under the
map GA +
* iHA,
= +,4
- via mis map.
Likewise we let F,(w,)
be the analogous space obtained by replacing H ~ H by~ fi, ~ and
z w~ by a,.
BA
GA/^*
-
-
'=
=
9 4
Let Clfl be the sheaf of holomorphic functions on fl. Then we have a map
E : F=O + - , defined over { w : o(o) - p dominant1 , given b?
.
We let CA act by right translations on both Fo(o) and F. (w,)
They become in this way C representations. As such they are isomorphic.
4Indeed, inverse maps
The group TA acts on Eo and E is G;-invariant . Moreover, E is
"of or&r
oR in the sense that if fo € Eo (U) , fo(w) = O for some w E U
then E(w,fo) = O.
Po
4.5. E can be analytically continued to a map E :
+ $,
where % denotes the sheaf of naeromorphic functions on Q. It is holomorphic on
are given by
where dy is a suitable Haar measure on (I$fin ,A iA) n fi. ,A \ fi, ,A and
- the integral is taken over this group, and by
which is convergent.
There is a
-1
jF (w) = Fo(w) .
We can therefore
that jil,(w,) =
converges.
F
fl such that
holomorphic vector bundle Eo
We denote the space of sections over U c fl . by go (U) .
JF * fl such
also form a holomorphic vector bundle F, A
F,(w,),
where, for each o, w, is chisen in advance.
9
4.4. Let Ucfl be open. If also
J
{o :
<oh) ,a > 2 O for al1 a € 1
'
0 -
U
Ta
a€@+
where, if we define as before, for a E @,
where sA=
-- (sy) (it is defined on
fiA-
but not on TA, cf. 1.61,
-
Note that w i is a Griissencharakter of k, that is, a quasicharixter of ki trivial on kx.
One can also describe the singularities along the "hyperplanes" Ta.
4.6.
The "largest" singularity of E occurs at those w for
and
which
Let us now represent VA(w)
1 (=F*(w*)
by
,v
as a quotient of
4.8.
for al1 positive simple roots a. Such an w we cal1 exceptional, as
in 2.10. If w is exceptional one can define a "residue" of E at w.
We let 8 be the G;-invariant linear form on Fo(w) given by
V(w,
.
h
8(fo)
where
$
=
Res E(w' ,fol
0'=w
is a germ at o with gO(w)
=
fo. This is well-defined.
8 is a non-zero linear form. The representation Fo(w) is isomorphic as 5 representation to e V(wv) where the tensor product is ta4v
ken with respect to g[un(k) 1 and is a "restricted topological tensor
product". One can likewise form e Vo (q)(V as in 2.4, Vo as in
2.10). This is a quotient representation of e V(wv), and if
v
B : eV V(wv) + Fo(w) is the map mentioned above, then 8 B factors
through e V (w ) .
v O v
In other words there is a Gh-invariant linear form go on
e Vo(%).
In this way e V (o ) becomes an automorphic representation.
v
v O
Let us denote s Vo(w,) by VA(w).
It is a quotient representation of
v
Fo(w) and thus of F, (w,) .
Let e be as in 4.7 and eV its vth component Let
A EWh(V(w,
),eV) be as defined in 3 . 1 .
t-47
,v
There exists a function
on HA such that
-
se
-3
O
4 . 7 . Let e : N* + C- be a non-degenerate character, trivial
+,A
on ~ 1 , ~If
. h E H; tFien we define he by (he) (n) = e (nh) , which is
another such character.
If vEVA(w),
(o exceptional) is as above then we define the linear form Oe -on VA(w) by
-
where n E fiA
-
is represented by (riy) . This follows from the results of
Section 3.
-3
Let UA(w)
-
for
E
fi, 94'
each v E E(k)
be the space of al1 factions u on HA which satisfi
-
h E fiAA. Let $(w,e)
-
-
be the subspace which satisfies at
the condition of 3.6. Then one has
Moreover
where we denote the action of
This satisfies .
GA-
on VA(o)
-
by left-multiplication.
4.9.
It is tempting to define
se
in a mode1 of UA(w)
-
-
with res-
finp4
iA, but it is, in general, a generaliied function not
represented by a function. The reason that ge_ is represented on fiA
with respect to fi,
as a function is that H, \fi
9 4
$4 4 carries the =di+
crete topology.
pect to
5 - What this means to the man in the Street.
5.1. The constructions of Section 4 are not very concrete, especially from the point of view of the theory of numbers. We shall therefore draw some consequences from Section 4 which make its content more
palpable.
4.10. It can be shown that, if rLn,
Let e be as in 4.7. Then we define Ee :
*
N:,~-N:
se
Eo c
h&
by
Elnfo) ë(n) dn.
'=
and their pla4.11. Our central problem is to understand the
ce in the space ~i(o,e). In Section 5 we shall explain the connection
of ge with realify.
This is clearly holomorphic where E is, and, if w exceptional, one
has
4.1 2. If r = n-1 or n then Wh(Vo(w,) ,eV) is an irreducible
2°-module.
Thus, when r = n or when r = n-1 and 2(c+l) r 0 (mod.n)
v
the space UO (w,e) is one-dimensional.
with notations as in 4.6.
4
'24'
In these cases it follows that there is a quasicharacter
trivial on *'!z = 2; fl G;, such that
-
x
of
This follows since it is true by 4.8 for n E Z;
and since, under the a r
sumption that r = n or r = n-1 and 2(c+l) = O (m0d.n) , 2; acts linearly on ff(wv,ev) by 3.7.
In general, although its local components can, in principal, be
computed at such v that 1 n 1 1 , the nature of x remains rather
mysterious.
Now let Bu : ao V (4,) + Fo(o)
given by
be the holomorphic farnily of m
a
p
where q (h) is represented by (qv(h)) - we could take qv(h) = zV(h) and V(wv) is constructed with respect to fi,,v, W+
which are as in
4.2. The definition has to be made a little more precise in order that
B is holomorphic but we shall pass over this point. Now one has, if
,w
-
H* ,A
- = PA- (H*
When r = n and n = O (mod.2) the extension
valid in {w E Q : a(o)
does not Split, and x yields, in effect, an automorphic representation
of the double metaplectic cover of GL1. In al1 other cases the extension splits and x yields a Grossencharakter of k.
Res
W
I:
dominant).
This combined with 4.8 yields
n
f, ,v(qv(h)wiln)ëv(n)
h a * ,pIk\Hk v N*
-
+
dn
,v
The left-hand is the residue of an analytic function whose analytic con-
tinuation is not clear without using the theory of Eisenstein series. It
is a Dirichlet series whose coefficients are Gauss sumç.
We shall now take r = 2 and, by a suitable choice of (f,,v), make this function more explicit. The right-hand side becomes sintpler when
we use the results of 3.9.
Note that [H,,AtlHk : HnPk] is finite and hence, up to a constant,
we can replace the sufi on the left-hand side by the corresponding sum
over
Zk\Hk.
5.2. Let k be a totally imaginary number field. Let S be a finite subset of E(k) consisting of non-archimedean places so that
where U(S)
is embedded in
kt by the diagonal embedding.
*Sm Let Q be a quasicharacter of n : k
which is trivial on
vES,
Un(S).
For such a Q define a(Q) ER by
5.3. With the notations above we define
(a) if Inlv<l then v€S,
(b) eo is unramified outside S,
(c) the ring rS of S-integers of k is a principal ideal do-
main.
be the nth order Hilbert symbol on Ij, and let, for
Let ( ,
c, d€rS, c, d copr,ime
be the restricted Legendre symbol. We are assuming, as usual , that
Card (pn(k)) =n.
Fix an injective character
E
: un(k)
+
c.
For x E k and Sm= SU{VET(~)~Vlm}
we let
For X, c E rS we define the following Gauss sum
where d
nuis
Let U(S)
through a full set of residues modulo c and coprime to c.
be the group of S-units and let
where the sunnnation in c is carried out over those c E rS such that
c E TI
and is taken modulo Un@).
vES
The series above converges if Q is such that a(@) > 3/2. It will
follow from the result of 5.5 below and 4.4 that JI: can be analytically
continued to a meromorphic function in Q and that this function has at
most a simple pole at Q = Qo, where
in the region a(+) > 1. (As is usual, one puts a complex analytic structure on the set of al1 Q defined in 5.2).
5.4. We consider CA where r = 2 and c=O. Let 5 :N+,! +,CA
be the lift of N
and fet
+9
4
We choose fi,
to be the canonical choice 2.3 (il if v f S and to be
,v
be the canonical
the choice of 2.3(ii) if v E S. If v $ S let
K (KJ -invariant vector of V(uv)
If v E S we choose
> O so large
that if pv is the prime ideal of rv (the ring of integers of \)
lnv .
then (1 +pv )cl<?. Let
.
ePv
: Lv + EV.
I t follows from f o m l a e of Kubota that there is a l i f t
We form V(%)
with respect t o fi,,v,w, ,,_ and l e t
be the Z(Lv)invariant vector i n V(wv) with support B, 9 V~(Lv)wo and f, ,v (w01 = 1 .
This involves the addit ional assumpt ion t h a t
5.6.
As we have already noted i n 5.3 the basic analytic properties
follow from t h i s . Define next
of the $:
fiyv
O
*S(rn,~,X) a t
~ ; ( E , x ) t o be the residue of
0,.
I t follows from 3.9 t h a t there e x i s t s
t h a t , i f X is an S-integer then
~ ( E , X ) f o r a l 1 X E kX such
which we may permit ourselves.
and p(€,X) depends only on the class of X
3.9 one has, up t o a constant multiple, t h a t
We s h a l l now consider the ideas of 5.1 applied t o the function
i n kx / km.
Again, by
where hEfiA.
-
ce
is unramified outsi& S. Let w and f, YV be
as i n 5.4 with h of the form q(hl) , hl E H k As before one has
X
is a fixed injective character. Let
w 0 iA
= E , where E : un(k) + S
5.5.
Suppose w
In t h i s sense
becomes "observable" i n the asymptotic distribution of Gauss sums. A s we have only determined te(h) f o r h E
one
can ask i f it is possible t o determine ge completely by these techniques. I t i s ; i n the sum i n 5.3 we have t o require t h a t the sum is over a
coset of
n :k
in
n k.:
Let jS : fiS -t fiA be the natural em
vES,
vESw
bedding of
-
HE,
and
-
into HA.
Then, by the same technique a s above one can realize
for hS E fiS, h E H; as a residue. Since
Ee(jS(hi)h)
Then, a f t e r a rather unpleasant computation one finds t h a t there e x i s t
mi€ ZZ f o r v E S so t h a t
t h i s suff ices
is equal t o zero unless ordv(h:) lin; f o r a l 1 v S, and i f these conditions are s a t i s f i e d then the expression is equal t o
5.7. The r e s u l t s of 5.6 are susceptible t o many variations, and,
i n order t o explain a point, we need t o consider two such variations. For
the f i r s t of these we keep r = 2 , c = O but f i x also n = 4. We now chooçe
I
i
where a i s the unique positive root of G. In t h i s formula we have suppressed a constant which depends on the choice of Haar masures, and
which w i l l play no role here.
.
-
H,,v,
f o r V E S , t o be the choice of 2.3 ( i i i ) . This involves replacing
$O by q1 , where, instead of s m i n g over c E rS with c E
sum over c E il
k,':
and modulo U, (SI
.
kx4 we
vES,
Moreover 6 is t o be defined
on
il
These are trivial on U2(S)
kc2 and to be trivial on U2(S).
if w is unramified outside S.
Let al (resp. a2) be the root diag(hl,h2,h3,h4) l+ h1/h2
(resp. diag(hl ,h2,h3,h4) l+ h3/h4). Let el be the character of
given by
N* n G
5.8. For Our final example we consider the embedding
+,i
~ $ 4
Then, by another unpleasant computation one can verify that
corresponding to the partition 2 + 2 of 4. We cal1 the image Ga, and
let G = GL4. We construct G with n = 4, c = O; this induces a &taplectic cover Ca of Ga. The diagonal subgroup H is a Cartan subWe choose g, ,V to be the choice 2.3(i) if
group of both G= and G;.
v 4 S, and to be the choke 2.3(iii) if v E S.
Let Lvc GL2
($)
be as above ; then
aaccording to whether ordv(p(h) ')
j = 1 or 2 or not. Here E and
and there again exists a lift
We let w;EGa
-
is equal to zero or
is small for some v in S and
are defined as before.
(w&o
This is much as one would expect since the two copies of GL2 corn
mute inside that part of the group in which the computations take place.
The interaction is easily controlable even when one makes modifications
of the type described in 5.6.
be the following element of W :
sesu
c=O
5.7.
Thenweform .f
''9
also as there.
for v E S exactlyas in5.4, and :f
HqSAZA
-,
Let o be a quasicharacter of
Let u'~), )
'
(
u
,v for v E S
which we extend to H,
- be the quasicharacters of il kc2 defined by
vES-
94'
UA(o),
wzth
5.9. Let nnr
be the function in UA(w) when r = 2 , n = 4 ,
defined as above and constructed with resp&t to i*.v,o,
as in,
Let G = GL2 in this section.
2x2
Let gel,,, be the corresponding function in the corresponding
denoted by Ua
where a = (2,2), constructed for Ga A
- -H,,v,o,,V
as iii'5.8.
Let il :
5
-
9
-
-
i2 :
E4
>A
EGSA
- -
be the two natural em-
(0
beddings of GA into G
and g Ct ( I O)
a,A induced by g k
respectively. Eet o be-aÏi exceptional quasicharacter for i4,A iA (ift
Ga- ,A).
