第七章 电磁波的辐射
第七章 电磁波的辐射
7.1 滞后位
7.2
7.3 对偶原理与磁基本振子的辐射场
7.4
7.5
7.6 面天线的辐射场
7.7 互易原理
第七章 电磁波的辐射
7.1 滞 后 位
 A  k A   J
2
2

  k  

2
2
时谐场中，电荷源ρ和电流源J之间以电流连续性方程
  J   j
第七章 电磁波的辐射
将ρ与J联系起来，而标量位φ和矢量位A之间也存在一定的
关系。这一关系就是洛仑兹条件，即式(5 - 77)：
  A   j
电磁场与标量位φ和矢量位A之间的关系式为
B   A
 (  A)

E   j 
 A
2
 k

第七章 电磁波的辐射
7.1.1 亥姆霍兹积分及辐射条件

V
(u2 w  w2u)dV   (uw  wu)  dS
S
求式(5 - 79)中的标量位φ，并且导出辐射条件。格林定理中的u
和w是任意标量函数，且要求u和w以及它们的一阶和二阶导数在
V内连续。
容易验证标量函数

e
 jkR
R
第七章 电磁波的辐射
满足齐次亥姆霍兹方程
2  k 2  0
令格林定理中的u代表标量位φ，即u=φ，φ满足式(5-79)，即
 (r' )
  (r' )  k  (r' )  

2
2
(7 - 6)
再令w=Ψ，且R=|r-r′|，如图7 - 1所示。r是场点；r′是源点，
亦即格林定理中的积分变点。
第七章 电磁波的辐射
图 7 - 1 求解式(7 - 6)用图
第七章 电磁波的辐射
于是积分在体积V1=V-V2及其表面S1=S+S2上进行：

 ( r ' ) 

V1 [ (r' )    (r' )]dV '  S  (r' ) n  n dS '
2
2

 ( r ' ) 

   ( r ' )

dS '

S2
n
n 

在S2上积分时，外法线方向指向小球球心P点于是 / n   / ；
R
面元dS′=a2dΩ′，dΩ′是dS′对P点所张的立体角元。这样，

 e  jkR e  jkR  ( r ' ) 
2


(
r
'
)

a
d'

S2 
R R
R
n  R a
 jkR

1
jk
e
 ( r ' ) 

  jkR
2
   ( r ' ) 2  e

a d'

S2
R
R
n  R a
R

第七章 电磁波的辐射
令a→0，小球面S2收缩成点P。考虑到
 / R
有限，上式中的
积分只剩下被积函数是φ(r′)·e-jkR/R2 的一项不等于零。此时小球
面S2上的φ（r′)可以用小球球心处的φ(r)代替：

e 
2
lim   ( r' ) 2  a d'   ( r )  d'  4( r )
S2
a 0 S2
R

 R a
 jkR
 (r) 
1

4
1

4
V
 (r' )
R
e
 jkR
dV '
  ( r ' ) e  jkR
 e  jkR 
S  R R   (r' ) R R dS '
第七章 电磁波的辐射
矢量位A的每个直角坐标分量均可用形如上式的积分表示，于是

A( r ) 
4
1

4

V
J ( r ' )  jkR
e dV '
R
 A( r ' ) e
 e 
S  R R  A( r' ) R R dS '
(7 - 8)
 jkR
 jkR
考虑无限空间的电磁问题时，取以R为半径的球面作为S，
dS′=R2dΩ′，式(7 - 8)中的面积分可以写成
 
  jkR
 jkR
S R R  jk e d' S e d'(7 - 10)
第七章 电磁波的辐射
而要排除在无限远处的场源(设无限远处的场源为零)， 就
必须使上式为零。为此，要求R→∝时，
lim R  有限值
R 
在这个限制条件下，式(7 - 10)的第二项积分等于零， 即要求在
远离场源处标量位φ至少按R-1减少；第一项积分在满足
 

lim R 
 jk   0
R 
 R

(7-11b)
时也等于零。式(7 -11b)称为辐射条件。对于矢量位亦有类似条件。
第七章 电磁波的辐射
7.7.2 滞后位
标量位φ满足辐射条件式(7-11b)时，排除无限远处的场源，
式(7-8)中的面积分一项为零，标量位φ(r)仅表示向外传播的电磁
波，即
 (r) 
1
4 
 ( r ' )e
 jkR
R
V
dV '
如果我们把k=ω/v代入上式，并重新引入时间因子ejωt，则得
 ( r, t ) 
1

4
V
 (r' )
R
e
 R
j  t  
 v
dV '
第七章 电磁波的辐射

A( r ) 
4

V
J ( r ' )  jkR
e dV '
R
引入时间因子ejωt后则有

A( r, t ) 
4
 (r) 

V
J ( r' )
e
R
1
4 V

A( r ) 
4

V
 R
j  t  
 
 (r' )
R
dV '
dV '
J (r' )
dV '
R
第七章 电磁波的辐射
7.2 电基本振子的辐射场
图 7 - 2 电流元与短对称振子
第七章 电磁波的辐射
7.2.1 电基本振子的电磁场计算
图 7 - 3 电基本振子
第七章 电磁波的辐射
取短导线的长度为dl，横截面积为ΔS，因为短导线仅占有
一个很小的体积dV=dl·ΔS，故有
I
J ( r ' )dV '  Sdle z  Idle z
S
又由于短导线放置在坐标原点，dl很小，因此可取r′=0，从而有
R=|r-r′|≈r。

A( r ) 
4
Idle z
l R e
 jkR
 Idl  jkr
 ez
e
4 R
A  er Ar  e A  e A  er Az cos  e Az sin 
第七章 电磁波的辐射
er
re
r sin e
1

H (r)    A  2

r sin  r




1
由此可解得
Az cos  rAz sin 
0
Hr  0
H  0
k Idl sin 
H 
4
2
1   jkr
 j

e
2
 kr （kr）
第七章 电磁波的辐射
7.2.2 电基本振子的电磁场分析
1. 近区场
当kr<<1时，r<<λ/2π，即场点P与源点的距离r远小于波长λ
的区域称为近区。在近区中，
1
1
1
 jkr


,
e
1
2
3
kr
(kr)
(kr)
Idl cos
2p
Er   j

cos
3
3
2r
4r
第七章 电磁波的辐射
Idl sin 
p
E   j

sin 
3
3
2r
4r
Idl sin 
H 
4r 2
式中p=Qdl是电偶极矩的复振幅。 因为已经把载流短导线看成一
个振荡电偶极子，其上下两端的电荷与电流的关系是I=jωQ。
第七章 电磁波的辐射
2.
当kr>>1时，r>>λ/2π，即场点P与源点距离r远大于波长λ的
区域称为远区。 在远区中，
1
1
1


2
kr
(kr)
(kr)3
远区电磁场表达式简化为
Idlk sin   jkr
Idl
E  j
e  j
 sin   e  jkr
4r
2r
2
Idlk sin   jkr
Idl
E  j
e  j
sin   e  jkr
4r
2 r
第七章 电磁波的辐射
① 场的方向：电场只有Eθ分量；磁场只有Hφ分量。其复坡
印廷矢量为
1
1
1 E
*
S  E  H *  er E H   er
2
2
2 
2
可见，E 、 H互相垂直，并都与传播方向er 相垂直。因此电基本
振子的远区场是横电磁波(TEM波)
。
② 场的相位：无论Eθ或Hφ，其空间相位因子都是-kr，即其
空间相位随离源点的距离r增大而滞后，等相位面是r为常数的球
面， 所以远区辐射场是球面波。由于等相位面上任意点的E、H
振幅不同，所以又是非均匀平面波。Eθ/Hφ=η是一常数，等于媒
质的波阻抗。
第七章 电磁波的辐射
③ 场的振幅：远区场的振幅与r成反比；与I、dl/λ成正比。
值得注意，场的振幅与电长度dl/λ有关，而不是仅与几何尺寸dl
有关。
④ 场的方向性：远区场的振幅还正比于sinθ，在垂直于天线
轴的方向(θ=90°)，辐射场最大；沿着天线轴的方向(θ=0°)，
辐射场为零。这说明电基本振子的辐射具有方向性， 这种方向
性也是天线的一个主要特性。
第七章 电磁波的辐射
如果以电基本振子天线为球心，用一个半径为r的球面把它
包围起来，那么从电基本振子天线辐射出来的电磁能量必然全
部通过这个球面，故平均坡印廷矢量在此球面上的积分值就是
电基本振子天线辐射出来的功率Pr。因为电基本振子天线在远
区任一点的平均坡印廷矢量为
1