Then o. = o ij yields exceptional quasicharacters of th; cor-,
J rësgnding H4,A ZA in CA. (The author has not seen how to develop a
convenient nota?io! that Guld avoid this unfortunate state of affairs).
.
The results of 5.6, 5.7 and 5.8 can be used to show that if
hl, h2 EF$ (in 5) then
and G = GL4. We consider Ga as a subgroup of G.
Let o be a quasicharacter of fi4
which is exceptional for
~ G L ~ .
GL4. Then it is also exceptional for ~ i ;
CA
This, of course, cannot generalize to al1 hl,-h2. However, a closer
examination along the same lines shows that 5:,o
is supported on
-#
2x2 is supfi, ,A HA,
where
= p-llh E H~ 1 det (h) E kX} . Likewise ge
porfed on
fit
%,
(in Ca A). The equation above remains meaningful if hl, h2 E
is, in=f~ct,valid.
For,
there exists O E %(w,e)
and likewise for Ca A there
l ,
exists SE, which lies in the cor;esponding space u:(w,e
'=for
-
-
Suppose
and
where pA(n)
-
=
(n..) , pA(nl ) = (n! .) . Suppose further that
1J
=
1J
This rather vulgar modus operandi leaves many questions open and
the results raise new ones. However we shall not expatiate on these here.
Then, as we remarked in 3.1 1 ,
6 - A coniecture.
6.1. If n = 3 , r = 2 , c = 2 then the.loca1 space uO(o,e) is of
dimension 1, and thus the global space U:(o,e)
is also of dimension 1.
Therefore
is determined up to a consht factor. (The determination
of this factor is an interesting problem in itself-see [SI, [61 - but we
shall not consider it here). This means that the residues of the 'IJ are
known, and hence the asymptotic behaviour of cubic Gauss sums can also be
determined.
se
6.2. If r = 2 and n > 3 then this argument no longer applies,
for u:(o,e)
can only be 1 -dimensional if r = 1
or n. It is still
neverthless of great interest to determine the se, when r = 2, for
larger n. Up to the present virtually nothmg is known beyond the results
expounded in Section 4.
If n = 4 it is possible to make some sensible conjectures and it
is these that 1 would like to explain now.
se
Moreover, u:(o,e)
is one-dimensional so that
is determined up to
a scalar mul%ple. Note also that $(w,e)
depends on 6(23), which
$(o,el,a)
does not.
Let :2 be the centre of GL2 x CL2 and let ZO* be the lift
a,k
(inside G?;) of Z
:
(
k
)
to Ga A. Let Z*
be the subgroup of zO*
-> g,k
g,k
whose entries are fourth powers. Let ZO be the centre of GL, and zG*'
*
the lift of zO(k) to
in G;. Let Z;
be the subgroup if :Z
whose entries are forth pGwers.
-
GA
zk*.
6.4. If we form
6.3. Instead of dealing with GL2 we shall w r k with (GL2xGL2).
The comection between the two was explained in 5.9.
We shall here consider two metaplectic groups, G
5
=
(GL2x GL2)
,l
1
Note that el is fixed by ZO* and e is fixed by
$,k
we obtain an element of u;-(w,el
,a)
which does not depend on the choice
of e (i.e. of 6(23)).
yE
The sum here is meaningful.
operation of a Siegel operator
Thus, on formal grounds, one is led to conjecture that, for some
one has
e,
W'
One should
note
that
if
we
replace
e
by
h
Oe
and
el
by
h
Oe'
*
(h € $1 then the conjecture remains unaltered, and hence the conjecture
is independent of the choice of e and el.
W
6.5. This conjecture was first conceived in classical terms by a
quite different argument to that given here, and which we shall now bridly describe.
As was explained in 5.9 the right-hand side of the proposed equation is a function whose values are essentially the p(~-l,X) 2 . The
left-hand side is a function whose values are Gauss s a .
By Rankin's method one can investigate Dirichlet series whose coefficients are the p(~-l , X) 2 . The corresponding Dirichlet series for
the left-hand side turns out to be a bilinear form in the $O's ûne o b
serves then that they have similar functional equations and the same gamma factors. This speaks strongly for the actual identity of the series
themselves.
6.6. The consequences of the conjecture in its classical form can,
as we have indicated, be expressed in terms of the p(~-l ,X)2 By examining the asymptotic behaviour of Gauss sums one can estimate these by corn
puter. Nelson Stephens very kindly did this a few years ago (1978-79) and
the results of the computation are in reasonable agreement with the conjecture. Actually, the version given in 6.4 is more precise and it should
by also checked nwnerically. This, although eminently desirable, involves
considerable preparatory work which has not carried out. If the conjecture is not proved,I fear it will be necessary to check it in detail in t k
way .
.
6.7. It seems that the conjecture could be innnediately generalized
if one simply replaces G by GLr and a- by any partition of r. If
one does so then it appears that the conjecture is the reflection of the
(=
"constant term" operator).
However, the conjecture in this degree of generality is meaningle~,
= O whereas
for the sum does not exist. Mreover, if r > n then
is not necessarily 0. Such considerations indicate that one is not go
going to be able to prove this conjecture by formal arguments.
ce
S;
The most general meaningful conjecture is that when r = n and is a maximal partition (a, ,a2) of n(al + a2 = n) . However it would be
merely unbridled optimism to propose the conjecture in this forms with
no theoretical or numerical evidence.
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984Birkhauser Boston,Inc.
REFERENCES
(The references listed here are those needed for this survey. A full bibliography, and historical remarks on the ideas discussed here, can be
found in [41).
HAUTEURS p-ADIQUES
I.N. Bernstein and A.V. Ze1evinski.- Induced representations of reductive p-adic groups, Ann. Scient. Ec. Nom. Sup. 10 (1977),
41 1-472.
P. Deligne.- Sommes de Gauss cubiques et revêtements de SL(2).
Séminaire Bourbaki, juin 1979, 539.
B. PERRIN-RIOU
Soit F une extension finie de 4.
ment a de F est définie par
La hauteur H(a)
d'un élé-
I.M. Gelfand, M.I. Graev and 1.1. Piatetskii-Shapiro.- Re resenta
tion Theory and Automorphic Functions. Saunders-*(169
D.A. Kazhdan and S.J. Patterson.- Metaplectic Forms. To appear in
Publ. Math. I.H.E.S., No 59 (1984).
S.J. Patterson.- A cubic analogue of the theta series. J. für
d.r.u.a. Math. 296 (1977), 125-161, 217-220.
S.J. Patterson.- The constant term of the cubic theta series, J.
für d.r.u.a. Math. 336 (1982) 185-190.
où f et F sont deux idéaux entiers de F, premiers entre eux tels
que (a)= f/F.
Soit E une courbe elliptique définie sur F. Choisissons un modele de Weierstrass de E sur F.
A. Weil.- Basic Number Theory. Springer, 1967.
où les coefficients a,,...,a6 sont des entiers de F. Si P est un
point de E, on note x(P) la x-coordonnée de P dans le modele (1 ) .
Morde11 et Weil ont défini la hauteur naïve d'un point P du groupe
E(F) des points rationnels de E sur F par
h(P)
S.J. Patterson
Mathematical Institute
University of Gottingen
Bunsenstrasse 3-5
GûïTINGEN 3400
ALLEMAGNE FEDERALE (R .F .A.)
=
21 log H(x(P)).
La fonction h est presque une fonction quadratique de P. Plus préciséant,
h(P+Q)
+ hW-Q)
- Zh(P) - Zh(Q)
est bornée sur E(F) xE(F). Ce fait remarquable est essentiel dans la
démonstration du théorème de Mordell-Weil. Le résultat suivant est un corollaire de la presque-quadraticité de h.
Théorème (Néron-Tate). Il existe une unique forme quadratique
hm : E(F) + R telle que la différence (hm- hl est bornée sur E(F).
Corn Tate 1'a remarqué, on peut facilement prouvé 1'existence de
hm en définissant
D'autre part, Néron a montré que h peut s'exprimer conune une sonune de
facteurs locaux aux places de F. Dans cette décomposition de hm en
facteurs locaux, les termes aux places infinies de F ont une description transcendante en termes de la fonction a classique & Weierstrass.
Passons aux fonctions a complexes. Soit un plongement complexe
v de F dans (E et soient $ le réseau de (E et $ l'ismrphisme (Cl$ + E associés à ce plongement et au modèle (1) choisi. La
fonction av de Weierstrass est une fonction sur (E vérifiant
Soit 5 la fonction sur
(C
5(z)
Plus récement, des analogues p-adiques de hm ont été définis.
En général, la construction des hauteurs p-adiques a été faite par décomposition en facteurs locaux selon l'idée de Néron. Notre but ici est
& rappeler brièvement la construction de ces hauteurs et en particulier
de comparer les différents analogues p-adiques de la fonction a de
Weierstrass que l'on trouve dans la littérature. Nous donnons ensuite
une méthode de construction de ces hauteurs à l'aide de hauteurs p-adiques "naïves".
1
=
-
d
log uv(z)
et ri la fonction R -linéaire prolongeant la fonction définie sur le
réseau % par
Alors, la fonction
- Hauteur complexe.
Définissons dlabord les facteurs locaux aux places non archimédiew
nes .
(où Re(a1 est la partie réelle du nombre complexe a) est invariante
par le réseau A, et définit donc une fonction QV sur E. On a alors
Théorème (Néron-Tate). Soit v une place non archimédienne. Il existe
une unique fonction \ de E(Fv) - {O} à valeurs dans 8, continue
pour la topologie v-adique sur E(Fv) - {O} et pour la topologie sur 8
induite par celle de R , telle que la limite de
La hauteur complexe est alors définie par :
existe lorsque P + O pour un, donc pour tout, paramètre uniformisant
t de E à l'origine O et vérifiant
l
e : Si P ne se réduit pas en un point singulier dans le modèle
choisi (1) , on a
où Nv désigne le cardinal du corps résiduel de F en v et où ,n,
vaut 1 si v est une place réelle et 2 si c'est une place complexe.
La fonction hm est une fonction quadratique sur E(F) à valeurs
En utilisant
dans R . Sa différence avec h reste bornée sur E(F).
le fait que, pour A donné, l'ensemble des points P de E(F) tels que
h(P)5A est fini, on montre que la forme bilinéaire symétrique associée
définie sur E(F) e R x E(F) s R est une forme bilinéaire définie
22
22
positive.
2
-
Lemme. Soit f un élément de 8' et D son diviseur restreint. Il
existe un élément c de F; et une unité u de A appartenant à
1 + t F$ [[tll tels que
Fonctions a p-adiques.
Fixons une place v de F au-dessus de p et supposons que E
a bonne réduction en v ainsi que le modele (1) choisi. Soit E1 ,v le
groupe formel associé au noyau de réduction de E modulo v. La multiplication par un entier m sur ce groupe formel est notée [ml. On
choisit comme paramètre uniformisant t = - x/y. Soit Lv le logarithme de E
1 ,v
où z est le paramètre du groupe additif. L'anneau A du groupe formel
où I\, est l'anneau &s entiers
E
sur Rv est isomorphe à $[[t]]
1 ,v
de Fv. On notera B son corps de fractions. Comme toute fonction rationnelle sur la courbe E définie sur F s'exprime corne une fraction rationnelle en x(P) et y(P), elle peut être considérée comme un
élément de B. On notera de la même manière son développement en t,
par exemple
x(t)
2
- J1 +alF +... .
t
On dira que f est normalisée si c = 1.
Revenons aux fonctions a. On appellera pour l'instant fonction
a tout élément de t(1 + Fv[ [tIl) ayant un rayon de convergence non nul,
impair (c'est-à-dire vérifiant a([-1 lt) = - o(t)) et tel que
([+l et E-1 désignant l'addition et la soustraction sur le groupe formel E ) . Ces conditions ne déterminent malheureusement pas une seule
1 ,v
fonction.
Lemme. Le quotient de deux fonctions a sur Fv est de la forme
exp (c C (t)21 avec c appartenant à Fv.
Démonstration. Soit $v la série réciproque de 1,
et posons
a
=
-l2- - - a2-a3 t + ...
t
y(t)
=
Le quotient ?(z)
et vérifie
s
On appellera diviseur restreint un diviseur
E ni(Pi)
de deux fonctions o(z)
appartient à 1 + z FVI[z]1
tel que Pi
i =.l
-
appartienne à El
En particulier, si f est une fonction rationm
...
nelle sur E & diviseur D = E ni(Pi) avec Pi E El,V(FV) pour i 5 s
i=l
pour i > s, son diviseur restreint est le diviseur
et Pif
El
Dr = E n.1 (P.1). Enfin, si D est un diviseur restreint et f un éléi=l
ment de 8, on notera fD la fonction translatée de f par D :
.
Son logarithme est donc une fonction quadratique sur le groupe additif : il est de la forme c z2 , d'où le lemme.
Ainsi, une fonction
a
associée à une fonction a
admet le développement suivant
Rappelons maintenant la forme suivante du théorème de préparation
de Weierstrass.
G(z)
=
z exp
( - 2c
z2 + T an zZn)
n=2
Soient m un entier premier 2 p et
et la fonction a est uniquement déterminée par le coefficient c.
Aussi la notera-t-on parfois a,.
Nous allons maintenant résumer trois méthodes de construction dluie
fonction a données respectivement par Bernardi, Néron et Mazur-Tate,
et les comparer.
a) Construction de Bernardi
( [ 1 1)
.