 1
*
Sav  Re  E  H *  Re er E H  
2

 2

2
2
1 E
1
1  Idl

 er
 er  H   er  
sin  
2 
2
2  2 r

2
第七章 电磁波的辐射
所以辐射功率为
Pr   Sav  dS
S

2
0


0
2
1  Idl
 2

sin    r sin dd
2  2 r


  Idl 
3
 
2

sin
d


0
2  2 
2
  Idl 
4 1  Idl 
 
 2    

2  2 
3 3  2 
2
2
第七章 电磁波的辐射
以空气中的波阻抗
0
  0 
 120
0
代入， 可得
 Idl 
Pr  40 

 2 
2
2
式中I的单位为A(安培)且是复振幅值，辐射功率Pr 的单位为
W(瓦)，空气中的波长λ0的单位为m(米)。
第七章 电磁波的辐射
电基本振子幅射出去的电磁能量既然不能返回波源， 因此
对波源而言也是一种损耗。利用电路理论的概念，引入一个等
效电阻。 设此电阻消耗的功率等于辐射功率，则有
1 2
Pr  I Rr
2
式中Rr称为辐射电阻。
Pr 
2 Pr
I
2
 dl 
 80  
 0 
2
2
第七章 电磁波的辐射
例7 - 1 已知电基本振子的辐射功率Pr， 求远区中任意点P(r,
θ, φ)的电场强度的振幅值。
解： 利用 k

2

, I  I m e j 远区辐射场的电场强度振幅为
I m dl
Em 
0 sin 
20 r
I m dl / 0  Pr / 40
sin 
Em  3 10  Pr 
r
2
第七章 电磁波的辐射
例7-2 计算长度dl=0.1λ0的电基本振子当电流振幅值为2 mA
时的辐射电阻和辐射功率。
解： 辐射电阻
2
 dl 
2
2
Rr  80    80  (0.1)  7.8957
 0 
2
辐射功率为
1 2
1
3 2
Pr  I Pr  (2  10 )  7.8957  15.791W
2
2
第七章 电磁波的辐射
7.3 对偶原理与磁基本振子的辐射场
7.3.1 磁基本振子的辐射场
图 7 - 4 磁基本振子
第七章 电磁波的辐射
I e  jkR
A( r ) 
dl '

4 l R
I e  jk|r  r '|

dl '

4 l | r  r ' |
上式的积分严格计算比较困难，但因r′=a<<λ，所以其中的
指数因子可以近似为
1 2
2
e
 1  jk ( R  r )  k ( R  r )  (|  jk ( R  r |)
2
dl '  jkI  jkr
 jkr  I
A( r )  (1  jkr)e  

e  dl '

l | r  r' |
l
4

4



 jk ( R  r )
第七章 电磁波的辐射
I
dl '
SI
m  r
 e 2 sin  

4 l | r  r ' |
4r
4r 3
该式中的m=ezπa2I=azSI是复矢量。于是有
IS
 jkr
A( r )  e
(
1

jkr
)
sin


e
2
4r
代入H=μ-1▽×A可得磁基本振子的磁场为
IS
 1 jk   jkr
Hr 
cos   3  2 e
2
r 
r
第七章 电磁波的辐射
 1 jk k   jkr
IS
H 
sin   3  2  e
4
r
r 
r
2
H  0
再由E=(jωε)-1▽×H，可得磁基本振子的电场为
Er  0
E  0
ISk
 jk 1   jkr
E   j
 sin    2 e
2
 r r 
第七章 电磁波的辐射
磁基本振子的远区辐射场：
ISk 2
IS
 jkr
 jkr
H  
sin   e   2 sin   e
4r
r
ISk
IS
 jkr
E 
 sin   e  2  sin   e jkr  H
4r
r
2
磁基本振子的远区辐射场具有以下特点：
①
TEM
非均匀球面波。
② Eφ/(-Hθ)=η。
③ 电磁场与1/r成正比。
④ 与电基本振子的远区场比较，只是E、H的取向互换，远
区场的性质相同。
第七章 电磁波的辐射
1
1


*
Sav  Re  E  H *  Re  er E H 
2
2



1  IS 
 er   2  sin 2 
2 r
2
辐射功率为
Pr   Sav  dS  
S
2
0

2
0
1  IS 
  2  sin 2   r 2 sin dd
2 r
  IS  8 4
 IS 
  2  
    2 
2   3 3
  
2
2
2
第七章 电磁波的辐射
以空气的波阻抗代入上式， 有
2
4
 IS 
6  a 
Pr  160   2   160    I 2
 0 
 0 
2
辐射电阻为
Rr 
2 Pr
r
2
a
 320   
 0 
4
第七章 电磁波的辐射
例 7 - 3 将周长为0.1λ0的细导线绕成圆环，以构造电基本振
子，求此电基本振子的辐射电阻。
解： 此电基本振子的辐射电阻为
4
a