-'
Le diviseur Y, = (pn) Y - p2n Y est principal et le diviseur restreint
associé est nul. Donc il existe une fonction rationnelle hn apparte,
.
On notera fr une fonction de
nant à 1 + t F$ [ EtIl de diviseur Y
diviseur r-' (O) - r2(O)
.
Cette construction, inspirée par un texte non publié drAbramovet
Rosemblum, consiste à utiliser le développement de Taylor de la fonction
a complexe et à remarquer que les coefficients sont en fait dans F et
indépendants du plongement de F dans (C. Plus précisément, la fonction
Lenmie. La fonction \ appartient à 1 +t4 Rv[[tll.
admet le développement en z suivant :
admet le développement
Démonstration. La première affirmation se déduit de la seconde et de ce
que l'on sait déjà que \ appartient à 1 + t RJEtI 1 : en effet, \
est proportionnel à
fonction ao.
équivalente à
" yk z2k/2k(2k-1))
est associée à la
2
Il est en effet facile de voir que lléquation(3) est
et la fonction ;O(z)
=
z exp
La fonction fr
(- 1
ûr,
on a
pour un c appartenant 2 Fv.
o
à
La série Go converge came l'exponentielle pour
En particulier, a. n'appartient pas à priori
r > ordVp1
)
.
Rpll.
L'existence de la function a complexe implique que
b) Construction de Néron ([61).
Néron définit une fonction a comne limite v-adique de fonctions
rationnelles sur la courbe. Plus généralement il associe à chaque divibien s€ir sur une variété ab6lienne) dont
seur X sur la courbe (et m&
le diviseur restreint est nul une fonction a. La fonction a que nous
cherchons é t k associée au diviseur (O), il est nécessaire d1introduire un diviseur auxiliaire.
D'où le lemne.
Le lien entre les différentes fonctions
leurs diviseurs : on trouve
\
s'obtient en comparant
On déduit alors du lemme précédent que si P appartient à El,V(Fv)
n'est pas de torsion,
et
existe et est exactement la fonction oo.
Remarquons de nouveau que la fonction obtenue de ces manières ne
converge priori que sur un sous-groupe de Eliv(Fv) ne contenant pas
de points de torsion (par exemple pour ordv(t) > ordv(p)/ (p-1)) .
c) Construction de Mazur et Tate.
converge vers 1 lorsque n
adique que la suite
+- et donc par le critère de Cauchy p-
Une hypothese supplémentaire intervient dans cette construction :
elle permettra de prouver l'existence d'une fonction a appartenant à
t(1 + t Rv [ [ tl 1 ) On suppose donc maintenant que E a bonne réduction
ordinaire en v, cfest-à-dire que le groupe formel E
est de hau1 ,v
teur 1. Celui-ci devient isomorphe au groupe multiplicatif sur llanneai
des entiers du complété de l'extension non ramifiée maximale de
Fv. En
est un
particulier, le noyau de la multiplication par pn sur E
1 ,v
sous-groupe Cn cyclique d'ordre pn qui devient isomorphe sur cet anneau à u
Soit E(")
la courbe quotient de E par Cn et bn
.
a une limite. Néron pose alors
a(t)
=
2n
2
iim (hn(tll/P fm(t)) -1/m -1
n++oo
Cette définition permet de respecter les propriétés fonctorielles des
fonctions a attachées à un diviseur : si aX désigne provisoirement
ici la fonction a attachée au diviseur X, on doit avoir
P'
1' isogénie associée
Notons an 1' isogénie duale
D'autre part fm est choisie normalisée. Il est facile de voir que la
fonction obtenue est bien une fonction o (on peut par exemple vérifier
que a([plt)/o(t)~~ est proportionnel à fP (t)) et ctestmeme exactement oo (en effet, par construction o(z)/z est limite de fonctions
appartenant à 1 + z3 Fv[[zll).
C'est une isogénie étale qui induit sur les groupes formels de E(")
et
E un isomorphisme noté [an]. Soit gin la fonction rationnelle sur
E
de diviseur
Remarque. Du développement
et telle que
4
on déduit que si al = a2 = O, z est congru à t modulot Fv[[t]] et que
congru à t modulo t4 %[ [tl]. Il est alors facile de voir
[pl (t)
que la fonction normalisée h(t) multiple de
f .(t)
appartp
P
tient à l + t3 R[[tll et que
tq
où tn = t O an (clest un paramètre du groupe formel Ecn)) . Il existe
1 ,v
alors une fonction
sur E
telle que
O an = .
,d Enfin si 8,
1 ,v
est le corps des fractions de 1'anneau du groupe formel
,:::E
1'isogénie
an
%
si ) est un élément de BX, on
bn induit une norme N : 8" + 8;:
notera No) l'élément de Bn normalisé déduit de NO.
Théorème (Mazur-Tate). Supposons que E a bonne réduction ordinaire en
v. Si a est un élément de t(1 + t % [ [tll) , les propriétés suivantes
sont équivalentes :
(il
a
alors s
appartient 2 51 %
2,v
-2
S~,v
%
et on a
1
ME ("1
P(~)(u) mod
3
Ry
iim tpnan;
rP='
(ii) a est impaire et si D est un diviseur sur E linéairement
équivalent à O et restreint, aD est la restriction d'une fonction
rationnelle sur E de diviseur D;
(iv)
(VI
o([m]t)/~(t)~~
=
fm(t)
=
fpW;
On déduit aussi de l'étude du développement en z dans la formule (vi)
que
pour tout m 2 1 ;
2
a([plt)/a(t)P
Ces conditions déterminent une unique fonction a (ici, fm dé2
signe une fonction de diviseur m-l (O) - m (O) et telle que
Remarque. Notons s
l'élément de F:
2,v
;(a)
=
Par exemple, si E a multiplication complexe par l'anneau des entiers
d'un corps quadratique imaginaire K, p est ordinaire s'il se décompose
dans K. De plus il existe un nombre algébrique s2 de F dont l'image
dans IC par chaque plongement complexe va de F dans IC est
tel que
z e x p (S-2Yv z2 +
...)
Il vérifie aussi
où a est la fonction définie dans le théorème précédent. On déduit de
la formule (i) que s
peut se calculer corn limite p-adique de la
2,v
manière suivante. Soit u(") une forme différentielle invariante sur
E(")
et p(")
la fonction de Weierstrass associée
(avec des notations évidentes pour un modèle associé à w(")) ; les formes différentielles u(") et a;(~)
sont proportionnelles :
pour tout endomorphisme a de la courbe E. On en déduit que dans ce
cas s
est égal à s2 pour toute place v divisant p. On peut
2,v
trouver dans [31 une interprétation moins "nafve" de s
en termes de
2,v
cohomologie de De Rham.
3
- Hauteurs
p-adiques.
A tout choix de fonctions a p-adiques aux places de F divisant
p, on peut associer une famille de hauteurs p-adiques, c'est-à-dire de
formes bilinéaires sur E(F) à valeurs dans QP. Cependant, dans le
cas supersingulier, rien ne permet pour l'instant de décider quel choix
est le meilleur. Aussi, nous donnerons ici la construction plus particulièrement dans le cas ordinaire.
Soit S un ensemble de places de F au dessus de p tel que E
a bonne réduction ordinaire aux places de S. On suppose que le modele
choisi (1) a aussi bonne réduction aux places de S. Soit p un homomorphisme continu du groupe d'ideles IF de F dans ïZP' trivial sur
F' et dont les places de ramification sont contenues dans S. On note
Es(F) (resp.
) (F) ) le sous-groupe des points de E (F) qui ne se r é
duisent pas en un point singulier de la courbe E (resp. du modele (1))
et qui sont dans le noyau deréduction aux places de S. Le sous-groupe
ES(F) est d'indice fini dans E(F) . A un point P non nul de ES(F),
on associe un idele i(P) de IF vérifiant
ES'
=
1
si v archimédienne
où av est la fonction de Mazur-Tate à la place v.
La hauteur p-adique hP attachée à p est alors définie par
si P est un élément non nul de ES(F) . Cette fonction à valeurs dans
1 Z vérifie les propriétés suivantes
12 P
Dans le cas général, notons ho la hauteur construite de manière
P
analogue à l'aide des fo?ctions
oo. C'est aussi une fonction quadratique mais elle ne vérifie (ii) que pour les endomorphismes appartenant à
z.
Revenons au cas ordinaire. Un problème important concernant les
formes bilinéaires ,
est celui de leur non dégénérescence sur
E(F) e 2i: . Signalons le résultat de D. Bertrand (121) dans le cas où
z p
E a multiplication complexe par un corps quadratique imaginaire K : p
est alors décomposé dans K (p = pp*) et l'on note K le caractère dorr
nant l'action sur les points de E
torsion.
p"
Théorème. Si E est définie sur K et à multiplication complexe par
K et si P est un point de E(K) qui n'est pas de torsion, hK(P)
est non nul.
l'homomorphisme p est associée naturellement une IZ, -extension
P
Lp de F. Le problème de la non dégénérescence de < , >p est certainement lié au problème de la croissance du rang de E le long de cette
k -extension. On peut par exemple montrer par des méthodes de théorie
P
d'Iwasawa que si la composante p-primaire du groupe de ShafarevitchTate sur F est finie et si < , > p est non dégénérée sur E(F) e ZZ
z p'
E(L ) modulo torsion est de type fini ([81, [IO]). De plus, le discrimiP
nant de < , > est lié à la série caractéristique du groupe de Selmer
P
de E sur L relatif à
de manière analogue au lien entre la foncP
tion L complexe et la hauteur complexe prédit par la conjecture de
Birch et Swi~erton-Dyer.
A
-
Exemples : y2 = x3 x. Le rang de E(Q) sur k est nul. Pour toute
Z5-extension L de K = Q( 4 7 ), E(L) modulo torsion est nul.
y2 = x3 +3Yx. Le rang de E(Q) sur Z est 2. Pour toute ZZ5 - extension L de K, E(L) modulo torsion est de type fini.
2
y =
x3-36x. Le rang de E(Q)
y2 = x3- 226x. Le rang de E(8
pour tout endomorphisme a de la courbe définie sur F. On peut donc
Elle définit ensuite une forme bilinéaire symétrila prolonger à E(F).
que sur E(F) xE(F) à valeurs dans QP que l'on notera < , >p.
sur k
sur L
est 1.
est 3.
Pour ces deux dernières courbes, pour toute D5-extension de K
sauf pour la k5-extension de K galoisienne sur Q mais non abélienne
sur Ip, E(L) modulo torsion est de type fini.
4
- Hauteurs
P-adiques naïves.
Le but de ce paragraphe est de donner une construction différente
de ces hauteurs dans l'esprit de la construction & Tate.
a
- Cas général.
Nous ne faisons pour 1' instant aucune hypothése sur p (il peut
être ordinaire ou non) . Soit &(PI
1'idéal dénominateur de (x(P) 1
L1idéal dénominateur de l'idéal (y(P)) est alors Ç(P) 3. Posons
.
que nous avons eu à la découvrir. L'égalité entre h3 et hc0) est déP
montrée dans [71.
Le lemme suivant sera constanunent utilisé, aussi le donnons-nous
avant de commencer.
Leme a.
Soit v une place de S. Si f(t)
3
1 + t Rv [[tll, on a
lim pv(f(t(pn~)))/p2n=
nSi f(t)
ES')
2
si P est un point de
qui n'est pas nul (les idéaux 6(P) (x(P))
et &(P) 3((Zy(P) + alx(P) + a3)/Z) sont alors premiers à S) et 6 l'hornomorphisme sur les idéaux premiers à S associé à p.
Pour chaque place v de S, on note rv 1'unique homomorphisme de Fv dans $ prolongeant le composé de p avec l'exponentielle
de Fv:
Proposition. Soit P un point de ES(1 1(F) qui n'est pas de torsion.
Les suites
est un élément de
0.
est congru à 1 +ct2 modulo t3$[[tll,
(démonstration dans [71)
Réécrivons les formules donnant H3(P) et H2(P) sous une forme
plus maniable. Soit ml, m2, m3 trois entiers de F tels que
x = ml
-2
m3
2 et g2 =
Les idéaux g1 = (ml,m3)
m2
Y= 3
m3
3 vérifient la relation
(m2, m3)
et on peut les supposer premiers à S. Il est alors facile de voir que
ont une limite que l'on note
h3(P)
=
h2(P)
Les fonctions h2 et h3 sont quadratiques et h3 est égale à )'(h
P
(notations du paragraphe précédent) .
Remarque. La fonction h2 dépend du modele choisi (1 ) ; par contre, hg
n'en dépend pas. Nous démontrerons ici la quadraticité par une méthode
tout à fait analogue à celle utilisée pour montrer la presque quadraticité
de la hauteur naïve archimédienne. Nous la donnons ici à cause du plaisir
Donc
ûr
a
(m2 + a2 ml m3 +
7
mg) = mS(1
-
2
t(P)) 2 moduio t (pl3 (avec
Or on déduit de la relation liant ml, m2, m3 que
.
3(1 + a2t(P) 2) modulo t (Pl3
m22(l - alt(P)) = ml
D'où
En reprenant la démonstration de Cassels, on obtient le lemme suivant
fV(t(p))
avec
= 1 +
a,2+4a2
2
t(P)
3
modulo t(P)
.