6  1
2


Rr  320     320  
 0.01  1.9739  10 
 2

 0 
4
6
长度为此磁基本振子周长的电基本振子的辐射电阻远比磁
基本振子的辐射电阻大，即电基本振子的辐射能力大于磁基本
振子的辐射能力。
第七章 电磁波的辐射
例 7 - 4 沿z轴放置大小为为I1l1的电基本振子，在xoy平面上
放置大小为I2S2的磁基本振子，它们的取向和所载电流的频率相
同，中心位于坐标原点，求它们的辐射电场强度。
解：电基本振子和磁基本振子在空间任意点产生的合成辐射
场为
E  E1  E2  e E  e E
 jkr
I
l

I
S
e

11
2 2 
  E j
 e 2  sin  
2
 
r

I1l1 I 2 S2
 2 时是右旋圆极化波。
这是一椭圆极化波。当
2
2
第七章 电磁波的辐射
7.3.2 对偶原理
引入假想的磁荷和磁流概念之后，磁荷与磁流也产生电磁场，
因此麦克斯韦方程组可修改为
  H  J  jE
  E   J m  jH
D  
  B  m
第七章 电磁波的辐射
上式称为广义麦克斯韦方程组。式中下标m表示磁量；Jm
是 磁 流 密 度 ， 其 量 纲 为 V/m2 ； ρm 是 磁 荷 密 度 ， 其 量 纲 为
Wb/m3(韦伯每立方米)。式(7 -32a)的等号右边用正号，表示电
流与磁场之间有右手螺旋关系。
第七章 电磁波的辐射
在无界的简单媒质中，如果存在“电源”J、 ρ，它们产生
的电磁场用Ee、He表示，则其满足的麦克斯韦方程组为
  H e  J  jEe
  Ee   jH e
  De  
  Be  0
第七章 电磁波的辐射
如果存在“磁源”Jm、ρm，它们产生的电磁场用Em、Hm
表示，则其满足的麦克斯韦方程组为
  H m  jEm
  Em   J m  jH m
  Dm  0
  Bm   m
H e   Em , Ee  H m ,    ,    ,   m , J  J m
第七章 电磁波的辐射
例 7 - 5 应用对偶原理，求磁基本振子的远区辐射场。
解：引入假想的磁荷与磁流概念之后，载流细导线小圆环
可等效为相距dl，两端磁荷分别为+qm和-qm的磁偶极子，其磁偶
极距
pm  qmdl  ez qmdl  ez IS
由此可得磁基本振子的磁流
dqm S di S d
im 


[ I m cos(t   )]
dt
dl dt dl dt
其对应的磁流复量为
I  j
m
S
dl
I ( I  I me
 j
)
第七章 电磁波的辐射
如果定义磁偶极子对应的磁流元为Imdl，那么它与电流环的关系为
I dl  jSI  jkIS  j
m
或
2

 m
IS   j
I dl
2
I m dl
E   j
sin   e  jkr
2 r
I m dl
E  j
sin   e  jkr
2  r
IS
第七章 电磁波的辐射
7.4 天线的电参数
7.4.1 辐射方向图
1. 方向性函数和方向图
E ( ,  )
F ( ,  ) 
Emax
式中|Emax|是|E(θ，φ)|的最大值。
第七章 电磁波的辐射
例7 – 6 绘制电基本振子的方向图。
解： 电基本振子的方向性函数为
F ( , )  sin 
第七章 电磁波的辐射
图 7 - 5 电基本振子的方向图
第七章 电磁波的辐射
图 7 - 6 天线方向图的波瓣
第七章 电磁波的辐射
前后向抑制比：后瓣最大辐射方向上的功率密度Sa与主瓣
最大辐射方向上的功率密度S0之比的对数值，称为前后向抑制
比， 即
Sa
Pab ( dB )  10 lg
S0
第七章 电磁波的辐射
Smax
D
S0
Pr 相同,r相同
或
D
Emax
E0
Pr 0
D
Pr
2
2
Pr 相同,r相同
相等电场强度
第七章 电磁波的辐射
1 E ( ,  )
Pr   Sav  dS  
dS
S
2 S
0
2
Emax  r

240
2
2
2

0
0
 
F 2 ( ,  ) sin dd
对于理想的无方向性天线，因其在空间各个方向上具有相
同的辐射， 故其辐射功率为
2
2 2
E0 r
1 E0
Pro  4r S0  4r  

2 120
60
2
2
第七章 电磁波的辐射
再考虑条件——辐射功率相同，即Pr=Pro，则
D
Emax
E0
2

2
Pr 相同,r相同
4
2

0
0
 
F ( ,  ) sin dd
2
若F(θ，φ)=F(θ)，即天线方向图轴对称(与φ无关)时，则
D
2


0
F 2 ( ) sin d
第七章 电磁波的辐射
不同天线都取理想无方向性天线作为标准进行比较， 因此
能比较出不同天线最大辐射的相对大小，即方向性系数能比较
不同天线方向性的强弱。公式(7 - 39a)中，
Smax
1 Emax
Pro
 