Lemme b. Si P est un point delacubique ( 1 ) sur un corps k, non sinet $,(x2(P))
ne sont pas nuls simultanément.
gulier, $m(x(P))
Démonstration. Démontrons d'abord le lemme pour m = 2. On a alors
Donc, si h2 ou h3 existent, on a
1
avec
Nous travaillerons désormais avec Hz. Commençons par donner quelques propriétés des polyn8mes intervenant dans la multiplication par un
entier m. Nous avons besoin de ces propriétés même dans le cas où la
cubique donnée par l'équation (1) a un point singulier puisque ceci se
produit par réduction aux mauvaises places. Remarquons d'abord que, dans
ce cas, la multiplication par m sur le groupe des points non singuliers
se calcule par les mêmes formules et les mêmes polynômes, la loi de groii
pe étant donnée par les mêmes conditions géométriques
P +P2+P3=0 u Pl, Pz, P3 sont alignés.
1
Il existe donc des fonctions $ et Jrn sur la courbe vérifiant les
propriétés suivantes :
(i) $
, (resp. Qrn) est un polyn8me de L [al,...,a6,XI homogène
de poids m2 (resp. m2 - 1 ) si 1Ion donne à ai le poids i et à x le
poids 2;
2 - dans
est un polyn6me unitaire et le coefficient de x
(ii)
2 est m2;
L
mm
ce qui est exactement l'équation définissant le point singulier (s'il
existe) .
Pour m quelconque, on procède par récurrence. Soit m le plus
2 Supposons
petit entier tel que x(P) soit un zéro commun à $ et Jm.
d'abord m pair : m = Zn. Des propriétés (iii) , on déduit que soit
2 est nul en x(P) et alors $, l'est aussi, ce qui est impossible
$n
2 ce qui implicar n < m, soit x(nP) est un zéro commun à $2 et q2,
que que nP est un point singulier ce qui est absurde. Si maintenant
m est impair, de la deuxième formule de (iii), on déduit que x(P) est
2
2
zéro de $m+l
ou de $m-l.
Mais
2
Donc c'est aussi un zéro carnrnui
$Jmkl et de $J~+. Comme m+ 1 est
pair, cfest un zéro corramni de $'( ~ 1 )/2 et de @(m+1)/2* De m I 1 <2m
pour m > 1, on déduit la contradiction. D'où le l e m .
Lerne c. Le coefficient de xm2-1 dans le polyn6me
mm
est nul.
Donc
avec f(t) l.
mod t4RJ [tl 1
Démonstratkn. Il est facile de voir que si l'on effectue le changement
de variable x = x1 +c, ce coefficient est le même dans le nouveau poly
nûme
en utilisant la relation
.
Le l
m a prouve donc que la suite
P -2"Hcpnp,
$Jm
a une limite 2h2(P)
On peut donc se ramener au cas où al =a2=0. Mais ce coefficient est
un polynôme en al,...,a6 de poids 2. Si al =a2=0, il est donc nul,
ce qui démontre le lennne.
Il nous reste maintenant à prouver la quadraticité de
h2. Pour
cela, introduisons la notion de hauteur d'un point de F x F (plongé
dans p2(F) )
où a = al/a3, b = a2/a3 avec 1'idéal g = (a1,a2,a3) premier à S
a
et où Bv désigne l'ensemble des i tels que ai soit une unité en v.
Revenons à H = 2H2 et à la courbe E définie sur F. Soient
al et a2 deux entiers de F tels que x(P) = al/a2 et tels que
l'idéal ga = (a1' a2) soit premier à S.
Lem d. Posons
al
=
-
mp(al ,a2) et a2,
-2
(a ,a ).
P l 2
= J
On vérifie facilement que si a et b sont deux éléments de 'F
de valuation négative en toute place de S, on a
En particulier, on a
Alors
vES
Démonstration. On vérifie facilement grilce au lemne b que l'idéal
2
ga, = (a1,1, a2, 1 est égal à gi . Le leme d se déduit alors de la
définition de H.
Rappelons les formules suivantes :
Démontrons maintenant que f H(~"P) a une limite lorsque
(F) qui n'est pas de torsion. Il suffit
n -+or pour P point de
de montrer que la différence & deux ternes consécutifs tend vers O.
ûr d'après le l e m c
ES')
où b2, b4, b6, b8 sont les nombres associés au modkle (1) par Tate. La
propriété fondamentale des deux polyn6mes des numérateurs est que si l'on
fait x = x(P) = x(Q) , on obtient respectivement OZ (x) et Ji22(x).
en déduit le l e m suivant.
On
Lerne e. Soit une cubique donnée par l'équation (1) sur un corps k.
Si P et Q ne sont pas singuliers, (x(P) ,x(Q)) n'est pas un zéro
commun des deux numérateurs et du dénominateur.
Faisons le changement de variables
A(P,Q) = 1 mod ~(P)~~(Q)~R~[[~(P),~(Q)II
Mais
On déduit alors d'une variante du lemme a que
Lerne f. Les polynômes
ce qui termine la démonstration de la quadraticité de h2.
b
n'ont pas de zéros commis correspondant à des points P et Q non singuliers.
Soient maintenant P et Q deux points de ES1)(F) et soient
ul, u2, u3 trois entiers de F tels que
-
Cas ordinaire.
Supposons d'abord que la courbe E est à multiplication complexe
par l'anneau des entiers d'un corps quadratique imaginaire K contenu
dans F et que p est décomposé dans K : p = pp*. Soit il un élément entier de K divisible uniquement par p . Supposons encore que S
est contenu dans 1'ensemble des places de F au dessus de p . On peut
alors montrer exactement par les mêmes méthodes que dans le paragraphe
précédent que, pour P E
) (F) non de torsion,
ES'
iim
net tels que l'idéal % = (u1,u2,u3) soit premier aux places de S.
Soient a,, a2, a3 les valeurs de Al, A2, A3 en ul,u2, u3 et
ga= (al,a2,a3). On déduit facilement du lerne e que
6
(il suffit de comparer les valuations de 8, et
en chaque place v
finie de F) . En utilisant ce résultat, les formules (4) et le fait que
pour toute place v de S, la valuation de u1 et de u3 est strictement positive, on obtient successivement
1 H~(IFPI
-
il)^
existe et est une forme quadratique égale à la hauteur de Mazur-Tate, h;.
Nous souhaitons maintenant donner une formule analogue sans hypothese de multiplication complexe. Cependant, dans ce cas, on ne peut plus
interpréter les termes de la suite comme la valeur d'une hauteur algébrique en un point.
Reprenons les notations du paragraphe 3.c. Soit v une place de S.
Sur E(") est choisi un modèle de manière à ce que
tn = - x
toan. Notons fbn la fonction de E définie sur Fv
de diviseur
et vérifiant
f (t) =
bn
avec $(t) El + t Q[[tll.
ta
$(t)n
tP
Posons
donc a = 1.
Enfin, il est facile de voir que a (donc a') n'est pas dans le
noyau de réduction modulo v et donc que si Eu est contenu dans
appartient à %. Donc
est un polyn8me à coefEl ,v( v, a r
ficients dans %.
mu
(il aurait fallu rajouter des indices v à tous les objets définis ici,
mais nous ne le faisons pas afin de ne pas alourdir les notations). De
manière générale, si u est une isogénie de E dans E', on note fU
la fonction de diviseur u-' ((O)) - deg u(0) telle que
tdeg u
t'ou fU E 1 + t Q[[tll.
et on pose +u(P)
=
fU(P) 2 x' (uP) .
Posons
Si x(P)
al/a2,
-
%
(al,a2) est "le numérateur" de x(") (bnSvP).
n,v
Proposition. Soit P un point de E;')(F)
qui n'est pas de torsion.
Posons
=
a
Lemme. La fonction
est un polp6me en x(P) de degré m = degu , unitaire. Si le noyau de u est contenu dans El,V@J, ce polyn6me (que
l'on note encore +u) est à coefficients dans %.
de manière à ce que l'idéal B,= (al,a2) soit premier aux places de S.
Alors,
Démonstration. Si le diviseur de x' est
le diviseur de
+, est
Démonstration. Montrons d'abord que la limite existe. Pour cela, il sufp (%
(Pl) aune limite. Or, en
fit de montrer que pour vES,
n,"
pn
laissant tomber l'indice v, il est facile de voir que
'"
Mais la fonction
où qn est la fonction
fie donc
avec ua' = a a le dme diviseur. Les deux fonctions sont donc proporm
tionnelles. Si a est le coefficient de x
dans le polynôme +,
on
a
+
de llisogénie E(")
Icn (bnP)
x(") (bnP)
= 1 mod tn(bnP)
+ E("+
2
,
Elle véri-
Mais pour n assez grand,
BIBLIOGRAPHIE
On en déduit, grâce à une variante du lemme a, l'existence de la limite.
La quadraticité peut se montrer directement très facilement. Démontrons plutôt (5). Notons h' (P) le membre de droite. Il peut s'écri~
sous la forme
1 E pv(%
hl (P) = -1im n- pn VES
(p))
n,v
+
D. Bernardi.- Hauteurs p-adiques sur les courbes elliptiques. Séminaire de théorie des nombres. Progress in Mathematics, vol.
12, p. 1-14: Birkhauser 1979-1980.
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2 1 )G(P)pv(q
vgS
où wv est une uniformisante de FV en v. Pour montrer l'égalité (5),
il suffit donc de montrer que pour v E S
B. liiazur et J. Tate.- Canonical height pairings via biextensions.
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A. Néron.- Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes.
Am. of Math. 82, p. 249-331 (1965).
est la fonction o associée à la courbe E(")
Or si o
n,v
mètre tn, on a
et au para-
A. Néron.- Fonctions thêta p-adiques et hauteurs p-adiques. Séminaire de théorie des nombres. Progress in Mathematics, vol. 22
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Donc
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P. Schneider.- Iwasawa L functions of varieties over a number
field. A first approach. Invent. Math. 71, p. 251-293 (1383).
En remarquant de nouveau que
on en déduit (6) et (5).
Bernadette Perrin-Riou
L.M.F.; U.E.R. 48
45-46, 3ème étage
Université Pierre et Marie Curie
4 place Jussieu
F-75230 PARIS CEDEX 05
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
Additive relations in number fields
A.J. van der Poorten
Theorem 1. Let K be a field of characteristic zero and H a finitely
generated subgroup of ICX . Then for each m = 1 ,2,... there are at mst
finitely many nontrivially distinct relations
with the Ui in H.
(Two relations are only trivially distinct if they differ by vanishing
subsums of elements of H)
We prove this result by proving a more general result in algebraic
number fields and demonstrating that if Theorem 1 be false then so is
Theorem 2 belw.
1
-
The Subspace Theorem.
Our results are a corollary of the p-adic subspace theorem of
Schmidt-Schlickewei [61 Satz 4.1. Because of difficulties of language
and notation if seems convenient to explain how the reader might derive
the result to which we eventually appeal. In fact we quote the subspace
theorem much in the style of Schmidt [ 71 Theorem 1F , p. 1 53, noting that
this theorem is derived from the archimedean Strong Subspace Theorem,
Theorem 3A, in the pages 163-5. But Satz 2.1 of Schlickewei [61, the
Teilraumsatz für allgemeine Giffer , provides the appropriate generalization of the Strong Subspace Theorem whilst Schmidt's argument, just citai,
then yields Our allegation.
Subspace Theorem. Let S be a finite set of rational primes and suppose
that for 'each p in S U {=) we have N linearly independent forms
- = (Y1,. ,YN) with respectively p-adic algebraic coeffiLp,u(Y) in 1
cients if p is in S, or complex algebraic coefficients if p==. Set
..
11 111 = max(Iyl 1,...,I ~ ~ 1 ) .
ces of
#
Given 6 > O there are finitely many subspasuch that every integer point Y # O with
An ingenious argument of Schmidt C71 pages 272-5 permits one to
transform this result to the more natural conclusion :
Subspace Theorem for Number Fields. Suppose that for each p in
SU (-1 and o in G the n f o m M
are linearly independent.
p,oi
Given 6 > 0 there are finitely many subspaces of K" such that every
integer point S # O of Kn with
lies in one of these subspaces.
In the present sections M denotes an algebraic number field of
degree d over 0. Let {O1,O2,. .,8d) be an integral basis of X
and denote by G the set of d distinct embeddings of K into (C.
As in the Subspace Theorem let S be a set of rational primes. Then for
each p in S we may embed the normal closure of IK into
algebraic closure of the field of p-adic rationals. We assume these embeddings fixed once for all. By abuse of notation we denote the image of
an element of If , a in G, under such an embedding by the same symbols we use for it as an element of '
K
.
9
.
In the subspace theorem as cited we may for each p in S E {ml
reindex the N forms L (Y) by the pairs (i,a) , 1 5i ~ n ,a E G;
P ,u
so N = nd. Moreover we may introduce N = nd variables Xicc
l ~ i c n ,1 ~ 1 ~ 5
andd replace the components of Y by the XiU. Suppose
we set
lies in one of these subspaces.
II II
Of course the size
should be replaced by a more natural
5
measure of the vector S . The correct measure is the absolute height of
a vector as, for example, described by Bombieri C 1 1 pages 4-10. In this
case we may replace the upper bowd by h(S)-6. Given this upper bound
we remark that the subspaces admitted by the theorem may of course be a*
sumed to be of codimension 1 in Kn . Hence each of the H, Say, subspaces is defined by a linear relation
over M .