, S0 
2
2 120
4r
故
2
1 Emax
2 2

Emax r
2
120

D

Pro
60 Pro
2
4r
第七章 电磁波的辐射
因此
Emax 
60 Pro D
r
对于理想的无方向性天线，因其方向性系数D=1， 故有
Emax 
60 Pro
r
某天线的方向性系数，表征该天线在其最大辐射方向上比起
无方向性天线来说把辐射功率增大了D倍。例如为了在空间一定
距离的M点产生一定的场强，若使用无方向性天线，需要馈给无
方向性天线10W的辐射功率；但是若使用方向性系数D=10的有
方向性天线，并将有方向性天线对准M点，就只需1W的辐射功
率。
第七章 电磁波的辐射
例 7 - 7 计算电基本振子的方向性系数。
解：电基本振子的方向性函数F(θ，φ)=sinθ，故其方向性
系数为
D
4
2

0
0
 
sin   sin dd
2
 1.5
第七章 电磁波的辐射
7.4.2 辐射效率
天线的辐射效率(Radiation Efficiency)表征天线能否有效地
转换能量，定义为天线的辐射功率与输入到天线上的功率(输入
功率)之比：
Pr
Pr
r 

Pin Pr  PL
式中的PL表示天线的总损耗功率。通常，发射天线的损耗功率
包括：天线导体中的热损耗、介质材料的损耗、天线附近物体
的感应损耗等。
第七章 电磁波的辐射
如果把天线向外辐射的功率看作是被某个电阻Rr所吸收，
该电阻称为辐射电阻。与此相似，也把总损耗功率看作是被某
个损耗电阻RL所吸收，则有
1 2
1 2
Pr  I Rr , PL  I RL
2
2
故天线的辐射效率可表示为
Pr
Pr
Rr
r 


Pin Pr  PL Rr  RL
第七章 电磁波的辐射
7.4.3 增益系数
Smax
G
S0
G
Pin相同
2
Emax
E0
Pino
G
Pin
2
Pin相同
E相同
第七章 电磁波的辐射
考虑到辐射效率的定义关系Pr=ηrPin，以及理想无方向性天
线的效率ηro一般被认为是1，故
Pino
G
Pin
E相同
Pro / ro

Pr / r
 r D
E相同
由此可见，只有当天线的D值大，辐射效率ηr也高时，天线的增
益才较高。增益系数比较全面地表征了天线的性能。通常用分
贝来表示增益系数，即令
G (dB)  10 lg G
第七章 电磁波的辐射
7.4.4 输入阻抗
天线与馈线相连接，欲使天线能从馈线获得最大功率，就
必须使天线和馈线良好匹配，即要使天线的输入阻抗与馈线的
特性阻抗相等。所谓天线的输入阻抗，是指天线输入端的高频
电压与输入端的高频电流之比， 可表示为
U in
Z in 
 Rin  jX in
I in
第七章 电磁波的辐射
7.4.5 极化形式
天线的极化特性是以天线辐射的电磁波在最大辐射方向上
电场强度矢量的空间取向来定义的，分为线极化、圆极化和椭
圆极化。线极化又分为水平极化和垂直极化；圆极化又分左旋
圆极化和右旋圆极化。
第七章 电磁波的辐射
7.5 对称线天线和天线阵的概念
7.5.1 对称振子天线
1. 对称振子的电流
分布和远区场
图 7 - 7 臂长为l的对称振子
第七章 电磁波的辐射
如图7-7所示，设对称振子沿z轴放置，振子中心位于坐标原
点，则振子上的电流分布表示式为
I ( z )  I m sin[ k (l  | z |)]
Idz
E  e E  j
 sin e
2r
60I ( z )dz
dE 1  j
sin   e  jkr1
0 r1
dE 2
60I ( z )dz
 j
sin   e  jkr2
0 r2
第七章 电磁波的辐射
r1  r  | z | cos , r2  r  | z | cos
dE  dE 1  dE 2
60I ( z )dz
 j
sin   [e  jk ( r |z|cos )  e  jk ( r |z|cos ) ]
0 r
120I m sin[ k (l  | z |)]dz
 j
sin   cos( k | z | cos )  e  jkr
0 r
将dEθ从0到l对z积分，便得对称振子的辐射场
60 I m
E  j
r
 cos( kl cos )  cos kl   jkr
e


sin 
第七章 电磁波的辐射
其远区磁场与电场的关系仍为
H  E / 120
对称振子最常见的长度是l=λ/4，即振子全长2l=λ/2，称为半
波振子。其远区辐射场为



60 I m cos cos 

2
 jkr


E

j
e
 
r sin 


E
 H 

0
第七章 电磁波的辐射
2. 对称振子的电参数
1)
| E ( ,  ) | cos( kl cos )  cos kl
f ( ,  ) 

60 I m / r
sin 
f ( ,  )
F ( ,  ) 
f max
式中fmax是f(θ，φ)的最大值。对于半波振子，有


cos cos 
2


f ( , )  F ( , ) 
sin 
第七章 电磁波的辐射
图 7 - 8 对称振子的E面方向图
第七章 电磁波的辐射
2) 对称振子的辐射功率和辐射电阻
Pr   Sav  dS  
S
2
0
 30 I m2 

0


0
2
E 2
r sin dd
20
[cos( kl cos )  cos kl]2
d
sin 
半波振子的辐射功率为
2
Pr  30 I
2
m


0
 

cos 2 cos 

 
d  30 I m2  1.2188  36.564 I m2 (W )
sin 
第七章 电磁波的辐射
由于对称振子天线的辐射功率与辐射电阻的关系为
1 2
Pr  I m Rr
2
因此辐射电阻为
2 Pr
[cos( kl cos )  cos kl]
Pr  2  60
d
0
Im
sin 

2
此式积分可以用正弦积分和余弦积分表示， 但更直接的
计算是作数值积分。
第七章 电磁波的辐射
半波振子的辐射电阻：
D
4
2

0
0
 
2 Pr
Rr  2  73.128
Im
F ( ,  ) sin d
2

2
2

0
0
 
2



cos  cos 
2
 d
sin 
2


0
4
 

 cos 2 cos  
  sin d
 
sin 




2

 1.641
1.2188
第七章 电磁波的辐射
7.5.2 天线阵的概念
图 7 - 9 N元均匀直线阵
第七章 电磁波的辐射
设相邻阵元的间距为d，各阵元上电流的振幅为1，但相位
自第一个阵元起依次超前一个相角β，即
I i  1e
j ( i 1) 
(i  1,2,, N )
E  E1  E2    EN
 E1[1  e
j
e
j 2
 e
j ( N 1)
]
式中E1、E2、…、EN分别为阵元1、2、…、N在场点所产生的远
区辐射场。
第七章 电磁波的辐射
如果天线阵有每个阵元都相同的半波振子，
jN
1 e
E  E1
j
1 e
N
sin
2  E f ( )
 E1
1 N

sin
2
式中：
N
sin
2
f N ( ) 

sin
2
第七章 电磁波的辐射
N
N

N 1

N
sin
sin cos
 cos sin
df N ( )
d
2  2
2
2
2
2
2 0

d
d sin 
2
sin
2
2
N

tan
N
2
2
此式仅当Ψ=0时成立，所以阵函数出现最大值的条件为
 0
第七章 电磁波的辐射
图7-10 N元均匀直线阵
第七章 电磁波的辐射
N
sin
2
f N ( ) 

sin
2
N
sin
2
F ' ( )  f N ( ) 

sin
2
当各个阵元的激励电流同相时，β=0, Ψ=kdcosφ，最大辐射
条件Ψ=0对应于
  (2m  1)

2
(m  0,1,2,...)
第七章 电磁波的辐射
图7-11 四阵元侧射天线阵的方向图
第七章 电磁波的辐射
图7-12 八阵元端射式天线阵的方向图
第七章 电磁波的辐射
cos   cos  m  

kd
此式表明天线阵的最大辐射方向φm取决于相邻阵元之间的
电流相位差β。改变β，就可以改变天线阵的最大辐射方向，这
就是相控阵天线的工作原理。当β=-kd时，最大辐射方向φm=0，
所以天线阵的最大辐射方向在其轴线方向上。这种均匀直线阵
称为端射式天线阵。
第七章 电磁波的辐射
7.6 面天线的辐射场
1.
这种方法是先求出天线的金属导体面在初级辐射器照射下产
生的感应面电流分布，然后计算此电流在外部空间产生的辐射场。
2. 口面场法
这种方法包括两部分：先作一个包围天线的封闭面，求出此
封闭面上的场(称为解内场问题)；然后根据惠更斯原理，利用该
封闭面上的场求出空间的辐射场(称为解外场问题)。由于金属封
闭面上无电磁场，故实际上只需考虑封闭面的开口部分的辐射作
用，即口面场的辐射。
第七章 电磁波的辐射
7.6.1
惠更斯原理指出，包围波源的闭合面(波阵面)上任一点的场
均可认为是二次波源，它们产生球面子波，闭合面外任一点的
场可由闭合面上的场(二次波源)的叠加决定。
基尔霍夫公式是上述思想的数学表述。设闭合面S中的源在
闭合面S上产生的场为ES及HS ，在闭合面外任一点P产生的场为
EP及HP，如图7 - 13所示。
第七章 电磁波的辐射
图7-13 惠更斯原理
第七章 电磁波的辐射
 2  k 2  0
式中k2=ω2με。为方便起见，取P点为坐标原点(r=0)。现引入另
一标量函数G(r)，它满足方程
 G(r )  k G(r )   (r )
2
2
e  jkr
G (r ) 
4r
标量函数G(r)称为标量格林函数，其物理意义为在r=0处的点源
在距源点r处产生的标量场。
第七章 电磁波的辐射
 