2
(x)
Then we may assume, if we wish, that the forms Lp
are in fact
In this special case the subspaforms Mp (Su) in go = (z:, ...,
ce theorem then deals with an inequality
~4.
with Il 5 11 = max (lxill
1 ) , and claims that only solution
S- # O and the Zi
S
in Kn ,
integers of K is such that there are finitely many subspaces of R~
so that the N-tuples 5 = (xn,.. ,xnd) yielding solutiom S lie in one
of these subspaces.
- Additive Relations.
We study an equation
in appropriate elements of K. O f course we identify projectively equivalent solutions so we may choose the Z to be quasi-relatively prime
j
integers of K ; this means that the ideal generated by the Z has
j
n o m bounded by a constant depending only on K . Finally we may multiply by a unit so as to guarantee that the conjugates :Z have comparable
archimedean absolute value, Say for each oEG and some E > O :
.
We Say that an (n+l) -tuple (Zo,Z1 ,...,Zn) is admissible if it satis-
...,n
ries the conditions just described and if for each j = 0,1,
tion there are only finitely many possibilities for the yhiZi and a
fortiori for the Zi unless some proper subsm of the Z vanishes.
j
If we now exclude these finitely many possibilities we may suppose
that
Here a is a sufficiently small positive constant which we detail below,
and h(S) is the absolute height of the vector S = (Z1,.. ,Zn). N is
the n o m from K to Q. Our principal result will be :
.
Main Result. There are only finitely many distinct admissible (n+l)tuples (Z1,...,Zn+l) so that Zo + Z1 + . . + Zn = O and no proper subsm
of the Z vanishes.
j
The following proof can readily be refined (see for example the irr
dependently produced argument of Evertse [ 21) but suffices for the pre- Zn and in the subspace theorem for number
sent. We set ZO = - Z1 fields we let
be the f o m :Z unless p , , = q
, in
which case M
1s the form z;. Noting that
9,Tk
...,n
But for j = O,l,
.
'
Hence
...
If q is in S then by quasi-relative primality we may suppose
k = k(q,r) so selected that
the inequality of the subspace theorem assumes the form :
Multiply the now established inequalities over the s primes of S and
the d possibilities for T to obtain
and as remarked, n-tuples
one of H equations
g satisfying this inequality also satisfy
But we also have
But if n = l the Main Result is trivial so we may proceed by induction
to assume its truth for n or fewer variables. However, subject to a
normalization, each of the H equations above is of the shape of that of
the Main Result and is in only n variables. Moreover there are at most
H possibilities for each yhi hence for each i
whilst by normalization the preceding inequality implies, Say
With b sufficiently small we then have shown
for some b, O < a < b provided only that h(g) is sufficiently large,
,us at the cost of amending the admissibility condition by replacing a
y a larger positive constant the yhiZi are admissible. Hence by induc-
...,n
for i = 1,2,
and al1 T E G which is absurd. This contradiction
establishes the Main Result. Moreover since the Main Result once again
applies to the vanishing subsums we have actually established the following :
a
Theorem 2. Let IK be number field of degree d over Q and S a
set of s rational primes; denote by N the n o m from M to Q.
Then an equation
in S-integers Zi of M
has only finitely many solutions g for which no subsum of the Zi vanishes , once, Say, nb (s+l) < l . Moreover when no subsum of the Zi vanishes the admissibility condition implies that for any embedding a of
K into C, respectively into
P for p in S, we have for each q
in S u
when h(2)-
For t = O Theorem 1 is a special case of Theorem 2. Preparing for
an induction on t we assume the truth of Theorem 1 when the generators
of H require fewer than t algebraically independent transcendentals.
Now let r denote a finite set of elements y of k with the
property that for each y # 0 in I. also ' y-1 is in r. Set
satisfying
any 6 > 0 and k~(1,2,...,n),
ra&idwhence its elements K may be taken to be rational functions
K = UK (Z,Y)/VK (5) with U
, E Z [1(,YI, VK E Z [XI, 5 = (XI,. ..,Xt) independent transcendentals over Q and Y algebraic over Q(X).
Let
FCY) = F(Yyz) be an irreducible polynomial over ZZ 1x1 with F(Y) = O
and suppose F has degree d in Y.
is big enough.
The last remark pemits the present work to be applied to obtaining
lower boundç for generalised power sums in several variables, proving the
so-called "growth conjectures for recurrence sequences"; see [ 41 and for
background 131. The degeneracy condition, to wit, the matter of vanishiq
subsums, yieds a new proof of the Lech-Mahler theorem
3 - Specialization.
Henceforth suppose that b = O in Theorem 2 so that the Zi are
admissible if they are S-units of IK, more particularly, elements of
a finitely generated subgroup of M X . Vojta [8] points out that the de= O ifj;
generacy condition may now be stated as a prohibition on Zi+Z.
J
then a solution is trivial exactly if for some i,j Zi= -Z.
J # O , or
some Z.
= 1.
1
To prove Theorem 1 we need to notice that ~ c k ' is finitely gene-
..
Then there are integers c so that with 2 = (xl, . ,x,-~ ,c) we have
V,(g) # O. It follows that if y = y (5) # O then also y (c) # O because
the denominator of y" does not vanish on specializing
to
We
suppose that
includes the generators of the finitely generated subgroup H of kX and the leading coefficient of the polynomial F. We
note that a specialization g b c induces Y k Y@,
with y(g)
a zero of F(Y,c)-.
Suppose we have infinitely many nontrivially distinct relations
+U
,,, = 1, contrary to Theorem 1. Specializing xt (and hence Y)
U, +
as above contradicts the induction assumption unless only finitely many
nontrivially distinct relations ensue. Thus there are elements of H
which are not t l but which specialize to t 1 as xt k c. We may
now Vary c subject to V, (c) # O. Noting that H is finitely generated
we obtain elements of H which specialize to t 1 for abitrarily many
admissible c. But we can restrict the admissible specializations to
show that this is impossible. For if an element of H specializes to a
root of unity then it specializes to a root of unity satisfying an equat d.
tion of degree at most d, thus to a root of order d' with $(dl) If the g be elements of H which generate some subgroup of H and
which are not roots of unity then adjoining the elements gm-l, m(dl
to r restricts the admissible specializations so as to prevent the g
specializing to roots of unity. But we are left with infinitely many admissible c, specialization to which creates new relations in H. This
contradiction proves Theorem 1.
.
. ..
.
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
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lmre Z. RUZSA
1
-
Introduction
This paper is not intended to be a systematic survey on the subject; 1 just mention some problems and results which 1 dealt with in the
last few years, mostly without proof.
2
-
Finite sets
Let A be a finite set of integers and
W.M. Schmidt.- Diophantine Approximation Lecture Notes in Math.
785, Springer Verlag (1 980).
P.A. Vojta.- Integral points on varieties (Ph. D. Thesis, Harvard
1983).
\AI
IA+AI
-AI
=n,
= S, / A
= D, where the bars denote cardinaliWrite
ty. We count the differences a - b and b - a separately and we include
the 0, which is the natural method, since in this way these quantities
will be multiplicative in the sense that if (n,, SI, Dl) and
(n2, S2, D2) are two triplets that arose from the sets A, and A2,
then there is a third set A such that
A.J. van der Poorten
School of Mathematics and
Physics,
Macquarie University,
North Ryde NSW 21 13
AUSTRAL1A
Indeed, we can take
with a sufficiently large m.
A complete description of the possible triplets (n, S, D) seems
to be hopeless. The minimal value of S and D for a given n is
Zn - 1, attained at arithmetical progressions. The maximal values are
(for completely irregular sets)
max S = n(n+l)
2 '
max D = 1 +n(n-1),
tivity arbitrary large examples can be found.
Ruzsa (1 976).
-
For a proof of (2.1) see
One of the basic works on the subject is Freimanlsbook (1966). He
proved a kind of structural theorem for sets with a small value of s
(which is too complicated to be stated here).
For symmetric sets S=D.
Conway (1967) conjectured that always SFD. The-first counterexample was published by Marica (1969). Stein (1973), quoting H. Croft,
remarked that a counterexample was essentially given 30 years earlier by
Sophie Picard (1942). She did not deal with finite sets but she gave an
example of a set X of real numbers such that X + X = R while X - X
is of measure O. Her method can easily be modified to yield an example
of S>D.
The set
A = {O, 2, 3, 4, 7, 11, 12, 14)
3
-
Infinite sets
My main concern is the hunting for special numbers (squares, primest, etc.) in sums and differences of dense infinite sets. The prototype
is S5rkijzy1stheorem asserting that the set of differences of a set having positive density always contains a square, a prime-plus-one and a
prime-minus-one (generally not a prime, just think of the multipliples
of 4).
Now let us cal1 a set H of positive integers difference-intersee
tive , if H n (A-A) # P) whenever A is a sequence of integers having positive density. For sets not having this property one can define a measure of intersectivity by the formula
p
has n = 8, S = 26 and D = 25. This example is minimal in the sense
that it is contained in the shortest possible interval. Quite probably
it has also the minimal number of elements. 1 tan show that if S > D ,
then 1117, and if n = 7, then either D=17, S = 18 or D = 19, S=20.
Writing S=sn, D=dn, 1 proved the inequalities
By the multiplicative property this is the naturally expected form of
connection. The best possible exponents in
satisfy
&(HI
=
sup
d(A) ,
Hn (A-A)=P)
where d(A) denotes asymptotic density. One can prove that replacing
asymptotic density by lower or upper density one obtains the same quantity, see Ruzsa (a).
A wide class of intersective sets was given by Kamae and Mendes
France (1978). By means of their theorem one can decide the differenceintersectivity of every "nice" sequence, and this concept turned out to
be connected with van der Corput1sdifference theorem, positive trigonometric polynomials and the Bohr topology. The following conjecture of
P. Flor (he formulated it in a somewhat different way) would give a complete characterization of intersective sets : H is difference-intersective if and only if for every finite set vl, .vk of real numbers and
E > O there is an n E H such that
..
a<
log
log 6/3
7/3
=
0.818...
,
.. .
log 26/8
6 2 log
25/8 = 1 .O344.
The inequality on 6 is shown by the set above, that on a by the set
A = {O, 1, 4) that has n = 3, S = 6, D = 7. In view of the multiplica-
.
where II . . 11 denotes the difference from the nearest integer. More on
this subject see in Ruzsa (b) , (c) .
Much less is known about sum-intersective sets, i.e. sets that intersect A + A whenever A has positive upper density. One can observe
that by replacing upper density by lower or asymptotical density we get
three different concepts. It is even more annoying that no nice nontrivia1 sum-intersective set is known.
By probabilistic methods , Erd6s and ~ark6zy(1 977) showed the existence of a sum-intersective sequence H satisfying.
where H(x) denotes the number of elements of H below x. 1 could
improve this (also probabilistically) to
Prwf. Let A c [ 1, XI be a set whose sumset A + A is disjoint to H.
If a representative of the residue class m(mod p.) can be found in A,
3
then - m(md p.) must be absent, thus at least (p +1) /2 of the resiJ
j
the number of those eledue classes must be empty. Now denoting by y
mP
ments n E A that are = m (mod p), the large sieve tells us
Considering only the contribution of p = pl,...pk and those m for
which y = O , we obtain (4.2).
mp
The smallest sets are obtained if we choose the k largest primes
below &, then we have
-2k&.
]HI
.
(unpublished) In what follows we give a construction with
this may seem weak but it is the best constructive result for the moment
being. There is a surprising contrast to the case of differences, where
it is completely obvious to construct an arbitrarily sparse differenceintersective set.
4 - A constructioii
and
Now we put
Our construction of an infinite set will be based on that of certain finite sets having good intersective properties. To formulate this
exactly we introduce the finite intersectivity masure : for any set H
and a nmber x we put
Sx(H)
Now let w(n) be a function tending slowly to m. For every n,
construct the H of the lerm with x = 2" and k = o(n) and denote it
by S. Thus
=
max
{IA~
: Ac[l, XI, (AtA) n H = @ l .
Then clearly ~(2") << 2"12 w(n),
trarily slowly.
thus H(x)/&
can tend to
arbi-
On the other hand, assFe (A+A)n H = 0 for some set A. For
Clearly if Sx(H)
not hold.
=
o(x)
, then H is sum-intersective;the converse may
.
(4.1) L e m . Let pl,. .pk be k different primes below x and let H
be the set of those nmbers n ~ 2 xthat are divisible by some of
pl,...pk. We have
we have
hence
This yields
BIBLIOGRAPHY
which shows that H is intersective.
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Imre Z. RUZSA
Mathematical Instituts of the
iiungarian Academy of Sciences
HONGRIE
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984 Birkhauser Boston,Inc.
The Iwasawa theoretic version of the conjecture
of Birch and Swimerton-Dyer
Peter Schneider
This talk is a report on some recent work in the algebraic p-adic
theory of abelian varieties over number fields. Detailed proofs are contained in the series of papers [ 5] - [ 71. Let me begin by recalling the
main problems of that theory.
We start with
a number field k/Q,
an abelian variety A/k,
and a prime number p
which, for simplicity, we assume to be odd. The most important arithmetic
invariants of A are the group of k-rational points A(k) and the
~ate-bfarevizgroup UI k(A)
.
Basic ~roblem:
and UI
(A) (pl (= p-component of M k(A) ) behakn
ved if kn varies through the intermediate layers of the cyclotomic Z P,
extension kw/k ?
How are A(kn)
(For simplicity we will consider here only the cyclotomic case although
the theory works for other ï Z -extensions as well).
P
The method due to Iwasawa to handle problems of that type is to
study the natural action of r := Ga1(kw/k) on A(kw) resp. UI (A) (p) .
k,
But if A has good reduction at the primes above p these I'-modules
fit together into the flat cohomology group H1 (O,A(p));
here
&notes the ring of integers in kW and A(p) is the ind-p-subgroup scheme of the N6ron mode1 A of A over the ring of integers O in k. We
then namely have the exact "Kunnner" sequence
1
and W b(A) (p) is contained in H (O,A) (p) with finite index. One
therefore has to study the Pontrjagin dual
which is a compact module over the completed group ring Zp[ [PI l . The
weak Mordell-Weil theorem implies that H is even finitely generated as
2Z [[FI]-module.
P
Problem 1 : (conjecture of Mazur)
1s H a ï2 [ [r] 1-torsion module if A has ordinary good reduction at
P
the primes above p ? (A consequence would be that A(koo) is finitely
generated as abelian group) .
In that case H e
zP
we put
$
is a finitedimensional vector space and
where ~(H)LO is a certain invariant describing the ïZ -torsion subP
module of H and y is a fixed topological generator of r ; furthermore
Although we will not discuss it here 1 finally want to mention the following question.
Problem 4 :
What is the iZ [[rll-rank of H in the nonordinary case ?
P
(A discussion of that problem with some partial results is contained in
i71).
From now on we always assume that A has ordinary good reduction
at the primes above p ! 1 want to describe in this talk a partial solution of Problem 2. But 1 should emphasize that in the case of elliptic
curves with complex multiplication similar results were obtained by
B. Perrin-Riou [41 and J. Coates [Il.
1
- The descent diagram
A first important task is to see the precise relationship between H and
the invariants A(k) and Ulk(A) (p). We have two spectral sequences
where the abutment is a cohomology theory for sheaves with r-action.
Basic fact : nrA(p)
=
A(p).
Using that and the fact that cd r = 1 we get the exact diagram
P
where K : F + 2ZX denotes the cyclotomic character is called the
P
Iwasawa L-function of A (with respect to pl.
Problem 2 :
Prove a formula of the Birch/Swinnerton-Dyer type for Ip(A,s)
(if A is "ordinary at pl') !
at s = 1
But already in order to formulate this problem more precisely one first
has to solve the following one.
Problem 3 :
Define a p-adic height for A !
*
furthermore f denotes the map which is induced by the identity on H.
2
-
does not depend on the special choice of the generator y Er ! Using
the exact sequences
"Local analysis"
By local considerations one proves the following result.
Proposition :
n A(rP) (p))2 where rp
P1 P
denotes the residue class field of O at P ;
is surjective.
ii) the map H2(O;A(p)) -+ H2(Ow/O,A(p))
i) H~(O,R'~~~A(~))is finite of order
(
Here Our assumption "A ordinary at p" is used in an essential way.
Apart from Our ignorance of H2(o,A(~))~ (which can be circumvented la
teron) we thus have solved Our first task.
3
- The algebraic
p-adic height pairing
Let A, resp. A, denote the dual abelian variety, resp. its Néron
mode1 over O. We put H1 (0.T (A)) := lim H1(O,A J . The sequence of
P
f
P
"laps
we get, by restriction of <<, >>p, a pairing
which we cal1 the algebraic p-adic height pairing:
Theorem 1 :
Under the assumption that < < , >> is nondegenerate we have :
P
2
il H (o,A(p)) = O ;
p
II
ii) H is a i2 [ [rll-torsion module ;
P
iii) L (A,s) has a zero at s = 1 of multiplicity
P
1
:= rankz H (O,T (A))
with leading coefficient
P
P
.
global duality
H2(0,~(P))*
injective with
finite cokernel
T
HZ(o_/o,~(p)1*
where %(A)
denotes the group of rational connected components of the
reduction of A at P and 1 is defined to be the order of the kernel
of the map
f
H
then determines a pairing
<<, >> : H1 (o,T~(A)) XH~(O,T~(A))
furthermore, the modified pairing
-
Div H~(o,A~(~))--t Div H'(O,A(~))
$
N
;
'
,
N
resp. 1 analogously for A. (For any abelian group M we denote by
Div M the maximal divisible subgroup and we put MDiv := M/Div M).
The proof of that theorem consists in a careful study of the descent dia
gram. The main difficulty is to show the vanishing of H2(O,A(p)) which
requires additional "local analysis" using a relative cohomology sequence
4
- The comparison theorem and its consequence
There is a canonical (or analytic) p-adic height pairing (see [SI) :
1 O
For any a= (O + 4, + X + A0 + O) E ExtO(A
= A(k)
we have the exact sequence of points in the finite adeles A of k
,A)
N
BIBLIOGRAPHY
The homomorphism v := 10% o K reciprocity : O,(A) + Z$ extends in
X(A) + $. By restriction to
a natural way to a homomorphism
"3
global points vN induces a map v, : A(k) + $ and we put
a
a
'
[Il
J. Coates.- Infinite Descent on Elliptic Curves with Complex Multiplication. In Arithmetic and Geometry,'Papers Dedicated to I.R.
Shafarevich, vol. 1. Progress in Math. vol. 35, 107-137. BostonBasel-Stuttgart : Birkhauser 1983.
[21
B. Mazur.- Rational points of abelian varieties with values in towers of nimber fields. Invent. Math. 18, 183-266 (1972).
[31
B. Mazur. - Canonical Heights via Biextensions. In Arithetic and
Geometry, Papers Dedicated to I.R. Shafarevith, vol. 1. Progress
in Math. vol. 35, 195-237. Boston-Basel-Stuttgart : Birkhkiuser
1983.
[41
B. Perrin-Riou.- Descente infinie et hauteur p-adique sur les coup
bes elliptiques à multiplication complexe. Invent. Math. 70,
369-398 (1 982).
[SI
P. Schneider.- p-Adic Height Pairings 1. Invent. Math. 69, 401-409
(1 982).
[61
P. Schneider.- Iwasawa L-Functions of Varieties over Algebraic
h b e r Fields. A First Approach. Invent. Math. 71, 251-293 (1983).
[71
P. Schneider.- p-Adic Height Pairings II. To appear.
[81
J.-P. Serre.- Sur les groupes de congruence des variétés abéliennes
1, II. Izv. Akad. Nauk SSSR 28, 3-20 (1964) and 35, 731-737
(1971).
Theorem II :
For the proof of this result we have to develop a modified flat cohomology theory for rings of integers which has a "degree map" into Lp (like
in the function field case) and in which ( ,)p has an interpretation as
a certain Yoneda pairing followed by that degree map. The comparison then
consists in long and complicated cohomological computations which in the
essential step are based on a result of Serre about the vanishing of the
congruence kernel for abelian varieties.
Theorerns 1 and II together imply the promised partial solution of
Problem 2.
Theorem III :
Assume that Ul k(A) (p) is finite and that ( , )p is nondegenerate. Then
L (A,s) has a zero at s = 1 of multiplicity p := rankz A(k) with
P
Of course, we conjecture that
clotomic case).
(
, )p always is nondegenerate (in the cy-
Peter Schneider
Fakultat für Mathematik
Universitatsstrasse 31
D-8400 REGENSBURG
Séminaire de Théorie des nombres
de Paris,1982-83
@ 1984Birkhauser Boston,Inc.
Ulrich STUHLER
Introduction : Let Y be a smooth camplete curve over the finite field
k = % with q = pd elements, K = k(Y) the corresponding field of
c Km resp. the local
algebraic functions, w E Y a closed point,
ring at m, its completion and the completion of K at W. Let
Spec(O) = Y {ml, so O is the ring of holomorphic algebraic functions
with eventual poles only at m.
oc
.
h
Our object of interest are the unimodular group GL2(0) as well
as its subgroups of finite index rc GL2(0). These groups act on the associated Bruhat-Tits complex Tm(of PGL2 (Km)), but also on the p-adic
analogue of the Poincaré upper half plane, il := Pl (ml \BI (Km), introduced by M o r d and Drinfelldin [91 and [41.
In [41 Drinfelldconsiders curves MI as solutions to the moduli
problem of representing the functor of elliptic modules (with 1-level
structure) over K or even over O. These curves are closely related
to (but not the same as) the curves MI, considered here. Drinfelldcomputes the cohomology of the MI and uses it to establish a non-abelian
reciprocity law for modular representations ot the adéle group GL2(AK),
special at W.
The aim of this paper is much more modest :
(1) To construct the quotient MI, as well as its reduction at m for
small enough r. As an application this allows to determine the a-adic
points Mr (Km)
.
(2) To compute the cuspidal cohomology of MI, using the spectral sequence of vanishing cycles. In [41 and also [31 this is done differently
using an ad hoc version (HO and H1 ) of étale cohomology for rigid analytic spaces. One could work for al1 of this entirely in the category of
forma1 schemes over Spf(o), but it is one of the purposes of this pa-
per, to consider also the category of rigid analytic spaces to show the
interrelation of these two categories, described in an abstract setting
by Raynaud (see [Il 1, but for details also [1 O]), in a concrete situation.
At the end of this paper we discuss certain examples and questions,
which turn up in this context.
1 would like to thank M. Rapoport for some very interesting discu*
.
sions
1
-
(A).
Trees and M o r d 1 s schemes
Trees : ([121)
We remind the reader of the construction of the Bruhat-Tits complex
(tree) of PGL2(Km) .
This is a simplicial complex T (sometimes in this paper also d e
noted T(KCo)) : the vertices are similarity classes of O-lattices (of
rang two) in K~ (or, what is the sarne, ô_-lattices of rang two in
Km), where two lattices Al,A2c~' are similar, if there exists XE<,
such that X Al =A2 holds. [Al denotes the vertex corresponding to a
lattice A. The one-simplices of Tm,TCo(l), are of the form
<[Al, [A1l>, where A2A12700 A, 700 a uniformising element at m. Tm
+ 1 ) neighbor vertices,
is a tree, where each vertex has exactly
where dm := [k(w) :kl is the degree of the residue field at m. GL2(KCo)
acts on Tm by g [A1 := [g(A)1 for g E GL2(Km) So we have an induced
action of the groups r cGL2(0). These groups r act discrete on Tm,
that is, with finite stabilisers.
for the realisations of the corresponding complexes. i) is defined by
sending [Al
&(L,) 1, r(x) for x E
1 is defined as
[A e
OCo
the end point in 1 T(KCo)1 of the unique path from x "to 1 T(KCo)1
)=L(TI
A
-
Remark : Suppose x = [Al ET(LCo) is a vertex. One f o m the lattices
(nl A f
,):l
K
(i E Z) , these will determine a (perhaps degenerated) oneLm
simplex in T(K-1 and r(x) is on this one-simplex. If Lm is not ramified over Km, r(x) will be actually a vertex again.
(B).
From trees to schemes
If [ 1 E TCo(o) is a vertex, we can associate the projective line
This scheme is equipped with a speciP(A) = Proj(S3 (A)) over
o.
Co
fied embedding
(ta
.
K2.
induced by the embedding A
We consider finite subtrees ScTCo. We have a diagonal embedding
P'/K
-%
We need two more concepts :
1 ) An
of T is an infinite path in Tm without double points. Two
ends are equivalent if they are the same except for finitely many vertices. The set of ends can obviously be identified with Pl(Ka).
2) There is a metric d on 1 ~ ~ 1where
,
d([A],[A1l) =n, when there
in
are (n-1) vertices between [Al and [A'], d is extended to
the obvious way.
Definition 1 : P (S)
:=
n
P(A)
[AIES
1
AS(P /K) , the Zariski closure.
Proposition 1 ([9, Proposition 2.11, [8, Corollary 8.41) P (S) has the
following properties :
IT~I
Functorial behavior : Suppose, we have a finite field extension
K -+ Lm, then there are maps
".
i) It is a smooth twodimensional projective scheme, defined over
o.
ii) The morphism P (S) + Spec(Om) is flat, with one-dimensiona1 fibres. The generic fibre P (S) is Pl/K
.
iii) The special fibre P(S)
is a graph of projective lines,
287
dual t o the graph S; that is, the vertices of S correspond t o the
irreducible components, which are projective lines over k(m), the edges of S correspond t o the intersection points, which are ordinary
double points.
Proposition 3 : B(Tm) has the following properties : [9, Prop. 2.41
i)
over
I t is twodimensional, srnooth, locally of f i n i t e type, defined
SpedqJ
I t is f l a t over Spec(0J with generic fibre P 1/K and spec i a l fibre P(Tm)(o) a graph of projective lines, dual t o the tree
ii)
Remark : If SI 2S2 are two f i n i t e subtrees, one has the obvious projection P(S1) + P(S2) , which i s a composition of blow-up maps.
One obtains a canonical projective system, but t h i s i s not the thing one
wants.
E P (S) (KI is a point on the geSpecialization of points : Suppose,
neric fibre of P (S) , given by the morphism 6 : Spec (L) -+ P(S) ,
where L/K i s a f i n i t e extension. Suppose, O' C L is a discrete valuaK.
tion ring lying over
Oc
One has a unique extension Spec(O1) + P(S) by the valuative criteO'
of which
rion of properness , the reduction Spec( /*, O ) + P (S)
can be determined as f o l l m : First of a l 1 it i s enough t o do t h i s for
the case S = {[Al 1 of a single vertex by the construction of P (S)
Furthermore 5 determines an end i n the tree corresponding t o the 0'2 There is a unique path of t h i s end t o the vertex
lattices in L
[Al,
.
.
the l a s t edge of t h i s path determines a closed point on P (A/irmA), the
specialization of 5 we looked for.