 G
V V0 [ G  G  ]dV  S  S0  S  n  G n dS
2
2
 2G  G 2   (k 2G)  G(k 2 )  0
S0面上的面积分为

 G
S0  n  G n
 

 G
G
dS  S 
dS
0
r 

 r
G
G

 dS  G r  a 
dS

S
S
0 r
r r  a 0
第七章 电磁波的辐射


2
2
dS

dS




dS



dV


k
S0 r
S0 n
S0
V0
V0 dV
 
 G
 P   
G
dS
S
n 
 n
当P点在r点处时，格林函数
1
 (r ) 
4

S
G
e
 jk|r  r '|
4 | r  r ' |
闭合面S外任一点r处，


  e  jk|r  r '|  e  jk|r  r '| 
 
 (r ' ) dS
 (r ' ) 
n  | r  r ' |  | r  r ' | n


第七章 电磁波的辐射
1
ES ( r ) 
4


  e  jk|r  r '|  e  jk|r  r '| 
S  ES ( r' ) r  | r  r' |   | r  r' | n ES ( r' )dS
1
H S (r) 
4


  e  jk|r  r '|  e  jk|r  r '| 
S  H S ( r' ) r  | r  r' |   | r  r' | n H S ( r' )dS
第七章 电磁波的辐射
7.6.2 口径面的辐射场
图7-14 惠更斯元
第七章 电磁波的辐射
设惠更斯元上场的传播方向为z方向，那么惠更斯元上的
场可以表示为
 S  S e
 jkz
0

n
z 0


z
z 0
  jk S0
 e  jkr 
 e  jkr 
  e  jk|r  r '|    e  jkr 
1 

  
  ez  
  cos  
 jk  
n  | r  r ' |  z  r 
r 
 r 
 r 
对于远区场，
  e  jk|r r '| 
e  jkr

  jk
cos
n  | r  r ' | 
r
第七章 电磁波的辐射
 S dS
 jkr
 (r )  j
(1  cos )e
2r
0
 S (r )dS '
 jkr|r  r '|
 (r )  j
(1  cos ' )e
2 | r  r ' |
0
 S0 (r ' )dS '
j
 jk|r  r '|
 (r ) 
(1  cos ' )e
dS '

2 S
| r  r '|
第七章 电磁波的辐射
例 7 - 8 设一无限大金属平面位于z=0坐标平面，其上开有口
径为2a×2b的矩形孔。现在让我们来求一均匀平面波从-z向+z方
向垂直投射到这块金属板上通过矩形口径时，均匀同相矩形口径
面的远区辐射场。
解： 设口径面位于z=0平面，如图7 - 15所示。口径场的某一直
角坐标分量为
ES  ES0 e
式中ES0是常数。
 jkz
第七章 电磁波的辐射
图 7 - 15 均匀同相矩形口径面的远区辐射场
第七章 电磁波的辐射
EP  j
ES 0
b
a
b
a


2
e
 jkr
r
(1  cos ' )dx' dy '
式中r为口径面上(x′, y′, 0)点到场点P(x, y, z)的距离：
r  ( x  x' ) 2  ( y  y ' ) 2  z 2  x 2  y 2  z 2  2 xx'2 yy ' x'2  y '2
2
 x'   y ' 
2
 r  2 xx'2 yy ' x'  y '  r0 1  2 ( xx' yy ' )      
r0
 r0   r0 
2
0
2
2
对于远区， r0>>x′, r0>>y′，上式可以近似为
xx' yy '
r  r0
r0
2
第七章 电磁波的辐射
当r0>>a、r0>>b时，可以近似取θ≈θ′, 1/r≈1/r0。如果场点采用球坐
标表示，即取x=r0sinθcosφ，y=r0sinθsinφ，那么
E P (r0 , ,  )  j
 j
ES0 e  jkr0
2r0
2abES0
r0
a
b
a
b
(1  cos  )  dx' e jk sin ( x 'cos  y 'sin ) dy '
sin( ka sin  cos  ) sin( kb sin  cos  )  jkr0
(1  cos  ) 

e
ka sin  cos 
kb sin  cos 
由上式可知，均匀同相矩形口径场的方向性函数为
sin( ka sin  cos  ) sin( kb sin  cos  )
F ( ,  )  (1  cos ) 

ka sin  cos 
kb sin  cos 
第七章 电磁波的辐射
最大辐射方向在θ=0处， 此时，
EP  EPmax  j
4abES0
r0
P | Sav | 4ab 
P0  4r 
2
0
P0
D
P
EPmax
4ab | ES0 |2
2
2
2
32a b ES0
2 2


相等电场强度
e
 jkr0
2
2
16ab

2

4

2
S
第七章 电磁波的辐射
7.7 互 易 定 理
假设空间区域V1 中的电流源J1 产生的电磁场为E1 和H1 ，空间
区域V2 中的电流源J2 产生的电磁场为E2 和H2 ，两电流源振荡在同
一频率上，且空间区域V1 和V2及它们之外的空间区域V3 中的媒质
是线性的，根据矢量恒等式
  ( A  B)  B  (  A)  A  (  B)
  ( E1  H 2 )  H 2  (  E1 )  E1  (  H 2 )
  E   jH ,   H  J  jH
第七章 电磁波的辐射
  ( E1  H 2 )  H 2  ( jH1 )  E1  ( J 2  jE2 )
  j H1  H 2  E1  E2   E1  J 2
  ( E2  H1 )  H1  ( jH 2 )  E2  ( J1  jE1 )
  j H 2  H1  E2  E1   E2  J1
  ( E1  H 2 )  ( E2  H1 )  E2  J1  E1  J 2
 (E  H )  (E
S
1
2
2
 H1 ) ndS   ( E2  J1  E1  J 2 )dV
V
第七章 电磁波的辐射
1. 洛仑兹互易定理
设两个电流源J1和J2均在空间区域V外，则空间区域V内为无
源空间，因而式(7 - 86)右端的体积分等于零，故其左边的封闭面
积也等于零， 即
 [( E  H
S
1
2
)  ( E2  H1 )]  ndS  0
上式是洛仑兹互易定理的简化形式。
第七章 电磁波的辐射
2. 卡森互易定理
图 7 - 16 卡森互易定理用图
第七章 电磁波的辐射
 (E
V
2
 J1  E1  J 2 )dV  
V1 V2 V3
( E2  J1  E1  J 2 )dV  0
即当两个电流源均在V时， 仍然有下式成立：
 (E
V
2
 J1  E1  J 2 )dV  0
注意到空间区域V3为无源区，因此

V3
( E2  J1  E1  J 2 )dV  0
第七章 电磁波的辐射
综上可见，

V1
E2  J1dV   E1  J 2 dV
V2
由卡森互易定理知， 两种情况下的源与场的关系为

V1
E2  J1dV   E1  J 2 dV
V
当天线为细导线时，对于线电流，JdV=Idl，从而上式变为

l1  l2
I 2 E1  dl  
l1  l2
I1 E2  dl
第七章 电磁波的辐射
即
I
l1
12
E1  dl1   I 22 E1  dl2   I11E2  dl1   I12 E2  dl2
l2
l1
l2
如果天线为理想导体，其上电场切向分量为零，则上式左边第二
m
项积分和右边第一项积分为零；在l1上除输入端mn  E1  dl1  U1 处
n
外， 电场切向分量仍为零，在mn段有由天线2上电压U2产生的短
路电流I2=I12 。 因此上式左边应等于I12U1 。同理，该式右边等于
I21U2。于是
I12U1  I 21U 2
第七章 电磁波的辐射
令天线1对天线2的互导纳为Y12=I12/U2，天线2对天线1的互导纳为
Y21=I21/U1，则上式可写为
Y12  Y21
如果天线1用作发射天线，天线2用作接收天线，则当天线2
在以天线1为中心的球面上移动时，天线2上测得的短路电流I21的
大小应正比于天线1的发射方向性函数，于是
I 21 ( ,  )  Y21U1  K1 f发 ( ,  )
第七章 电磁波的辐射
同理，天线2用作发射天线，天线1用作接收天线时，天线1
上测得的短路电流I12的大小应正比于天线1的接收方向性函数，
于是
I12 ( ,  )  Y12U 2  K 2 f收 ( ,  )
取U1=U2，则由上式可见
f 发 ( ,  )  f收 ( ,  )
第七章 电磁波的辐射