Construction of B (Tm) :
Consider P (S) again. With a vertex [A] E S we have only f i n i t e l y many neighbor vertices [A1] $ S. These correspond t o certain k(m) -rationa1 points on the component of P (S)
corresponding t o [Al. We remove thesefinitely many rational points and obtain an open subscheme
1
P (S) l c P (S) with generic fibre s t i l l P /K
.
Proposition 2 : If S l c S 2 are f i n i t e subtrees, one obtains a canonical open embedding P (SI ) l -+ P(S2) l .
Therefore one can form the inductive system (P(S) ' )
subtrees ScTm.
Définition 2 : P(Tm)
-
Tm
Action of GL2(Km) : GL2(K) (and also GL2 (Km)) is acting in an obvious way on the scheme B(Tm) and therefore gives an induced action
of the subgroup r on P(Tm) This action i s discrete on the special
fibre, because the action of r on Tm i s discrete. But it is not discrete on the general fibre. A method t o improve the situation i s t o go
over t o the associated formal scheme.
.
is the forma1 scheme over Spf(Om) obtained by completion along the clsed fibre of ( P (Tm)/Spec (%))
Remark : On P(Tm) the action of the group
2
A)
-
r
i s discrete.
Formal schemes and rigid analytic spaces, applications
Results of Raynaud :
By results of Raynaud (11 1 1 , see also [91 and [IO]) there i s a
close comection between the category of forma1 schemes over Spf(û,J
First of a l 1 (and
and the catégory of rigid-analytic spaces over Km.
t h i s i s what we need here) there i s a functor
forma1 schemes
/spf (Orn)
-
rigid-analyt i c
spaces/Km
over a l 1 f i n i t e
-)
:=1p(P(S)')
(SI
This we cal1 b b f o r d l s scheme, associated t o the tree Tm.
constructed as follows :
(xlrigid
forma1 subschemes
as a point s e t i s the s e t of reduced irreducible
of f i n i t e type over
.
P(TW)(O)
spf
(O,), not
contained i n the special f i b r e
A
a
K)
(Here
is the integral closure of
in
Using G r o t h e ~
dieckls existence theorem one sees that these are precisely given by elements 5 E P l
) which have a specialization t o the special f i b r e
is a condition, because P(Tw)
i s no longer proper)
(
t
h
i
s
P(Tw) (O)
(K
f i n i t e over
Spf(OJ,
not contained i n the special f i b r e .
i i ) We cal1 Max(x) the s e t of closed points of the underlying
topological space xo of X. One the has the specialization map
sp : Xrigid
z
iii)
Suppose,
-
Max (x)
(znxo)
3
is open and affine. Then sp-' (Un Max(xo))
xrigid with affinoid ring of functions
In t h i s way xrigid obtains the structure of a r i g i d
Ucxo
w i l l be an affinoid subspace of
(r(U,O ) e , Ka).
*m
analytic space with a specified pure covering ( [ 6 ] ) which w i l l give back
the reduction x0 of X.
.
But
a) a point 5 of P l (Km) does not specialize t o a point i n the
special f i b r e P (Tm) , because f o r any f i n i t e subtree S c T 5 spe\ P (S) t0).
c i a l i s e s t o ( P (SI
6) i f 5 E Pl (T(,)\ Pl (Ka) , it w i l l be i n some P l (Lw), Lw/Kw
f i n i t e . 5 determines an end i n T(Lw), the t r e e corresponding t o Lw,
therefore determines a unique path i n T(Lw), "joining" 5 with
1 T(Km)1 c 1 T(Lw)1 This path enters somewhere the t r e e 1 T(Kw)1 i n a
vertex v or an edge e. Choose S large enough, such t h a t v or e
w i l l be i n the i n t e r i o r of 1 SI , then it is h e d i a t e , that 5 special i z e s t o P (S) < , therefore t o P (Tm)(,).
q.e.d.
Using the specialization map sp, we can construct specific affinoid subdomains.
.
Remark : Raynaudls r e s u l t s more precisely concern the problem t o describe the rigid-analytic category as a localization of the category of formal schemes with respect t o a s e t of morphisms, which are essentially
blow-ups i n the special f i b r e .
B)
Applications t o
P(Tw) :
Pl /k (-1 y
a l 1 the (k(m) -rational
points removed
Proposition 1 : Considered over the algebraic closure Kw over Km,
.
r i g i d as a point Set is given by
Indication of proof : We have t o consider the closed irreducible forma1
subschemes
I t is easy t o compute sp-' (U) for sp : 0
(up t o applying an element g E E L 2 (Km))
+
P(Tw)
One obtains
where B 1 ( a ; l ) = { ~ ~ R ~ l d ( ~ ; for
d < ia tl m = ( l , O ) E P l ( l L ) ,
9
open unit bal1 around a . F u r t h e m r e
the
,
2) Suppose [Al1,[A2] are neighbor vertices in Tm, s the intersection point of the two corresponding components in P(Tm)(,).
(again up to applying an element g E PGL2(Km)) , where
tem of representatives of (ô / 2).
.1 is a sys-
{ S .1 3
m'
C) The map to the building :
picture :
'(9
) (O)
In [41 and also (31 there is used a map p to the tree to describe affinoid subdomains as inverse images. We indicate this as well as the relation to the specialization map. So, one has a diagram
taken out rational points
except s
(O)
One obtains (again up to g € PGL2(Km))
where p is defined as follows :
1 can be identified with the space of similarity classes of n o m on
KZm:
Ex.g. suppose A CK? is an am-lattice : We can associate a n o m
IT
3)
Let
picture
taken out
rational points
By interpolating in an obvious way, any point X E 1 ~ defines
~ 1 a simila2
rity class of n o m on Km and by a theorem of Goldmann and Iwahori any
similarity class of n o m can be obtained this way. Now for
z = (zl,z2) E Q one associates the n o m p(z) by
2
for (xl,x2) E Km.
- Using p one =an describe specific rational domains in the form p-l (V),
as can be found more explicitly in [31. For example, the three domains
defined above can be obtained as p-l (V) for
,
1
.>
V = [Al
t r e I I , paragraph 2 1
a vertex
s (x)
v = /\*'\
3.)
3
-
,
where gy
A closed subset M c 1
is bounded below on M.
a l 1 edges going out from [ A l .
-
is the genus of the curve Y
~ , is
~ compact
1
modulo
i'
if
the function
?
f o r small
k(m) and
of some facts
of f i n i t e
.
.
I f x E T is a vertex with s(x) < O , then there is a unique neighbor x1 = : t (x) of x with s (Xl) = s (x) - 1, whereas f o r a l 1 other
neighbors x1 ' x1 of x s (x l 1 ) > s (x) holds ( t h i s is of course the
useful f a c t observed by Mumford, t h a t an unstable vector bundle of
rang two has a unique l i n e subbundle of maximal degree)
.
For simplicity we assume i n the following deg(m) = (k(m) : k)
=
1
Reduction theory :
The structure of (i'xTm) =: X is described i n 112, chapitre I I ,
paragraph 2.31. One has a decomposition X = XI U y2, where il is
compact, but i n general complicated, whereas
X2 is a f i n i t e disjoint union of cusps looking as follows.
i' operates on Tm : To any vertex x = [A] one can associate the data
(02,A). There is E(x) , a locally free sheaf on Y (vector bundle) associated t o t h i s , given a s follows :
a) E(x) = K 2 , the s t a l k a t the generic point ri E Y.
b)
-
r(Spec(O),E(x))= O'CK
C) E(x)_
II
A
E(x),
II
~2
2
=
E(x)
rl
comtes
'
- -
Remarks :
introduce
(n
i ) E(x) is determined up t o tensorisation with some Oy(m)
nE Z , because A is only determined up t o scalars.
i i ) I f x = x l mod ,'i
sense above of i )
.
We denote by deg(E)
then E(x)
and E(xl) are similar i n the
the f i r s t Chern class of the vector bundle E.
Definition 1 : The degree of s t a b i l i t y of
E(x)
is
s (E (x) ) := min { -2deg (L) + deg E(x) 1 L a l i n e
subbundle of E(x) 1
.
XI ,X2
we assume now :
I c O
#
is,
.
As was already said before, we assume deg(m) = (k(m) : k)
is a rational point on Y :
=
1,
that
De f ine
XI := the subcbmplex of
s(x) 1 - 1 .
Ta
X2 := the subcomplex of
Tm, generated by a l 1 vertices x E T with
s(x) 1-1.
In f a c t s (E(x) ) only depends on x, so we can write s (x) We have
the following well lmown r e s u l t s , most of them t o be found i n [ 12, chapi-
s
Suppose, 1 O is an ideal, rI = {y E GL2 (O) 1 y = 1 mod 11 the corresponding congruence subgroup I f the s t a b i l i s e r (rIIx 1, then
s (x) < O. (that is E (x) is a so called unstable vector bundle)
The s t a b i l i s e r (I'I)x consists then of unipotent elements.
Construction of the quotient, compactif ication
In t h i s section we w i l l construct the quotient i'xQ
a s well as h i s reduction over
enough subgroups r cGL2 (O)
the compactification. To do t h i s we f i r s t remind the reader
about the reduction theory of GL2(0) and i t s subgroups i'
. index, best presented in [ 121 .
A)
2 gy
.
We have
generated by a l 1 vertices x E Tm with
i) r(a)
i) X1 and X2 are r-invariant by their very definition.
ii) X1 U X2 = Tm
xia) is a disjoint union of the xia), where
U
a€B1(KI
[Al = x € X2 belongs to xiU), if the unique line subbundle in E(x)
of maximal degree defines the direction a € ]Pl (K) in the generic fibre
'K of E(x)
iv) X2 =
.
If for y€TI, y.X2nx2
cular y will be unipotent.
V)
Definition 2 : We pose
and r(x 1
acts free on the
/r (x,
9
neighbors of x2 different from t (x2). (x2 unstable !1
ii) r(u>
iii) FI acts free on X1
t@
xi := r1 X
holds, then y(a)=a,
inparti-
=
=
r(x) cr(x2)
z
Proof : Easy
L e m 2 : We have the open embedding U(u) + V(x2) and r(x2)
on V(x2).
The quotient r(x2) \V(x2) := V(x2) exists.
acts
Proof : Clear, because V(x2) is the forma1 completion of something quasiprojective algebraic and r (x2) is finite.
We obtain
i (i = 1,2)
Definition 1 : In case i) of L e m 1 we put U(a) = R(a)
B) Construction of the quotient
We will do these constructions in the category of forma1 schemes,
but point out the relation to the rigid analytic category. We consider
the action of r := rI on P(Tm). We have the subschemes Pl, Pz and
P:~) for a E Pl(K) corresponding to the subcomplexes XI,X2 and
introduced above. The open subschemes
(PZ)0 and
are
configurations of projective lines corresponding to the dual complexes
of x1,x2 and x:~) for a € (KI .
x?)
If a = tx1,x2> denotes a 1-simplex in Tm, xi := [Ail (i = 1,2),
we put
ii) In case ii) we put
U(o)= R(o) \U(o)
- - V(x2)
a) The quotients U(o) fit together on intersections. By glueeing one
obtains the forma1 scheme r \ P(TJ
as a quotient.
is locally of finite type and flat over spf(L).
(I'\ P(Tw)) (O) is a complex of projective lines over k(w),
the sinplicial set (r \Tm).
.
L e m 1 : Suppose a = txl,x2> as above, s(xl1 > s(x2) for the stability degrees. Then one has for the stabilisers either
V(x2)
Theorem 1 :
C)
where the 2 . = In. 1 are the neighbor vertices of xl The U(O) form
1
1
an open affine covering of P(TJ. We will construct the quotient
r\ P(Tw) by glueing the quotients of R,\U(u),
Ra the equivalence relation induced by r on U(a).
:=
Y(X2)) under the composed
map U(a)
b) T\P(T_)
We denote
:= im(U(o)
U(u)
dual to
d) I'\ P(Tw) has singularities precisely in those points x = xO corresponding to the 1 -sinplices O of (r \ Tm) with stabilisers r(a) 1.
These are singularities of type An, where n = 1 r (O) 1 .
Proof : We indicate the computation of I' (O)\U(o)
ii) beeing quite similar.
Suppose
in case i) above,
r(a)
acts by
e-e
f-
1
r
P(Tw), a semistable fonnal (non proper !) curve
over spf(L).
ii) The corresponding regular model (r \ P(Tm) ) "
i)
f+be J
where b E B c a is a finite additive group, BgI'(a).
Then
P (Ix, ,x21) c P (A1)X B (A2) is given in bihomogeneous coordinates
(xl,x2) and (y1,y2) by the equation x1y2= rmx2y1 . The only singular point on this scheme is obviously the point so.: xl = 0,x2= 1,
y2=l, y1 =o.
\
2) Using the results quoted from reduction theory we obtain a decomposition into parts corresponding (r \ Pl) with special fibre dual to
necessary because r acts free on XI) and
to the ends a E r \ Pl(K)) (finitely nany ! 1
with special fibre dual to ((a) ,
looking "in the end" like
-, b = - we obtain the equation xy =
X1
with the actkm
X2
Y1
TmY
of B 3 b given by x k (x+b); y b
The relevant ring of invariants is
Putting x =
sY.
3) It would be no problem to show directly at this point that we are in
an algebraisable situation, using an appropriate ample divisor.
where
C) Construction of the quotient, the rigid-analytic situation
As the action of
R = (Km\KJ , it is immediate to construct the quotient . Obviously one
has
This outlines a proof of the theorem
Remark : We denote by (r \ Tm,w) the weighted graph r \ Tm equipped
with the weight function do) = Ir(o) 1, the order n of the %-singularity %.
Définition 2 : The blom-up weighted graph (r\Tm,o)* is a graph obtained from (u\ Tm) by subdividing any 1 -simplex a into w (a) 1 simplices.
which is
Theorem 2 : There is a minimal regular mode1 (ï\P(Tm))",
flat and locally of finite type over spf
(r \ l'(Tm))
is regular
obtained from i \ P(T_) by blowing up the singularities. (r \ P(Tm) )
is a graph of projective lines dual to the graph (ï \Tm,w)".
(a)
-
Proof : Clear by using standard facts about %-singularities.
Remarks :
1)
r is fixpoint free on the rigid-analytic space
One therefore obtains an explicit description of the quotients
One can even cover 52 such that the induced covering on r\R
a pure covering, so that one can obtain the reduction.
will be
One can work with coverings by subdomains of R of the form p-l ( 1 a 1 ) ,
a E Tm(l ) a one-simplex, and similar domains (see cases i) and ii) in
Lemma 1, B) above).
We have
clI
I=
B O ;
u
B1(a;,)
aEk (a)
A
The group r (a) = B will act by z t-, (z+b), b E B c O. One can constnict the quotient by forming p(z) = n (z+b). This polynomial identi~EB
fies r (a) \ p- 1 ( 1 a 1 ) with a p-adic domain again of the form
'
B(0;1)\
U
j
B1(a.;T.) with
J J
T. EQ,
J
O j ~ < .1 .
J-
Proposition 1 : For large enough N eI induces an analytic isomorphism
D) Compactification
We will compactify the different domains r (a) \nia) by adding
cusps sa. To do this it is enough to consider the case
a = m = (1 ,O) E Pl(K) because we can use the group action of PGL2(Km)
again.
We put x~)(N) :=
EX?) I ~ ( z ) ~ - N Ifor
Definition 1 : For z e n = (RW\~-) weput
the irrational absolute value of z.
NEN.
where lim uN==.
w
>
Proof : eI induces an isomorphism
T[ (see [41) . There(
fore eI is injective on (r(-)\n:'(N).
Surjectivity follows easily
from the following consideration : Choose h c K~ compact, such that
1 + k = Km. z É
(N) can be written z = ro + li, where li E Km, 1 zOl
minimal. Furthermore li = X1 + X2 with XI E 1,f X2 E h, so that
eI(z) = eI(zO) + eI(A2).
If N is large enough, one has
1 eI(zO)1 > 1 eI(X2) 1 for al1 possible X2 E k . This is the condition to be
imposed on N. We then have 1 eI(z) 1 = 1 eI(zo) 1
~2)
lzlir :=min{lz+Xl IX€Kw},
.
L e m 1 : One has
Using these facts the Proposition follows.
Proof : It is clear that p(zl) = p(z2) for the building map
p:n + ITwI implies Izllir= Iz21ir. Therefore z b lzlir indu
ces a map (TwI + R which furthermore is invariant against the acticn
1 A E Km} cGL2(Kw). Therefore one has to compute
of U(KJ =
z b 1 z1 ir only on the real line in 1
, generated by the vertices
2
n E ZL , e = (1 ,O), f = (0.1) in Km. This can be left to
lame +ml,
the reader.
(i i)
T~I
We now consider the map
Using this n?)(N)
can be compactified with the help of eI by adding
just one point, the cusp sw. Doing the same with the other finitely
many cusps one obtains the compactification (rG).
For this one can find a pure covering by replacing the tails corresponding O?) (N) with the pure covering, which yields P?) (N) , by the
image of B(O;%)
under eI.
Aitogether this gives a forma1 scheme Ar over spf(t), which is regular, flat and proper over spf(ôw), with special fibre the dual graph
the finitely many ends replaced just by single liof (I'\Tw,w)",
nes. Finally there are two more steps to be done.
a) The obtained forma1 scheme can be algebraisised. This is clear because the dimension is one and the forma1 scheme is proper.
0)
(remember : r = rI. Actually we could have worked with any subgroup i'
of finite index in GL2(O) , without elements of finite order prime to p)
il
ii)
eI(zl + z2) = eI(zl) + eI(z2)
for z1, z 2 ~ K w
eI(z + A)
for XE 1.
=
eI(z)
.
q.
-
The following Lema is well known (see [41 e.g.1
Lem 2 :
There may be still projective lines in the special fibre with self
intersection number (-1 ) Starting out from the cusps these can be
successively removed by contraction until one cornes to a component,
intersects more than two components, where one
which in (r \ P(Tw))"
One obtains
has to stop. We cal1 the resulting scheme
Theorem 3 : The compactified rigid analytic space (r \a)
lying scheme structure
over spec
such that
3
(a),
has an under-
1 ) "~pec(Ô_)
is a twodimensional projective scheme, flat over
E
Spec($) , with the singularities of the structure morphism only ordinary
double points in the special fibre.
Here
2) The special fibre
is a graph of projective lines dual to the
subgraph 1 of (r \ Tm,w)", obtained by deleting al1 the ends leading
to the different cusps from the first vertex with more than two neighbors
on.
:= Spec):K(
ihr
:=
spec
,
(CI.
One has the following well known results, for which we refer to
SGA 7 II, "Groupes de Monodromie en Géométrie Alge'brique", in particular
to the Exposés XIII, XIV, XV by P. Deligne.
Remarks :
i) One can deternine the Km-rational points $(Km)
ning al1 the k(m) -rational and regular points on
(O).
done immediately by looking at the graph X.
(q)
by determiThis can be
ii) ünder particular circumstances (e.g. K = k(t), Y = Pl/k a
projective line), it is easy to see, that this will be only the points
specialising to the cusps.
4
0,
1)
One has the Leray spectral sequence
2) By the base change theorem for proper morphisms for the &ale cohomology we have
- The cohomology of modular curves
(q
We want to determine the cohomology Hl
e
K,'Kmi QR ) as a
G~~(K'/K_)-module
(where :K is of course the separable closure of Km,
R # p and cohomology is étale cohomology) . This is done in [4] and also
in [ 31 for the modular curves MI, closely related to the MI. considered above, using an ad hoc version (only HO and d ) of étale cohomology for the category of rigid analytic spaces.
1 prefer to do this computation here using the spectral sequence of
of vanishing cycles. This rnethod has been used in the theory of modular
varieties already by several people (Langlands, Rapoport , Zink) under mo:
re complicated circumstances.
We consider the extended curve (Mr/L ô"_') = :
over the maxiof ;_.
mal unramified extension
y
We have the commutative diagram
"s
-
One therefore defines :
the sheaf of vanishing cycles.
3) The foiiowing facts are hown for .u(q) :
ii) 'y(1)
is a sheaf concentrated in the singular points of @r)O.
. iii) 'y(q) = 0 for
qz 2.
%)
4) To any singular point x €
;sing there is associated a vanishiqg .
1 These
cycles
are perpendicular to each other
cycle 2 Sx E H (Mns; Q,).
with respect to the canonical pairing on H1(M ; 0,) to PR(-').
s
s nr) denotes the inertia group, Itc 1 the subgroup
5) If 1 := Gal(K-/Ka
corresponding to the maximal tamely ramified field extension of Ka, one
has the isomorphism
:=E
Spec
c sPec(k)
I/I+
ZR(1 ) via the maps
for some uniformising element n at
Then 1 is acting on a E H1($)
"s
m.
; Q2) via
This is the Picard-Lefschetz formula. Using these info~mations,we obtain
the exact sequence
where for x E al) with vertices y1,y2
holds .
Looking at 1, the simplical complex dual to the configuration of lines
considered in the theorem in paragraph 3, B) , we have
in
q)
Proof : Apparently well known.
Remark : This gives an orientation on the xEX(1)
Pro~osition1 : One has
X=
(group cohmlogy) with a trivial action of
G~~(KZ,~(_K_).
by putting
<Y1,YZ>, if E(x;yl)=-1, E(x;y2)= + l .
Definition 1 : By a harmonic function on Tm with values in the abelian
group A we understand a function
ii)
T_(l)
the set of al1 1-simplices of Tm equipped with an orientation,
such that
iii)
Proof : ii) and iii) are clear from points 1) -5) above. i) follows, because
but 1 is a deformation retract of the complex (r\T_),
therefore
ii) I: o(<y,yO>) = O for al1 y
. E Tm.
Y
Definition 2 : We denote by fl1 (T_;A) these harmonic functions,
H1 (T_;A)~ denotes the I'-invariant harmonic functions and finally
H1 (T_;A)I' the i'-invariant harmonic functions with compact support rnodu10 r.
,
-
Lennna 2 : Suppose o E 1, T ; - 11 . Then the support of o, supp(o),
(1); where pr : T
r \ T is the projection
is contained in
Lennna 1 : The following diagram is commutative :
.
Proof : Suppose x = <y1,y2>, w(x) O and x 4
(X) Suppose first,
ryl {1. But then r acts transitive on al1 1 -sinplices <y1,y>,
Y1
,tyl> it would follow from condition
y t(yl). So, if <y1,y2> ql
,y2>= <yl,t(y)>
ii) of Definition 1, that o(<yl ,tyl>) 0. ûthemise q1
and we could repeat the argument with y2 instead of yl. It would follow by repeating this argument that w had no compact support modul r.
q.e.d.
Lemma 3 : One has
t
t
tion of Gal(KZ@)
is trivial on the constituents ZR,ZR(-1)
. Furthermore the pairing
-
(~,d
~(a)- a for rEIt, aEZR(-1) ,
which is bilinear, should be the canonical map ZR(l)e ZR(-11=& ZR.
It is clear that this gives an action of Gal(K1/Kw) on C e OR(-1).
which is called the special representation V
SP'
Theorem : One has an isomorphism of G~~(K:/K~)-modules
Proof : Consider the map
Proof : We have seen that we have an extension
where we use the orientation imposed on the xEI(1) above in the remark
after Lemma 1. This will be well defined bv Lemma 2. The rest is easy to
prove
Any element of FiI1 (~-;%(-l))~ induces a one-cochain on Tw, which is
The folr-invariant. So it induces a cohomology class in H 1 (r;QR(-1)).
.
where we know already the Galois operation on the terms on the left and
the right.
We only have to obtain the action of I/It. So we consider for a E I/It,
1
uE H (r;QR(-1)) the pairkg (o,u) + o(ü) - ü for any lifting Ü of
u. This gives a bilinear map
lowing Lemma is well laiown and easv to prove.
L e m 4 : The map
which has to be identified with the canonical map to show the theorem.
The Picard-Lefschetz formula gives
described above, is an isomorphism.
To formulate the theorem below we have to recall the concept of special
representation of Ga1(K~/K_):
We have the exact sequence
The vanishing cycles dx can be identified with cohomology classes in
H' (r ;aR) given by the 1 -cochains cx,
O for yEX(l), y t x
c,(Y)
=
1 for y = x
a lifting,of the Frobenius. We consider the module
Denote a E Gal(K:/Kw)
ZRt~ ZR(-l) , a acts by the matrix (O O(Frob) ) on this module. The a e
The cupproduct restricted to
der very general conditions (singular fibres of the elliptic curve of
multiplicative type) even yields an eigenclass as considered above.
can be identified with the obvious evaluation. Then the theorem follows.
q.e.d.
5 - Concluding remarkç
1) Drinfeltdscurves MI are the classifying objects for the functor
attaching to each ring B over O the set of elliptic modules over B
enriched with a level-1-structure. MI is a scheme over O, flat and
smooth outside of V(1) , with onedimensional fibres. The curve
(MI @ O Km) consists out of different components depending on the class
nmber of the ring O. The different components are just the curves 5 ,
considered here, where I = {y EAutO(P) 1 y. id(rnod 1)1 , P a projective
O-module of rang two. Therefore, the study of the MI over Km is in
fact equivalent to the study of the MI, considered here (we have actually restricted to P = O2, which of course is not necessary at all).
2) The Theorem in paragraph 4 reduces questions about the cohomology of
the curves
to questions about the cohomology of the arithmetic groq
r cGL2(0). The rational rank of the cohanology of these groups can be
computed explicitly as is shown in [ 121. One has the formula
where t is the number of cusps of
r.
3) It is also interesting to consider the full arithmetic groups
SL2(O) and r = GL2(O). Reducing to the case considered above one
obtains again
r=
as Ga1 (K~/K~)
-modules. (hie has a more complicated (because of fixpoints)
but still completely explicit formula for H1 (T;Qg) also here. See [141.
.
;(IIg) The eigen4) There is an action of the Hecke-Algebra on H'
classes under this action have a deep diophantine meaning. In particular
those with rational eigenvalues correspond to elliptic curves over K
( [ 4 ] , [SI). Vice versa if one starts with an elliptic curve over K by
a theorem of Deligne ([Il) there is associated a modular form, which un-
5) It is of course tempting to try to understand the cohomology of quotients (r \Ci d) for d z 2 where F cGLd(0) of finite index again,
Cid = (Pd(imhU H, the relevant rigid analytic space The cohomology of
r is understood to a certain extent ([71, [131), so the first task would
be to determine the "&ale cohmlogy" of ad or of the corresponding
formal scheme P(T(~)),
associated to the Bruhat-Tits building of
PGLd(Kw)
.
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5600 Wuppertal 1
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25 octobre 1982
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